esittely
Matemaatikko on vuosisatojen ajan pyrkinyt ymmärtämään ja mallintamaan nesteiden liikettä. Yhtälöt, jotka kuvaavat, kuinka väreet rypistävät lammen pintaa, ovat myös auttaneet tutkijoita ennustamaan säätä, suunnittelemaan parempia lentokoneita ja luonnehtimaan veren virtausta verenkiertojärjestelmän läpi. Nämä yhtälöt ovat petollisen yksinkertaisia, kun ne on kirjoitettu oikealla matemaattisella kielellä. Niiden ratkaisut ovat kuitenkin niin monimutkaisia, että niitä koskevien peruskysymysten ymmärtäminen voi olla kohtuuttoman vaikeaa.
Ehkä vanhin ja näkyvin näistä yhtälöistä, jonka Leonhard Euler muotoili yli 250 vuotta sitten, kuvaa ihanteellisen, kokoonpuristumattoman nesteen virtausta: nestettä, jolla ei ole viskositeettia tai sisäistä kitkaa, jota ei voida pakottaa pienempään tilavuuteen. "Lähes kaikki epälineaariset nesteyhtälöt ovat tavallaan johdettuja Euler-yhtälöistä", sanoi Tarek Elgindi, matemaatikko Duken yliopistossa. "Voisi sanoa, että he ovat ensimmäisiä."
Silti paljon jää epäselväksi Euler-yhtälöistä - mukaan lukien ovatko ne aina tarkka malli ihanteellisesta nestevirtauksesta. Yksi nestedynamiikan keskeisistä ongelmista on selvittää, epäonnistuvatko yhtälöt koskaan, jolloin tuloksena on järjettömiä arvoja, jotka tekevät niistä kykenemättömiä ennustamaan nesteen tulevia tiloja.
Matemaatikko on pitkään epäillyt, että on olemassa alkuehtoja, jotka aiheuttavat yhtälöiden hajoamisen. Mutta he eivät ole pystyneet todistamaan sitä.
In esipainos Lähetetty verkossa viime kuussa, pari matemaatikot ovat osoittaneet, että tietty versio Euler-yhtälöistä todellakin joskus epäonnistuu. Todistus merkitsee suurta läpimurtoa – ja vaikka se ei täysin ratkaise yhtälöiden yleisemmän version ongelmaa, se tarjoaa toivoa, että tällainen ratkaisu on vihdoin käsillä. "Se on hämmästyttävä tulos", sanoi Tristan Buckmaster, matemaatikko Marylandin yliopistosta, joka ei ollut mukana työhön. "Kirjallisuudessa ei ole vastaavia tuloksia."
On vain yksi saalis.
177-sivuinen todiste – vuosikymmeniä kestäneen tutkimusohjelman tulos – hyödyntää merkittävästi tietokoneita. Tämä todennäköisesti tekee muiden matemaatikoiden vaikeaksi varmistaa sen. (Itse asiassa he ovat vielä tekemässä sitä, vaikka monet asiantuntijat uskovatkin, että uusi työ osoittautuu oikeaksi.) Se pakottaa heidät myös pohtimaan filosofisia kysymyksiä siitä, mitä "todistus" on ja mitä se tulee tarkoita sitä, jos ainoa elinkelpoinen tapa ratkaista tällaisia tärkeitä kysymyksiä jatkossa on tietokoneiden avulla.
Pedon näkeminen
Periaatteessa, jos tiedät kunkin nesteen hiukkasen sijainnin ja nopeuden, Euler-yhtälöiden pitäisi pystyä ennustamaan, kuinka neste kehittyy koko ajan. Mutta matemaatikot haluavat tietää, onko näin todella. Ehkä joissakin tilanteissa yhtälöt etenevät odotetusti, tuottaen tarkat arvot nesteen tilaan kulloinkin, vain jos jokin näistä arvoista nousee yhtäkkiä pilviin äärettömään. Siinä vaiheessa Euler-yhtälöiden sanotaan synnyttävän "singulaarisuuden" - tai, mikä dramaattisemmin, "räjähtää".
