Rekursiivisten sekvenssien hämmästyttävä käyttäytyminen | Quanta-lehti

Matematiikassa yksinkertaiset säännöt voivat avata monimutkaisuuden ja kauneuden universumia. Otetaan kuuluisa Fibonacci-sekvenssi, joka määritellään seuraavasti: Se alkaa luvuilla 1 ja 1, ja jokainen seuraava luku on kahden edellisen summa. Ensimmäiset numerot ovat:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Yksinkertainen kyllä, mutta tämä vaatimaton resepti synnyttää kauaskantoisen merkityksen kuvion, joka näyttää olevan kudottu osaksi luonnon kudosta. Se näkyy nautiluksen kuorien pyörteissä, sormiemme luissa ja lehtien sijoittelussa puiden oksissa. Sen matemaattinen ulottuvuus ulottuu muun muassa geometriaan, algebraan ja todennäköisyyksiin. Kahdeksan vuosisataa sen jälkeen, kun sekvenssi esiteltiin länteen – intialaiset matemaatikot tutkivat sitä kauan ennen Fibonaccia – luvut herättävät edelleen tutkijoiden kiinnostusta, mikä on osoitus siitä, kuinka paljon matemaattista syvyyttä voi olla jopa alkeisimmallakin numerosarjalla.

Fibonacci-sekvenssissä jokainen termi rakentuu sitä edeltäneille. Tällaisilla rekursiivisilla sarjoilla voi esiintyä monenlaisia ​​​​käyttäytymismuotoja, joista osa on hämmästyttävän vastoin intuitiivista. Otetaan esimerkiksi omituinen sekvenssiperhe, jonka amerikkalainen matemaatikko kuvasi ensimmäisen kerran 1980-luvulla. Michael Somos.

Kuten Fibonacci-sekvenssi, Somos-sekvenssi alkaa ykkösten sarjalla. A Somos-k sekvenssi alkaa k heistä. Jokainen somosen uusi termik järjestys määritellään yhdistämällä aikaisemmat termit, kertomalla jokainen pari yhteen, laskemalla yhteen ja jakamalla termillä k sijoituksia takaisin järjestyksessä.

Jaksot eivät ole kovin mielenkiintoisia, jos k on yhtä kuin 1, 2 tai 3 - ne ovat vain sarja toistuvia. Mutta varten k = 4, 5, 6 tai 7 sekvensseillä on outo ominaisuus. Vaikka kyseessä on paljon jakoa, murtoluvut eivät näy.

"Tavallisesti meillä ei ole tällaista ilmiötä", Somos sanoi. "Se on petollisen yksinkertainen toistuminen, samanlainen kuin Fibonacci. Mutta tämän yksinkertaisuuden takana on paljon.”

Muut matemaatikot paljastavat edelleen hämmästyttäviä yhteyksiä Somos-sekvenssien ja näennäisesti toisiinsa liittymättömien matematiikan alueiden välillä. Yksi heinäkuussa julkaistu paperi käyttää niitä rakentaa ratkaisuja differentiaaliyhtälöjärjestelmään, jota käytetään mallintamaan kaikkea petoeläin-saaliin vuorovaikutuksista korkean energian plasmassa kulkeviin aalloille. Niitä käytetään myös matemaattisten objektien rakenteen tutkimiseen klusterialgebrat ja ovat yhteydessä elliptiset käyrät - jotka olivat avain Fermatin viimeisen lauseen murtamiseen.

Janice MaloufIllinoisin yliopiston jatko-opiskelija julkaisi ensimmäisen todisteen siitä, että Somos-4 ja Somos-5 sekvenssit ovat kiinteät (eli kaikki niiden termit ovat kokonaislukuja) vuonna 1992. Muita todisteita eri matemaatikoiden sama tulos ilmestyi suunnilleen samaan aikaan sekä todisteet siitä, että Somos-6- ja Somos-7-sekvenssit ovat integraalisia.

Tämä Somos-sekvenssien outo ominaisuus hämmästytti matemaatikot. "Somos-sekvenssit kiinnostivat minua heti, kun sain tietää niistä", sanoi James Propp, matematiikan professori Massachusettsin yliopistossa Lowellissa. "Se, että Somos-4 - Somos-7 antaa aina kokonaislukuja, menipä kuinka pitkälle tahansa, vaikutti ihmeeltä, kun katsoi asioita naivistisesta näkökulmasta. Tarvittiin siis erilainen näkökulma."

Propp löysi uuden näkökulman 2000-luvun alussa, kun hän ja hänen kollegansa huomasivat, että Somos-4-sekvenssin numerot todella laskevat jotain. Sarjan termit vastaavat tietyistä kaavioista löytyviä rakenteita. Joidenkin graafien kohdalla on mahdollista yhdistää kärkipisteitä (pisteitä) reunoihin (viivoihin) niin, että jokainen kärkipiste on kytketty täsmälleen yhteen toiseen kärkeen – ei ole parittomia kärkipisteitä, eikä yhtään kärkeä, joka on kytketty useampaan kuin yhteen reunaan. Somos-4-sekvenssin termit laskevat erilaisten täydellisten vastaavuuksien määrän tietylle kaaviosarjalle.

