Matemaatikot heittävät noppaa ja hankkivat kivipaperia ja sakset

Kuten Bill Gates kertoo tarinan, Warren Buffett haastoi hänet kerran noppapeliin. Jokainen valitsisi yhden neljästä Buffettille kuuluvasta noppaa, ja sitten he heittivät, jolloin suurempi numero voittaa. Nämä eivät olleet vakionoppaa – niissä oli erilainen numerovalikoima kuin tavallisessa 1–6. Buffett tarjoutui antamaan Gatesin valita ensin, jotta hän voisi valita vahvimman noppaa. Mutta kun Gates tutki noppaa, hän palautti vastaehdotuksen: Buffettin tulisi valita ensin.

Gates oli havainnut, että Buffetin nopassa oli outo ominaisuus: kukaan heistä ei ollut vahvin. Jos Gates olisi valinnut ensin, minkä nopan hän valitsikin, Buffett olisi voinut löytää toisen nopan, joka olisi voinut voittaa sen (eli sellaisen, jolla on yli 50 % mahdollisuus voittaa).

Buffetin neljä noppaa (soita heille A, B, C ja D) muodosti kivi-paperi-saksia muistuttavan kuvion, jossa A lyöntiä B, B lyöntiä C, C lyöntiä D ja D lyöntiä A. Matemaatikot sanovat, että tällainen noppasarja on "intransitiivinen".

"Ei ole lainkaan intuitiivista, että [intransitiivisten noppien] pitäisi edes olla olemassa", sanoi Brian Conrey, San Josessa sijaitsevan American Institute of Mathematics -instituutin (AIM) johtaja, joka kirjoitti aiheesta vaikuttavan artikkelin vuonna 2013.

Matemaatikot keksivät ensimmäiset esimerkit intransitiivisten noppaa yli 50 vuotta sitten ja lopulta osoittautui että kun harkitset noppia, joissa on yhä enemmän sivuja, on mahdollista luoda minkä tahansa pituisia intransitiivisia syklejä. Se, mitä matemaatikot eivät tienneet viime aikoihin asti, oli kuinka yleisiä intransitiiviset nopat ovat. Pitääkö tällaisia ​​esimerkkejä keksiä huolellisesti, vai voitko poimia noppaa satunnaisesti ja onnistua löytämään intransitiivisen joukon?

Katso kolme noppaa, jos tiedät sen A lyöntiä B ja B lyöntiä C, se näyttää olevan todiste siitä A on vahvin; tilanteet, joissa C lyöntiä A pitäisi olla harvinaista. Ja todellakin, jos nopan numeroiden annetaan laskea yhteen eri summat, matemaatikot uskovat, että tämä intuitio pitää paikkansa.

Mutta a verkossa julkaistu paperi viime vuoden loppu osoittaa, että toisessa luonnollisessa ympäristössä tämä intuitio pettää näyttävästi. Oletetaan, että vaadit, että noppasi käyttää vain niitä numeroita, jotka näkyvät tavallisessa noppassa ja joiden kokonaissumma on sama kuin tavallisella noppalla. Sitten lehti näytti, jos A lyöntiä B ja B lyöntiä C, A ja C heillä on periaatteessa yhtäläiset mahdollisuudet voittaa toisiaan.

"Sen tietäen A lyöntiä B ja B lyöntiä C ei vain anna sinulle tietoa siitä, onko A lyöntiä C, Sanoi Timothy Gowers Cambridgen yliopistosta, Fields-mitalisti ja yksi osallistujista uuteen tulokseen, joka todistettiin avoimen online-yhteistyön kautta, joka tunnetaan nimellä Polymath-projekti.

Samaan aikaan toinen viime paperi analysoi neljän tai useamman nopan sarjat. Tämä havainto on luultavasti vieläkin paradoksaalisempi: jos esimerkiksi valitset neljä noppaa satunnaisesti ja huomaat, että A lyöntiä B, B lyöntiä C ja C lyöntiä D, niin se on hieman lisää todennäköisesti varten D lyödä A kuin päinvastoin.

Ei vahva eikä heikko

Viimeaikainen tulosten ihottuma sai alkunsa noin vuosikymmen sitten, kun Conrey osallistui matematiikan opettajien kokoukseen istunnossa, jossa käsiteltiin intransitiivisia noppaa. "Minulla ei ollut aavistustakaan, että tällaisia ​​asioita voisi olla olemassa", hän sanoi. "Olin jotenkin kiehtonut heistä."

Hän päätti (myöhemmin liittyi hänen kollegansa Kent Morrison AIM:ssä) tutkia aihetta kolmen hänen ohjaaman lukiolaisen – James Gabbardin, Katie Grantin ja Andrew Liun – kanssa. Kuinka usein ryhmä pohti, muodostavatko satunnaisesti valitut nopat intransitiivisen syklin?

Intransitiivisten noppasarjojen uskotaan olevan harvinaisia, jos noppien kasvojen numerot laskevat yhteen eri summat, koska suurimman summan omaava noppa voittaa todennäköisesti muut. Joten tiimi päätti keskittyä noppiin, joilla on kaksi ominaisuutta: Ensinnäkin nopat käyttävät samoja numeroita kuin tavallisessa noppassa – 1–XNUMX n, jos kyseessä on an n-puolinen kuole. Ja toiseksi, kasvojen numerot ovat samat kuin tavallisessa nokassa. Mutta toisin kuin tavalliset nopat, jokainen noppa voi toistaa joitain numeroita ja jättää toiset pois.