Kun ne saavuttavat tämän singulaarisuuden, yhtälöt eivät enää pysty laskemaan nesteen virtausta. Mutta "muutama vuosi sitten se, mitä ihmiset pystyivät tekemään, jäi hyvin, hyvin kaukana [todistaa räjähdyksen]", sanoi Charlie Fefferman, matemaatikko Princetonin yliopistosta.
Se muuttuu vielä monimutkaisemmaksi, jos yrität mallintaa nestettä, jolla on viskositeetti (kuten melkein kaikki todellisen maailman nesteet tekevät). Clay Mathematics Instituten miljoonan dollarin Millennium-palkinto odottaa jokaista, joka pystyy todistamaan, esiintyykö Navier-Stokesin yhtälöissä samanlaisia vikoja, jotka ovat Euler-yhtälöiden yleistys, joka selittää viskositeetin.
Vuonna 2013, Thomas Hou, matemaatikko Kalifornian teknologiainstituutista, ja Guo Luo, nyt Hongkongin Hang Seng -yliopistossa, ehdotti skenaariota, jossa Eulerin yhtälöt johtaisivat singulaarisuuteen. He kehittivät tietokonesimuloinnin nesteestä sylinterissä, jonka yläpuoli pyörii myötäpäivään ja alapuoli vastapäivään. Simulaatiota suoritettaessa monimutkaisemmat virrat alkoivat liikkua ylös ja alas. Tämä puolestaan johti outoon käyttäytymiseen sylinterin rajalla, jossa vastakkaiset virtaukset kohtasivat. Nesteen pyörteisyys - pyörimismitta - kasvoi niin nopeasti, että se näytti olevan valmis räjähtämään.
Houn ja Luon työ oli vihjailevaa, mutta ei oikea todiste. Tämä johtuu siitä, että tietokoneen on mahdotonta laskea äärettömiä arvoja. Se voi päästä hyvin lähelle singulaarisuuden näkemistä, mutta se ei todellisuudessa saavuta sitä – mikä tarkoittaa, että ratkaisu saattaa olla hyvin tarkka, mutta se on silti likimääräinen. Ilman matemaattisen todisteen tukea pyörteen arvo saattaa vain näyttää kasvavan äärettömään jonkin simulaation artefaktin takia. Ratkaisut saattavat sen sijaan kasvaa valtaviin määriin ennen kuin ne taas laantuvat.
Tällaisia käänteitä oli tapahtunut aiemmin: Simulaatio osoittaisi, että yhtälöiden arvo räjähti, vain kehittyneemmät laskentamenetelmät osoittavat toisin. "Nämä ongelmat ovat niin herkkiä, että tie on täynnä aikaisempien simulaatioiden hylkyjä", Fefferman sanoi. Itse asiassa näin Hou aloitti tällä alueella: useat hänen aikaisemmista tuloksistaan kielsivät hypoteettisten singulariteettien muodostumisen.
Silti, kun hän ja Luo julkaisivat ratkaisunsa, useimmat matemaatikot pitivät sitä erittäin todennäköisenä todellisena singulariteettina. "Se oli erittäin huolellinen, erittäin tarkka", sanoi Vladimir Sverak, matemaatikko Minnesotan yliopistosta. "He tekivät todella paljon vaivaa varmistaakseen, että tämä oli todellinen skenaario." Elgindin, Sverakin ja muiden myöhempiä töitä vain vahvisti tätä vakaumusta.
Mutta todiste oli käsittämätön. "Olet nähnyt pedon", Fefferman sanoi. "Sitten yritä saada se kiinni." Tämä tarkoitti sen osoittamista, että Houn ja Luon niin huolellisesti simuloima likimääräinen ratkaisu on tietyssä matemaattisessa mielessä hyvin, hyvin lähellä yhtälöiden tarkkaa ratkaisua.
