Numeerinen mysteeri 19-luvulta selviää vihdoin

1950-luvun alussa tutkijaryhmä Institute for Advanced Studyssa aloitti korkean teknologian projektin. klo käskystä John von Neumannin ja Herman Goldstinen fyysikko Hedvig Selberg ohjelmoi IAS:n 1,700 tyhjiöputken tietokoneen laskemaan outoja matemaattisia summia, joiden juuret ulottuvat 18-luvulle.

Summat liittyivät neliöllisiin Gauss-summiin, jotka on nimetty kuuluisan matemaatikon Carl Friedrich Gaussin mukaan. Gauss valitsisi jonkin alkuluvun p, summaa sitten luvut muodossa $lateksi e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Neliölliset Gauss-summat ovat perustamisestaan ​​lähtien osoittautuneet korvaamattomiksi tehtäviin, kuten tietyntyyppisten yhtälöiden ratkaisujen laskemiseen. "On käynyt ilmi, että Gauss-summat ovat maagisia, että ne tekevät vain ihmeellisiä asioita, Jumala tietää mistä syystä", sanoi Jeffrey Hoffstein, matemaatikko Brownin yliopistosta.

19-luvun puolivälissä saksalainen matemaatikko Ernst Eduard Kummer leikki läheisen sukulaisensa kanssa näillä neliöllisillä Gauss-summilla, jossa n² eksponentissa korvataan an:lla n³. Kummer huomasi, että heillä oli tapana kerätä lähellä tiettyjä arvoja yllättävässä määrin - tämä innokas havainto johtaisi vuosisatoja kestäviin lukuteoriaan liittyviin tutkimuksiin.

Jos Gauss-kuutiosummia ei muokata yksinkertaisemmaksi kaavaksi, niiden arvoja on vaikea päätellä. Koska tällainen kaava puuttui, Kummer ryhtyi laskemaan kuutio Gauss-summia – ja laskemaan ja laskemaan. "Se oli hyvin yleistä, että he tekivät tällaisia ​​sankarillisia laskelmia käsin tuolloin", sanoi Matthew Young, matemaatikko Texas A&M -yliopistossa. Kynnettyään läpi 45 summaa, jotka vastasivat 45 ensimmäistä ei-triviaalia alkulukua, Kummer lopulta luovutti.

Tutkiessaan tuloksiaan Kummer huomasi jotain mielenkiintoista. Teoriassa summat voivat olla mitä tahansa väliltä −1 ja 1 ("normalisoinnin" jälkeen - jaettuna sopivalla vakiolla). Mutta kun hän teki laskelmia, hän huomasi, että ne olivat jakautuneet oudolla tavalla. Puolet tuloksista oli välillä ½ ja 1, ja vain kuudesosa niistä oli välillä -1 ja -½. Ne näyttivät ryhmittyvän noin 1.

Kummer esitti havaintonsa ja oletuksen: Jos onnistuisit jotenkin piirtämään kaikki äärettömän monet kuutioiset Gauss-summat, näkisit suurimman osan niistä välillä ½ ja 1; vähemmän välillä −½ ja ½; ja vielä vähemmän välillä −1 ja −½.

Selberg, von Neumann ja Goldstine ryhtyivät testaamaan tätä varhaisessa tietokoneessaan. Selberg ohjelmoi sen laskemaan kuutio Gauss-summat kaikille ei-triviaaleille alkuluvuille, jotka ovat alle 10,000 600 – yhteensä noin 1 summaa. (Goldstine ja von Neumann jatkoivat artikkelin kirjoittamista; hänen panoksensa jäisi lopulta tunnustusriville.) He havaitsivat, että kun alkuluvut kasvoivat, normalisoidut summat eivät enää niin taipuvaisia ​​ryhmittymään lähelle XNUMX:tä. vakuuttavia todisteita siitä, että Kummerin olettamus oli väärä, matemaatikot alkoivat yrittää ymmärtää kuutio Gaussin summia syvemmällä tavalla, joka ylitti pelkän laskemisen.

