Isaac Newton ei ollut tunnettu hengellisyydestään, ja hänen halveksunnastaan kilpailijoitaan kohtaan oli legendaarinen. Mutta yhdessä kirjeessä kilpailijalleen Gottfried Leibnizille, joka tunnetaan nykyään nimellä Epistola Posterior, Newton on nostalginen ja melkein ystävällinen. Siinä hän kertoo tarinan opiskelija-ajaltaan, jolloin hän oli vasta alkamassa oppia matematiikkaa. Hän kertoo, kuinka hän teki suuren löydön, joka rinnastaa käyrien alla olevat alueet äärettömiin summiin arvaamalla ja tarkistamalla. Hänen perustelunsa kirjeessä on niin viehättävä ja helposti lähestyttävä, että siitä tulee mieleen ne kuvionarvauspelit, joita pienet lapset pitävät leikkiä.
Kaikki alkoi, kun nuori Newton luki John Wallisin Arithmetica Infinitorum, 17-luvun matematiikan uraauurtava teos. Wallis sisälsi uudenlaisen ja induktiivisen menetelmän pi:n arvon määrittämiseen, ja Newton halusi keksiä jotain vastaavaa. Hän aloitti ongelmasta löytää säädettävän leveän "pyöreän segmentin" alue $lateksi x $. Tämä on yksikköympyrän alla oleva alue, jonka määrittää $lateksi y=sqrt{1-x^2}$ ja joka sijaitsee vaaka-akselin osan yläpuolella 0- $lateksi x $. Tässä $lateksi x $ voi olla mikä tahansa luku väliltä 0-1, ja 1 on ympyrän säde. Yksikköympyrän pinta-ala on pi, kuten Newton hyvin tiesi, joten milloin $lateksi x=1$, käyrän alla oleva pinta-ala on neljäsosa yksikköympyrästä, $latexfrac{π}{4}$. Mutta muille arvoille $lateksi x $, mitään ei tiedetty.
Jos Newton voisi löytää tavan määrittää käyrän alla oleva pinta-ala jokaiselle mahdolliselle arvolle $lateksi x $, se saattaa antaa hänelle ennennäkemättömän keinon approksimoida pi. Se oli alun perin hänen suuri suunnitelmansa. Mutta matkan varrella hän löysi jotain vielä parempaa: menetelmän monimutkaisten käyrien korvaamiseksi äärettömillä summilla yksinkertaisempia rakennuspalikoita, jotka on tehty $lateksi x $.
Newtonin ensimmäinen askel oli järkeillä analogisesti. Sen sijaan, että hän olisi tähdänyt suoraan ympyrän muotoisen segmentin alueelle, hän tutki vastaavien segmenttien alueita, joita rajoittavat seuraavat käyrät:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton tiesi, että luettelon käyrien alla olevat alueet kokonaislukupotenssilla (kuten $lateksimurto{0}{2}=0$ ja $lateksimurto{2}{2} = 1$) olisi helppo laskea. koska ne yksinkertaistavat algebrallisesti. Esimerkiksi,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Vastaavasti
Mutta tällaista yksinkertaistamista ei ole saatavilla ympyrän yhtälölle — $lateksi y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— tai muille käyrälle, joissa on puolipotenssit. Tuolloin kukaan ei tiennyt kuinka löytää niiden alla oleva alue.
Onneksi käyrien alla olevat alueet kokonaislukupotenssilla olivat suoraviivaisia. Otetaan käyrä $lateksi y_4=1-2x^2+x^4$. Tuolloin tunnettu sääntö tällaisille funktioille antoi Newtonille (ja kenelle tahansa muulle) löytää alueen nopeasti: Minkä tahansa kokonaisluvun potenssilla $lateksi nge 0$ käyrän alla oleva alue $lateksi y=x^n$ yli aikaväli alkaen $lateksi 0 $ että $lateksi x $ on annettu $lateksi frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis oli arvannut tämän säännön induktiivisella menetelmällään, ja Pierre de Fermat todisti sen lopullisesti.) Tällä säännöllä varustettuna Newton tiesi, että käyrän $lateksi y_4$ alla oleva alue oli $lateksi x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Sama sääntö antoi hänelle mahdollisuuden löytää alueen muiden käyrien alta, joilla on kokonaislukupotenssi yllä olevassa luettelossa. Kirjoitetaan $lateksi A_n$ käyrän alle $lateksi y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, missä $lateksi n= 0, 1, 2, …$ . Säännön soveltaminen tuottaa tulosta
$lateksi A_0=x$
$lateksi A_1 = hspace{.295em}?$
$lateksi A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateksi A_3 = hspace{.295em}?$
$lateksi A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateksi A_5 =hspace{.295em}? $
$lateksi A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
