Kuinka kukaan voi puhua varmuudella äärettömyydestä? Mitä voimme todella tietää salaperäisistä alkuluvuista tuntematta niitä kaikkia? Aivan kuten tiedemiehet tarvitsevat dataa arvioidakseen hypoteesiaan, matemaatikot tarvitsevat todisteita todistaakseen tai kumotakseen olettamukset. Mutta mikä lasketaan todisteeksi lukuteorian aineettomassa maailmassa? Tässä jaksossa Steven Strogatz puhuu Melanie Matchett Wood, Harvardin yliopiston matematiikan professori, oppiakseen, kuinka todennäköisyys ja satunnaisuus voivat auttaa luomaan todisteita matemaatikoilta vaadituille ilmatiiviille väitteille.
Kuuntele Apple Podcastit, Spotify, Google Podcastit, nitoja, Kääntää tai suosikki podcasting-sovelluksesi, tai voit suoratoista se osoitteesta Quanta.
Jäljennös
Steven Strogatz (00:02): Olen Steve Strogatz, ja tämä on The Joy of Why, podcast osoitteesta Quanta-lehti joka vie sinut joihinkin matematiikan ja luonnontieteen tämän hetken suurimmista vastaamattomista kysymyksistä. Tässä jaksossa aiomme puhua todisteita matematiikasta. Millaisia todisteita matemaatikot käyttävät? Mikä saa heidät epäilemään, että jokin saattaa olla totta, ennen kuin heillä on vedenpitävä todiste?
(00:26) Se saattaa kuulostaa paradoksilta, mutta käy ilmi, että todennäköisyysteoriaan, sattuman ja satunnaisuuden tutkimukseen perustuva päättely voi joskus johtaa siihen, mitä matemaatikot todella tavoittelevat, eli varmuuteen, ei vain todennäköisyyteen. Esimerkiksi lukuteoriana tunnetulla matematiikan alalla on pitkä historia satunnaisuuden käyttämisestä auttamaan matemaatikoita arvaamaan, mikä on totta. Nyt todennäköisyyttä käytetään auttamaan heitä todistamaan, mikä on totta.
(00:53) Keskitymme tässä alkulukuihin. Muistat varmaan alkuluvut, eikö niin? Opit niistä koulussa. Alkuluku on 1:tä suurempi kokonaisluku, joka voidaan jakaa vain ykkösellä ja itsellään. Esimerkiksi 1 tai 7. Ne ovat alkulukuja, mutta 11 ei johdu siitä, että 15 voidaan jakaa tasan 15:lla tai 3:llä. Alkuluvut voisivat ajatella tavallaan kemian jaksollisen taulukon elementtien kaltaisia. että ne ovat jakamattomia atomeja, jotka muodostavat kaikki muut luvut.
(01:27) Alkuluvut näyttävät siltä, että niiden pitäisi olla yksinkertaisia, mutta eräitä matematiikan suurimmista mysteereistä ovat alkulukuja koskevat kysymykset. Joissakin tapauksissa kysymyksiä, jotka ovat olleet olemassa satoja vuosia. Alkuluvuissa on todella hienovaraista. He näyttävät elävän järjestyksen ja sattumanvaraisuuden rajalla. Vieraani tänään auttaa meitä ymmärtämään enemmän matematiikan todisteiden luonteesta ja erityisesti siitä, kuinka ja miksi satunnaisuus voi kertoa meille niin paljon alkuluvuista ja miksi todennäköisyyksiin perustuvat mallit voivat olla niin hyödyllisiä lukuteorian kärjessä. Minuun liittyy nyt keskustelemaan kaikesta tästä Melanie Matchett Wood, matematiikan professori Harvardin yliopistosta. Tervetuloa, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Hei, on hyvä puhua kanssasi.
Strogatz (02:11): On erittäin hyvä jutella kanssasi, olen suuri fani. Puhutaanpa matematiikasta ja tieteestä suhteessa toisiinsa, koska sanat usein tottuvat yhteen, ja silti tekniikat, joita käytämme matematiikassa todistuksen ja varmuuden saavuttamiseen, ovat jonkin verran erilaisia kuin mitä yritämme tehdä tieteessä. Esimerkiksi kun puhumme todisteiden keräämisestä matematiikassa, miten se on sama asia tai miten se eroaa todisteiden keräämisestä tieteessä tieteellisellä menetelmällä?