Tämä prosessi on nyt valmis. Vuonna 1978 matemaatikko Samuel Patterson uskalsi ratkaista Kummerin matemaattisen mysteerin, mutta ei pystynyt todistamaan sitä. Sitten viime syksynä kaksi matemaatikkoa Kalifornian teknillisestä korkeakoulusta todisti Pattersonin olettamuksen, mikä vihdoin päätti Kummerin pohdiskelut vuodelta 1846.

Patterson jäi ensimmäisen kerran koukkuun ongelmaan jatko-opiskelijana Cambridgen yliopistossa 1970-luvulla. Hänen arvelunsa motiivina oli se, mitä tapahtuu, kun numerot sijoitetaan satunnaisesti väliin −1 ja 1. Jos lasket yhteen N näistä satunnaisluvuista summan tyypillinen koko on $latexsqrt{N}$ (se voi olla positiivinen tai negatiivinen). Samoin, jos kuutio Gauss-summat olisivat hajallaan tasaisesti välillä −1 arvoon 1, voit odottaa N niistä yhteensä noin $latexsqrt{N}$.

Patterson lisäsi tämän huomioon ottaen N kuutio Gauss-summat jättäen huomioimatta (tällä hetkellä) vaatimuksen pysyä alkuluvuissa. Hän huomasi, että summa oli noin N^5/6 - suurempi kuin $latexsqrt{N}$ (joka voidaan kirjoittaa muodossa N^1/2), mutta vähemmän kuin N. Tämä arvo merkitsi sitä, että summat käyttäytyivät satunnaislukuina, mutta heikolla voimalla, joka painoi niitä kohti positiivisia arvoja, jota kutsutaan biasiksi. Kuten N kasvaa ja suurempi, satunnaisuus alkaisi hukuttaa harhaa, ja joten jos jotenkin katsoisi kaikkia äärettömän monta kuutiota Gauss-summaa kerralla, ne näyttäisivät jakautuneilta tasaisesti.

Tämä ilmeisesti selitti kaiken: Kummerin laskelmat, jotka osoittavat harhaa, sekä IAS-laskelmat, jotka kumosivat sen.

Mutta Patterson ei pystynyt tekemään samoja laskelmia alkuluvuille, joten vuonna 1978 hän kirjoitti sen virallisesti muistiin. otaksuma: Jos lasket yhteen alkulukujen Gaussin kuutiosummat, sinun pitäisi saada sama N^5/6 käyttäytymistä.

Pian sen jälkeen, kun Patterson oli puhunut työstään Kummerin ongelman parissa, jatko-opiskelija nimeltä Roger Heath-Brown otti Pattersoniin yhteyttä, joka ehdotti tekniikoiden sisällyttämistä alkulukuteoriasta. Kaksikko liittyi yhteen ja pian julkaistu edistysaskeleen ongelmassa, mutta he eivät silti pystyneet osoittamaan Pattersonin ennusteen N^5/6 bias oli tarkka alkulukujen kohdalla.

Seuraavien vuosikymmenten aikana edistystä on tapahtunut vain vähän. Lopulta vuosituhannen vaihteessa Heath-Brown teki toisen läpimurto, jossa hänen kehittämällään työkalulla, nimeltään kuutioinen iso seula, oli olennainen rooli.

Kuutiosuuren seulan käyttämiseksi Heath-Brown käytti sarjaa laskelmia suhteuttaakseen Gaussin kuutiosummien summan eri summaan. Tällä työkalulla Heath-Brown pystyi osoittamaan, että jos lasket yhteen kuutio Gaussin summat alkuluvuille, jotka ovat pienempiä kuin N, tulos ei voi olla paljon suurempi kuin N^5/6. Mutta hän ajatteli, että hän voisi tehdä paremmin - että itse seulaa voitaisiin parantaa. Jos voisi, se alentaisi rajaa N^5/6 tarkalleen, mikä todistaa Pattersonin oletuksen. Lyhyellä tekstirivillä hän hahmotteli, mikä hänen mielestään seulalle olisi paras mahdollinen kaava.

