Kun on kyse kuplaklustereiden muodon ymmärtämisestä, matemaatikot ovat pelanneet fyysisiä intuitioitamme vuosituhansien ajan. Saippuakuplaklusterit luonnossa näyttävät usein napsahtavan välittömästi alhaisimman energian tilaan, joka minimoi niiden seinien kokonaispinta-alan (mukaan lukien kuplien väliset seinät). Mutta sen tarkistaminen, saavatko saippuakuplat tämän tehtävän oikein – tai vain ennustaa, miltä suurten kuplaklustereiden pitäisi näyttää – on yksi vaikeimmista geometrian ongelmista. Matemaatikoilta kesti 19-luvun lopulle asti todistaa, että pallo on paras yksittäinen kupla, vaikka kreikkalainen matemaatikko Zenodorus oli väittänyt tämän yli 2,000 vuotta aiemmin.
Kuplaongelma on riittävän yksinkertainen toteamaan: Aloitat tilavuuksien numeroiden luettelolla ja kysy sitten, kuinka nämä ilmamäärät suljetaan erikseen pienimmällä pinta-alalla. Mutta tämän ongelman ratkaisemiseksi matemaatikoiden on harkittava monia erilaisia kuplaseinien mahdollisia muotoja. Ja jos tehtävänä on sulkea esimerkiksi viisi tilavuutta, meillä ei ole edes sitä ylellisyyttä, että voimme rajoittaa huomiomme viiden kuplan ryhmiin – ehkä paras tapa minimoida pinta-ala on jakaa yksi tilavuudesta useisiin kupliin.
Jopa kaksiulotteisen tason yksinkertaisemmassa asetuksessa (jossa yrität sulkea joukon alueita ja minimoimalla ympärysmitan), kukaan ei tiedä parasta tapaa sulkea esimerkiksi yhdeksän tai 10 aluetta. Kun kuplien määrä kasvaa, "nopeasti et voi saada edes uskottavia olettamuksia", sanoi Emanuel Milman Technionin Haifassa, Israelissa.
Mutta yli neljännesvuosisata sitten, John Sullivan, nyt Berliinin teknisestä yliopistosta, ymmärsi, että tietyissä tapauksissa on olemassa a ohjaava arvaus saatava. Kuplaongelmat ovat järkeviä missä tahansa ulottuvuudessa, ja Sullivan havaitsi, että niin kauan kuin suljettavien volyymien määrä on korkeintaan yhtä suurempi kuin mitta, on olemassa erityinen tapa sulkea tilavuudet, joka on tietyssä mielessä kauniimpi kuin mikään muu – eräänlainen täysin symmetrisen kuplarypäleen varjo pallon päällä. Tämän varjoklusterin, hän arveli, pitäisi olla se, joka minimoi pinta-alan.
Seuraavan vuosikymmenen aikana matemaatikot kirjoittivat joukon uraauurtavia papereita, jotka todistavat Sullivanin olettamukset, kun yrität liittää vain kaksi osaa. Tässä ratkaisuna on tuttu kaksoiskupla, jonka olet saattanut puhaltaa puistossa aurinkoisena päivänä ja joka koostuu kahdesta pallomaisesta kappaleesta, joiden välissä on litteä tai pallomainen seinä (riippuen siitä, ovatko kuplat samat vai eri tilavuudet).
Mutta todistamassa Sullivanin arvelut kolmelle osalle, matemaatikko Frank Morgan Williams Collegesta spekuloi vuonna 2007 "voi kestää vielä sata vuotta".
Nyt matemaatikot ovat säästyneet siltä pitkältä odotukselta – ja he ovat saaneet paljon enemmän kuin vain ratkaisun kolminkertaiseen kuplaongelmaan. Jonkin sisällä paperi julkaistu verkossa toukokuussa, Milman ja Joe NeemanTeksasin yliopistosta Austinista, ovat osoittaneet Sullivanin arvelun kolminkertaisista kuplista, joiden ulottuvuus on kolme ja sitä suurempi, ja neljänkertaisista kuplista, joiden ulottuvuus on neljä ja sitä suurempi, ja jatkopaperi viisinkertaisista kuplista, joiden ulottuvuus on viisi ja suurempi, on työn alla.