Löytö ei tarjonnut vain uutta näkökulmaa Somos-sekvensseihin, vaan toi myös uusia tapoja ajatella ja analysoida graafimuunnoksia. Propp ja hänen oppilaansa juhlivat saamalla tuloksen a T-paita - Ugly Duckling.

"Minulle suuri osa matematiikan viehätystä on se, kun saavut samaan määränpäähän eri polkuja ja näyttää siltä, ​​että jotain ihmeellistä tai syvällistä on tekeillä", Propp sanoi. "Näiden sarjojen hieno asia on se, että on useita näkökulmia, jotka selittävät, miksi saat kokonaislukuja. Siellä on piilotettuja syvyyksiä."

Tarina vaihtuu korkeamman numeron Somos-jaksoissa. Somos-18:n 8 ensimmäistä termiä ovat kokonaislukuja, mutta 19. termi on murto-osa. Jokainen Somos-sekvenssi sen jälkeen sisältää myös murto-osia.

Toinen sekvenssityyppi, jonka saksalainen matemaatikko Fritz Göbel kehitti 1970-luvulla, on mielenkiintoinen vastakohta Somoksen sekvensseille. The nGöbel-sekvenssin termi määritellään kaikkien edellisten termien neliöiden summana plus 1 jaettuna n. Kuten Somos-sekvenssit, Göbel-sekvenssi sisältää jakamisen, joten voimme odottaa, että termit eivät jää kokonaislukuiksi. Mutta jonkin aikaa - sarjan kasvaessa valtavaksi - ne näyttävät olevan.

Göbel-sekvenssin 10. termi on noin 1.5 miljoonaa, 11. 267 - noin miljardia. 43. termi on aivan liian suuri laskettavaksi – siinä on noin 178 miljardia numeroa. Mutta vuonna 1975 hollantilainen matemaatikko Hendrik Lenstra osoitti, että toisin kuin ensimmäiset 42 termiä, tämä 43. termi ei ole kokonaisluku.

Göbel-sekvenssit voidaan yleistää korvaamalla summan neliöt kuutioilla, neljännellä potenssilla tai jopa korkeammilla eksponenteilla. (Tämän sopimuksen mukaan hänen alkuperäistä sekvenssiään kutsutaan 2-Göbel-sekvenssiksi.) Näissä sarjoissa on myös yllättävä suuntaus, joka alkaa laajennetulla kokonaislukutermillä. Vuonna 1988 Henry Ibstedt osoittivat että 89-Göbel-sekvenssin (joka käyttää kuutioita neliöiden sijaan) ensimmäiset 3 termiä ovat kokonaislukuja, mutta 90. ei ole. Myöhemmät tutkimukset muista Göbel-sekvensseistä löysivät vielä pidempiä jaksoja. Esimerkiksi 31 Göbelin sekvenssi alkaa huikealla 1,077 XNUMX kokonaislukutermillä.

Heinäkuussa Kyushun yliopiston matemaatikot Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka ja Koki Tsuchida jakoi paperin osoittaa, että a k-Göbel-sekvenssi valinnasta riippumatta k, sekvenssin ensimmäiset 19 termiä ovat aina kokonaislukuja. Heitä inspiroi tutkimaan kysymys japanilaisesta mangasta nimeltä Seisū-tan, joka tarkoittaa "kokonaislukujen tarinaa". A kehys sarjakuvassa pyysi lukijoita selvittämään pienimmän mahdollisen arvon N_k, kohta, jossa a k-Göbel-sekvenssi lakkaa tuottamasta kokonaislukutermejä. Kolme matemaatikkoa ryhtyivät vastaamaan kysymykseen. "Kokolukujen odottamaton pysyvyys näin pitkän ajan on ristiriidassa intuitiomme kanssa", Matsusaka sanoi. "Kun ilmiöitä tapahtuu vastoin intuitiota, uskon, että kauneutta on aina läsnä."

He löysivät mallin toistuvasta käyttäytymisestä k lisääntyy. Keskittymällä rajalliseen määrään toistuvia tapauksia he tekivät laskelmasta selvitettävän ja pystyivät suorittamaan todistuksen.

Tarkempi tarkastelu sarjasta N_k paljastaa toisen yllätyksen: N_k on prime paljon useammin kuin odottaisit, jos se olisi puhtaasti satunnainen. "Kanssa k-Göbel-sekvenssi ei ole vain huomionarvoista, että ne ovat kokonaislukuja, sanoi Richard Green, matemaatikko Coloradon yliopistosta. ”Huomattavaa on, että alkuluvut näkyvät niin usein. Tämä saa näyttää siltä, ​​että jotain syvempää saattaa olla meneillään."

Vaikka uusi lehti on todiste siitä N_k on aina vähintään 19, ei tiedetä, onko se aina äärellinen vai onko a olemassa k jolle sarja sisältää kokonaislukuja loputtomasti. "N_k käyttäytyy mystisesti. … On perustavanlaatuinen halu ymmärtää sen taustalla oleva malli”, Matsusaka sanoi. ”Se saattaa muistuttaa sitä iloa, jota tunsin lapsena ratkoessani opettajien antamia arvoituksia. Vielä nytkin nuo tunteet siltä ajalta viipyvät sisälläni."

Quanta tekee sarjan kyselyjä palvellakseen paremmin yleisöämme. Ota meidän matematiikan lukijakysely ja pääset mukaan voittamaan ilmaiseksi Quanta kauppatavaraa.