ja niin edelleen. Newtonin ovela idea oli täyttää aukot toivoen arvaavansa $latexA_1$ (sarja ympyräsegmentin tuntemattomalle alueelle) sen perusteella, mitä hän näki muissa sarjoissa. Yksi asia oli heti selvä: jokainen $latexA_n$ alkoi yksinkertaisesti sanoilla $latex x$ . Se ehdotti kaavojen muuttamista seuraavasti:
$lateksi A_0=x$
$lateksi A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateksi A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateksi A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateksi A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateksi A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateksi A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Sitten korvatakseen seuraavan erän kysymysmerkkejä Newton tarkasteli termejä $lateksi x^3$. Pienellä lisenssillä voimme nähdä, että jopa $latexA_0$:ssa oli yksi näistä kuutiotermeistä, koska voimme kirjoittaa sen uudelleen muotoon $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Kuten Newton selitti Leibnizille, hän havaitsi, "että toiset termit $lateksi frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ jne. olivat aritmeettisessa progressiossa” (hän viittasi osoittajien numeroihin 0, 1, 2, 3). Epäilessään, että tämä aritmeettinen eteneminen voisi ulottua myös aukkoihin, Newton arveli, että koko osoittajien sarja, tunnettu ja tuntematon, pitäisi olla numeroita, jotka erotetaan $lateksifrac:lla{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "ja siksi sarjan kaksi ensimmäistä termiä", joista hän oli kiinnostunut - vielä tuntematon $lateksi A_1$ , $lateksi A_3$ ja $lateksi A_5$ - "pitäisi olla $lateksi x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ jne.
Näin ollen tässä vaiheessa mallit ehdottivat Newtonille, että $lateksi A_1$ pitäisi alkaa muodossa
$lateksi A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Tämä oli hyvä alku, mutta hän tarvitsi lisää. Etsiessään muita kuvioita Newton huomasi, että yhtälöiden nimittäjät sisälsivät aina parittomat numerot kasvavassa järjestyksessä. Katso esimerkiksi $lateksi A_6$, jonka nimittäjissä on 1, 3, 5 ja 7. Sama kuvio toimi $lateksia A_4$ ja $lateksia A_2$ varten. Tarpeeksi yksinkertainen. Tämä kuvio ilmeisesti säilyi kaikkien yhtälöiden kaikissa nimittäjissä.
Jäljelle jäi vain mallin löytäminen osoittajista. Newton tutki $lateksia A_2$, $lateksia A_4$ ja $lateksia A_6$ uudelleen ja huomasi jotain. Kohdassa $lateksi A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ hän näki 1:n kertomassa $lateksia x$ ja toisen 1:n termissä $latexfrac {1}{3}x^3$ (hän jätti sen huomioimatta negatiivinen merkki toistaiseksi). Kohdassa $lateksi A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + murto 1}{5}x^5 + frac{1}{2}x^1 -frac{6}{3}x^3$ , hän näki osoittajat 3, 3, 5, 5. Näiden numeroiden pitäisi olla tuttuja kaikille joka on koskaan tutkinut Pascalin kolmiota, kolmiomaista numerojärjestelyä, joka yksinkertaisimmillaan luodaan laskemalla yhteen sen yläpuolella olevat luvut alkaen ykkösestä yläreunassa.
Sen sijaan, että Newton olisi vedonnut Pascaliin, hän viittasi näihin osoittajiin "luvun 11 tehoiksi". Esimerkiksi 112 = 121, joka on kolmion toinen rivi, ja 113 = 1331, joka on kolmas. Nykyään näitä lukuja kutsutaan myös binomikertoimiksi. Ne syntyvät, kun laajennat binomin potenssia, kuten ($lateksi a +b$), kuten $lateksi (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Tämän kuvion ollessa käsissään Newtonilla oli nyt helppo tapa kirjoittaa $lateksi A_2, A_4, A_6$ ja kaikki muut parilliset numerot. AN.
Seuraavaksi Newtonin täytyi laajentaa Pascalin kolmio fantastiseen uuteen järjestelmään ekstrapoloidakseen tulokset puolipotenssiin ja parittoihin alaindeksiin (ja lopulta päästä haluamaansa sarjaan, $lateksi A_1$), jotta Newtonin olisi laajennettava Pascalin kolmio upeaan uuteen järjestelmään: rivien puolivälissä. Suorittaakseen ekstrapoloinnin hän johti yleisen kaavan binomikertoimille Pascalin kolmion millä tahansa tietyllä rivillä - rivillä $lateksi m$ - ja liitti sitten rohkeasti $lateksi m= frac{1}{2}$. Ja hämmästyttävää kyllä, se toimi. Tämä antoi hänelle osoittajat sarjassa, jota hän etsi, yksikköympyrän $latexA_1$.
