Muutama minuutti vuoden 2018 puheen jälkeen Michiganin yliopistossa, Ian Tobasco otti suuren paperin ja rypisti sen näennäisesti sekavaksi kaaoksen palloksi. Hän piti sitä ylhäällä, jotta yleisö näkisi, puristi sitä kunnolla ja levitti sen sitten uudelleen.
"Saan villin massan poimuja, jotka tulevat esiin, ja se onkin arvoitus", hän sanoi. "Mikä valitsee tämän kuvion toisesta, järjestelmällisemmästä kuviosta?"
Sitten hän piti ylhäällä toista suurta paperia – tämä oli valmiiksi taitettu kuuluisaksi suunnikkakuvioksi, joka tunnetaan nimellä Miura-ori – ja painoi sen litteäksi. Hänen mukaansa voima, jota hän käytti jokaisessa paperiarkissa, oli suunnilleen sama, mutta tulokset eivät olisi voineet olla erilaisempia. Miura-ori oli jaettu siististi geometrisiin alueisiin; rypistynyt pallo oli rosoisten linjojen sotku.
"Sinusta tuntuu, että tämä", hän sanoi ja osoitti rypistyneen lakanan hajallaan olevaa ryppyjä, "on vain satunnainen järjetön versio tästä." Hän osoitti siistiä, säännöllistä Miura-oria. "Mutta emme ole kiinnittäneet sormeamme siihen, onko se totta vai ei."
Tämän yhteyden muodostaminen vaatisi ei vähempää kuin universaalien matemaattisten sääntöjen luomista elastisille kuvioille. Tobasco on työskennellyt tämän parissa vuosia ja tutkinut yhtälöitä, jotka kuvaavat ohuita elastisia materiaaleja – asioita, jotka reagoivat muodonmuutokseen yrittämällä ponnahtaa takaisin alkuperäiseen muotoonsa. Työnnä ilmapalloa tarpeeksi lujasti ja muodostuu säteittäisiä ryppyjä; poista sormesi ja ne tasoittuvat uudelleen. Purista rypistynyttä paperipalloa ja se laajenee, kun vapautat sen (vaikka se ei rypisty kokonaan). Insinöörit ja fyysikot ovat tutkineet, kuinka nämä mallit syntyvät tietyissä olosuhteissa, mutta matemaatikolle nämä käytännön tulokset viittaavat perustavanlaatuisempaan kysymykseen: Onko mahdollista ymmärtää yleisesti, mikä valitsee yhden mallin toisen sijaan?
Tammikuussa 2021 Tobasco julkaisi paperi joka vastasi kysymykseen myöntävästi – ainakin sileän, kaarevan, joustavan levyn tapauksessa, joka on puristettu tasaiseksi (tilanne, joka tarjoaa selkeän tavan tutkia kysymystä). Hänen yhtälönsä ennustavat, kuinka satunnaiselta näyttävät rypyt sisältävät "järjestyksellisiä" alueita, joilla on toistuva, tunnistettavissa oleva kuvio. Ja hän kirjoitti yhdessä viime kuussa julkaistun paperin, joka esittelee uuden fysikaalisen teorian, joka perustuu tiukkaan matematiikkaan ja joka voisi ennustaa kuvioita realistisissa skenaarioissa.
Erityisesti Tobascon työ viittaa siihen, että rypistymistä sen monissa muodoissa voidaan pitää ratkaisuna geometriseen ongelmaan. "Se on kaunis pala matemaattista analyysiä", sanoi Stefan Mueller Bonnin yliopiston Hausdorffin matematiikan keskuksesta Saksassa.
Se esittelee ensimmäistä kertaa tyylikkäästi matemaattiset säännöt – ja uuden ymmärryksen – tämän yleisen ilmiön takana. "Matematiikan tehtävänä ei ollut todistaa olettamuksia, jotka fyysikot olivat jo tehneet", sanoi Robert Kohn, matemaatikko New Yorkin yliopiston Courant Institutessa ja Tobascon tutkijakoulun neuvonantaja, "vaan tarjotakseen teorian, jossa aiemmin ei ollut systemaattista ymmärrystä."