Nyt, yhdeksän vuotta tuon ensimmäisen havainnon jälkeen, Hou ja hänen entinen opiskelijansa Jiajie Chen ovat vihdoin onnistuneet todistamaan tuon läheisen singulariteetin olemassaolon.
Muutto samanlaiseen maahan
Hou, johon myöhemmin liittyi Chen, käytti hyväkseen sitä tosiasiaa, että lähemmin tarkasteltuna vuoden 2013 likimääräisellä ratkaisulla näytti olevan erityinen rakenne. Kun yhtälöt kehittyivät ajan myötä, ratkaisu osoitti niin sanotun itsekaltaisen kuvion: sen muoto näytti myöhemmin paljon aikaisemmalta, vain skaalattiin uudelleen tietyllä tavalla.
Tämän seurauksena matemaatikoiden ei tarvinnut yrittää tarkastella itse singulaarisuutta. Sen sijaan he voisivat tutkia sitä epäsuorasti keskittymällä aikaisempaan ajankohtaan. Lähentämällä sitä ratkaisun osaa oikealla nopeudella - ratkaisun itsensä samankaltaisen rakenteen perusteella - he voisivat mallintaa mitä tapahtuisi myöhemmin, mukaan lukien itse singulaarisuus.
Kesti muutaman vuoden, ennen kuin he löysivät itseään vastaavan analogin vuoden 2013 räjähdysskenaariolle. (Aiemmin tänä vuonna toinen matemaatikoiden ryhmä, johon kuului Buckmaster, käytti erilaisia menetelmiä löytää samanlainen likimääräinen ratkaisu. He käyttävät tällä hetkellä tätä ratkaisua kehittääkseen itsenäisen todisteen singulaarisuuden muodostumisesta.)
Suunnilleen samankaltaisen ratkaisun käsissään Houn ja Chenin oli osoitettava, että tarkka ratkaisu on olemassa lähellä. Matemaattisesti tämä vastaa sen todistamista, että heidän likimääräinen itsensä samankaltainen ratkaisu on stabiili – että vaikka häiritsisit sitä hieman ja sitten kehität yhtälöt noista häiriintyneistä arvoista alkaen, ei olisi mitään keinoa paeta pieneltä naapurustolta likimääräinen ratkaisu. "Se on kuin musta aukko", Hou sanoi. "Jos aloitat lähellä olevasta profiilista, sinut imetään."
Mutta yleinen strategia oli vain yksi askel kohti ratkaisua. "Huoliisilla yksityiskohdilla on väliä", Fefferman sanoi. Kun Hou ja Chen viettivät seuraavat useat vuodet näiden yksityiskohtien selvittämiseen, he huomasivat, että heidän täytyi jälleen luottaa tietokoneisiin - mutta tällä kertaa täysin uudella tavalla.
Hybridi lähestymistapa
Heidän ensimmäisten haasteidensa joukossa oli selvittää tarkka väite, joka heidän oli todistettava. He halusivat näyttää, että jos he ottaisivat minkä tahansa arvojoukon lähellä likimääräistä ratkaisuaan ja liittäisivät sen yhtälöihin, tulos ei voisi harhailla kauas. Mutta mitä tarkoittaa, että syöte on "lähellä" likimääräistä ratkaisua? Heidän oli täsmennettävä tämä matemaattisessa lausunnossa, mutta tässä yhteydessä on monia tapoja määritellä etäisyyden käsite. Jotta heidän todisteensa toimisi, heidän oli valittava oikea.
"Sen on mitattava erilaisia fyysisiä vaikutuksia", sanoi Rafael de la Llave, matemaatikko Georgia Institute of Technologyssa. "Joten se on valittava käyttämällä syvällistä ongelman ymmärtämistä."
Kun heillä oli oikea tapa kuvata "läheisyyttä", Houn ja Chenin oli todistettava väite, joka kiteytyi monimutkaiseen epätasa-arvoon, joka sisälsi sekä uudelleen skaalattujen yhtälöiden että likimääräisen ratkaisun termejä. Matemaatikot joutuivat varmistamaan, että kaikkien näiden termien arvot tasapainottuivat johonkin hyvin pieneen: Jos yksi arvo päätyi suureksi, muiden arvojen piti olla negatiivisia tai pitää kurissa.