Puu (02:38): Matemaattinen todistus on ehdottoman ilmatiivis, täydellinen looginen argumentti, että joidenkin matemaattisten väitteiden on oltava näin, eikä se voisi olla toisin. Joten toisin kuin tieteellinen teoria – joka saattaa olla paras, mitä meillä on tämän päivän todisteiden perusteella, mutta saamme lisää todisteita, tiedäthän, seuraavan 10 vuoden aikana ja ehkä tulee uusi teoria – matemaattinen todiste sanoo, että jonkin väitteen on oltava sellainen, emme voi mitenkään havaita, että se on väärin 10 vuoden tai 20 vuoden kuluttua.
Strogatz (03:17): No, minkälaiset asiat lasketaan todisteiksi matematiikassa?
Puu (03:19): Joten saatat nähdä, että jokin on totta monissa esimerkeissä. Ja sen perusteella, että se on totta monissa esimerkeissä, jonka voisi ehkä sanoa olevan todiste siitä, voit tehdä olettamuksia, mitä matemaatikot kutsuisivat olettamukseksi, arvaukseksi, että jokin on totta. Mutta sitten se, mitä matemaatikot haluaisivat, olisi todiste siitä, että asia, jonka näit toimivan niin monissa esimerkeissä, toimisi aina niin kuin väitit.
Strogatz (03:49): Aivan, aivan eri asia kuin pelkkä todisteiden painoarvo. Tämä on lausunto siitä, että on olemassa syy, miksi jokin tulee olemaan totta ikuisesti, ikuisesti, joka tapauksessa.
Puu (03:58): Eikä vain "No, olen katsonut miljoona tapausta ja se on totta jokaisessa." Mikä on syy olettaa tai olettaa, että se on aina totta. Mutta matematiikassa teemme eron sellaisen arvauksen, joka voi perustua moniin tapauksiin tai todisteisiin, ja lauseen tai todisteen, argumentin, joka kertoo, että se toimii kaikissa tapauksissa, myös niissä, joita sinulla on. ei yrittänyt.
Strogatz (04:25): Onko nyt kyse vain siitä, että matemaatikot ovat luonteeltaan nirsoja, vai onko tapauksia, joissa jokin, joka näytti siltä, että se oli totta, joihinkin hyvin suuriin mahdollisuuksiin asti, ei ole totta kuin jonkin muun suuren luvun ?
Puu (04:39): Oi, se on hieno kysymys. No, tässä on esimerkki, josta pidän, koska pidän alkuluvuista. Joten kun käyt läpi alkulukuja - 2, 3, 5, 7 - yksi niistä asioista, jotka voisit tehdä, voit katsoa ja sanoa: "Hei, ovatko ne jaollisia kahdella?" Ja se ei osoittautunut kovin mielenkiintoiseksi. 2:n jälkeen mikään niistä ei ole jaollinen kahdella. Ne ovat kaikki, ne ovat kaikki parittomia.
(05:10) Ja sitten saatat ajatella: "No, ovatko ne jaettavissa kolmella?" Ja tietenkään 3:n jälkeen ne eivät myöskään voi olla jaollisia kolmella, koska ne ovat alkulukuja. Saatat kuitenkin huomata, että jotkin niistä, kun jaat ne kolmella, saat jäännöksen 3:stä, että ne ovat 3 enemmän kuin 3:n kerrannainen. Joten esimerkiksi 1, joka on 1 enemmän kuin 3 tai 7 , joka on 1 enemmän kuin 6. Ja joissakin näistä alkuluvuista, kuten 13 tai 1, joka on 12 enemmän kuin 11, niillä on 17, kun jaat ne kolmella, koska ne ovat 2 enemmän kuin 15:n monikerta.
(05:47) Ja niin näitä alkulukuja voisi ajatella ryhmissä. Ryhmä 1 on kaikki ne, jotka ovat 1 enemmän kuin 3:n kerrannainen, ja joukkue 2 ovat kaikki ne, jotka ovat 2 enemmän kuin 3:n kerrannainen. Ja kun käyt läpi alkuluvut ja luettelet alkuluvut, voit luetella kaikki alkulukuja ja voit laskea yhteen ja nähdä kuinka monta on ryhmässä 1 ja kuinka monta on ryhmässä 2. Ja jos laskeisit sen 600 miljardiin asti, joka pisteessä, jokainen luku 600 miljardiin asti, huomaat, että Joukkueen 2 alkulukuja on enemmän kuin Joukkueen 1 alkulukuja. Voit siis luonnollisesti olettaa näiden todisteiden perusteella, että ryhmän 2 alkulukuja on aina enemmän kuin ryhmän 1 alkulukuja.
