Matemaatikko luovuudesta, taiteesta, logiikasta ja kielestä | Quanta-lehti

Kesti kauan ennen kuin Claire Voisin rakastui matematiikkaan.

Se ei tarkoita, että hän olisi koskaan pitänyt aiheesta. Hän varttui Ranskassa – kymmenentenä 10 lapsesta – ja vietti tuntikausia matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa insinööri-isänsä kanssa. Kun hän täytti 12, hän oli alkanut lukea lukion algebraoppikirjaa itsekseen kiehtoneena sen sivuilla hahmoteltuja määritelmiä ja todisteita. "Siellä oli kaikki tämä rakenne", hän sanoi. "Algebra on todella rakenteiden teoria."

Mutta hän ei nähnyt matematiikkaa elinikäisenä tehtävänä. Vasta yliopistovuosina hän tajusi, kuinka syvä ja kaunis se voi olla – ja että hän kykeni tekemään uusia löytöjä. Siihen asti hän harjoitti vakavasti useita kiinnostuksen kohteita matematiikan lisäksi: filosofiaa, maalausta ja runoutta. ("Kun olin 20-vuotias, taisin harrastaa vain matematiikkaa ja maalausta. Se oli ehkä vähän liikaa", hän nauroi.) Hänen 20-vuotiaana matematiikka oli sulkenut kaiken muun. Mutta maalaus ja runous vaikuttivat häneen edelleen. Hän näkee matematiikkaa taiteena – ja keinona ajaa kielen rajoja ja leikkiä niillä.

Vuosikymmeniä myöhemmin, tultuaan johtajaksi algebrallisen geometrian alalla, Voisin on löytänyt taas aikaa maalata ja tehdä saviveistoksia. Silti matematiikka kiinnittää edelleen suurimman osan hänen huomiostaan; hän viettää mieluummin aikaansa tutkimalla tätä "erilaista maailmaa", jossa "on kuin unelmoisit".

Voisin on vanhempi tutkija Ranskan kansallisessa tieteellisessä tutkimuskeskuksessa Pariisissa. Siellä hän tutkii algebrallisia muunnelmia, joita voidaan pitää polynomiyhtälöiden määrittäminä muodoina, kuten polynomi määrittää ympyrän. x² + y² = 1. Hän on yksi maailman johtavista Hodge-teorian asiantuntijoista, työkalusarjasta, jota matemaatikot käyttävät algebrallisten lajikkeiden tärkeimpien ominaisuuksien tutkimiseen.

Voisin on voittanut työstään lukuisia palkintoja, mukaan lukien Clay Research Awardin vuonna 2008, Heinz Hopf -palkinnon vuonna 2015 ja Shaw-palkinnon matematiikan alalla vuonna 2017. Tammikuussa hänestä tuli ensimmäinen nainen, jolle on myönnetty Crafoord-palkinto vuonna XNUMX. Matematiikka.

Quanta puhui Voisinin kanssa matematiikan luovasta luonteesta. Haastattelu on tiivistetty ja muokattu selvyyden vuoksi.

Pistit matematiikasta lapsena, mutta et nähnyt itsesi harjoittavan sitä. Miksi ei?

Siinä on todisteen taika – tunne, jonka tunnet, kun ymmärrät sen, kun ymmärrät kuinka vahva se on ja kuinka vahva se tekee sinusta. Lapsena näin tämän jo. Ja nautin keskittymisestä, jota matematiikka vaatii. Se on jotain, jonka ikääntyessäni pidän yhä keskeisemmäksi matematiikan harjoittamisessa. Muu maailma katoaa. Koko aivosi on olemassa ongelman tutkimiseksi. Se on poikkeuksellinen kokemus, joka on minulle erittäin tärkeä – saada itsesi poistumaan käytännöllisten asioiden maailmasta ja asettumaan toiseen maailmaan. Ehkä siksi poikani pitää videopelien pelaamisesta niin paljon.

Mutta se, mikä teki minusta jossain mielessä myöhään matematiikan, on se, että en ole ollenkaan kiinnostunut peleistä. Se ei ole minua varten. Ja lukiossa matematiikka tuntui peliltä. Minun oli vaikea ottaa sitä vakavasti. En nähnyt matematiikan syvyyksiä aluksi. Silloinkin kun aloin löytää erittäin mielenkiintoisia todisteita ja lauseita lukion jälkeen, en missään vaiheessa ajatellut, että voisin keksiä jotain itse, että voisin tehdä siitä omani.

