Meidän pulmatehtävä viime kuussa oli pelastaa a Star Trek kahdeksan hengen pintapuolue, jota johti yritys Viestintäpäällikkö Luutnantti Uhura (myöhäisen soittama Nichelle Nichols). Miehistö on vangittu muukalaisrodun, Catenatin, toimesta planeetalla Kaulakoru Nebula. Paetakseen heidän on maksimoitava todennäköisyytensä suorittaa tehtävä, joka aluksi näyttää tarjoavan vain synkän onnistumisen todennäköisyyden.
Kahdeksan hengen miehistö saa tiedon tehtävästä, kun heidät pidetään väliaikaisesti yhteisessä huoneessa, jossa he voivat vapaasti kommunikoida ja suunnitella strategioita. Muutaman tunnin kuluttua heidät johdetaan yksi kerrallaan huoneeseen, jota kutsutaan rulettikammioksi. Tässä huoneessa on kahdeksan painiketta peräkkäin, joista jokainen on ohjelmoitu vastaamaan eri miehistön jäsenelle. Miehistön harhaanjohtamiseksi jokainen painike on satunnaisesti merkitty väärin toisen miehistön jäsenen nimellä. Jokainen miehistön jäsen saa painaa enintään neljää painiketta missä tahansa järjestyksessä. Aina kun he painavat painiketta, he näkevät kenelle painike todella kuuluu. Heidän neljän yrityksensä aikana heidän on löydettävä heille määritetty painike. Jotta miehistö pääsisi vapaaksi, heidän kaikkien on onnistuttava tässä tehtävässä. Jos edes yksi niistä epäonnistuu, kaikki teloitetaan. Kun miehistön jäsen on suorittanut yrityksensä, hänet on eristettävä ilman mitään mahdollisuutta välittää tietoja miehistön jäsenilleen.
Menestysmahdollisuudet näyttävät vähäisiltä. Jos miehistön jäsenet valitsevat painikkeet satunnaisesti, jokaisella on 1:2 mahdollisuus löytää painike. Kaikkien kahdeksan onnistumisen mahdollisuus on vain 1:256 eli noin 0.4 %.
Mutta heidän ei tarvitse painaa painikkeita satunnaisesti. Yksi tapa lisätä onnistumisen todennäköisyyttä voisi olla tasoittaa kaikki napin painallukset jollain tavalla. Tästä pääsemme ensimmäiseen pulmakysymykseemme.
Palapeli 1
Kuinka paljon miehistön selviytymistodennäköisyyttä voidaan parantaa, jos he varmistavat, että jokaista painiketta painetaan yhtä usein (sen sijaan, että satunnaisesti painettaisiin mitä tahansa neljää painiketta)?
Rob Corlett ja JPayette Vastasivat tähän hyvin, kuten kaikkiin muihinkin kysymyksiin. Mitä tulee tämän kolumnin pulmapelien vaikeaan keskeiseen ajatukseen, Rob Corlett, JPayette ja Jouni Seppänen kuvaili sitä kauniisti, kun Sacha Bugnon toimitti tietokoneratkaisun.
Tässä on Rob Corlettin vastaus:
Yksi tapa varmistaa, että kutakin painiketta painetaan yhtä monta kertaa, on jakaa vangit kahteen samankokoiseen neljän hengen ryhmään.
Jokainen ryhmä painaa vain ryhmän jäseniä vastaavia painikkeita. Jos A, B, C ja D ovat kaikki samassa alaryhmässä, ne painavat vain A-, B-, C- ja D-painikkeita.
Tämä muuttaa ongelman kysymään todennäköisyyttä, että jokainen vanki on jaettu oikeaan ryhmään, koska silloin he varmasti painavat nappia neljällä tai vähemmän painalluksella.
Tapamäärä, jolla ensimmäinen ryhmä (ja siten myös toinen ryhmä) täytetään neljällä henkilöllä, on se, kuinka monta tapaa valita neljä kahdeksasta, mikä on C(4, 8) = 8. Näin ollen tapojen kokonaismäärä Kaikkien jakaminen kahteen ryhmään on 4.