Strogatz (06:33): Totta kai. Täysin kuulostaa siltä.
Puu: Osoittautuu, että kun luku on noin 608 miljardia, unohdan tarkan luvun, se muuttuu.
Strogatz (06:46): Voi, tule.
Puu: Joo, se todella muuttuu. Ja nyt yhtäkkiä Team 1 on johtoasemassa. Se on siis -
Strogatz (06:53): Odota hetki. Odota, mutta tämä on hämmästyttävää. Mitä - nyt, muuttuvatko ne jatkuvasti? Tiedämmekö mitä tapahtuu, kun jatkat? Muuttuvatko ne jatkuvasti?
Puu (07:01): Joo, hieno kysymys. Joten todellakin, se on lause, että he vaihtavat johtoja äärettömän usein.
Strogatz (07:07): Todellako?
Puu: Joten he jatkavat liidien kauppaa. Mutta se on todella hieno esimerkki pitää mielessäsi, kun tutkit alkulukuja, että se, että jokin oli totta ensimmäisten 600 miljardin tapauksen kohdalla, ei tarkoita, että se olisi aina totta.
Strogatz (07:25): Vau. Kiva. Okei. Joten, kuten yleensä, kuinka pääset olettamuksesta todistukseen?
Puu (07:31): Se riippuu paljon tapauksesta. Tarkoitan, että matematiikassa on monia tapauksia, joissa meillä on olettamuksia eikä meillä ole todisteita. Joten ei ole olemassa mitään yksinkertaista reseptiä, jolla päästään olettamuksesta todistukseen, muuten meillä ei olisi niin monia kuuluisia avoimia ongelmia, joissa, tiedäthän, on joitain – joitain olettamuksia siitä, että ihmiset ajattelevat, että jokin toimii tietyllä tavalla, mutta me ei. en tiedä sitä varmasti. Mutta tiedätkö, joskus olettamukset voivat antaa syitä sille, että jokin on totta. Joskus se on vain matemaattista teoriaa, joka on rakennettu yhä useammalle matemaattiselle teorialle, jota ihmiset ovat kehittäneet satoja vuosia, ja se antaa meille tarpeeksi työkaluja ja rakennetta työskennelläksemme ymmärtääksemme asioita, joista saamme todisteen. Mutta se ei tarkoita, että olettamus välttämättä johda todistukseen. Oletus saattaa innostaa ihmisiä yrittämään löytää todisteita, mutta tapa, jolla todiste syntyy, voi olla täysin erillään itse oletuksesta.
Strogatz (08:31): Joo, olen kiinnostunut luettelemaan tai listaamaan sellaisia todisteita, jotka eivät ole todisteita, jotka saavat ihmiset luottamaan siihen, että todisteita kannattaa yrittää.
Puu (08:41): Joo, toinen asia, jota voisimme kutsua todisteeksi, joka ei ole vain esimerkkejä, olisi heuristinen. Heuristinen voi olla jotain argumenttia, paitsi paljon alhaisemmalla kurinalaisella tasolla. Se on kuin, näyttääkö se hyvältä? Enkö "olenko aivan varmasti todennut tämän tosiasian ilman epäilystäkään?" mutta "tekeekö niin - kyllä, se näyttää melko uskottavalta." Joten heuristinen voi olla päättelylinja, joka näyttää melko uskottavalta, mutta ei itse asiassa ole tiukka argumentti. Tämä on siis eräänlainen todiste.
(09:12) Joskus voi olla malli, jonka uskomme vangiavan sen matemaattisen järjestelmän olennaiset elementit, jota yritämme ymmärtää, ja niin silloin oletat, että järjestelmäsi käyttäytyy samalla tavalla kuin mallisi.
Strogatz (09:30): Okei. Jossain vaiheessa haluan kuulla esimerkkejä malleista ja olettamuksista ja missä määrin ne toimivat tai eivät toimi joissakin kysymyksissä tai eivät toisissa, mutta jos et välitä, haluaisin Haluaisin palata vain muutamiin henkilökohtaisiin asioihin, koska puhumme tässä numeroista, ja sinä olet lukuteoreetikko. Ihmiset eivät ehkä tunne monia numeroteoreetikoja jokapäiväisessä elämässään. Joten mietin, voisitko kertoa meille mikä on lukuteoria, ja miksi se on mielestäsi kiinnostava? Miksi tulit opiskelemaan sitä?