"Jos teet jotain liian suuren tai vähän liian pienen, koko asia hajoaa", sanoi Javier Gómez-Serrano, matemaatikko Brownin yliopistosta. "Se on siis erittäin, erittäin huolellista ja herkkää työtä."
"Se on todella kovaa taistelua", Elgindi lisäsi.
Saadakseen tiukat rajat, joita he tarvitsivat kaikilla näillä eri ehdoilla, Hou ja Chen jakoivat epätasa-arvon kahteen suureen osaan. He pystyivät hoitamaan ensimmäisen osan käsin tekniikoilla, kuten tekniikalla, joka juontaa juurensa 18-luvulle, jolloin ranskalainen matemaatikko Gaspard Monge etsi optimaalista tapaa kuljettaa maaperää rakentaakseen linnoituksia Napoleonin armeijalle. "Tällaisia asioita on tehty ennenkin, mutta minusta oli hämmästyttävää, että [Hou ja Chen] käyttivät sitä tähän", Fefferman sanoi.
Siitä jäi jäljelle toinen osa epätasa-arvosta. Sen ratkaiseminen vaatisi tietokoneen apua. Ensinnäkin, oli niin paljon laskelmia, jotka piti tehdä ja niin paljon tarkkuutta vaadittiin, että "kynällä ja paperilla tehtävä työmäärä olisi huikea", de la Llave sanoi. Saadakseen eri termejä tasapainoon matemaatikot joutuivat suorittamaan useita optimointitehtäviä, jotka ovat suhteellisen helppoja tietokoneille mutta äärimmäisen aikaa vieviä ihmisille. Osa arvoista riippui myös likimääräisen ratkaisun määristä; koska se laskettiin tietokoneella, oli yksinkertaisempaa käyttää myös tietokonetta näiden lisälaskutoimitusten suorittamiseen.
"Jos yrität tehdä joitakin näistä arvioista manuaalisesti, aiot yliarvioida jossain vaiheessa, ja sitten häviät", sanoi Gómez-Serrano. "Luvut ovat niin pieniä ja tiukkoja... ja marginaali on uskomattoman ohut."
Mutta koska tietokoneet eivät pysty manipuloimaan ääretöntä määrää numeroita, pieniä virheitä tapahtuu väistämättä. Houn ja Chenin täytyi seurata näitä virheitä huolellisesti varmistaakseen, etteivät ne häirinneet tasapainottelun loppua.
Lopulta he pystyivät löytämään rajat kaikille termeille ja saattaneet todistuksen valmiiksi: Yhtälöt olivat todellakin tuottaneet singulaarisuuden.
Todistus tietokoneella
Jää avoimeksi, voivatko monimutkaisemmat yhtälöt - Euler-yhtälöt ilman sylinterimäistä rajaa ja Navier-Stokes-yhtälöt - kehittää singulaarisuuden. "Mutta [tämä työ] ainakin antaa minulle toivoa", Hou sanoi. "Näen tien eteenpäin, tavan ehkä jopa lopulta ratkaista koko vuosituhannen ongelma."
Samaan aikaan Buckmaster ja Gómez-Serrano työskentelevät tietokoneavusteisen todistuksen parissa – sellaisen, jonka he toivovat olevan yleisempiä ja siten kykeneviä ratkaisemaan Houn ja Chenin ratkaisseman ongelman lisäksi myös monia muita.
Nämä pyrkimykset merkitsevät kasvavaa suuntausta virtausdynamiikan alalla: tietokoneiden käyttöä tärkeiden ongelmien ratkaisemiseen.
"Useilla eri matematiikan aloilla se tapahtuu yhä useammin", sanoi Susan Friedlander, matemaatikko Etelä-Kalifornian yliopistosta.