Tarvitsin jotain syvempää, vakavampaa, jotain, josta voisin tehdä omani.

Ennen kuin löysit sen matematiikasta, mistä etsit sitä?

Nautin filosofiasta ja sen vaatimuksesta käsitteen käsitteeseen. Noin 22-vuotiaaksi asti vietin myös paljon aikaa maalaamiseen, erityisesti geometrian inspiroimiin figuratiivisiin kappaleisiin. Ja pidin kovasti runoudesta – Mallarmén, Baudelairen, René Charin teoksista. Elin jo jotenkin erilaisessa maailmassa. Mutta se on mielestäni normaalia, kun olet nuorempi.

Mutta matematiikasta tuli yhä tärkeämpää. Se todella vie kaikki aivot. Kun et ole työpöytäsi ääressä työskentelemässä tietyn ongelman parissa, mielesi on edelleen kiireinen. Joten mitä enemmän tein matematiikkaa, sitä vähemmän maalasin. Aloitin maalaamisen uudelleen vasta äskettäin, nyt kun lapseni ovat kaikki lähteneet kotoa ja minulla on paljon enemmän aikaa.

Mikä sai sinut lopulta omistamaan suurimman osan luovasta energiastasi matematiikalle?

Matematiikasta tuli minua kiinnostavampi. Maisterin ja Ph.D. Opiskelija, huomasin, että 20-luvun matematiikka oli jotain hyvin syvällistä ja poikkeuksellista. Se oli ideoiden ja käsitteiden maailma. Algebrallisessa geometriassa oli kuuluisa vallankumous, jota johti Alexander Grothendieck. Jo ennen Grothendieckia oli uskomattomia tuloksia. Se on siis uusi kenttä, jolla on kauniita mutta myös erittäin tehokkaita ideoita. Hodge-teoria, jota opiskelen, oli osa sitä.

Tuli yhä selvemmäksi, että elämäni oli siellä. Tietysti minulla oli perhe-elämää – mies ja viisi lasta – ja muita tehtäviä ja toimintaa. Mutta tajusin, että matematiikan avulla voisin luoda jotain. Voisin omistaa elämäni sille, koska se oli niin kaunista, niin upeaa, niin mielenkiintoista.

Olet kirjoittanut aiemmin siitä, kuinka matematiikka on luovaa yritystä.

Olen ammattimatemaatikko, joten työpäiväni on virallisesti järjestetty matematiikan ympärille. Istun pöydän ääressä; Työskentelen tietokoneella. Mutta suurin osa matemaattisista toiminnoistani ei tapahdu sinä aikana. Tarvitset uuden idean, hyvän määritelmän, lausunnon, jota luulet pystyväsi hyödyntämään. Vasta sitten työsi voi alkaa. Ja niin ei tapahdu, kun olen työpöytäni ääressä. Minun täytyy seurata mieltäni, pitää itseni ajattelemassa.

Kuulostaa siltä, ​​että matematiikka on sinulle hyvin henkilökohtaista. Oletko löytänyt itsestäsi mitään prosessin aikana?

Matematiikassa joudun suurimman osan ajasta taistelemaan itseäni vastaan, koska olen hyvin sekava, en ole kovin kurinalainen ja minulla on myös tapana masentua. Minusta se ei ole helppoa. Mutta huomasin, että joskus - kuten aamulla aamiaisella tai kun kävelen Pariisin kaduilla tai teen jotain mieletöntä, kuten siivoamista - aivoni alkavat toimia itsestään. Ymmärrän, että ajattelen matematiikkaa, ilman että olisi ollut tarkoitus. On kuin unelmoisit. Olen 62-vuotias, eikä minulla ole todellista tapaa tehdä hyvää matematiikkaa: odotan edelleen enemmän tai vähemmän sitä hetkeä, jolloin saan inspiraatiota.

Työskentelet erittäin abstraktien kohteiden kanssa – suuriulotteisten tilojen kanssa, rakenteilla, jotka täyttävät monimutkaiset yhtälöt. Mitä ajattelet noin abstraktista maailmasta?

Se ei itse asiassa ole niin vaikeaa. Abstraktein määritelmä, kun olet perehtynyt siihen, ei ole enää abstrakti. Se on kuin kaunis vuori, jonka näet erittäin hyvin, koska ilma on erittäin kirkas ja siellä on valoa, jonka avulla näet kaikki yksityiskohdat. Meille tutkimamme matemaattiset objektit näyttävät konkreettisilta, koska tunnemme ne paljon paremmin kuin mikään muu.