Venyttely
Ryppyjen ja elastisten kuvioiden teorian kehittäminen on vanha tavoite. Vuonna 1894 katsauksessa in luonto, matemaatikko George Greenhill huomautti eron teoreetikkojen ("Mitä meidän tulee ajatella?") ja hyödyllisten sovellusten välillä, joita he voisivat keksiä ("Mitä meidän tulee tehdä?").
19- ja 20-luvulla tiedemiehet edistyivät pitkälti jälkimmäisessä tutkiessaan ongelmia, jotka liittyvät ryppyihin tietyissä muodonmuutoksissa olevissa kohteissa. Varhaisia esimerkkejä ovat ongelma, joka koskee sileiden, kaarevien metallilevyjen takomista merenkulkualuksille ja vuorten muodostumisen yhdistämistä maankuoren kuumenemiseen.
Viime aikoina matemaatikot ja fyysikot ovat laajentaneet pyrkimyksiään yhdistää teoria ja havainto laajaan valikoimaan rypistymistilanteita, geometrioita ja materiaaleja. "Tätä on jatkunut viimeiset 10 vuotta, jolloin teemme ensin kokeita ja sitten yritämme löytää teorian niiden ymmärtämiseksi", sanoi matemaatikko. Dominic Vella Oxfordin yliopistosta. "Olemme vasta äskettäin alkaneet ymmärtää asian kunnolla."
Jännittäviä virstanpylväitä on ollut. Vuonna 2015 Pedro Reis, koneinsinööri Massachusetts Institute of Technologysta, kuvattu fyysisiä lakeja geometrisille kuvioille, jotka muodostuvat tyhjennetyille piipalloille. Hänen työnsä yhdisti nämä rypyt elastisen materiaalin sisä- ja ulkokerroksen paksuuteen. Reis totesi myös, että ryppyjä ei pidetä viallisina, vaan ne voivat tarjota mahdollisuuksia suunnitella uusia mekaanisia käyttäytymismalleja. Sitten vuonna 2017, Vella johti analyysiä ohuen elastisen kalvon rypistymisen epävakaudesta paineen alaisena, luonnehtien kuinka ryppyjen määrä muuttui alkuperäisen työntösyvyyden ja muiden erityisten yksityiskohtien mukaan.
Mutta tämä kehitys ratkaisi silti vain osan ongelmasta. Yleisemmän matemaattisen ymmärryksen saamiseksi ryppyjen muodostumisesta tarvittiin erilainen lähestymistapa. Tobasco olisi se, joka vie asiaa eteenpäin.
Curiosityn perässä
Nuorempana Tobasco ajatteli menevänsä ilmailutekniikan pariin. Hän valmistui Michiganin yliopistosta vuonna 2011 alan kandidaatin tutkinnosta, mutta siihen mennessä hän oli jo vetäytynyt pohtimaan syvällisesti matemaattista päättelyä ja fysikaalisia järjestelmiä. Hän suoritti tohtorin tutkinnon matematiikasta, mutta hän syyttää Syracusen yliopistossa työskentelevää fyysikkoa Joey Paulsenia siitä, että hän ohjasi hänet ryppyjen tielle.
Aiemmin Paulsenin urallaan, kun hän tutki epätavallisten materiaalien ominaisuuksia, hän oppi valmistamaan ja analysoimaan ultraohuita polymeerikalvoja käyttäen tekniikkaa nimeltä spin coating. Ensin hän loi erityisen nestemäisen materiaalin, joka sisältää pieniä määriä liuennutta polymeeriä; sitten hän laittoi materiaalin kehruulevylle. Suurin osa nesteestä haihtuu, kun taas polymeeri levisi tasapaksuiseksi ennen kiinteytymistä. Kun hänellä oli oma laboratorio Syracusassa, Paulsen oppi mukauttamaan spin-pinnoitetta luomaan kaarevia kalvoja – kuten ultraohuita kilpikonnankuoria.