On vain yksi allokaatio, joka kohdistaa jokaisen vangin oikein oikeaan ryhmään, joten todennäköisyys, että kaikki ovat oikeassa ryhmässä ja kaikki vangit selviävät, on 1/70, mikä on 3.66 kertaa parempi kuin edellisen strategian 1/256. [Mutta se on silti hyvin pieni: vain 1.4 %:n mahdollisuus.]
Palapeli 2
On olemassa tapa parantaa alkuperäisiä synkkiä kertoimia yli 90-kertaiseksi, noin 36.5 prosenttiin, mikä vaikuttaa ihmeelliseltä! Tämä strategia sisältää silmukoiden tai arvausketjujen käytön – tästä syystä viittaukset Kaulakoru-sumuun ja Catenatiin (catena tarkoittaa latinaa ketjua). Strategian perusmuodossa jokainen miehistön jäsen aloittaa painamalla painiketta, jossa on hänen nimensä, sitten siirtyy painikkeeseen, jossa on sen miehistön jäsenen nimi, jolle ensimmäinen painike todella kuului, ja niin edelleen, muodostaen nimiketjun.
Katsotaan kuinka tämä toimii käytännössä. Kaaviossa painikkeet on merkitty valkoisina tarroineen. Alla olevat siniset kirjaimet osoittavat painikkeiden todelliset omistajat. Kun ensimmäinen miehistön jäsen, A, tulee rulettikammioon, hän painaa ensin A-painiketta. Tämä on C:n painike, joten hän painaa seuraavaksi painiketta C, sitten painiketta E ja lopuksi painiketta F, joka on itse asiassa A:n oma painike, joten hän on löytänyt sen onnistuneesti neljällä yrityksellä. Huomaa, että painikkeet ACEF muodostavat neljän painikkeen suljetun silmukan. Kun miehistön jäsenet C, E ja F vuorottelevat, he myös kiertävät samaa suljettua silmukkaa, alkaen omasta paikastaan, ja löytävät myös omat painikkeensa neljällä yrityskerralla.
Tässä järjestelyssä on myös kaksi pienempää silmukkaa, joissa kummassakin on kaksi painiketta: BD ja GH. Nämä neljä miehistön jäsentä löytävät omat painikkeensa kahdella yrityskerralla. Joten tällä järjestelyllä kaikki miehistön jäsenet menestyvät ja he ovat ansainneet vapautensa. On selvää, että jos järjestelyssä on vain 4 tai vähemmän pitkiä silmukoita, kaikki miehistön jäsenet menestyvät ja vapautuvat. Jos sen sijaan yksi silmukka on 5 tai enemmän, kaikki miehistön jäsenet eivät löydä painiketta neljällä yrityksellä ja miehistö teloitetaan. Onnistumistodennäköisyyden selvittämiseksi voimme löytää todennäköisyyden, että silmukassa on 5, 6, 7 tai 8, laskea ne yhteen ja vähentää summa 1:stä. Tämä on helpompi laskea kuin toisella tavalla, koska kahdeksalle painikkeita, voi olla vain yksi silmukka, jossa on 5, 6, 7 tai 8 jäsentä.
Niitä on 8! eri tapoja järjestää kahdeksan painiketta. Mutta kun teemme silmukoita, sama silmukka vastaa kahdeksan näistä järjestelyistä (ABCDEFGH muodostaa saman silmukan kuin BCDEFGHA, joka on sama kuin CDEFGHAB jne.). Joten todennäköisyys saada silmukan koko on (8!/8)/8!, mikä on yksinkertaisesti 8/1. Vastaavasti koon 8 silmukan todennäköisyys on 7/1, koon 7 on 6/1 ja koon 6 5/1. Siksi peloton miehistömme onnistumisen todennäköisyys on 5 − (1/1 + 5/1 + 6/1 + 7/1) eli 8%, kuten aiemmin mainittiin.