Todistettavaa on tietysti paljon, ja kun alat oppia jotain, saatat kärsiä abstraktiosta. Mutta kun käytät teoriaa – koska ymmärrät teoreemat – tunnet itse asiassa hyvin lähellä kyseessä olevia esineitä, vaikka ne olisivat abstrakteja. Oppimalla esineistä, manipuloimalla niitä ja käyttämällä niitä matemaattisissa argumenteissa, niistä tulee lopulta ystäväsi.

Ja tämä edellyttää myös niiden näkemistä eri näkökulmista?

En ole alun perin opiskellut algebrallista geometriaa. Työskentelin monimutkaisen analyyttisen ja differentiaaligeometrian parissa. Analyyttisessä geometriassa tutkit paljon laajempaa funktioiden luokkaa ja muotoja, jotka nämä funktiot määrittävät paikallisesti. Niillä ei yleensä ole globaalia yhtälöä, toisin kuin algebrallisessa geometriassa.

En kiinnittänyt aluksi liikaa huomiota algebralliseen näkökulmaan. Mutta mitä vanhemmaksi tulen ja mitä enemmän työskentelen tällä alalla, sitä enemmän näen näiden kahden eri kielen tarpeellisuuden.

On olemassa uskomaton lause, nimeltään GAGA, joka on vähän vitsi; se tarkoittaa "seniliä" ranskaksi, mutta se tarkoittaa myös geometrie algébrique et géométrie analytique. Siinä sanotaan, että voit siirtyä kielestä toiseen. Voit tehdä laskennan monimutkaisessa analyyttisessä geometriassa, jos se on helpompaa, ja palaa sitten algebralliseen geometriaan.

Muina aikoina algebrallinen geometria antaa sinulle mahdollisuuden tutkia eri versiota ongelmasta, joka voi antaa poikkeuksellisia tuloksia. Olen pyrkinyt ymmärtämään algebrallista geometriaa kokonaisuutena sen sijaan, että olisin keskittynyt vain sen monimutkaiseen geometriaan.

On mielenkiintoista, että ajattelet näitä eri matemaattisina kielinä.

Kieli on välttämätöntä. Ennen matematiikkaa on kieli. Kielen sisällä on jo paljon logiikkaa. Meillä on kaikki nämä loogiset säännöt matematiikassa: kvantitaattorit, negaatiot, sulkeet osoittamaan operaatioiden oikeaa järjestystä. Mutta on tärkeää ymmärtää, että kaikki nämä matemaatikoille elintärkeät säännöt ovat jo jokapäiväisessä kielessämme.

Voit verrata matemaattista lausetta runoon. Se on kirjoitettu sanoin. Se on kielen tuote. Meillä on vain matemaattiset esineemme, koska käytämme kieltä, koska käytämme jokapäiväisiä sanoja ja annamme niille tietyn merkityksen. Voit siis verrata runoutta ja matematiikkaa siinä mielessä, että ne molemmat luottavat täysin kieleen, mutta luovat silti jotain uutta.

Sinut veti matematiikkaan Grothendieckin algebrallisen geometrian vallankumouksen vuoksi. Hän loi pohjimmiltaan uuden kielen tällaisen matematiikan suorittamiseen.

Oikea.

Onko olemassa tapoja, joilla käyttämäsi matemaattinen kieli saattaa silti joutua muuttumaan?

Matemaatikot muokkaavat jatkuvasti kieltään. Harmi, koska se tekee vanhemmista lehdistä melko vaikeita lukea. Mutta muokkaamme aiempia matematiikkaa, koska ymmärrämme sen paremmin. Se antaa meille paremman tavan kirjoittaa ja todistaa lauseita. Näin kävi Grothendieckin tapauksessa, kun hän sovelsi nivelkohomologiaa geometriaan. Se on todella upea.

On tärkeää tutustua tutkittavaan kohteeseen siihen pisteeseen, että se on sinulle kuin äidinkieli. Kun teoria alkaa muodostua, oikeiden määritelmien keksiminen ja kaiken yksinkertaistaminen vie aikaa. Tai ehkä se on edelleen hyvin monimutkaista, mutta tulemme paljon paremmin tutuiksi määritelmiin ja esineisiin; niiden käyttö tulee luonnollisemmaksi.