Eräänä päivänä hän asetti osan näistä kaarevista kalvoista seisovan veden päälle ja kuvasi kuinka ne asettuivat pinnalle. "Se johtui puhtaasti uteliaisuudesta", hän sanoi. Kuvat kiinnittyivät Tobascon silmään epävirallisessa tapaamisessa Paulsenin kanssa vuonna 2017.
"He osoittivat, että voit saada nämä satunnaiset epäjärjestyneet ryppykuviot - kun teit kokeen kahdesti, sait kaksi erilaista kuviota", sanoi Tobasco, joka on nykyään apulaisprofessori Illinoisin yliopistossa Chicagossa. "Halusin nähdä, voisinko keksiä jonkin johdettavan tavan [ennustaa noita kuvioita] elastisuudesta, joka sisälsi kuoren muodon. Ja ettei malli vaihtuisi kuoresta toiseen."
Ryppykuviot ovat kokoonpanoja, joissa on mahdollisimman vähän energiaa. Tämä tarkoittaa, että kun ohut kalvo asettuu tasaiselle pinnalle, se muuttuu, kunnes se löytää ryppyjen järjestyksen, olipa se sitten epäjärjestynyt tai ei, jonka ylläpitämiseen kuluu vähiten energiaa. "Voit järjestää kuvioita sen energiamäärän mukaan, joka on varastoitunut, kun [kuvio] ilmenee", Tobasco sanoi.
Tuon ohjaavan periaatteen johdolla hän eristi kalvosta muutamia ominaisuuksia, jotka osoittautuivat valitseviksi sen kuvion, mukaan lukien sen muodon mitta, jota kutsutaan Gaussin kaarevuudeksi. Pinta, jolla on positiivinen Gaussin kaarevuus, taipuu itsestään poispäin, kuten pallon ulkopinta. Negatiivisesti kaarevat pinnat sen sijaan ovat satulan muotoisia, kuten Pringles-siru: Jos menet yhteen suuntaan, kuljet ylös, mutta jos menet eri suuntaan, menet alas.
Tobasco havaitsi, että alueet, joilla on positiivinen Gaussin kaarevuus, tuottavat yhdenlaisen järjestyneiden ja epäjärjestettyjen alueiden järjestelyn ja alueet, joilla on negatiivinen kaarevuus, tuottavat toisenlaisia. "Yksityiskohtainen geometria ei ole niin tärkeä", Vella sanoi. "Se riippuu todellakin vain Gaussin kaarevuuden merkistä."
He olivat epäillyt, että Gaussin kaarevuus oli tärkeä rypistymiselle, mutta Vella sanoi, että oli yllätys, että alueet riippuivat niin voimakkaasti merkistä. Lisäksi Tobascon teoria koskee myös laajaa kirjoa elastisia materiaaleja, ei vain Paulsenin muotoja. "Se on mukava geometrinen rakenne, joka näyttää missä ryppyjä ilmestyy", Vella sanoi. "Mutta sen ymmärtäminen, mistä se tulee, on todella syvällistä ja on tavallaan yllättävää."
Paulsen suostui. "Ianin teoria erittäin kauniisti antaa sinulle koko kuvion kerralla."
Tosielämän ryppyjä
Vuoden 2018 alussa Tobascon teoria pääosin ratkesi – mutta vaikka se toimi paperilla, hän ei voinut olla varma, olisiko se oikea todellisessa maailmassa. Tobasco otti yhteyttä Paulseniin ja kysyi, olisiko hän kiinnostunut yhteistyöstä. "Jotain vain toimi heti", Paulsen sanoi. "Joistakin Ianin ennusteista, jotka oli asetettu kokeellisten kuvien päälle, näimme heti, että ne olivat rivissä."