Yllä oleva strategia toimii mille tahansa määrälle vankeja, ja todennäköisyyksien paraneminen satunnaiseen lähestymistapaan verrattuna kasvaa nopeasti tämän määrän kasvaessa. Se on noin seitsenkertainen neljälle vangille, 24-kertainen kuudelle, 93-kertainen kahdeksalle ja hämmästyttävä (3.8 × 1029)-kerta 100 vangille. Avain tämän valtavan kasvun ymmärtämiseen on se, että menetelmä sitoo kunkin ryhmän jäsenen onnistumisen tai epäonnistumisen muiden ryhmään. Hyvin suurelta osin he kaikki onnistuvat tai epäonnistuvat yhdessä. Ryhmän onnistumistodennäköisyys ei putoa liikaa yksittäisen vangin todennäköisyydestä, putoaa vain yhden vangin 50 %:sta 30.69 %:iin, kun vankien määrää nostetaan rajoituksetta. Toisaalta todennäköisyys satunnaisen lähestymisen tai jopa "parillisten napinpainallusten" onnistumisen todennäköisyydelle pienenee nopeasti hyvin lähelle nollaa jopa pienellä määrällä vankeja.
Jos tämän strategian taustalla oleva logiikka näyttää edelleen epäselvältä, tässä on analyysi 100 vangin ongelmasta tässä erinomainen video Veritasiumilta.
Palapeli 3
Tässä palapelissä luutnantti Uhura muisti lapsuuden pelin, joka oli pohjimmiltaan sama palapeli, mutta kuudelle hengelle. Vihjeenä ehdotin, että ongelma ratkaistaan neljälle henkilölle. Nyt kun meillä on kaava, voimme helposti laskea todennäköisyydet.
Neljälle henkilölle todennäköisyys, että pisin silmukka on vain 2 tai 1, on: 1 − (1/3 + 1/4) tai 41.7 % seitsenkertaisella vahvistuksella satunnaiseen valintaan verrattuna.
Kuuden ihmisen todennäköisyys, että pisin silmukka on 3, 2 tai 1, on: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) tai 38.3 % yli 24-kertaisella vahvistuksella satunnaiseen valintaan verrattuna.
Palapeli 4
Tarinamme jatkuessa käy ilmi, että yksi Catenatista on inhonnut häntä yritys miehistöä ja tarkkailee niitä etänä. Hän epäilee, että he ovat keksineet tehokkaan strategian Uhuran kaavion perusteella. Hän on päättänyt tehdä tyhjäksi heidän suunnitelmansa liukumalla kammioon ja muuttamalla tietoisesti painikkeiden järjestystä ennen ruletin alkamista. Voiko hän onnistuneesti estää suunnitelman? Mitä salaamistakseen laskeutujan tulee olla erityisen varovainen?
Hyvin varhaisessa miehistön strategiakeskustelussa Uhuran silmät kapenivat yhtäkkiä. Hän antoi signaalin miehistölle, ja hän siirtyi puhumaan nicholesea ja ilmoitti: "Kaikki jatkokeskustelut nikoliksi, kiitos." Nichole oli uusi kieli, jonka Uhura oli uransa varhaisessa vaiheessa keksinyt juuri tällaisiin tilanteisiin kiertääkseen universaalien kääntäjien käytön. "Olet varmaan huomannut tuon epäilyttävän Catenatin", hän jatkoi. "Hän voi yrittää sabotoida meitä, joten meidän on muutettava suunnitelmaamme. Tässä on mitä meidän täytyy tehdä…”
Uhura hahmotteli uutta suunnitelmaa, kunnes hän totesi, että jokainen hänen miehistönsä tiesi sen täydellisesti. Sitten hän pohti kaukainen katse silmissään: ”Annoin Nicholesen ikonisen 20-luvun näyttelijän mukaan. Olen iloinen, että vaadin, että Tähtilaivasto tekee siitä standardin kaikilla laivoillamme.
Hän kääntyi takaisin miehistön puoleen. "Siinä kaikki, upseerit. Tiedät mitä tehdä!"