Ja kun on kyse kuudesta tai useammasta kuplasta, Milman ja Neeman ovat osoittaneet, että parhaalla klusterilla täytyy olla monia Sullivanin ehdokkaan keskeisiä ominaisuuksia, jotka voivat mahdollisesti aloittaa matemaatikot tiellä todistamaan olettamukset myös näissä tapauksissa. "Minun vaikutelmani on, että he ovat ymmärtäneet Sullivanin arvelun taustalla olevan olennaisen rakenteen", sanoi Francesco Maggi Texasin yliopistosta, Austin.
Milmanin ja Neemanin keskeinen lause on "monumentaalinen", Morgan kirjoitti sähköpostissa. "Se on loistava saavutus, jossa on paljon uusia ideoita."
Varjokuplat
Kokemuksemme aidoista saippuakupista tarjoavat houkuttelevia intuitioita siitä, miltä optimaalisten kuplaklustereiden tulisi näyttää, ainakin pienten klustereiden osalta. Kolminkertaisilla tai nelinkertaisilla kuplilla, joita puhallamme saippuasauvojen läpi, näyttävät olevan pallomaiset seinämät (ja toisinaan litteät) ja niillä on taipumus muodostaa tiukkoja kokkareita pikemminkin kuin esimerkiksi pitkän kuplaketjun.
Mutta ei ole niin helppoa todistaa, että nämä todella ovat optimaalisten kuplaklustereiden ominaisuuksia. Esimerkiksi matemaatikot eivät tiedä, ovatko minimoivan kuplaklusterin seinät aina pallomaisia vai litteitä – he tietävät vain, että seinillä on "vakiokeskikaarevuus", mikä tarkoittaa, että keskimääräinen kaarevuus pysyy samana pisteestä toiseen. Palloilla ja tasaisilla pinnoilla on tämä ominaisuus, mutta niin on monilla muillakin pinnoilla, kuten sylintereillä ja aaltoilevilla muodoilla, joita kutsutaan unduloideiksi. Pinnat, joilla on jatkuva keskikaarevuus, ovat "täydellinen eläintarha", Milman sanoi.
Mutta 1990-luvulla Sullivan ymmärsi, että kun sisältyvien niteiden määrä on korkeintaan yhden suurempi kuin ulottuvuus, on ehdokasklusteri, joka näyttää ylittävän muut – yksi (ja vain yksi) klusteri, jolla on tavalliset ominaisuudet. nähdä pieninä ryhminä todellisia saippuakuplia.
Saadaksemme käsityksen siitä, miten tällainen ehdokas rakennetaan, käytetään Sullivanin lähestymistapaa kolmen kuplan klusterin luomiseen tasaiseen tasoon (joten "kuplat" ovat tasossa olevia alueita kolmiulotteisten kohteiden sijaan). Aloitamme valitsemalla pallolta neljä pistettä, jotka ovat kaikki samalla etäisyydellä toisistaan. Kuvittele nyt, että jokainen näistä neljästä pisteestä on pienen kuplan keskus, joka elää vain pallon pinnalla (joten jokainen kupla on pieni kiekko). Täytä pallolla olevat neljä kuplaa, kunnes ne alkavat törmätä toisiinsa, ja jatka sitten täyttämistä, kunnes ne yhdessä täyttävät koko pinnan. Päädymme neljän kuplan symmetriseen klusteriin, joka saa pallon näyttämään pullistuneelta tetraedrilta.