Vaikka tämä uusi työkalu oli käytössä, matemaatikot eivät kyenneet edistymään pidemmälle. Sitten kaksi vuosikymmentä myöhemmin Caltechin postdocin onnekas kohtaaminen Aleksanteri Dunn ja hänen esimiehensä Maksim Radziwiłł merkitsi lopun alkua. Ennen kuin Dunn aloitti tehtävässään syyskuussa 2020, Radziwiłł ehdotti, että he työskentelevät yhdessä Pattersonin arvelun parissa. Mutta Covid-19-pandemian jatkuessa tutkimusta ja opetusta jatkettiin etänä. Lopulta tammikuussa 2021 sattuma – tai kohtalo – puuttui asiaan, kun kaksi matemaatikot törmäsivät yllättäen toisiinsa Pasadenan parkkipaikalla. "Puhuimme sydämellisesti ja sovimme, että meidän pitäisi alkaa tavata ja puhua matematiikasta", Dunn kirjoitti sähköpostissa. Maaliskuuhun mennessä he työskentelivät ahkerasti Pattersonin arvelujen todisteiden parissa.

"Se oli jännittävää työskennellä, mutta erittäin suuri riski", Dunn sanoi. "Tarkoitan, muistan tulleeni toimistolleni joka aamu kello 5 neljän tai viiden kuukauden ajan."

Dunn ja Radziwiłł, kuten Heath-Brown ennen heitä, pitivät kuutiokokoista suurta seulaa välttämättömänä todisteena. Mutta kun he käyttivät kaavaa, jonka Heath-Brown oli kirjoittanut vuoden 2000 kirjoitukseensa – jonka hän uskoi olevan paras mahdollinen seula, olettamus, jonka lukuteoriayhteisö oli alkanut uskomaan todeksi – he ymmärsivät, että jokin ei ollut oikein. . "Pystyimme todistamaan, että 1 = 2 erittäin, erittäin monimutkaisen työn jälkeen", sanoi Radziwiłł.

Siinä vaiheessa Radziwiłł oli varma, että virhe oli hänen. "Olin tavallaan vakuuttunut siitä, että meillä on pohjimmiltaan virhe todisteissamme." Dunn vakuutti hänet toisin. Kuutioisoa seulaa ei odotusten vastaisesti voitu parantaa.

Dunn ja Radziwiłł kalibroivat uudelleen lähestymistapansa Pattersonin olettamukseen. Tällä kertaa he onnistuivat.

"Luulen, että se oli tärkein syy siihen, miksi kukaan ei tehnyt tätä, koska tämä [Heath-Brownin] olettamus vei kaikkia harhaan", Radziwiłł sanoi. "Luulen, että jos kertoisin Heath-Brownille, että hänen olettamuksensa on väärä, hän luultavasti keksisi, kuinka se tehdään."

Dunn ja Radziwiłł julkaisivat artikkelinsa 15. syyskuuta 2021. Lopulta heidän todisteensa perustui yleistettyyn Riemannin hypoteesiin, joka on tunnetusti todistamaton matematiikan olettamus. Mutta muut matemaatikot pitävät tätä vain pienenä haittapuolena. "Haluaisimme päästä eroon hypoteesista. Mutta olemme iloisia saadessamme tuloksen, joka on joka tapauksessa ehdollinen”, sanoi Heath-ruskea, joka on nyt emeritusprofessori Oxfordin yliopistossa.

Heath-Brownille Dunnin ja Radziwiłłin työ on enemmän kuin pelkkä todiste Pattersonin olettamuksesta. Odottamattomalla näkemyksellään kuutiosuureen seulaan heidän paperinsa toi yllättävän lopun tarinalle, johon hän on ollut osa vuosikymmeniä. "Olen iloinen, että en todellakaan kirjoittanut paperilleni: 'Olen varma, että tästä voidaan päästä eroon'", hän sanoi viitaten seulan palaan, jonka Dunn ja Radziwiłł löysivät välttämättömäksi. Sanoin vain: 'Olisi hienoa, jos tästä päästäisiin eroon. Näyttää mahdolliselta, että sinun pitäisi pystyä. Ja olin väärässä – en ensimmäistä kertaa."