Puu (10:02) No, lukuteoria on kokonaislukujen matemaattinen tutkimus. Joten, ajattele 1, 2, 3, 4, 5. Ja erityisesti yksi tärkeimmistä asioista kokonaislukuissa ovat alkuluvut. Kuten selitit, aivan alussa, ne ovat rakennuspalikoita, joista voimme kertomalla rakentaa kaikki muut luvut. Joten koska lukuteoria koskee kaikkia noita kokonaislukuja, se koskee myös niiden rakennuspalikoita, alkulukuja ja sitä, miten muut luvut vaikuttavat alkulukuihin ja miten ne on rakennettu alkulukujen ulkopuolelle.
Strogatz (10:37): Joten, lukuteoria, tämän päivän tarkoituksiinmme, luulisi olevan kokonaislukujen tutkimusta, erityisesti alkulukuja kohtaan. Vaikuttaa aika hyvältä aloitukselta. Luulen, että se on enemmän. Mutta ehkä se on hyvä määritelmä meille nyt. Oletko sitä mieltä?
Puu (10:50): Se on hyvä, se on hyvä alku. Tarkoitan, että sieltä tutkitaan lisää asioita, kuten no, entä jos alat harkita lukujärjestelmiä, jotka ovat monimutkaisempia kuin pelkät kokonaisluvut? Jos aloitat syöttämään muita lukuja, kuten 2:n neliöjuuren, niin mitä tapahtuu alkuluvuilla ja kertoimilla? Sinut ohjataan lisäkysymyksiin. Mutta rehellisesti sanottuna on paljon rikasta ja kaunista matematiikkaa vain kokonaislukuina ja alkuluvuissa.
Strogatz (11:16): Joten tämä mielessä, miksi pidät sitä vakuuttavana? Miksi pidät lukuteorian opiskelusta? Mikä sai sinut siihen?
Puu (11:22): Luulen, että pidän siitä, että kysymykset voivat olla niin konkreettisia. Tiedätkö, minä menen ja juttelen alakoululaisten kanssa. Ja voin kertoa heille joistakin asioista, joita ajattelen. Minusta on siis hauskaa työskennellä sellaisen asian parissa, jonka kysymykset voivat toisaalta olla niin konkreettisia, mutta toisaalta sen ratkaisemisen arvoitus voi olla niin vaikeaa. Tarkoitan, että ihmiset ovat yrittäneet vastata kysymyksiin kokonaisluvuista, alkuluvuista kirjaimellisesti tuhansia vuosia.
(11:54) Ja matematiikan aloja on monia. Yksi nykyaikaisen lukuteorian tärkeistä osista on, että edistyäkseen näissä itsepäisissä vanhoissa kysymyksissä, joita ihmiset ovat työstäneet niin kauan, on tuotava uusia ideoita ja luotava yhteyksiä matematiikan muihin osiin. Joten vaikka kutsuisin itseäni lukuteoreetiksi, käytän matematiikkaa kaikilta eri aloilta. Geometrian ja topologian sekä avaruuden muotojen tutkimisesta todennäköisyyksien ja satunnaisuuden tutkimiseen. Käytän kaikenlaista matematiikkaa, mutta yritän sanoa jotain sellaisista asioista kuin kokonaisluvut ja alkuluvut ja kertoimet.
Strogatz (12:36): Joo, rakastan tuota näkemystä matematiikasta tämän jättimäisenä toisiinsa liittyvänä ideoiden verkkona, ja voit haluta elää tietyssä osassa sitä, joka on suosikkisi. Mutta olet maininnut alkuluvut erityisenä lukuteorian kiinnostavana alueena, sen perustavanlaatuisimpänä osana. Mikä niissä on vaikeaa? Keskustelussamme ei ole vielä selvää, mikä siinä on niin mystistä? Kuten olemme määritelleet ne, voisimme luultavasti jatkaa niiden luetteloimista. Mitkä ovat niitä satoja vuosia vanhoja ongelmia, joihin viittaat?
Puu (13:05): No, yksi suurimmista ja tärkeimmistä kysymyksistä, joka on ehkä noin 120 vuotta vanha, on, sanoit: "Voisitko luetella ne. Jos tekisit niin, kuinka monta löytäisit?" Oletetaan siis, että listasit alkuluvut, jopa sata tai tuhat, tai satatuhatta, tai miljoona, miljardi. Kun luet alkulukuja aina suurempiin lukuihin, kuinka moni niistä luvuista, jotka käyt läpi, on itse asiassa alkuluku? Joten määrän ymmärtäminen on todellakin ydin Riemmannin hypoteesi, joka on yksi Clay Math Institutesta Millenium-palkinnon ongelmat, vastauksesta saa miljoonan dollarin palkinnon. Se on yksi tunnetuimmista kysymyksistä, eikä meillä ole aavistustakaan, kuinka se tehdään, ja se on oikeastaan vain kysymys siitä, kuinka monta löydät, kun luet nuo alkuluvut?
