Kuinka suuri Infinity on?

Marvel-menosarjan lopussa Kostajat: Endgame, Valmiiksi tallennettu hologrammi Tony Starkista jättää hyvästit nuorelle tyttärelleen sanomalla: "Rakastan sinua 3,000." Koskettava hetki toistaa aikaisempaa kohtausta, jossa kaksikko osallistuu leikkisään nukkumaanmenorituaaliin mitatakseen rakkauttaan toisiaan kohtaan. Starkia näyttelevän näyttelijän Robert Downey Jr.:n mukaan linja sai inspiraationsa samanlaisista vaihdoista hänen omien lastensa kanssa.

Peli voi olla hauska tapa tutkia suuria määriä:

"Rakastan sinua 10."

"Mutta rakastan sinua 100."

"No, minä rakastan sinua 101!"

Juuri näin "googolplex" tuli suosittu sana kotonani. Mutta me kaikki tiedämme, mihin tämä väite lopulta johtaa:

"Rakastan sinua äärettömästi!"

"Todellakin? Rakastan sinua ääretön plus 1!”

Olipa kyseessä leikkikentällä tai nukkumaan mennessään, lapset kohtaavat äärettömyyden käsitteen jo kauan ennen matematiikan oppituntia, ja he ymmärrettävästi kiehtovat tätä salaperäistä, monimutkaista ja tärkeää käsitettä. Jotkut näistä lapsista kasvavat äärettömyydestä kiinnostuneiksi matemaatikoiksi, ja jotkut heistä löytävät uusia ja yllättäviä asioita äärettömyydestä.

Saatat tietää, että jotkut lukujoukot ovat äärettömän suuria, mutta tiesitkö, että jotkut äärettömät ovat suurempia kuin toiset? Ja ettemme ole varmoja, onko näiden kahden välissä muita äärettömyyksiä, jotka tunnemme parhaiten? Matemaatikot ovat pohtineet tätä toista kysymystä ainakin vuosisadan ajan, ja jotkut viimeaikaiset työt ovat muuttaneet ihmisten tapaa ajatella asiasta.

Jotta voidaan ratkaista äärettömien joukkojen kokoa koskevia kysymyksiä, aloitetaan joukoista, jotka on helpompi laskea. Joukko on kokoelma objekteja tai elementtejä, ja äärellinen joukko on vain joukko, joka sisältää äärellisen monta objektia.

Äärillisen joukon koon määrittäminen on helppoa: Laske vain sen sisältämien elementtien määrä. Koska sarja on rajallinen, tiedät, että lopetat lopulta laskemisen, ja kun olet valmis, tiedät sarjasi koon.

Tämä strategia ei toimi äärettömien joukkojen kanssa. Tässä on luonnollisten lukujen joukko, joka on merkitty ℕ. (Jotkut saattavat väittää, että nolla ei ole luonnollinen luku, mutta tämä keskustelu ei vaikuta äärettömyyttä koskeviin tutkimuksiimme.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Minkä kokoinen tämä setti on? Koska suurinta luonnollista lukua ei ole, elementtien lukumäärän laskeminen ei toimi. Yksi ratkaisu on yksinkertaisesti julistaa tämän äärettömän joukon koko "äärettömäksi", mikä ei ole väärin, mutta kun alat tutkia muita äärettömiä joukkoja, huomaat, ettei sekään ole aivan oikein.

Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa, jotka ovat kaikki desimaalilaajennuksella ilmaistavia lukuja, kuten 7, 3.2, −8.015, tai äärettömällä laajennuksella, kuten $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Koska jokainen luonnollinen luku on myös reaaliluku, reaaliluku on vähintään yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen joukko, joten sen on oltava myös ääretön.

Mutta on jotain epätyydyttävää siinä, että reaalilukujoukon koko julistetaan samaksi "äärettömäksi", jota käytetään kuvaamaan luonnollisten lukujen kokoa. Nähdäksesi syyn, valitse mitkä tahansa kaksi numeroa, kuten 3 ja 7. Näiden kahden luvun välissä on aina äärettömän monta luonnollista lukua: Tässä ovat luvut 4, 5 ja 6. Mutta niiden välillä on aina äärettömän monta reaalilukua, numeroita. kuten 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… ja niin edelleen.