Seuraavaksi asetamme tämän pallon äärettömän tasaisen tason päälle, ikään kuin pallo olisi loputtomalla lattialla lepäävä pallo. Kuvittele, että pallo on läpinäkyvä ja pohjoisnavalla on lyhty. Neljän kuplan seinät heijastavat varjoja lattialle muodostaen siellä kuplaklusterin seinät. Pallon neljästä kuplista kolme heijastuu alas lattialla oleviin varjokupoihin; neljäs kupla (joka sisältää pohjoisnavan) heijastuu alas äärettömään lattian laajuuteen kolmen varjokuplan joukon ulkopuolelle.
Saamme erityinen kolmen kuplan klusteri riippuu siitä, kuinka satuimme sijoittamaan pallon, kun laitoimme sen lattialle. Jos pyöritämme palloa niin, että eri piste siirtyy lyhtiin pohjoisnavalla, saamme tavallisesti erilaisen varjon ja kolmella lattialla olevalla kuplalla on eri alueet. Matemaatikoilla on osoittautui että mille tahansa kolmelle alueille valitsemallesi numerolle on käytännössä yksi tapa sijoittaa pallo siten, että kolmella varjokuplalla on juuri kyseiset alueet.
Voimme vapaasti suorittaa tämän prosessin missä tahansa ulottuvuudessa (vaikka korkeamman ulottuvuuden varjoja on vaikeampi visualisoida). Mutta on olemassa raja, kuinka monta kuplia meillä voi olla varjoklusterissamme. Yllä olevassa esimerkissä emme olisi voineet tehdä neljän kuplan klusteria tasoon. Tämä olisi edellyttänyt aloittamista viidestä pallon pisteestä, jotka ovat kaikki samalla etäisyydellä toisistaan - mutta on mahdotonta sijoittaa niin monta yhtä kaukana olevaa pistettä pallolle (vaikka voit tehdä sen korkeamman ulottuvuuden palloilla). Sullivanin menetelmä toimii vain luomaan enintään kolmen kuplan klustereita kaksiulotteiseen avaruuteen, neljä kuplaa kolmiulotteiseen avaruuteen, viisi kuplaa neliulotteiseen avaruuteen ja niin edelleen. Näiden parametrialueiden ulkopuolella Sullivan-tyylisiä kuplaklustereita ei vain ole olemassa.
Mutta näiden parametrien sisällä Sullivanin menettely antaa meille kuplaklustereita asetuksissa, jotka ovat paljon pidemmät kuin fyysinen intuitiomme voi käsittää. "On mahdotonta visualisoida, mikä on 15-kupla [23-ulotteisessa avaruudessa]", Maggi sanoi. "Kuinka edes haaveilet sellaisen esineen kuvailusta?"
Silti Sullivanin kuplaehdokkaat perivät pallomaisista esivanhemmistaan ainutlaatuisen kokoelman ominaisuuksia, jotka muistuttavat luonnossa näkemiämme kuplia. Niiden seinät ovat kaikki pallomaisia tai litteitä, ja missä tahansa kolme seinää kohtaavat, ne muodostavat 120 asteen kulmat, kuten symmetrisessä Y-muodossa. Jokainen taltioista, joita yrität sulkea, sijaitsee yhdellä alueella sen sijaan, että ne olisi jaettu useille alueille. Ja jokainen kupla koskettaa jokaista toista (ja ulkoa) muodostaen tiiviin klusterin. Matemaatikot ovat osoittaneet, että Sullivanin kuplat ovat ainoat klusterit, jotka täyttävät kaikki nämä ominaisuudet.
Kun Sullivan oletti, että näiden pitäisi olla klustereita, jotka minimoivat pinta-alan, hän sanoi pohjimmiltaan: "Oletetaan kauneus", Maggi sanoi.
Mutta kuplan tutkijoilla on hyvä syy olla varovainen olettamaan, että vain siksi, että ehdotettu ratkaisu on kaunis, se on oikea. "On olemassa hyvin kuuluisia ongelmia... joissa voit odottaa symmetriaa minimointilaitteille, ja symmetria epäonnistuu näyttävästi", Maggi sanoi.