Strogatz (13:58): Okei. Se on hauska, eikö? Koska kun alat laatia luetteloa, vaikka joku vain sattumalta alkaisi listata numeroita, jotka ovat alkulukuja sataan asti, huomaat joitain hauskoja asioita. Kuten aluksi 100 ja 11, ne ovat 13 erillään. Viisitoista, no, se ei toimi, koska se on jaollinen 2:llä ja 5:lla. Sitten 3, joten nyt on ero 17, välillä 4 ja 13. Mutta sitten 17 on taas lähellä. En tiedä, tarkoitan, joten alkulukujen väli voi olla jotenkin hämärä. Kuten joskus siellä on melko suuri aukko, ja joskus ne ovat aivan vierekkäin, vain kahden päässä toisistaan.
Puu (14:31): Joo, joten välien ja niiden aukkojen ymmärtäminen on myös ollut iso kiinnostava kysymys. Alkulukujen välisen etäisyyden ymmärtämisessä on tapahtunut huomattavaa edistystä viimeisen vuosikymmenen aikana. Mutta silti on todella kiehtova peruskysymys, johon emme tiedä vastausta. Mainitsit siis, että nämä alkuluvut 11 ja 13 ovat vain 2:n päässä toisistaan. Joten tällaisia alkulukuja kutsutaan kaksoisalkuluvuiksi. Emme voineet odottaa alkulukujen olevan lähempänä kahta toisistaan, koska 2:n jälkeen niiden kaikkien on oltava parittomia. Tässä on avoin kysymys matematiikasta, mikä tarkoittaa, että emme tiedä vastausta, ja se on: Onko alkulukupareja äärettömän monta? Ja niin tässä on oletus, olettamus olisi kyllä. Tarkoitan, ei ole olemassa vain olettamusta, että "kyllä, niiden pitäisi jatkua ikuisesti, ja niitä pitäisi aina olla lisää", vaan on jopa arveluita siitä, kuinka monta löydät matkan varrella. Mutta se on täysin avoin. Sikäli kuin tiedämme, voi olla, että kun pääset todella suureen numeroon, ne vain pysähtyvät, etkä löydä enää ollenkaan kaksoisalkulukupareja.
Strogatz (15:40): Siinä on jotain hyvin runollista, koskettavaa, se ajatus, kuten että se voisi olla rivin loppu jossain vaiheessa. Tarkoitan, kumpikaan meistä ei luultavasti usko sitä. Mutta luulisin, että on mahdollista, että joku viimeinen yksinäinen kaksospari käpertyy pimeyteen, tie ulos, tiedäthän, numerorivillä.
Puu (15:57): Joo, voisi olla. Ja tiedättekö, matemaatikoina sanoisimme, tiedättekö, me emme tiedä. Vaikka voisitkin tehdä kaavion löytämäsi määrän perusteella, jos piirrät kaavion, näyttää siltä, että se vain todella varmasti nousee ja nousee nopeudella, joka ei koskaan – koskaan kääntyisi ympäri. Mutta luulen, että se on osa matematiikan ja tieteen välistä eroa siinä, että säilytämme tuon skeptisismin ja sanomme: no, emme tiedä. Tarkoitan, että ehkä jossain vaiheessa kaavio vain kääntyy, eikä niitä ole enää.
Strogatz (16:29): Eli siis - pidän kuvastasi graafista, koska uskon, että kaikki voivat samaistua tähän ajatukseen, kaavion tekemisestä, jonkinlaisen graafin tekemisestä. Tiedäthän, kun ajatellaan alkulukuja eräänlaisena datana. Ja niin luulen, että tämä on ehkä hyvä aika kääntyä, alkaa puhua todennäköisyysteoriasta. Ja tuntuu hieman oudolta puhua todennäköisyydestä ja tilastoista alkulukujen yhteydessä, koska tässä ei ole mitään mahdollisuutta. Alkuluvut määräytyvät antamallamme määritelmällä, että ne eivät ole jaettavissa. Mutta silti matemaatikot ja lukuteoreetikot, kuten sinä, ovat käyttäneet tilastollisia tai todennäköisyysargumentteja ajatellessaan alkulukuja. Mietin, voisitko luonnostella minulle jotain sellaista kolikoiden heittämisellä ja takaisin - mistä puhuimme alussa, parittomat ja parilliset numerot.