On huomattavaa, että riippumatta siitä, kuinka lähellä kaksi erillistä reaalilukua ovat toisilleen, niiden välissä on aina äärettömän monta reaalilukua. Tämä ei sinänsä tarkoita, että reaalilukujen ja luonnollisten lukujen joukot olisivat erikokoisia, mutta se viittaa siihen, että näissä kahdessa äärettömässä joukossa on jotain olennaisesti erilaista, mikä vaatii lisätutkimuksia.

Matemaatikko Georg Cantor tutki tätä 19-luvun lopulla. Hän osoitti, että näillä kahdella äärettömällä joukolla on todellakin eri kokoisia. Ymmärtääksemme ja arvostaaksemme, kuinka hän teki sen, meidän on ensin ymmärrettävä kuinka verrata äärettömiä joukkoja. Salaisuus on matematiikan luokkien katkottua kaikkialla: funktiot.

On olemassa monia erilaisia ​​tapoja ajatella funktioita – funktioiden merkintätapa, kuten $lateksi f(x) = x^2 +1$, paraabelien kuvaajat karteesisessa tasossa, säännöt, kuten "ota syöte ja lisää siihen 3" - mutta tässä ajatellaan funktiota tapana sovittaa yhteen joukon elementit toisen joukon elementteihin.

Oletetaan, että yksi noista joukoista on ℕ, luonnollisten lukujen joukko. Toiselle sarjalle, jota kutsumme S, otamme kaikki parilliset luonnolliset luvut. Tässä kaksi settiämme:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $lateksi S= {0,2,4,6,8,…}$

On olemassa yksinkertainen toiminto, joka muuttaa ℕ:n elementit elementeiksi S: $lateksi f(x) = 2x$. Tämä funktio yksinkertaisesti kaksinkertaistaa tulonsa, joten jos ajattelemme ℕ:n elementtejä $latex f(x)$:n syötteinä (kutsumme funktion syötteiden joukkoa "toimialueeksi"), lähdöt ovat aina funktion elementtejä. S. Esimerkiksi $lateksi f(0)=0$, $lateksi f(1) = 2$, $lateksi f(2) = 4$, $lateksi f(3) = 6$ ja niin edelleen.

Voit visualisoida tämän asettamalla kahden joukon elementit vierekkäin ja käyttämällä nuolia osoittamaan, kuinka funktio $latex f$ muuttaa syötteet ℕ:sta lähdöiksi S.

Huomaa, kuinka $latex f(x)$ määrittää täsmälleen yhden elementin S jokaiseen ℕ:n elementtiin. Näin funktiot tekevät, mutta $latex f(x)$ tekee sen erikoisella tavalla. Ensin $latex f$ määrittää kaiken sisään S johonkin ℕ:ssä. Funktioterminologiaa käyttämällä sanomme, että jokainen elementti S on "kuva" elementistä ℕ funktion $latex f$ alla. Esimerkiksi parillinen luku 3,472 XNUMX on sisällä S, ja voimme löytää x ℕ:ssä siten, että $lateksi f(x) = 3,472 1,736 $ (eli XNUMX XNUMX). Tässä tilanteessa sanomme, että funktio $latex f(x)$ kuvaa ℕ:n S. Hienompi tapa sanoa se on, että funktio $latex f(x)$ on "surjektiivinen". Kuvailetko sitä miten tahansa, tärkeintä on tämä: Koska funktio $latex f(x)$ muuttaa syötteet ℕ:stä ulostuloiksi S, ei sisällä mitään S jää väliin prosessissa.

Toinen erityinen asia siinä, kuinka $latex f(x)$ määrittää ulostulot tuloille, on se, että kahta elementtiä ℕ:ssä ei muunneta samaksi elementiksi S. Jos kaksi lukua ovat erilaisia, niiden kaksoisluvut ovat erilaisia; 5 ja 11 ovat erilaisia ​​luonnollisia lukuja ℕ:ssä ja niiden ulostulot S ovat myös erilaisia: 10 ja 22. Tässä tapauksessa sanomme, että $lateksi f(x)$ on "1-to-1" (kirjoitettu myös "1-1"), ja kuvaamme $lateksi f(x)$ "injektiivinen." Tärkeintä tässä on, ettei sisällä mitään S käytetään kahdesti: Jokainen elementti sisällä S on paritettu vain yhden elementin kanssa ℕ:ssä.