Mutta nestemekaniikassa tietokoneavusteiset todistukset ovat vielä suhteellisen uusi tekniikka. Itse asiassa, mitä tulee lausumiin singulaarisuuden muodostumisesta, Houn ja Chenin todiste on ensimmäinen laatuaan: aiemmat tietokoneavusteiset todistukset pystyivät ratkaisemaan vain alueen leluongelmia.
Sellaiset todisteet eivät ole niin kiistanalaisia kuin "makuasioita", sanoi Peter Constantin Princetonin yliopistosta. Matemaatikot ovat yleensä samaa mieltä siitä, että todisteen on saatava muut matemaatikot vakuuttuneiksi siitä, että jokin päättely on oikea. Mutta monet väittävät, että sen pitäisi myös parantaa heidän ymmärrystään siitä, miksi tietty väite on totta, sen sijaan, että se vain vahvistaisi sen olevan oikein. "Opimmeko jotain täysin uutta vai tiedämmekö vain vastauksen kysymykseen?" Elgindi sanoi. "Jos katsot matematiikkaa taiteena, tämä ei ole niin esteettisesti miellyttävää."
"Tietokone voi auttaa. Se on ihmeellinen. Se antaa minulle näkemyksen. Mutta se ei anna minulle täyttä ymmärrystä", Constantin lisäsi. "Ymmärrys tulee meiltä."
Omalta osaltaan Elgindi toivoo edelleen keksivänsä vaihtoehtoisen todisteen räjäyttämisestä kokonaan käsin. "Olen kaiken kaikkiaan onnellinen, että tämä on olemassa", hän sanoi Houn ja Chenin työstä. "Mutta pidän sitä enemmän motivaationa yrittää tehdä se vähemmän tietokoneista riippuvaisella tavalla."
Toiset matemaatikot pitävät tietokoneita tärkeänä uutena työkaluna, jonka avulla voidaan hyökätä aiemmin vaikeasti ratkaistaviin ongelmiin. "Nyt työ ei ole enää vain paperia ja kynää", Chen sanoi. "Sinulla on mahdollisuus käyttää jotain tehokkaampaa."
Hänen ja muiden mukaan (mukaan lukien Elgindi, vaikka hän pitikin mieluummin todisteiden kirjoittamisesta käsin), on hyvä mahdollisuus, että ainoa tapa ratkaista suuria virtausdynamiikan ongelmia – toisin sanoen ongelmia, joihin liittyy yhä monimutkaisempia yhtälöitä – saattaa olla luottaa. paljon tietokoneavusta. "Minusta näyttää siltä, että yrittäminen tehdä tämän ilman tietokoneavusteisten todisteiden käyttöä on kuin yhden tai mahdollisesti kahden käden sitomista selän taakse", Fefferman sanoi.
Jos näin käy ja "sinulla ei ole mitään vaihtoehtoa", Elgindi sanoi, "niiden ihmisten… kuten minä, jotka sanoisivat, että tämä ei ole optimaalista, pitäisi olla hiljaa." Tämä merkitsisi myös sitä, että useampien matemaatikoiden olisi alettava oppia tietokoneavusteisten todisteiden kirjoittamiseen tarvittavia taitoja - mikä Houn ja Chenin työ toivottavasti inspiroi. "Luulen, että monet ihmiset vain odottivat jonkun ratkaisevan tällaisen ongelman ennen kuin he panivat aikaansa tähän lähestymistapaan", Buckmaster sanoi.
Kun kuitenkin keskustellaan siitä, missä määrin matemaatikoiden tulisi luottaa tietokoneisiin, "ei kyse ole siitä, että sinun pitäisi valita puoli", Gómez-Serrano sanoi. "[Houn ja Chenin] todistus ei toimisi ilman analyysiä, eikä todistus toimisi ilman tietokoneen apua. … Mielestäni arvo on se, että ihmiset voivat puhua kahta kieltä.”
Sen myötä de la Llave sanoi: "Kaupungissa on uusi peli."