Emme tiedä tarkalleen, mitä Uhura kertoi joukkueelleen. Mutta JPayette ja Rob Corlett saivat aika hyvän idean. Tässä taas Rob Corlett:
Jos paha Catenati kuulee, että he käyttävät tätä strategiaa, hän voi vaihtaa näytössä näkyvät nimet varmistaakseen, että sykli on pidempi kuin 4.
Tämän rikkomiseksi vankien on suostuttava salaiseen järjestykseen, joka satunnaistaa järjestyksen. He tekevät tämän sanomalla jotain: "Jos näet Uhuran nimen, siirry painikkeeseen, jossa on merkintä Chekov. Jos näet Chekovin nimen, siirry painikkeeseen, jossa on merkintä Smith jne.
Tällä tavalla Catenatin tekemällä uudelleenjärjestelyllä ei ole väliä, sillä se toimii vain, jos tiedät tavan, jolla miehistö reagoi näytöillä oleviin nimiin. Heidän on kuitenkin pidettävä kaikki uudelleenjärjestelyt salassa, muuten se voidaan jälleen rikkoa.
Kuten näimme, Uhura varmisti, että salaisuus säilytetään. Jokaisen miehistön jäsenen täytyi vain käyttää samaa salaista käskyä ja varmistaa, että paha Catenati ei tiennyt, mikä se oli. Itse asiassa pahan Catenatin muuttunut järjestys lisäsi miehistön onnistumisen todennäköisyyttä!
Näin tapahtui. Uhura vietiin ensimmäisenä rulettikammioon. Hän painoi kolmea painiketta. Kukaan ei ollut hänen. Pitäisikö hänen olla surullinen vai iloinen? Hän pidätti hengitystään ja painoi neljättä. Hän oli löytänyt oikean nappinsa!
Hän tiesi, että he kaikki pelastuisivat.
Palapeli 5
Mitä rajaa onnistumisen enimmäisprosentti lähestyy, kun laskeutuneen porukan koko kasvaa loputtomasti? Voitko selittää, miksi tämä menetelmä on niin paljon tehokkaampi kuin satunnainen painikkeen painaminen?
JPayette kirjoitti:
Kaikki yllä oleva yleistyy suoraan kahden hengen miehistöönn kukin jäsen saa painaa korkeintaan n painikkeita. Puzzle 2:sta päättelemme, että heidän mahdollisuutensa menestyä on
1 − (summa yli k välillä n +1 ja 2n 1 /k).
Summaa voidaan verrata integraaliin 1/x yli välin [n, 2n], jonka avulla voimme todistaa, että as n kasvaa äärettömään, yllä oleva todennäköisyys pienenee konvergoimaan hämmästyttävään arvoon 1 − ln(2) ≈ 30.6 %. [Oikeastaan 30.69 % kahden desimaalin tarkkuudella.]
Rob Corlett lisäsi:
Jos et tiedä integrointia, voit nopeasti saada likimääräisen vastauksen laskemalla laskentataulukon avulla. Pääsin kerran 0.307:ään n saavutti noin 750, joka on kolmen desimaalin tarkkuudella.
Olemme jo selittäneet edellä, miksi tämä menetelmä toimii. Kaikki yli 1 silmukat jaetaan useiden miehistön jäsenten kesken. Joten heidän onnistumisensa ja epäonnistumisensa korreloivat voimakkaasti. Se on esimerkki periaatteesta "Kaikki yhden ja yksi kaikkien puolesta". Suoraan Tähtilaivaston käsikirjasta!
Kiitos kaikille avustajillemme. JPayette ja Rob Corlett antoivat molemmat palkinnon arvoisia vastauksia, joiden vuoksi tämä ratkaisusarake vaikutti lähes tarpeettomalta. Valitettavasti minun on noudatettava sääntöämme valita yksi voittaja per pulmasarake. Insights-palkinto menee JPayettelle tunnustuksena panoksesta tässä ja edellisessä pulmapelissä. Onnittelut! Rob Corlett, panoksiasi ei unohdeta.
Nähdään ensi kuussa uusien näkemysten parissa!
