Oletusten torni, joka lepää neulan päällä | Quanta-lehti

Matematiikassa yksinkertainen ongelma ei usein ole sitä miltä se näyttää. Aiemmin tänä kesänä Quanta raportoi yhdestä tällaisesta ongelmasta: Mikä on pienin alue, jonka voit lakaista pois pyörittämällä äärettömän ohutta neulaa kaikkiin mahdollisiin suuntiin? Pyöritä sitä keskipisteensä ympäri kuin kellotaulu, ja saat ympyrän. Mutta käännä sitä älykkäämmin, niin voit peittää mielivaltaisen pienen osan tilasta. Jos et vaadi neulaa liikkumaan yhdellä jatkuvalla liikkeellä, vaan asetat neulan joka suuntaan, voit rakentaa neulojen järjestelyn, joka ei kata lainkaan aluetta.

Matemaatikot kutsuvat näitä järjestelyjä Kakeya-joukoiksi. Vaikka he tietävät, että tällaiset sarjat voivat olla pieniä pinta-alaltaan (tai tilavuudeltaan, jos järjestät neulat kolmeen tai useampaan ulottuvuuteen), he uskovat, että sarjojen on aina oltava suuria, jos niiden koko mitataan Hausdorffin mittarilla. ulottuvuus.

Matemaatikot eivät ole vielä todistaneet tätä väitettä, joka tunnetaan nimellä Kakeya-oletus. Mutta vaikka se on näennäisesti yksinkertainen kysymys neuloista, "näiden Kakeya-sarjojen geometria tukee monia kysymyksiä osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, harmonisessa analyysissä ja muilla aloilla", sanoi. Jonathan Hickman Edinburghin yliopistosta.

Kakeya-oletus on kolmen keskeisen harmonisen analyysin ongelman hierarkian pohjalla – matematiikan haara, joka tutkii, kuinka funktioita voidaan esittää jaksollisten funktioiden, kuten säännöllisesti värähtelevien siniaaltojen, summina.

Seuraava askel ylöspäin tässä hierarkiassa on "rajoitus"-oletus. Jos se on totta, niin on myös Kakeyan arvelu. (Tämä tarkoittaa myös sitä, että jos Kakeya-oletus osoittautuu vääräksi, rajoitusarvaus ei voi olla totta.) Restriktioarvaus puolestaan ​​​​implisoituu ns. Bochner-Rieszin arvelulla. Ja aivan huipulla istuu paikallinen tasoittava arvelu.

Kaksi ensimmäistä arvelua käsittelevät Fourier-muunnoksen käyttäytymistä, harmonisen analyysin tekniikkaa, jolla lasketaan, kuinka melkein mikä tahansa funktio ilmaistaan ​​siniaaltojen summana. Se on yksi tehokkaimmista fyysikkojen ja insinöörien käytettävissä olevista matemaattisista työkaluista. Fourier-muunnolla on ollut keskeinen rooli differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, kvanttimekaanisten ideoiden, kuten Heisenbergin epävarmuusperiaatteen, ilmaisussa sekä signaalien analysoinnissa ja käsittelyssä – mahdollistaen nykyaikaisten matkapuhelimien kaltaiset asiat.

Koska jokainen hierarkian väite viittaa sen alapuolelle, jos Kakeya-oletus on epätosi, mikään muu oletus ei ole totta. Koko torni kaatuu. "Voit luoda superhirviön vastaesimerkin, joka rikkoisi monet olettamukset", Hickman sanoi.

Toisaalta Kakeya-oletuksen todistaminen todeksi ei automaattisesti merkitsisi noiden muiden olettamusten totuutta - mutta se antaisi matemaatikoille tärkeitä näkemyksiä siitä, kuinka edetä.

Niinpä "lähes puolet tuntemastani harmonisten analyysien yhteisöstä työskentelee tämän ja siihen liittyvien ongelmien parissa tai on työskennellyt niiden parissa jossain vaiheessa", sanoi. Shaoming Guo Wisconsinin yliopistosta, Madisonista.

Äskettäin matemaatikot ovat havainneet yllätykseksi, että heidän kehittämiään tekniikoita näiden ongelmien ratkaisemiseksi voidaan käyttää myös merkittävien tulosten todistamiseen näennäisesti toisiinsa liittymättömällä lukuteorian alalla. "Se on paljon yleisempi ilmiö kuin ihmiset luulivat", Guo sanoi.

Layer Cake

Tarina alkaa Fourier-muunnoksella. "Haluat hajottaa [funktiot] pieniksi paloiksi, analysoida niiden vuorovaikutusta ja lisätä ne takaisin yhteen", sanoi Yumeng Ou Pennsylvanian yliopistosta. Yksiulotteisia funktioita varten – käyriä, jotka voit piirtää paperille – matemaatikoilla on hyvä käsitys siitä, kuinka tämä tehdään, vaikka heidän olisi käännettävä Fourier-muunnos käyttämällä vain osaa palasista.

Mutta kahdessa tai useammassa ulottuvuudessa asiat voivat mennä sekaisin.

Vuonna 1971, Charlie Fefferman, matemaatikko Princetonin yliopistosta, keksi kuinka Kakeya-sarjoja käytetään osoittamaan, että Fourier-muunnoksen kääntäminen voi johtaa outoihin ja yllättäviin tuloksiin useissa ulottuvuuksissa.