Puu (17:14): Okei. Joten toisin kuin alkuluvut, ymmärrämme todella hyvin parittomien ja parillisten lukujen kuvion. Ne menevät tietysti parittomiin, parillisiin, parillisiin, parillisiin. Mutta oletetaan, että emme ymmärtäneet tuota mallia. Käytämme tätä ymmärtääksemme, kuinka monta paritonta lukua saatat löytää, jos katsoisit kaikkia lukuja miljoonaan asti. Voisit kuvitella, koska on kaksi mahdollisuutta, luku voi olla pariton tai luku voi olla parillinen, että ehkä joku meni mukaan ja heitti kolikon jokaiselle numerolle, ja jos kolikko nousi päähän, luku oli pariton. Ja jos kolikolla oli häntää, luku oli parillinen. Ja niin voit saada kolikoita heilauttavan henkilön kävelemään numeroviivaa pitkin, heittämään kolikkoa jokaisessa numerossa, ja se tulee esimerkiksi joko julistamaan tuon luvun parittomaksi tai parittomaksi.
(18:03) Se on toisaalta hölynpölyä. Toisaalta kolikoidenheittomalli saa jotkin asiat kuntoon. Jos esimerkiksi sanot, että tiedät karkeasti, kuinka monet luvuista miljoonaan asti ovat parillisia? Tiedämme, että noin puolet kolikonheittojen määrästä, jotka esimerkiksi nousevat kärkeen, jos teet valtavan määrän, kuten miljoona, kolikonheittoja. Ja niinpä tämä malli, niin typerä kuin se onkin, voi silti tehdä joitain ennusteita oikein. Ja minun pitäisi sanoa, että se saattaa kuulostaa typerältä, koska tiedämme jo vastauksen tähän kysymykseen. Ajatuksena on, että rakennamme malleja monimutkaisemmille kuvioille, kuten missä alkuluvut esiintyvät lukujen joukossa sen sijaan, että missä vain kertoimet näkyvät.
Strogatz (18:55): Joo. Tarkoitan, mielestäni meidän on korostettava sitä - kuinka syvästi salaperäisiä alkuluvut ovat. Alkuluvuille ei ole kaavaa, kuten on kaava parittomille luvuille. Kuten jos ajattelet, oi, nyt, tämä on – me todella puhumme absurdeista asioista, on itse asiassa erittäin arvokasta saada nämä tilastolliset mallit, jotka voivat ennustaa ominaisuuksia, jotka ovat keskimääräisiä ominaisuuksia. Kuten analogi, puolet isoa lukua pienemmistä luvuista tulee olemaan parittomat. Tämä on alkulukujen tapauksessa erittäin vakava ja mielenkiintoinen kysymys. Mikä murto-osa isoa lukua pienemmistä luvuista on alkuluku? Ja kuten sanot, voit tehdä tilastollisen mallin, joka saa sen oikein. Ja mitä sitten, samaa mallia voidaan käyttää ennustamaan kuinka monta kaksoisalkulukua olisi pienempi kuin suuri luku? Toimiiko sama malli siinä tapauksessa?
Puu (19:41): Joten alkulukujen tapauksessa, jos rakentaisimme mallia - tiedäthän, ja matemaatikot käyttävät mallia ns. alkulukujen Cramér-malli - jos rakentaisimme kolikoiden heilahdusmallin alkuluvuista, jossa kuvittelemme jonkun kävelevän numeroviivaa pitkin ja jokaisessa numerossa hepattavan kolikon esimerkiksi päättääksemme, oliko se alkuluku vai ei, sisällyttää malliin niin paljon kuin tiedämme alkuluvuista. Joten ensinnäkin tiedämme, että suuret luvut ovat vähemmän todennäköisesti alkulukuja kuin pienet luvut. Joten ne kolikot olisi painotettava. Ja meidän - meidän täytyisi yrittää asettaa juuri ne painotukset, joita odotamme. Ja me tiedämme asioita, kuten, et voi olla kahta alkulukua vierekkäin, koska yhden niistä pitäisi olla pariton ja toisen pitäisi olla parillinen. Joten laitoimme sen malliin. Ja sitten on enemmän asioita, joita tiedämme alkuluvuista.