Nämä kaksi $latex f(x)$:n ominaisuutta yhdistyvät tehokkaalla tavalla. Funktio $latex f(x)$ luo täydellisen vastaavuuden ℕ:n elementtien ja S. Se, että $lateksi f(x)$ on "onto" tarkoittaa, että kaikki on sisään S hänellä on kumppani alueella ℕ, ja se tosiasia, että $latex f(x)$ on 1-1 tarkoittaa, ettei mitään S on kaksi kumppania vuonna ℕ. Lyhyesti sanottuna funktio $latex f(x)$ yhdistää jokaisen ℕ:n elementin täsmälleen yhden elementin kanssa. S.

Funktiota, joka on sekä injektiivinen että surjektiivinen, kutsutaan bijektioksi, ja bijektio luo 1-1-vastaavuuden näiden kahden joukon välille. Tämä tarkoittaa, että jokaisella joukon elementillä on täsmälleen yksi kumppani toisessa joukossa, ja tämä on yksi tapa osoittaa, että kahdella äärettömällä joukolla on sama koko.

Koska funktiomme $lateksi f(x)$ on bijektio, tämä osoittaa, että kaksi ääretöntä joukkoa ℕ ja S ovat samankokoisia. Tämä saattaa tuntua yllättävältä: Loppujen lopuksi jokainen parillinen luonnollinen luku on itsessään luonnollinen luku, joten ℕ sisältää kaiken S ja enemmän. Eikö sen pitäisi olla suurempi kuin S? Jos olisimme tekemisissä äärellisten joukkojen kanssa, vastaus olisi kyllä. Mutta yksi ääretön joukko voi sisältää kokonaan toisen ja ne voivat silti olla samankokoisia, tavallaan "ääretön plus 1" ei itse asiassa ole suurempi määrä rakkautta kuin pelkkä vanha "ääretön". Tämä on vain yksi äärettömien joukkojen monista yllättävistä ominaisuuksista.

Vielä suurempi yllätys saattaa olla se, että erikokoisia sarjoja on loputtomasti. Aiemmin tutkimme todellisten ja luonnollisten lukujen äärettömien joukkojen eri luonnetta, ja Cantor osoitti, että näillä kahdella äärettömällä joukolla on eri kokoja. Hän teki niin loistavalla ja kuuluisalla diagonaalisella argumenttillaan.

Koska kahden erillisen reaaliarvon välillä on äärettömän monta reaalilukua, keskitytään nyt vain äärettömän moniin reaalilukuihin nollan ja 1:n välillä. Jokainen näistä luvuista voidaan ajatella (mahdollisesti äärettömänä) desimaalilaajennuksena, kuten tämä.

Tässä $lateksi a_1, a_2, a_3$ ja niin edelleen ovat vain luvun numeroita, mutta vaadimme, etteivät kaikki numerot ole nollia, jotta emme sisällytä itse numeroa nolla joukkoomme.

Diagonaaliargumentti alkaa pohjimmiltaan kysymyksellä: Mitä tapahtuisi, jos luonnollisten lukujen ja näiden reaalilukujen välillä olisi bijektio? Jos tällainen funktio olisi olemassa, kahdella joukolla olisi sama koko, ja voit käyttää funktiota kohdistamaan kunkin reaaliluvun välillä nolla ja yksi luonnollinen luku. Voit kuvitella järjestetyn listan vastaavuuksista, kuten tämä.

Diagonaaliargumentin nerokkuus on, että voit käyttää tätä listaa muodostamaan reaaliluku, joka ei voi olla luettelossa. Aloita reaaliluvun rakentaminen numero kerrallaan seuraavasti: Tee ensimmäisestä desimaalipilkun jälkeisestä numerosta jotain muuta kuin $lateksi a_1$, tee toisesta numerosta jotain muuta kuin $lateksia b_2$, tee kolmannesta numerosta jotain muuta kuin $lateksi c_3 $ ja niin edelleen.

Tämä reaaliluku määritellään sen suhteen perusteella listan diagonaaliin. Onko se listalla? Se ei voi olla luettelon ensimmäinen numero, koska sillä on eri ensimmäinen numero. Se ei myöskään voi olla luettelon toinen numero, koska sillä on erilainen toinen numero. Itse asiassa se ei voi olla nnumero tässä luettelossa, koska sillä on erilainen nnumero. Ja tämä on totta kaikille n, joten tämä uusi luku, joka on nollan ja 1:n välillä, ei voi olla luettelossa.