Esimerkiksi, on olemassa läheisesti liittyvä ongelma äärettömän tilan täyttämisessä yhtä suurilla kuplilla tavalla, joka minimoi pinta-alan. Vuonna 1887 brittiläinen matemaatikko ja fyysikko Lord Kelvin ehdotti, että ratkaisu voisi olla tyylikäs hunajakennomainen rakenne. Yli vuosisadan ajan monet matemaatikot uskoivat tämän olevan todennäköinen vastaus – vuoteen 1993 asti, jolloin fyysikkopari tunnistanut paremman, vaikkakin vähemmän symmetrinen vaihtoehto. "Matematiikka on täynnä... esimerkkejä, joissa tällaista outoa tapahtuu", Maggi sanoi.
Pimeä Taide
Kun Sullivan ilmoitti olettamuksestaan vuonna 1995, sen kaksoiskuplaosa oli kellunut jo vuosisadan. Matemaatikot olivat ratkaisseet 2D kaksoiskuplaongelma kaksi vuotta aiemmin ja sitä seuraavan vuosikymmenen aikana he ratkaisivat sen vuonna kolmiulotteinen tila ja sitten sisään korkeampi mitat. Mutta kun se tuli seuraavaan Sullivanin olettamukseen - kolminkertaisiin kupliin - he voisivat todista olettamus vain kaksiulotteisessa tasossa, jossa kuplien väliset rajapinnat ovat erityisen yksinkertaisia.
Sitten vuonna 2018 Milman ja Neeman osoittivat analogisen version Sullivanin oletuksesta tilanteessa, joka tunnetaan Gaussin kuplaongelmana. Tässä asetelmassa voit ajatella, että jokaisella avaruuden pisteellä on rahallinen arvo: Origo on kallein paikka, ja mitä kauemmaksi olet lähtöpaikasta, sitä halvemmaksi maasta tulee, jolloin muodostuu kellokäyrä. Tavoitteena on luoda koteloita ennalta valituilla hinnoilla (ennalta valittujen volyymien sijaan) tavalla, joka minimoi koteloiden rajojen kustannukset (rajojen pinta-alan sijaan). Tällä Gaussin kuplaongelmalla on sovelluksia tietojenkäsittelytieteessä pyöristysmenetelmiin ja kohinaherkkyyskysymyksiin.
Milman ja Neeman esittivät omansa todiste että Matematiikan Annals, luultavasti matematiikan arvostetuin lehti (jossa se myöhemmin hyväksyttiin). Mutta parilla ei ollut aikomusta kutsua sitä päiväksi. Heidän menetelmänsä vaikuttivat lupaavilta myös klassiseen kuplaongelmaan.
He heittelivät ideoita edestakaisin useita vuosia. "Meillä oli 200-sivuinen muistiinpanoasiakirja", Milman sanoi. Aluksi tuntui, että he edistyivät. Mutta sitten se muuttui nopeasti: 'Yritimme tätä suuntaa - ei. Yritimme [sitä] suuntaa – ei.” Suojatakseen panoksiaan molemmat matemaatikot jatkoivat myös muita projekteja.
Sitten viime syksynä Milman tuli sapattivapaalle ja päätti vierailla Neemanin luona, jotta pariskunta voisi keskittyä kuplaongelmaan. "Sapattivapaan aikana on hyvä aika kokeilla korkean riskin ja korkean hyötysuhteen tyyppejä", Milman sanoi.
Ensimmäisten kuukausien aikana he eivät päässeet mihinkään. Lopulta he päättivät antaa itselleen hieman helpomman tehtävän kuin Sullivanin täydelliset olettamukset. Jos annat kuplillesi yhden ylimääräisen hengitystilan ulottuvuuden, saat bonuksen: Parhaalla kuplaklusterilla on peilisymmetria keskitason poikki.