Se on jatkuvaa kehitystä. Meidän on jatkuvasti kirjoitettava uudelleen ja yksinkertaistettava, pohdittava, mikä on tärkeää, mitä työkaluja on saatavilla.

Oletko joutunut ottamaan käyttöön uusia määritelmiä työssäsi?

Joskus. Sisään tekemäni työ with János Kollár, oli käännekohta, jossa pystyimme vihdoin löytämään oikean näkemyksen ongelmasta - tietyn määritelmän kautta. Tämä oli hyvin klassinen ongelma, ja työskentelimme klassisilla työkaluilla, mutta todistuksemme perustui todella tähän määrittelyyn.

Toisessa tapauksessa Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì ja minä osoittautuin mukavaksi luokittelutulos kohteista, joita kutsutaan hyper-Kähler-jakoiksi. Ja tämän todistuksen lähtökohtana oli invariantin käyttöönotto, jota kutsuimme alun perin "a.”[nauraa.]

Saatat aliarvioida määritelmien merkitystä matematiikassa, mutta sinun ei pitäisi.

Määritelmät ja kieli eivät ole ainoita ohjaavia voimia matematiikassa. Samoin olettamukset, jotka voivat olla totta tai eivät. Olet esimerkiksi tehnyt paljon työtä Hodge-oletuksen parissa, Clayn millennium-ongelman parissa, jonka ratkaisuun sisältyy 1 miljoonan dollarin palkkio.

Oletetaan, että sinulla on algebrallinen lajike, jonka haluat ymmärtää. Joten siirryt monimutkaisen analyyttisen geometrian puolelle ja pidät sitä sen sijaan niin kutsuttuna monimutkaisena moninaisena. Voit ajatella monimutkaista monimutkaista sen globaalin muodon tai topologian perusteella. On olemassa objekti, jota kutsutaan homologiaksi, joka antaa sinulle paljon topologista tietoa jakosarjasta. Mutta se ei ole niin helppoa määritellä.

Harkitse nyt algebrallisia alalajikkeita alkuperäisen lajikkeen sisällä. Jokaisella on topologinen invariantti, tietty topologinen informaatio, joka liittyy siihen. Mikä osa kompleksijoukon homologiasta voidaan saada katsomalla näitä topologisia invariantteja?

Hodgen arvelu antaa täsmällisen vastauksen. Ja vastaus on erittäin hienovarainen.

Joten matemaatikot eivät ole varmoja siitä, onko Hodge-oletus totta vai tarua?

Haluat uskoa Hodge-oletuksiin, koska se on sellainen opas algebrallisen geometrian tärkeimmissä teorioissa.

Haluaisit todella ymmärtää algebrallisen lajikkeen pääominaisuudet. Ja jos Hodgen arvelu on totta, se antaisi sinulle uskomattoman hallinnan lajikkeesi geometriaan. Saat erittäin tärkeää tietoa lajikkeiden rakenteesta.

On joitain vahvoja syitä uskoa siihen. Hodge-arvauksen erityistapauksia tunnetaan. Ja algebrallisista variaatioista on monia syviä lausuntoja, jotka viittaavat siihen, että Hodgen arvelu on totta.

Mutta sen todistamisessa ei ole edistytty lähes kokonaan. Todistin myös, ettei Hodgen arvelua ole mahdollista laajentaa toiseen ympäristöön, jossa se vaikuttaisi luonnolliselta. Joten se oli pieni järkytys.

Vuosikymmeniä työskenneltyäsi matemaatikona, tuntuuko sinusta siltä, ​​että teet matematiikkaa entistä syvempään?

Nyt kun olen vanhempi, minulla on paljon enemmän aikaa käyttää energiaani matematiikkaan, olla siinä todella läsnä. Minulla on myös parempi kyky käydä siellä täällä. Aiemmin, ehkä koska minulla oli vähemmän aikaa, minulla oli vähemmän liikkuvuutta – vaikka liian liikkuminen, ongelmien koskettaminen ilman, että niistä tarttui, ei myöskään ole hyvästä. Nyt olen kokeneempi ja voin rakentaa oman kuvani.

Sinulla on paljon parempi kuva siitä, mitä et tiedä, avoimista ongelmista. Sinulla on yksityiskohtainen näkymä alastasi ja sen rajoista. Ikääntymisessä täytyy olla joitain hyviä puolia. Ja vielä on niin paljon tehtävää.