Kolmannella vuosisadalla eaa., Archimedes aiheuttamia arvoitus karjan paimentamisesta, jonka hän väitti, että vain todella viisas ihminen pystyi ratkaisemaan. Hänen ongelmansa kiteytyi lopulta yhtälöön, joka sisältää kahden neliön välisen eron, joka voidaan kirjoittaa x2 - dy2 = 1. Tässä, d on kokonaisluku - positiivinen tai negatiivinen laskentaluku - ja Arkhimedes etsi ratkaisuja, joissa molemmat x ja y ovat myös kokonaislukuja.
Tämä yhtälöluokka, jota kutsutaan Pell-yhtälöiksi, on kiehtonut matemaatikoita vuosituhansien ajan.
Muutamia vuosisatoja Arkhimedesen jälkeen intialainen matemaatikko Brahmagupta ja myöhemmin matemaatikko Bhāskara II tarjosivat algoritmeja kokonaislukuratkaisujen löytämiseksi näihin yhtälöihin. 1600-luvun puolivälissä ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat (joka ei ollut tietoinen tuosta työstä) havaitsi uudelleen, että joissakin tapauksissa, jopa silloin, kun d annettiin suhteellisen pieni arvo, pienin mahdollinen kokonaislukuratkaisu x ja y voi olla massiivinen. Kun hän lähetti sarjan haastetehtäviä kilpaileville matemaatikoille, he sisälsivät yhtälön x2 - 61y2 = 1, jonka pienimmät ratkaisut ovat yhdeksän tai 10 numeroa. (Arkhimedesen arvoitus pyysi pohjimmiltaan kokonaislukuratkaisuja yhtälöön x2 - 4,729,494y2 = 1. "Pienimmän ratkaisun tulostamiseen tarvitaan 50 sivua", sanoi Peter Koymans, matemaatikko Michiganin yliopistosta. "Jossain mielessä se on Arkhimedesen jättimäinen peikko.")
Mutta Pell-yhtälöiden ratkaisut voivat tehdä paljon enemmän. Oletetaan esimerkiksi, että haluat likimääräisenä $latex sqrt{2}$, irrationaalisen luvun, kokonaislukujen suhteena. Osoittautuu, että Pell-yhtälön ratkaiseminen x2 - 2y2 = 1 voi auttaa sinua tekemään sen: $latex sqrt{2}$ (tai yleisemmin $lateksi sqrt{d}$) voidaan approksimoida hyvin kirjoittamalla ratkaisu uudelleen lomakkeen murto-osaan x/y.
Ehkä vielä kiehtovampaa on, että nämä ratkaisut kertovat myös tietyistä numerojärjestelmistä, joita matemaatikot kutsuvat renkaiksi. Tällaisessa lukujärjestelmässä matemaatikot voivat liittää $latex sqrt{2}$ kokonaislukuihin. Sormuksilla on tiettyjä ominaisuuksia, ja matemaatikot haluavat ymmärtää nämä ominaisuudet. Osoittautuu, että Pell-yhtälö voi auttaa heitä tekemään niin.
Ja niin "Monet hyvin kuuluisat matemaatikot - melkein jokainen matemaatikko jossain vaiheessa - itse asiassa tutkivat tätä yhtälöä sen yksinkertaisuuden vuoksi", sanoi. Mark Shusterman, matemaatikko Harvardin yliopistossa. Näihin matemaatikoihin kuuluivat Fermat, Euler, Lagrange ja Dirichlet. (John Pell, ei niinkään; yhtälö nimettiin virheellisesti hänen mukaansa.)
Nyt Koymans ja Carlo Pagano, matemaatikko Concordia-yliopistossa Montrealissa, on osoittautui vuosikymmeniä vanhaksi olettamukseksi liittyy Pell-yhtälöön, joka määrittää kuinka usein tietyllä yhtälön muodossa on kokonaislukuratkaisuja. Tätä varten he toivat ideoita toiselta alalta - ryhmäteoriasta - samalla kun he ymmärsivät paremmin tämän alan keskeisen mutta salaperäisen tutkimuskohteen. "He käyttivät todella syviä ja kauniita ideoita", sanoi Andrew Granville, matemaatikko Montrealin yliopistosta. "He todella onnistuivat."
Rikki aritmetiikka
Alussa 1990s, Peter Stevenhagen, matemaatikko Leidenin yliopistosta Hollannista, inspiroitui joistakin yhteyksistä, joita hän näki Pell-yhtälöiden ja ryhmäteorian välillä tehdäkseen olettamuksia siitä, kuinka usein näillä yhtälöillä on kokonaislukuratkaisuja. Mutta "En odottanut, että se todistetaan pian", hän sanoi - tai edes hänen elinaikanaan. Käytettävissä olevat tekniikat eivät vaikuttaneet riittävän vahvoilta ongelmaa vastaan.
Hänen arvauksensa riippuu renkaiden tietystä ominaisuudesta. Numerorenkaassa, jossa esimerkiksi $latex sqrt{-5}$ on lisätty kokonaislukuihin (matemaatikot työskentelevät usein "kuvitteellisilla" numeroilla, kuten $latex sqrt{-5}$), on kaksi eri tapaa jakaa luku sen alkutekijöihin. Esimerkiksi luku 6 voidaan kirjoittaa paitsi muodossa 2 × 3, vaan myös muodossa (1 + $lateksi sqrt{-5}$) × (1 – $lateksi sqrt{-5}$). Seurauksena on, että tässä renkaassa ainutlaatuinen alkulukujen jako — keskeinen aritmeettinen periaate, joka on käytännössä itsestäänselvyys normaaleissa kokonaisluvuissa — hajoaa. Se, missä määrin tätä tapahtuu, on koodattu kyseiseen renkaaseen liittyvään objektiin, jota kutsutaan luokkaryhmäksi.
Yksi tapa, jolla matemaatikot yrittävät saada syvempiä näkemyksiä heitä kiinnostavasta lukujärjestelmästä – esimerkiksi $latex sqrt{2}$ liitettynä kokonaislukuihin – on laskea ja tutkia sen luokkaryhmää. Silti on lähes kohtuuttoman vaikeaa määrittää yleisiä sääntöjä luokkaryhmien käyttäytymiselle kaikissa näissä erilaisissa numerojärjestelmissä.
1980-luvulla matemaatikot Henri Cohen ja Hendrik Lenstra esittää laajan joukon olettamuksia siitä, miltä näiden sääntöjen pitäisi näyttää. Nämä "Cohen-Lenstra-heuristiikka" voisivat kertoa paljon luokkaryhmistä, joiden pitäisi puolestaan paljastaa niiden taustalla olevien lukujärjestelmien ominaisuuksia.
Oli vain yksi ongelma. Vaikka monet laskelmat näyttävät tukevan Cohen-Lenstra-heuristiikkaa, ne ovat silti olettamuksia, eivät todisteita. "Mitä tulee lauseisiin, emme tienneet juuri mitään aivan viime aikoihin asti", sanoi Alex Bartel, matemaatikko Glasgow'n yliopistossa.
Kiehtovaa on, että luokkaryhmän tyypillinen käyttäytyminen on erottamattomasti kietoutunut Pell-yhtälöiden käyttäytymiseen. Yhden ongelman ymmärtäminen auttaa ymmärtämään toista - niin paljon, että Stevenhagenin olettamus "on myös ollut testiongelma Cohen-Lenstra-heuristiikan edistymiselle", Pagano sanoi.
Uusi työ sisältää negatiivisen Pell-yhtälön, jossa x2 - dy2 on asetettu arvoon −1 arvon 1 sijasta. Toisin kuin alkuperäisessä Pell-yhtälössä, jossa on aina ääretön määrä kokonaislukuratkaisuja mille tahansa d, eivät kaikki arvot d negatiivisessa Pell-yhtälössä saadaan yhtälö, joka voidaan ratkaista. Ota x2 - 3y2 = −1: Katsotpa kuinka pitkälle numeroviivaa pitkin katsotkin, et kuitenkaan koskaan löydä ratkaisua x2 - 3y2 = 1:llä on äärettömän monta ratkaisua.
Itse asiassa arvoja on monia d joille negatiivista Pell-yhtälöä ei voida ratkaista: Perustuu tunnettuihin sääntöihin siitä, kuinka tietyt luvut liittyvät toisiinsa, d ei voi olla lukujen 3, 7, 11, 15 ja niin edelleen kerrannainen.
Mutta vaikka vältät näitä arvoja d ja harkitse vain jäljellä olevia negatiivisia Pell-yhtälöitä, ratkaisuja ei silti aina ole mahdollista löytää. Siinä pienemmässä joukossa mahdollisia arvoja d, mikä osuus todella toimii?
Vuonna 1993 Stevenhagen ehdotti kaavaa, joka antoi tarkan vastauksen tähän kysymykseen. Arvoista for d joka saattaa toimia (eli arvot, jotka eivät ole 3:n, 7:n jne. kerrannaisia), hän ennusti, että noin 58 % aiheuttaisi negatiivisia Pell-yhtälöitä kokonaislukuratkaisuilla.
Stevenhagenin arvauksen motiivina oli erityisesti negatiivisen Pell-yhtälön ja luokkaryhmien Cohen-Lenstra-heuristiikan välinen yhteys – linkki, jota Koymans ja Pagano käyttivät hyväkseen, kun 30 vuotta myöhemmin he lopulta osoittivat hänen olevan oikea.
Parempi tykki
Vuonna 2010 Koymans ja Pagano olivat vielä perustutkinto-opiskelijoita – eivät vielä tunteneet Stevenhagenin arvelua – kun ilmestyi paperi, joka edistyi ongelman ratkaisemisessa vuosiin.
Siinä työssä, joka oli julkaistu Matematiikan Annals, matemaatikot Étienne Fouvry ja Jürgen Klüners osoitti, että arvojen osuus d joka toimisi negatiiviselle Pell-yhtälölle, jäi tietylle alueelle. Tätä varten he saivat käsityksen asiaankuuluvien luokkaryhmien joidenkin elementtien käyttäytymisestä. Mutta he tarvitsevat ymmärrystä monista muista elementeistä voidakseen sijoittaa Stevenhagenin paljon tarkempaan arvioon 58%. Valitettavasti nämä elementit jäivät selvittämättömiksi: uusia menetelmiä tarvittiin edelleen niiden rakenteen ymmärtämiseksi. Edistyminen tuntui mahdottomalta.
Sitten vuonna 2017, kun Koymans ja Pagano olivat molemmat tutkijakoulussa Leidenin yliopistossa, ilmestyi lehti joka muutti kaiken. "Kun näin tämän, huomasin heti, että se oli erittäin, erittäin vaikuttava tulos", Koymans sanoi. "Oli kuin, ok, nyt minulla on tykki, jolla voin ampua tätä ongelmaa ja toivoa, että voin edistyä." (Siihen aikaan Stevenhagen ja Lenstra olivat myös professoreita Leidenissä, mikä auttoi herättämään Koymansin ja Paganon kiinnostuksen ongelmaa kohtaan.)
Paperi oli Harvardin jatko-opiskelijalta, Alexander Smith (joka on nyt Clay-stipendiaatti Stanfordissa). Koymans ja Pagano eivät olleet yksin pitäessään työtä läpimurrona. "Ideat olivat upeita", Granville sanoi. "Vallankumouksellinen."
Smith oli yrittänyt ymmärtää elliptisten käyrien yhtälöiden ratkaisujen ominaisuuksia. Näin tehdessään hän kehitti tietyn osan Cohen-Lenstra-heuristiikasta. Se ei ollut vain ensimmäinen merkittävä askel noiden laajempien olettamusten vahvistamisessa matemaattisiksi tosiasiaksi, vaan se sisälsi juuri sen luokkaryhmän osan, joka Koymansin ja Paganon oli ymmärrettävä työssään Stevenhagenin olettamuksesta. (Tämä kappale sisälsi elementtejä, joita Fouvry ja Klüners olivat tutkineet osatuloksessaan, mutta se meni myös paljon niiden ulkopuolelle.)
Koymans ja Pagano eivät kuitenkaan voineet heti käyttää Smithin menetelmiä. (Jos se olisi ollut mahdollista, Smith itse olisi todennäköisesti tehnyt niin.) Smithin todiste koski luokkaryhmiä, jotka liittyivät oikeisiin numerorenkaisiin (joissa $latex sqrt{d}$ liitetään kokonaislukuihin) - mutta hän harkitsi kaikkia kokonaislukuarvot d. Koymans ja Pagano sitä vastoin ajattelivat vain pientä osajoukkoa näistä arvoista. d. Tämän seurauksena heidän piti arvioida keskimääräistä käyttäytymistä paljon pienemmän osan luokkaryhmistä.
Nämä luokkaryhmät muodostivat pohjimmiltaan 0 % Smithin luokkaryhmistä – mikä tarkoittaa, että Smith saattoi heittää ne pois kirjoittaessaan todistustaan. Ne eivät vaikuttaneet lainkaan hänen tutkimaansa keskimääräiseen käyttäytymiseen.
Ja kun Koymans ja Pagano yrittivät soveltaa hänen tekniikoitaan vain niille luokkaryhmille, joista he välittivät, menetelmät hajosivat välittömästi. Parin on tehtävä merkittäviä muutoksia saadakseen heidät toimimaan. Lisäksi ne eivät vain luonnehtineet yhtä luokkaryhmää, vaan pikemminkin ristiriitaa, joka saattaa esiintyä kahden eri luokkaryhmän välillä (niin tekeminen olisi suuri osa heidän todistetaan Stevenhagenin olettamuksesta) - mikä vaatisi myös erilaisia työkaluja.
Joten Koymans ja Pagano alkoivat selata tarkemmin Smithin paperia toivoen paikantaa tarkalleen missä asiat alkoivat mennä raiteilta. Se oli vaikeaa ja vaivalloista työtä, ei vain siksi, että materiaali oli niin monimutkaista, vaan koska Smith oli tuolloin vielä jalostamassa esipainoaan tehden tarvittavia korjauksia ja selvennyksiä. (Hän lähetti hänen paperistaan uusi versio verkossa viime kuussa.)