Sullivanin olettamus koskee kolminkertaisia kuplia dimensioissa kaksi ja enemmän, nelinkertaisia kuplia dimensioissa kolme ja enemmän ja niin edelleen. Saadakseen bonussymmetriaa Milman ja Neeman rajoittivat huomionsa kolminkertaisiin kupliin dimensioissa kolme ja ylöspäin, nelinkertaisiin kupliin dimensioissa neljä ja enemmän ja niin edelleen. "Me todella edistyimme vasta, kun luovuimme hankkimasta sitä kaikille parametreille", Neeman sanoi.
Tämän peilisymmetrian avulla Milman ja Neeman keksivät häiriöargumentin, joka sisältää peilin yläpuolella olevan kuplaklusterin puolikkaan puhaltamisen ja sen alapuolella olevan puolikkaan tyhjentämisen. Tämä häiriö ei muuta kuplien tilavuutta, mutta se voi muuttaa niiden pinta-alaa. Milman ja Neeman osoittivat, että jos optimaalisessa kuplaklusterissa on seinämiä, jotka eivät ole pallomaisia tai litteitä, tämä häiriö voidaan valita siten, että se pienentää klusterin pinta-alaa - ristiriita, koska optimaalisella klusterilla on jo vähiten pinta-alaa. alue mahdollista.
Häiriöiden käyttäminen kuplien tutkimiseen ei ole kaukana uusi idea, mutta sen selvittäminen, mitkä häiriöt havaitsevat kuplaklusterin tärkeät ominaisuudet, on "hieman synkkää taidetta", Neeman sanoi.
Jälkikäteen ajatellen "kun näet [Milmanin ja Neemanin häiriöt], ne näyttävät melko luonnollisilta", sanoi. Joel Hass Kalifornian yliopistosta Davisista.
Mutta häiriöiden tunnistaminen luonnollisiksi on paljon helpompaa kuin niiden keksiminen alun perin, Maggi sanoi. "Se ei todellakaan ole asia, jota voit sanoa: 'Loppujen lopuksi ihmiset olisivat löytäneet sen'", hän sanoi. "Se on todella nero erittäin merkittävällä tasolla."
Milman ja Neeman pystyivät käyttämään häiriöitä osoittamaan, että optimaalisen kuplaklusterin on täytettävä kaikki Sullivanin klusterien ydinominaisuudet, paitsi ehkä yksi: ehto, jonka mukaan jokaisen kuplan on kosketettava toisiaan. Tämä viimeinen vaatimus pakotti Milmanin ja Neemanin painiskelemaan kaikkien tapojen kanssa, joilla kuplat voivat liittyä klusteriin. Kun kyseessä on vain kolme tai neljä kuplaa, ei ole niin monia mahdollisuuksia harkita. Mutta kun lisäät kuplien määrää, erilaisten mahdollisten yhteysmallien määrä kasvaa jopa eksponentiaalisesti.
Milman ja Neeman toivoivat aluksi löytävänsä kattavan periaatteen, joka kattaisi kaikki nämä tapaukset. Mutta vietettyään muutaman kuukauden "murtaen päämme", Milman sanoi, he päättivät tyytyä toistaiseksi ad hoc -lähestymistapaan, jonka avulla he pystyivät käsittelemään kolmin- ja nelinkertaisia kuplia. He ovat myös julkistaneet julkaisemattoman todisteen siitä, että Sullivanin viisinkertainen kupla on optimaalinen, vaikka he eivät ole vielä vahvistaneet, että se on ainoa optimaalinen klusteri.
Milmanin ja Neemanin työ on "täysin uusi lähestymistapa pikemminkin kuin aikaisempien menetelmien laajennus", Morgan kirjoitti sähköpostissa. On todennäköistä, Maggi ennusti, että tätä lähestymistapaa voidaan viedä vielä pidemmälle - ehkä yli viiden kuplan ryhmiin tai Sullivanin arveluihin, joissa ei ole peilisymmetriaa.
Kukaan ei odota edistyvän helposti; mutta se ei ole koskaan lannistanut Milmania ja Neemania. "Kokemukseni mukaan", Milman sanoi, "kaikki tärkeimmät asiat, jotka minulla oli onni pystyä tekemään, vaativat vain, että ei luovuta."