Kuusisivuisten noppien tapauksessa on vain 32 erilaista noppaa, joilla on nämä kaksi ominaisuutta. Joten tietokoneen avulla tiimi saattoi tunnistaa kaikki kolmiot, joissa A lyöntiä B ja B lyöntiä C. Tutkijat huomasivat hämmästyksensä A lyöntiä C vuonna 1,756 kolminkertainen ja C lyöntiä A 1,731 XNUMX kolminkertaisesti - lähes identtiset luvut. Perustuen tähän laskelmaan ja noppien simulaatioihin, joissa on enemmän kuin kuusi sivua, joukkue arveli että kun nopan sivujen lukumäärä lähestyy ääretöntä, on todennäköisyys, että A lyöntiä C lähestyy 50 prosenttia.

Arvio, jossa yhdistyvät saavutettavuus ja vivahteet, vaikutti Conreyltä hyvänä rehuna Polymath-projektille, jossa monet matemaatikot kokoontuvat verkossa jakamaan ideoita. Vuoden 2017 puolivälissä hän ehdotti ideaa Gowersille, Polymath-lähestymistavan alullepanijalle. "Pidin kysymyksestä kovasti sen yllätysarvon vuoksi", Gowers sanoi. Hän kirjoitti a blogi kommentointitulvassa herättäneestä oletuksesta, ja kuuden lisäviestin aikana kommentoijat onnistuivat todistamaan sen.

Kirjassaan postitettu verkkoon marraskuun 2022 lopulla keskeinen osa todistusta sisältää sen osoittamisen, että suurimmaksi osaksi ei ole järkevää puhua siitä, onko yksittäinen kuoppa vahva vai heikko. Buffetin nopat, joista mikään ei ole pakkauksen vahvin, eivät ole kovin epätavallisia: Jos valitset noppaa satunnaisesti, Polymath-projekti osoitti, että se voittaa todennäköisesti noin puolet muista nopista ja häviää toiselle puolelle. "Melkein jokainen kuole on melko keskimääräinen", Gowers sanoi.

Projekti poikkesi AIM-tiimin alkuperäisestä mallista yhdessä suhteessa: Joidenkin teknisten seikkojen yksinkertaistamiseksi projekti julisti, että nopan numerojärjestys on tärkeä – joten esimerkiksi 122556 ja 152562 katsottaisiin kahdeksi eri noppaa. Mutta Polymath-tulos yhdistettynä AIM-ryhmän kokeellisiin todisteisiin luo vahvan oletuksen, että olettamus pitää paikkansa myös alkuperäisessä mallissa, Gowers sanoi.

"Olin todella iloinen, että he keksivät tämän todisteen", Conrey sanoi.

Mitä tulee neljän tai useamman nopan kokoelmiin, AIM-tiimi oli ennustanut samanlaista käyttäytymistä kuin kolmen nopan käyttäytyminen: Esimerkiksi jos A lyöntiä B, B lyöntiä C ja C lyöntiä D silloin pitäisi olla noin 50-50 todennäköisyys D lyöntiä A, lähestyy tasan 50-50, kun nopan sivujen lukumäärä lähestyy ääretöntä.

Arvelun testaamiseksi tutkijat simuloivat kaksikkoturnauksia neljän nopan sarjoille, joissa oli 50, 100, 150 ja 200 sivua. Simulaatiot eivät totelleet heidän ennusteitaan aivan yhtä tarkasti kuin kolmen nopan tapauksessa, mutta olivat silti tarpeeksi lähellä vahvistaakseen heidän uskoaan olettamukseen. Mutta vaikka tutkijat eivät ymmärtäneet sitä, nämä pienet eroavaisuudet sisälsivät toisenlaisen viestin: Neljän tai useamman nopan sarjojen arvelut ovat väärät.

"Halusimme todella [oletuksen] olevan totta, koska se olisi siistiä", Conrey sanoi.

Neljän nopan tapauksessa Elisabetta Cornacchia Sveitsin liittovaltion teknologiainstituutin Lausannesta ja Jan Hązła Afrikan matemaattisten tieteiden instituutin Kigalissa, Ruandassa, osoitti a paperi julkaistu verkossa vuoden 2020 lopulla, että jos A lyöntiä B, B lyöntiä C ja C lyöntiä D, sitten D on hieman parempi kuin 50 % todennäköisyys voittaa A — luultavasti jossain 52 %, Hązła sanoi. (Kuten Polymath-paperissa, Cornacchia ja Hązła käyttivät hieman eri mallia kuin AIM-paperissa.)

Cornacchian ja Hązłan havainto syntyy siitä tosiasiasta, että vaikka yksittäinen noppa ei yleensä ole vahva eikä heikko, noppaparilla voi joskus olla yhteisiä vahvuusalueita. Jos valitset kaksi noppaa satunnaisesti, Cornacchia ja Hązła osoittivat, on hyvä todennäköisyys, että noppaa korreloi: Niillä on taipumus voittaa tai hävitä samalle noppaalle. "Jos pyydän sinua luomaan kaksi noppaa, jotka ovat lähellä toisiaan, käy ilmi, että tämä on mahdollista", Hązła sanoi. Nämä pienet korrelaatiotaskut työntävät turnauksen tulokset pois symmetriasta heti, kun kuvassa on vähintään neljä noppaa.

Viimeaikaiset lehdet eivät ole tarinan loppu. Cornacchian ja Hązłan paperi alkaa vasta paljastaa tarkasti, kuinka noppien väliset korrelaatiot horjuttavat turnausten symmetriaa. Sillä välin tiedämme kuitenkin, että siellä on paljon intransitiivisia noppaa - ehkä jopa yksi, joka on tarpeeksi hienovarainen huijatakseen Bill Gatesin valitsemaan ensin.