Koko vuoden Koymans ja Pagano oppivat todisteita yhdessä rivi riviltä. He tapasivat joka päivä ja keskustelivat tietystä osiosta lounaalla ennen kuin viettivät muutaman tunnin taulun ääressä ja auttoivat toisiaan käsittelemään asiaankuuluvia ideoita. Jos toinen heistä edistyi itse, hän lähetti tekstiviestin toiselle päivittääkseen hänet. Shusterman muistaa joskus nähneensä heidän työskennellessä pitkään yöhön. Huolimatta (tai ehkä juuri siksi) sen tuomista haasteista "se oli erittäin hauskaa tehdä yhdessä", Koymans sanoi.
Lopulta he tunnistivat, missä heidän pitäisi kokeilla uutta lähestymistapaa. Aluksi he pystyivät tekemään vain vaatimattomia parannuksia. Yhdessä matemaatikoiden kanssa Stephanie Chan ja Djordjo Milovic, he keksivät, kuinka saada käsiinsä joitain lisäelementtejä luokkaryhmässä, minkä ansiosta he saivat paremmat rajat kuin Fouvrylla ja Klünersillä. Mutta merkittävät osat luokkaryhmän rakenteesta jäivät silti heidän ulkopuolelle.
Yksi suuri ongelma, johon heidän oli puututtava – asia, johon Smithin menetelmä ei enää toiminut tässä uudessa kontekstissa – oli varmistaa, että he todella analysoivat luokkaryhmien "keskimääräistä" käyttäytymistä luokkaryhmien arvoina. d kasvanut ja isompi. Oikean satunnaisuuden asteen määrittämiseksi Koymans ja Pagano osoittivat monimutkaisen säännöstön, jota kutsutaan vastavuoroisuuslaiksi. Lopulta se antoi heille mahdollisuuden hallita tarvitsemaansa kahden luokkaryhmän välistä eroa.
Tämä edistys yhdessä muiden kanssa antoi heille mahdollisuuden saada viimeinkin todistus Stevenhagenin olettamuksesta aiemmin tänä vuonna. "On hämmästyttävää, että he pystyivät ratkaisemaan sen kokonaan", Chan sanoi. "Aiemmin meillä oli kaikki nämä ongelmat."
Se, mitä he tekivät, "yllätti minut", Smith sanoi. "Koymans ja Pagano ovat tavallaan säilyttäneet vanhan kieleni ja käyttäneet sitä vain ajaakseen yhä pidemmälle suuntaan, jota tuskin enää ymmärrän."
Terävin työkalu
Siitä lähtien, kun hän esitteli sen viisi vuotta sitten, Smithin todisteita yhdestä Cohen-Lenstra-heuristiikan osasta nähtiin tapana avata ovia lukuisille muille ongelmille, mukaan lukien kysymykset elliptisistä käyristä ja muista kiinnostavista rakenteista. (Kirjoituksessaan Koymans ja Pagano luettelevat noin tusinaa olettamusta, joihin he toivovat käyttävänsä menetelmiään. Monilla ei ole mitään tekemistä negatiivisen Pell-yhtälön tai edes luokkaryhmien kanssa.)
"Monilla esineillä on rakenteet, jotka eivät eroa tämän tyyppisistä algebrallisista ryhmistä", Granville sanoi. Mutta monia samoja tiesulkuja, jotka Koymansin ja Paganon oli kohdattava, on myös näissä muissa yhteyksissä. Uusi negatiivista Pell-yhtälöä koskeva työ on auttanut purkamaan nämä tiesulut. "Alexander Smith on kertonut meille, kuinka nämä sahat ja vasarat rakennetaan, mutta nyt meidän on tehtävä niistä mahdollisimman teräviä ja mahdollisimman iskeviä ja mahdollisimman mukautuvia erilaisiin tilanteisiin", Bartel sanoi. "Yksi asia, jonka tämä lehti tekee, on se, että se menee paljon tähän suuntaan."
Kaikki tämä työ on puolestaan parantanut matemaatikoiden ymmärrystä vain yhdestä luokkaryhmien puolesta. Muut Cohen-Lenstra-oletukset jäävät ulottumattomiin, ainakin toistaiseksi. Mutta Koymansin ja Paganon paperi "on osoitus siitä, että tekniikat, joita meillä on hyökätä ongelmiin Cohen-Lenstrassa, ovat tavallaan kasvamassa", Smith sanoi.
Lenstra itse oli yhtä optimistinen. Se on "aivan mahtavaa", hän kirjoitti sähköpostissa. "Se todella avaa uuden luvun lukuteorian haarassa, joka on yhtä vanha kuin itse lukuteoria."