Mutta kaikkien todellisten lukujen välillä nolla ja yksi piti olla luettelossa! Tämä ristiriita johtuu oletuksesta, että luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä on bijektio nollan ja 1:n välillä, joten tällaista bijektiota ei voi olla olemassa. Tämä tarkoittaa, että näillä äärettömillä sarjoilla on eri kokoja. Hieman enemmän työskentelyä funktioiden kanssa (katso harjoitukset) voi osoittaa, että kaikkien reaalilukujen joukko on samankokoinen kuin kaikkien nollan ja 1:n välisten reaalilukujen joukko, joten luonnolliset luvut sisältävien reaalilukujen on oltava isompi ääretön joukko.

Tekninen termi äärettömän joukon koosta on sen "kardinaliteetti". Diagonaaliargumentti osoittaa, että reaalilukujen kardinaalisuus on suurempi kuin luonnollisten lukujen kardinaalisuus. Luonnollisten lukujen kardinaalisuus kirjoitetaan $latex aleph_0$, lausutaan "aleph naught". Matematiikan standardinäkymässä tämä on pienin ääretön kardinaali.

Seuraava ääretön kardinaali on $latex aleph_1$ ("aleph one"), ja yksinkertaisesti esitetty kysymys on askarruttanut matemaatikoita yli vuosisadan: Onko $latex aleph_1$ reaalilukujen kardinaalisuus? Toisin sanoen, onko luonnollisten lukujen ja todellisten lukujen välillä muita äärettömiä? Cantor ajatteli, että vastaus oli ei – väite, joka tuli tunnetuksi nimellä jatkumohypoteesi - mutta hän ei pystynyt todistamaan sitä. 1900-luvun alussa tätä kysymystä pidettiin niin tärkeänä, että kun David Hilbert kokosi kuuluisan luettelonsa 23 tärkeästä avoimesta matematiikan ongelmasta, jatkumohypoteesi oli numero yksi.

Sata vuotta myöhemmin on tapahtunut paljon edistystä, mutta tämä edistys on johtanut uusiin mysteereihin. Vuonna 1940 kuuluisa logiikka Kurt Gödel todisti että joukkoteorian yleisesti hyväksyttyjen sääntöjen mukaan on mahdotonta todistaa, että luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä on ääretön. Se saattaa tuntua suurelta askeleelta jatkumohypoteesin todistamisessa, mutta kaksi vuosikymmentä myöhemmin matemaatikko Paul Cohen osoittautui että on mahdotonta todistaa, ettei tällaista äärettömyyttä ole olemassa! Osoittautuu, että jatkumohypoteesia ei voida todistaa suuntaan tai toiseen.

Yhdessä nämä tulokset vahvistivat jatkumohypoteesin "riippumattomuuden". Tämä tarkoittaa, että yleisesti hyväksytyt joukkojen säännöt eivät vain kerro tarpeeksi kertoakseen meille, onko luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä ääretön vai ei. Mutta sen sijaan, että se lannistaisi matemaatikoita heidän pyrkimyksessään ymmärtää äärettömyyttä, se on johtanut heidät uusiin suuntiin. Matemaatikot etsivät nyt uusia perussääntöjä äärettömille joukoille, jotka voivat sekä selittää sen, mitä äärettömyydestä jo tiedetään, että auttaa täyttämään aukkoja.

Sanominen "Rakkauteni sinua kohtaan on riippumaton aksioomista" ei ehkä ole yhtä hauskaa kuin sanominen "rakastan sinua ääretön plus 1", mutta ehkä se auttaa seuraavan sukupolven äärettömyyttä rakastavia matemaatikoita saamaan hyvät yöunet.

Harjoitukset

1. Olkoon $lateksi T = {1,3,5,7,…}$, positiivisten parittomien luonnollisten lukujen joukko. On T suurempi kuin, pienempi tai samankokoinen kuin luonnollisten lukujen joukko ℕ?

2. Etsi 1-1-vastaavuus luonnollisten lukujen joukon ℕ ja kokonaislukujoukon $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, välillä, …}$.

3. Etsi funktio $lateksi f(x)$, joka on bijektio nollan ja 1:n välisten reaalilukujen joukon ja nollaa suurempien reaalilukujen joukon välillä.

4. Etsi funktio, joka on bijektio nollan ja 1:n välisten reaalilukujen joukon ja kaikkien reaalilukujen joukon välillä.

Napsauta saadaksesi vastauksen 1:

Napsauta saadaksesi vastauksen 2:

Napsauta saadaksesi vastauksen 3:

Napsauta saadaksesi vastauksen 4: