Todennäköisyys- ja lukuteoria törmäävät – hetkessä

Heidän tavoitteensa olivat aina korkealla. Kun Will Sawin ja Melanie Matchett Wood aloittivat työskentelyn yhdessä kesällä 2020, he päättivät pohtia uudelleen joidenkin lukuteorian kiehtovimpien oletusten avainkomponentteja. Heidän huomionsa aiheet, luokkaryhmät, liittyvät läheisesti peruskysymyksiin siitä, miten aritmetiikka toimii, kun lukuja laajennetaan kokonaislukujen ulkopuolelle. Sawin, Columbian yliopistossa ja Puu, Harvardissa, halusi tehdä ennusteita rakenteista, jotka ovat vielä yleisempiä ja matemaattisesti pelottavampia kuin luokkaryhmä.

Jo ennen kuin he lopettivat ennusteidensa muotoilun, he osoittivat lokakuussa a uusi tulos jonka avulla matemaatikot voivat soveltaa yhtä hyödyllisimmistä todennäköisyysteorian työkaluista paitsi luokkaryhmiin, myös lukukokoelmiin, verkkoihin ja moniin muihin matemaattisiin objekteihin.

"Tämä on vain peruspaperi, jonka puoleen kaikki kääntyvät, kun he alkavat ajatella näitä ongelmia", sanoi David Zureick-Brown, matemaatikko Emoryn yliopistossa. "Enää ei tunnu siltä, ​​että sinun tarvitsee keksiä asioita tyhjästä."

Luokkalaki

Luokkaryhmä on esimerkki strukturoidusta matemaattisesta joukosta, jota kutsutaan ryhmäksi. Ryhmiin kuuluu monia tuttuja joukkoja, kuten kokonaislukuja. Se, mikä tekee kokonaisluvuista ryhmän, ei pelkän lukujoukon, on se, että voit lisätä sen elementit yhteen ja saada toisen kokonaisluvun. Yleisesti ottaen joukko on ryhmä, jos sen mukana tulee jokin operaatio, joka, kuten summaus, yhdistää kaksi elementtiä kolmanneksi elementiksi tavalla, joka täyttää joitakin perusvaatimuksia. Esimerkiksi, pitäisi olla versio nollasta, elementistä, joka ei muuta mitään muista.

Kokonaisluvut, joita matemaatikot yleensä kutsuvat $lateksiksi mathbb{Z}$, ovat äärettömiä. Mutta monilla ryhmillä on rajallinen määrä elementtejä. Jos esimerkiksi haluat tehdä ryhmän, jossa on neljä elementtiä, harkitse joukkoa {0, 1, 2, 3}. Tavallisen summauksen sijaan jaa minkä tahansa kahden luvun summa 4:llä ja ota loput. (Näiden sääntöjen mukaan 2 + 2 = 0 ja 2 + 3 = 1.) Tätä ryhmää kutsutaan nimellä $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Yleensä, jos haluat tehdä ryhmän $latex n$ -elementeillä, voit viedä numerot nollasta n – 1 ja huomioi loput jakaessasi n. Tuloksena olevaa ryhmää kutsutaan nimellä $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, vaikka tämä ei aina ole ainoa ryhmä, jolla on n elementtejä.

Luokkaryhmä ilmestyy, kun lukuteoreetikot tutkivat kokonaislukujen ulkopuolisten lukujen rakennetta. Tätä varten he lisäävät uusia lukuja kokonaislukuihin, kuten i (−1:n neliöjuuri), $latex sqrt{5}$ tai jopa $latex sqrt{–5}$.

”Se, mihin olemme tottuneet numeroissa, eivät enää pidä paikkaansa tässä yhteydessä. Tai ainakaan ne eivät välttämättä ole totta", sanoi Jordan Ellenberg, matemaatikko Wisconsinin yliopistosta, Madisonista.

Erityisesti factoring toimii eri tavalla kokonaislukujen laajennuksissa. Jos pysyt vain kokonaisluvuissa, luvut voidaan laskea alkuluvuiksi (luvut, jotka voidaan jakaa vain itsellään ja 1:llä) vain yhdellä tavalla. Esimerkiksi 6 on 2 × 3, eikä sitä voida sisällyttää muihin alkulukuihin. Tätä ominaisuutta kutsutaan ainutlaatuiseksi tekijäksi.

Mutta jos lisäät $latex sqrt{–5}$ numerojärjestelmääsi, sinulla ei ole enää yksilöllistä tekijöiden jakoa. Voit kertoa 6 alkulukuihin kahdella eri tavalla. Se on edelleen 2 × 3, mutta se on myös $lateksi (1 + sqrt{–5})$ × $lateksi (1 – sqrt{–5})$.

Luokkaryhmät luodaan tällaisista laajennuksista kokonaislukuihin. "Luokkaryhmät ovat uskomattoman tärkeitä", Wood sanoi. "Ja siksi on luonnollista ihmetellä: millaisia ​​ne yleensä ovat?"

Mihin tahansa kokonaislukujen laajennukseen liittyvän luokkaryhmän koko on ilmapuntari, joka kertoo, kuinka paljon yksilöllistä tekijöiden jakautumista hajoaa. Vaikka matemaatikot ovat osoittaneet, että luokkaryhmät ovat aina äärellisiä, niiden rakenteen ja koon selvittäminen on monimutkaista. Siksi vuonna 1984 Henri Cohen ja Hendrik Lenstra teki joitain arvauksia. Heidän arvauksensa, jota nykyään kutsutaan Cohen-Lenstra-heuristiikaksi, koskivat kaikkia luokkaryhmiä, jotka ilmestyvät, kun lisäät uusia neliöjuuria kokonaislukuihin. Jos kaikki nuo luokkaryhmät koottiin yhteen, Cohen ja Lenstra ehdottivat vastauksia kysymyksiin, kuten: Mikä osa niistä sisältää ryhmän $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Tai $lateksi mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Tai jokin muu tunnettu äärellinen ryhmä?

Cohen ja Lenstra pakottivat lukuteoreetikot pohtimaan yksittäisiä esimerkkejä luokkaryhmistä, vaan tilastoja, jotka ovat luokkaryhmien taustalla kokonaisuutena. Heidän ennustuksensa pohjautuivat näkemykseen matematiikasta universumina, jonka kaavoja on paljastettava kaikilla tasoilla.

Lähes 40 vuotta myöhemmin Cohen-Lenstra-heuristiikkaa uskotaan laajalti todeksi, vaikka kukaan ei ole päässyt lähellekään todistamaan niitä. Niiden vaikutus matematiikkaan on ollut käsinkosketeltava, sanoi Nigel Boston, emeritusprofessori Wisconsinin yliopistosta Madisonista. "Se, mitä on löydetty, on tämä hämmästyttävä verkko", hän sanoi. "Siellä on tämä valtava infrastruktuuri, jolla ajattelemme, että maailma on koottu."

Ainoa peli kaupungissa

Koska matemaatikot eivät pystyneet käsittelemään heuristiikkaa suoraan, he keksivät helpommin selvitettäviä ongelmia, joiden he toivoivat valaisevan tilannetta. Tästä työstä syntyi hyödyllinen joukko suureita, joita matemaatikot alkoivat kutsua hetkiksi todennäköisyysteoriassa käytetyn termin mukaan.

Todennäköisesti hetket voivat auttaa sinua laskemaan satunnaislukujen takana olevat jakaumat. Harkitse esimerkiksi päivittäisen korkeimman lämpötilan jakautumista 1. tammikuuta New Yorkissa – todennäköisyys, että ensi vuoden tammikuun 1. päivänä se on 10 Fahrenheit-astetta tai 40 astetta tai 70 tai 120. Sinun tarvitsee vain tehdä töitä kanssa on menneisyyden data: päivittäisen huipputason historia 1. tammikuuta joka vuosi tallennetun historian alusta lähtien.

Jos lasket näiden lämpötilojen keskiarvon, opit vähän, mutta et kaikkea. Keskimääräinen korkea 40 asteen lämpötila ei kerro mahdollisuutta, että lämpötila on yli 50 astetta tai alle 20 astetta.

Mutta tämä muuttuu, jos saat lisätietoja. Tarkemmin sanottuna voit oppia lämpötilan neliön keskiarvon, suuren, joka tunnetaan jakautumisen toisena hetkenä. (Keskiarvo on ensimmäinen hetki.) Tai voit oppia kuutioiden keskiarvon, joka tunnetaan kolmantena hetkenä, tai neljännen potenssin keskiarvon - neljännen hetken.

1920-luvulle mennessä matemaatikot olivat tajunneet, että jos tämän sarjan hetket kasvavat riittävän hitaasti, kaikkien hetkien tunteminen antaa sinun päätellä, että vain yhdellä mahdollisella jakaumalla on kyseiset hetket. (Vaikka tämä ei välttämättä anna sinun laskea tätä jakaumaa suoraan.)

"Se on todella epäintuitiivista", Wood sanoi. ”Jos ajattelee jatkuvaa jakelua, sillä on jonkinlainen muoto. Tuntuu siltä, ​​että siinä on enemmän kuin mitä voidaan vain vangita numerosarjaan."

Cohen-Lenstra-heuristiikasta kiinnostuneet matemaatikot ymmärsivät, että aivan kuten todennäköisyysteorian hetkiä voitaisiin käyttää saavuttamaan todennäköisyysjakauma, luokkaryhmille tietyllä tavalla määritellyt hetket voivat olla linssi, jonka läpi voimme nähdä niiden koon ja rakenteen. . Toronton yliopiston matemaatikko Jacob Tsimerman sanoi, että hän ei voi kuvitella, kuinka luokkaryhmien jakauma voitaisiin suoraan laskea. Hän sanoi, että hetkien käyttäminen on "enemmän kuin helpompaa. Se on ainoa peli kaupungissa."

Tämä taikahetki

Vaikka jokainen todennäköisyyshetki liittyy kokonaislukuun - kolmanteen potenssiin, neljänteen potenssiin ja niin edelleen - numeroteoreetikkojen esittämät uudet suureet vastaavat kukin ryhmää. Nämä uudet hetket riippuvat siitä, että voit usein pienentää ryhmän pienemmäksi kokoamalla eri elementtejä yhteen.

Ryhmään liittyvän hetken laskeminen G, ota kaikki mahdolliset luokkaryhmät – yksi jokaista uutta neliöjuurta kohti, jonka lisäät kokonaislukuihin. Laske jokaiselle luokkaryhmälle eri tapoja, joilla voit tiivistää sen G. Ota sitten näiden lukujen keskiarvo. Tämä prosessi saattaa tuntua monimutkaiselta, mutta sen kanssa on paljon helpompi työskennellä kuin Cohenin ja Lenstran ennusteiden takana oleva todellinen jakelu. Vaikka itse Cohen-Lenstra-heuristiikkaa on monimutkainen ilmaista, niiden ennustamat jakauman hetket ovat kaikki 1.

"Se saa sinut ajattelemaan, vau, ehkä hetket ovat luonnollinen tapa lähestyä sitä", Ellenberg sanoi. "Näyttää uskottavammalta pystyä todistamaan, että jokin on yhtä kuin 1, kuin todistaa, että se on yhtä kuin jokin hullu ääretön tuote."

Kun matemaatikot tutkivat jakaumia ryhmien (luokkaryhmien tai muiden) välillä, he päätyvät yhtälöön jokaiselle ryhmälle G, jolloin todennäköisyydet edustavat nyt esimerkiksi $lateksi mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ näyttävien luokkaryhmien osuutta. Kun yhtälöitä on äärettömän monta ja mahdollisia luokkaryhmiä on äärettömästi, todennäköisyyksien ratkaiseminen on hankalaa. Ei ole itsestään selvää, onko se edes järkevää tehdä niin.

"Kun sinulla on äärettömät summat, asiat voivat mennä pieleen", Wood sanoi.

Silti matemaatikot, jotka eivät vieläkään löytäneet muita polkuja jakaumien tutkimiseen, palasivat hetken ongelmaan. Julkaisussa julkaistussa teoksessa Matematiikan Annals vuonna 2016 Ellenberg yhdessä Akshay Venkateshin ja Craig Westerlandin kanssa, käytettyjä hetkiä tutkia luokkaryhmien tilastoja hieman erilaisessa ympäristössä kuin Cohen ja Lenstra olivat harkinneet. Tämä idea oli uudelleen useat kertaa. Mutta joka kerta kun tutkijat käyttivät hetkiä, he turvautuivat oman ongelmansa erikoisuuksiin todistaakseen, että äärettömällä yhtälöjoukolla oli ratkaisu. Tämä tarkoitti, että heidän tekniikansa eivät olleet siirrettävissä. Seuraava matemaatikko, joka tarvitsi hetkiä, joutuisi ratkaisemaan hetken ongelman uudestaan.

Yhteistyönsä alussa Sawin ja Wood suunnittelivat myös lähtevän tälle tielle. He käyttivät hetkiä ennustaakseen, kuinka monimutkaisempia versioita luokkaryhmistä jaettiin. Mutta noin vuoden kuluttua projektistaan ​​he kiinnittivät huomionsa itse hetken ongelmaan.

Sidetracked

Kollegat kuvailevat Sawinia ja Woodia epätavallisen intohimoisina työssään. "He ovat molemmat erittäin älykkäitä. Mutta älykkäitä ihmisiä on paljon”, Zureick-Brown sanoi. "Heillä on positiivinen asenne matematiikan tekemiseen."

Aluksi Sawin ja Wood halusivat käyttää hetkiä laajentaakseen Cohen-Lenstran ennusteita uusiin asetuksiin. Mutta pian he olivat tyytymättömiä ongelma-argumenttiinsa. "Meillä oli tarve kirjoittaa samanlaisia ​​argumentteja toistuvasti", Sawin muisteli. Lisäksi hän lisäsi, että heidän käyttämänsä matemaattinen kieli "ei näyttänyt ymmärtävän väitteen ydintä... Ideoita oli olemassa, mutta emme vain olleet löytäneet oikeaa tapaa ilmaista niitä."

Sawin ja Wood kaivautuivat syvemmälle todisteisiinsa yrittäen selvittää, mitä kaiken takana todella oli. He päätyivät todistukseen, joka ratkaisi hetken ongelman ei vain heidän erityissovelluksensa, vaan minkä tahansa ryhmien jakauman - ja kaikenlaisten muiden matemaattisten rakenteiden osalta.

He jakavat ongelman pieniin, hallittavissa oleviin vaiheisiin. Sen sijaan, että yrittäisivät ratkaista koko todennäköisyysjakauman kerralla, he keskittyivät vain pieneen osaan hetkiä.

Esimerkiksi ryhmien välisen todennäköisyysjakauman momenttiongelman ratkaisemiseksi jokainen hetki liitetään ryhmään G. Aluksi Sawin ja Wood tarkastelivat yhtälöjärjestelmää, joka sisälsi vain hetket rajoitetulle luettelolle ryhmistä.. Sitten he lisäsivät hitaasti ryhmiä luetteloon ja katsoivat joka kerta enemmän ja enemmän hetkiä. Tekemällä ongelmasta asteittain monimutkaisemman, he tekivät jokaisesta vaiheesta ratkaistavan ongelman. Vähitellen he rakensivat täydellisen ratkaisun hetkelliseen ongelmaan.

"Tuo kiinteä lista on tavallaan kuin silmälasit, jotka laitat päähän, ja mitä useampia ryhmiä olet valmis harkitsemaan, sitä paremmat lasisi ovat", Wood selitti.

Kun he vihdoin pyyhkäisivät pölyt pois viimeisistä vieraista yksityiskohdista, he huomasivat kiistan, jonka lonkerot ulottuivat matematiikan yli. Niiden tulos toimi luokkaryhmissä, geometrisiin muotoihin liittyvissä ryhmissä, pisteiden ja viivojen verkostoissa sekä muissa matemaattisemmin monimutkaisemmissa sarjoissa. Kaikissa näissä tilanteissa Sawin ja Wood löysivät kaavan, joka ottaa joukon hetkiä ja sylkee ulos jakelun, jolla on kyseiset hetket (kunhan hetket eivät kasva liian nopeasti muiden vaatimusten ohella).

"Se on hyvin Melanien tyyliä", Ellenberg sanoi. "Todistetaanpa hyvin yleinen lause, joka käsittelee monia erilaisia ​​tapauksia tavallaan yhtenäisesti ja tyylikkäästi."

Sawin ja Wood ovat nyt palaamassa alkuperäiseen tavoitteeseensa. Tammikuun alussa he jakoivat uusi paperi joka korjaa virheelliset Cohen-Lenstra-ennusteet Cohen ja hänen kollegansa Jacques Martinet tekivät 1980-luvun lopulla. Tämän lisäksi heillä on vielä enemmän tuloksia jonossa, ja he aikovat laajentaa heuristiikkaa entistä enemmän uusiin tilanteisiin. "En tiedä, loppuuko tämä projekti koskaan", Sawin sanoi.

Hetken ongelma, jonka Sawin ja Wood ratkaisivat, on ollut "eräänlainen piikki takaosassasi monille erilaisille kysymyksille", Tsimerman sanoi. "Uskon, että monet matemaatikot hengittävät helpotuksesta."