Matemaatikot löysivät korjauksen Bochner-Rieszin arvelun muodossa, joka pohjimmiltaan väittää, että on olemassa kehittyneempiä tapoja palauttaa alkuperäinen funktio, jotka eivät hajoa, kuten Feffermanin esimerkki. Mutta tämä korjaus riippui Kakeyan arvelun totuudesta.

Jos se on totta, "taajuuksien lyhentäminen johtaa vain pieniin virheisiin", sanoi Betsy Stovall Wisconsinin yliopistosta, Madisonista. "Se tarkoittaa, että pienet virheet eivät räjähdä."

Siitä alkoi hierarkia. Myöhemmin matemaatikot löysivät toisen tärkeän yhteyden: Jos Bochner-Rieszin olettamus piti paikkansa, se sisälsi myös väitteen, jota kutsutaan rajoitusarvaukseksi. Tämä olettamus väittää, että jos aloitat Fourier-muunnoksen rajoitetulla versiolla - "rajoittamalla" tarkastelemasi arvot vain niihin, jotka elävät tietyillä pinnoilla - tämä voi silti antaa sinulle tärkeitä tietoja alkuperäisestä funktiosta. Ja kävi ilmi, että jos rajoitusarvaus oli totta, niin oli myös Kakeya-arvaus. (Tämä sijoitti Kakeyan ja Bochner-Rieszin välisen rajoitusarvauksen torniin.)

Hierarkian kruunaava ongelma, jota kutsutaan paikalliseksi tasoitusoletukseksi, ei käsittele suoraan Fourier-muunnosta, vaan pikemminkin asettaa rajat aaltojen käyttäytymistä kuvaavien yhtälöiden ratkaisujen koosta.

Voit ajatella tätä myös Kakeya-sarjan viivojen geometrian kannalta. Voit jakaa aaltoyhtälön yleisen ratkaisun joukoksi paloiksi, jotka liikkuvat eri suuntiin ja ovat vuorovaikutuksessa keskenään eri tavoin ajan myötä. Jokainen näistä kappaleista muistuttaa matemaattisesti Kakeya-sarjan neulaa. Kakeya-oletus väittää, että tällaisessa kokoonpanossa ei voi olla liikaa päällekkäisyyttä. Tässä fyysisessä kontekstissa päällekkäisyydet vastaisivat epäsäännöllisen ja odottamattoman käyttäytymisen jatkumista ratkaisussa. Esimerkiksi ääniaalto voi vahvistua monilla alueilla monina eri aikoina.

Paikallinen tasoitusarvaus sanoo, että tällaisten epäsäännöllisyyksien pitäisi laskea keskiarvo. "Se on kuin ottaisi rahoitusmarkkinoiden keskiarvon", sanoi Ciprian Demeter Indiana University Bloomingtonista. "Kaatumisia voi tulla siellä täällä, mutta jos sijoitat rahasi ja jäät eläkkeelle 40 vuoden kuluttua, on hyvät mahdollisuudet saada hyviä sijoituksia."

Mutta kuten kaikki hierarkian olettamukset, se riippuu Kakeya-arvauksen totuudesta. "Ajatuksena on, että jos sulkee pois paljon risteyksiä Kakeya-sarjoista, se tarkoittaa, että voit sulkea pois nämä tilanteet, joissa ratkaisusi osat muodostavat yhdessä jonkinlaisen räjähdyksen", Stovall sanoi.

Tämä olettamus on joukosta vaikein: Kakeya-, restriktio- ja Bochner-Riesz-ongelmien kaksiulotteiset tapaukset ratkaistiin vuosikymmeniä sitten, mutta kaksiulotteinen paikallinen tasoitusarvaus todistettiin vasta muutama vuosi sitten. (Korkeammissa ulottuvuuksissa kaikki nämä ongelmat jäävät auki.)

Mutta huolimatta paikallisen tasoittavan arvelun todistamisen hitaasta edistymisestä, työ sen parissa on johtanut valtavaan edistykseen muualla. Yrittäessään puuttua oletuksiin matemaatikko Thomas Wolff esitteli vuonna 1999 menetelmän, joka tunnetaan nimellä decoupling. Siitä lähtien tämä tekniikka on alkanut elää omaa elämäänsä: sitä on käytetty suuriin läpimurtoihin ei vain harmonisten analyysien, vaan numeroteorian, geometrian ja muiden alojen osalta. "Käyttämällä irrotustuloksia teillä on nyt maailmanennätykset hyvin kuuluisissa, tärkeissä ongelmissa", sanoi Christopher Sogge Johns Hopkinsin yliopistosta, joka muotoili ensimmäisen kerran paikallisen tasoitusoletuksen 1990-luvulla. Erotusta on käytetty esimerkiksi laskemaan kuinka monella tavalla kokonaisluku voidaan esittää neliöiden, kuutioiden tai muuna potenssina.

Kuten Demeter sanoi, nämä tulokset ovat mahdollisia, koska "voimme katsoa numeroita aaltoina". Se, että kaikki nämä ongelmat liittyvät Kakeya-neulasarjoihin, on "kiehtovaa", hän lisäsi. "Et usko, että niin paljon kauneutta, vaikeutta ja tärkeyttä voidaan kätkeä johonkin, joka voidaan muotoilla viivaosien avulla."