Tässä, Newtonin omin sanoin, on hänen yhteenveto Leibnizille malleista, jotka hän huomasi induktiivisesti väittelyn tähän vaiheeseen asti:
Aloin pohtia, että nimittäjät 1, 3, 5, 7 jne. olivat aritmeettisessa progressiossa, joten vain osoittajien numeeriset kertoimet olivat vielä selvityksen tarpeessa. Mutta vaihtoehtoisesti annetuilla alueilla nämä olivat luvun 11 teholuvut – – eli ensimmäinen ”1”; sitten "1, 1"; kolmanneksi "1, 2, 1"; neljänneksi "1, 3, 3, 1"; viidenneksi '1, 4, 6, 4, 1' jne. ja siksi aloin tiedustella, kuinka sarjan jäljellä olevat luvut voitaisiin johtaa kahdesta ensimmäisestä annetusta luvusta, ja huomasin, että laittamalla $lateksi m$ toiselle luku, loput tuotetaan kertomalla jatkuvasti tämän sarjan termejä,
$lateksi frac{m-0}{1} kertaa frac{m-1}{2} kertaa frac {m-2}{3} kertaa frac{m-3}{4} kertaa frac {m-4}{5 }$ jne.
… Niinpä sovelsin tätä sääntöä sarjojen asettamiseen sarjojen väliin, ja koska ympyrän toinen termi oli $lateksi frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, laitoin $lateksia m=frac{1}{2}$, ja termit olivat
$lateksi frac {1}{2} kertaa frac{frac{1}{2}-1}{2}$ tai $latex -frac{1}{8}$,
$lateksi -frac{1}{8} kertaa frac{frac{1}{2}-2}{3}$ tai $lateksi + frac{1}{16}$,
$lateksi frac{1}{16} kertaa frac{frac{1}{2}-3}{4}$ tai $lateksi – frac {5}{128}$,siis äärettömään. Sieltä ymmärsin, että halusin pyöreän segmentin alue
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Lopuksi, kytkemällä $lateksi x=1$, Newton voisi saada äärettömän summan $latexfrac{π}{4}$:lle. Se oli tärkeä löytö, mutta käy ilmi, että on olemassa parempia tapoja approksimoida pi äärettömän summan avulla, kuten Newton itsekin pian huomasi tämän alun tällaisten äärettömien summien, joita nykyään kutsutaan potenssisarjoiksi, tutkimisen jälkeen. Lopulta hän laski pi:n 15 ensimmäistä numeroa.
Palattuaan ympyräsegmentin ongelmaan, Newton tajusi, että ympyrän yhtälö (ei pelkästään sen alla oleva alue) voidaan esittää myös potenssisarjalla. Hänen täytyi vain jättää nimittäjät pois ja pienentää $lateksin x$ potenssia 1:llä yllä näytetyssä potenssisarjassa. Niinpä hän joutui arvaamaan sen
Testatakseen, oliko tämä tulos järkevä, Newton kertoi sen itsellään: "Siitä tuli $lateksi 1-x^2$, loput termit katosivat sarjan jatkuessa äärettömään."
Astuessamme hieman taaksepäin yksityiskohdista, näemme täällä useita oppitunteja ongelmanratkaisusta. Jos ongelma on liian vaikea, vaihda se. Jos se tuntuu liian konkreettiselta, yleistä se. Newton teki molemmat ja sai tulokset tärkeämpiä ja tehokkaampia kuin mitä hän alun perin tavoitteli.
Newton ei kiinnittänyt itsepäisesti neljäsosaa ympyrästä. Hän katsoi paljon yleisempää muotoa, mitä tahansa pyöreää segmenttiä, jonka leveys oli $lateksi x $. Sen sijaan, että olisi pitänyt kiinni $lateksi x=1$, hän antoi $lateksi x$ kulkea vapaasti 0:sta 1:een. Tämä paljasti kertoimien binomiaalisen luonteen hänen sarjassaan – numeroiden odottamattoman ilmestymisen Pascalin kolmioon ja niiden yleistyksiä. anna Newtonin nähdä kuvioita, jotka Wallis ja muut olivat jääneet huomaamatta. Näiden kuvioiden näkeminen antoi sitten Newtonille oivalluksia, joita hän tarvitsi kehittääkseen tehosarjojen teoriaa paljon laajemmin ja yleisemmin.
Myöhemmässä työssään Newtonin tehosarja antoi hänelle Sveitsin armeijan veitsen laskentaa varten. Niiden avulla hän pystyi tekemään integraaleja, löytää algebrallisten yhtälöiden juuria ja laskea sinien, kosinien ja logaritmien arvot. Kuten hän sanoi: "Heidän avullaan analyysi tavoittaa, voisin melkein sanoa, kaikkiin ongelmiin."
Moraali: Ongelman muuttaminen ei ole pettämistä. Se on luovaa. Ja se voi olla avain johonkin suurempaan.