(20:37) Malli on siis jotain, joka alkaa tällä kolikonheittomallilla, mutta sitten sitä muokkaavat kaikki nämä muut säännöt ja kaikki muut asiat, jotka tiedämme alkuluvuista. Ja kun laitat kaikki ne asiat, jotka me tiedämme malliin, kysyt sitten tältä kolikonheittelystä, tiedätkö, malli, no, näetkö äärettömän usein kolikoita nousevan parhaalla etäisyydellä toisistaan? Ja malli kertoo, oi, kyllä, me näemme sen. Itse asiassa näemme sen tällä hyvin erityisellä nopeudella, jonka voimme antaa sinulle kaavan. Ja sitten, jos piirrät todellisten kaksoisalkulukujen lukumäärän todellisissa luvuissa, joissa ei ole käännetty kolikoita, mallin ennustetta vastaan, näet, että malli antaa sinulle erittäin tarkan ennusteen kaksoisalkulukuparien lukumäärästä. löydät matkallasi. Ja sitten ajattelet, että ehkä tämä malli tietää, mistä se puhuu.
Strogatz (21:31): Hienoa. Tarkoitan, se on tavallaan tärkeää, mihin juuri päädyimme, että - et käyttänyt vielä sanaa tietokoneet. Mutta oletan, että et tee tätä käsin. Ihmiset, jotka listaavat twin primejä, en tiedä, mistä me puhumme? Triljoona biljoonaa triljoonaa? Tarkoitan, nämä ovat suuria lukuja, joista puhumme, eikö niin?
Puu (21:49): No, kaksoisalkulukujen listaus, eli - tehdään tietokoneella, ehdottomasti. Mutta tämän mallin rakentamisesta ja mallin antaman kaavan keksimisestä. Tiedätkö, se tehdään käsin, pohjimmiltaan matemaatikoilla, jotka ajattelevat mallia ja selvittävät sen avulla.
Strogatz (22:07): Se on niin siistiä. Joten siellä malli näyttää sen, että malli voi itse asiassa ennustaa, mitä tietokone näkee. Ja se ei vaadi tietokonetta tämän ennusteen tekemiseen. Se voidaan tehdä käsin, ihmisten toimesta, ja se voi itse asiassa johtaa todisteisiin. Paitsi että se on todisteita mallin ominaisuuksista, ei välttämättä vielä todisteita sinua kiinnostavasta asiasta.
Puu (22:28): Aivan. Ja jossain vaiheessa tietokone pysähtyy. Tiedätkö, laskentatehoa on vain niin paljon. Mutta se kaava, jonka saisit, jonka malli antaisi sinulle ja jonka voisit todistaa, on totta, jälleen kerran kolikonheittomallitilanteessa, se kaava jatkuu. Voit laittaa tähän kaavaan yhä suurempia lukuja, paljon suurempia kuin tietokoneesi voisi koskaan laskea.
Strogatz (22:53): Olet siis kertonut meille vähän siitä, kuinka satunnaisuus voi auttaa luomaan malleja mielenkiintoisista lukuteorian ilmiöistä, ja olen varma, että se pitää paikkansa myös muissa matematiikan osissa. Onko olemassa tapauksia, joissa voit käyttää satunnaisuutta tarjotaksesi todellisia todisteita, ei vain malleja?
Puu (23:10): Ehdottomasti. Toista matematiikan alaa kutsutaan todennäköisyysteoriaksi. Ja todennäköisyysteoriassa he todistavat lauseita satunnaisista järjestelmistä ja niiden käyttäytymisestä. Ja saatat ajatella, että jos aloitat jostain satunnaisesta ja teet sen kanssa jotain, sinulla on aina jotain satunnaista. Mutta yksi erittäin kauniista todennäköisyysteoriassa havaituista asioista on se, että joskus voi saada jotain determinististä irti jostain satunnaisesta.
Strogatz (23:45): No, miten se toimii? Kuten mitä?
Puu (23:48): Joo. Joten olet nähnyt kellokäyrän tai normaalijakauman, matemaatikot kutsuvat sitä. Se näkyy kaikkialla luonnossa. Näyttää siltä, että katsot ihmisten verenpaineita tai vauvan syntymäpainoja tai jotain. Ja saatat ajatella, oi, tämä kellokäyrä, että tämä on, se on luonnon tosiasia. Mutta itse asiassa on olemassa lause, jota kutsutaan todennäköisyysteorian keskirajalauseeksi ja joka kertoo, että itse asiassa tämä kellokäyrä ei ole jossain mielessä luonnon, vaan matematiikan tosiasia. Keskirajalause kertoo, että jos yhdistät itsenäisesti kokonaisen joukon pieniä satunnaisvaikutuksia, niiden tulos tulee aina vastaamaan tiettyä jakaumaa. Tämä muoto, tämä kellokäyrä. Matematiikka ja todennäköisyysteoria voivat todistaa, että jos sinulla on - jos yhdistät paljon pieniä itsenäisiä satunnaisia asioita, kaiken tämän yhdistelmän tulos antaa sinulle jakauman, joka näyttää tältä kellokäyrältä. Ja niin – vaikka et tiedä, millaisia tulot olivat. Ja se on todella tehokas lause ja todella tehokas työkalu matematiikassa.