Tuon vuoden teollisen ja soveltavan matematiikan yhdistyksen materiaalitieteen matemaattisia näkökohtia käsittelevässä konferenssissa Tobasco esiteltiin Eleni Katifori, Pennsylvanian yliopiston fyysikko, joka tutki ryppyjen ongelmaa suljetuissa kuorissa ja rakensi tietokantaa tuloksista. Se oli serendipity hetki. "Voimme nähdä verkkotunnukset [simulaatioissa], jotka Ianin työ selitti", hän sanoi. Ottelu oli mieletön. Jo ensimmäisten keskustelujen aikana oli selvää, että Tobascon teoria, Paulsenin kokeelliset kuvat ja Katiforin simulaatiot kuvasivat kaikki samoja ilmiöitä. "Jo alkuvaiheessa, kun meillä ei ollut mitään konkreettista, pystyimme näkemään yhteyden."
Tämä varhainen jännitys sai nopeasti aikaan skeptismin. Se vaikutti melkein liian hyvältä ollakseen totta. "Hän on matemaatikko ja tekee kaikista näistä asioista ei-ulotteisia", Paulsen sanoi viitaten siihen, kuinka Tobascon ajatuksia kaarevuudesta voitaisiin laajentaa kauas kaksiulotteisten litteiden materiaalien ulkopuolelle. "Tarkastelemmeko todella samaa järjestelmää? Se on samaa mieltä, mutta olisiko sen pitänyt suostua?"
Seuraavien kahden vuoden aikana kolme tutkijaa tiivistivät yksityiskohdat, mikä osoitti, että Tobascon teoria todella ennusti - täsmälleen - ryppyjen järjestyksen, jonka Paulsen näki kokeissaan ja Katifori löysi tietokonemalleistaan. He julkaisivat paperin 25. elokuuta Luontofysiikka näyttää kuinka kaikki kolme lähestymistapaa yhtyvät samaan, suoraviivaiseen geometriseen ryppyjen järjestelyyn. Erityisesti he havaitsivat, että mallit jakautuvat tasakylkisten kolmioiden siistiin perheisiin, jotka rajasivat järjestyksen ja epäjärjestyksen alueet. Lisäksi tulokset eivät rajoitu mahdottoman ohuiden materiaalien matemaattisiin abstraktioihin, vaan ne koskevat useita paksuuden suuruusluokkia.
Heidän työnsä ehdottaa myös mahdollisuuksia laajentaa teoriaa ja sen sovelluksia. Katifori sanoi, että fyysikkona hän on kiinnostunut ennusteiden hyödyntämisestä uusien materiaalien suunnittelussa. "Haluan ymmärtää, kuinka voit suunnitella pintoja niin, että ne itse järjestävät ryppyjä haluamaksesi."
Toinen avoin kysymys on, kuinka yleisesti teoriaa voidaan soveltaa erilaisiin kaareviin pintoihin. "Se keskittyy hyvin tilanteisiin, joissa [Gaussin kaarevuus] on joko positiivinen tai negatiivinen, mutta joissakin alueilla on paljon tilanteita, jotka ovat positiivisia ja jotkut negatiivisia", Vella sanoi.
Paulsen myönsi, että tämä on jännittävä mahdollisuus, ja Tobasco sanoi työskentelevänsä aktiivisesti tällä alueella ja harkitsevansa muita muotoja - kuten reikiä.
Mutta Paulsen sanoi, että teoria on nykyiselläänkin kaunis ja yllättävä. "Jos annan sinulle kuoren ja rajamuodon ja tämän yksinkertaisen säännön, jonka Ianin teoria ennusti, voit ottaa kompassin ja viivaimen ja piirtää pohjimmiltaan ryppyjä", hän sanoi. "Sen ei olisi pitänyt käydä niin. Se olisi voinut olla täysin kauhistuttavaa."