Strogatz (25:05): Kyllä, varmasti on. Ja pidin siitä, että korostit sitä, että sinun ei tarvitse tietää, mitä tapahtuu pienillä tehosteilla. Että se jotenkin huuhtoutuu pois. Sitä tietoa ei tarvita. Kellokäyrä on ennustettavissa, vaikka et tiedä pienten efektien luonnetta. Niin kauan kuin niitä on paljon ja he ovat vähän. Ja ne eivät vaikuta toisiinsa, he ovat jossain mielessä itsenäisiä.
Puu (25:27): Joo, ehdottomasti. Ja tämä on ajatus, tiedäthän, että joskus sitä kutsutaan universaaliksi todennäköisyysteoriassa, että on olemassa tietynlaisia koneita, joille syöttämällä paljon satunnaisia syötteitä, voit ennustaa tulosteen. Kuten esimerkiksi se, että saisit tämän kellokäyrän tai tämän normaalijakauman, vaikka et tietäisi mitä laitat koneeseen. Ja se on uskomattoman voimakasta, kun on asioita, joita emme ymmärrä kovin hyvin, koska -
Strogatz (25:56): Mutta niin, kerrotko minulle - oi, anteeksi, että keskeytän sinut - mutta kerrotko minulle, että tämä tapahtuu nyt myös lukuteoriassa? Että jollain tapaa saamme universaalisuuden ajatuksen esiin lukuteoriassa? Vai näenkö unta?
Puu (26:09): No, jossain määrin, sanoisin, että se on unelmani, joka alkaa. Tiedätkö, olemme vain, otamme ensimmäisiä askelia nähdäksemme sen toteutuvan. Joten se ei ole vain sinun unelmasi, se on myös minun unelmani. Osa työstä, jota teen tänään ja jonka parissa työskentelemme työkavereideni kanssa, yrittää tehdä tällaisesta unelmasta totta, jotta osa näistä hämmentävästä numeroista, joihin emme tiedä vastausta, ehkä voisi ymmärrä, että on kuvioita, jotka tulevat esiin, kuten kellokäyrä, kuten normaalijakauma, jotka voimme todistaa, että ne tulivat ulos koneesta, vaikka emme tiedä, mitä mysteereitä laitettiin.
Strogatz (26:55): No, se on itse asiassa erittäin inspiroiva, jännittävä visio, ja toivon, että se kaikki toteutuu. Kiitos paljon, että puhuit meille tänään, Melanie.
Puu (27:03): Kiitos. Tämä oli hauskaa.
Kuuluttaja (27:06): Jos haluat The Joy of Why, tarkista Quanta-lehden tiedepodcast, jonka isännöin minä, Susan Valot, yksi tämän ohjelman tuottajista. Kerro myös ystävillesi tästä podcastista ja tykkää tai seuraa missä kuuntelet. Se auttaa ihmisiä löytämään The Joy of Why podcast.
Strogatz (27: 26): The Joy of Why on podcast osoitteesta Quanta-lehti, toimituksellisesti riippumaton julkaisu, jota Simons Foundation tukee. Simons Foundationin rahoituspäätökset eivät vaikuta aiheiden, vieraiden valintaan tai muihin toimituksellisiin päätöksiin tässä podcastissa tai Quanta-lehti. The Joy of Why on tuottanut Susan Valot ja Polly Stryker. Toimittajamme ovat John Rennie ja Thomas Lin, joita tukevat Matt Carlstrom, Annie Melchor ja Leila Sloman. Teemamusiikkimme on säveltänyt Richie Johnson. Logomme on Jackie King, ja jaksojen kuvitus on Michael Driver ja Samuel Velasco. Olen isäntäsi, Steve Strogatz. Jos sinulla on meille kysymyksiä tai kommentteja, lähetä meille sähköpostia osoitteeseen quanta@simonsfoundation.org. Kiitos kuuntelemisesta.
