esittely
Geometriaopiskelija Gina pysyi liian myöhään eilen illalla tekemässä läksyjä katsellessaan Iso brittiläinen leipoa pois, joten kun hän vihdoin meni nukkumaan, hänen uninen mielensä oli edelleen täynnä kuppikakkuja ja kompasseja. Tämä johti mitä epätavalliseen uneen.
Gina joutui Imaginary Universityn Great Brownie Bake Offin tuomariksi. Koulussa oppilaat oppivat paljon geometriaa mutta hyvin vähän aritmetiikkaa. Imaginary U -opiskelijoiden joukkueet saivat tehtäväkseen valmistaa parhaan mahdollisen brownien, ja Gina oli päättänyt voittajan.
Team Alpha pääsi ensimmäisenä maaliin, ja he esittivät ylpeänä suorakaiteen muotoisen browniensa arvosteltavaksi. Gina veti esiin viivaimen ja mittasi brownien: Se oli 16 tuumaa pitkä ja 9 tuumaa leveä. Team Beta seurasi nopeasti neliömäisellä browniellaan, jonka molemmilla puolilla oli 12 tuumaa. Siitä vaiva alkoi.
"Meidän browniemme on paljon pidempi kuin sinun", sanoi Alphan kapteeni. "Meidän omamme on selvästi isompi, joten olemme voittajia!"
"Mutta suorakulmiosi lyhyt sivu on paljon lyhyempi kuin neliömme sivu", sanoi Team Betan edustaja. – Meidän aukio on selvästi isompi. Olemme voittaneet!”
Ginan mielestä oli outoa riidellä tästä. "Suorakulmaisen brownien pinta-ala on 9 kertaa 16, mikä on 144 neliötuumaa", hän sanoi. "Neliön brownien pinta-ala on 12 kertaa 12, mikä on myös 144 neliötuumaa. Browniet ovat samankokoisia: se on solmio."
Molemmat joukkueet näyttivät hämmentyneeltä. "En ymmärrä, mitä tarkoitat "ajoilla", sanoi eräs oppilas, jolle ei ollut koskaan opetettu kertolaskua. "En minäkään", sanoi toinen. Kolmas sanoi: "Kuulin kerran Complex Collegen opiskelijoista, jotka mittasivat pinta-alaa numeroiden avulla, mutta mitä se edes tarkoittaa?" Imaginary University oli todella outo paikka, vaikka unelmat menevätkin.
Mitä Ginan piti tehdä? Kuinka hän saattoi saada joukkueet vakuuttuneeksi siitä, että heidän browniensa ovat samankokoisia, jos he eivät ymmärtäneet kuinka mitata pinta-alaa ja kertoa lukuja? Onneksi Ginalla oli nero idea. "Anna minulle veitsi", hän sanoi.
Gina mittasi 12 tuumaa suorakaiteen muotoisen brownien pitkältä sivulta ja teki leikkauksen yhdensuuntaisesti lyhyen sivun kanssa. Tämä muutti suuren suorakulmion kahdeksi pienemmäksi: toinen kooltaan 9 x 12 ja toinen 9 x 4. Kolmella nopealla leikkauksella hän muutti 9 x 4 kappaleen kolmeksi pienemmäksi 3 x 4 kappaleeksi. Pieni uudelleenjärjestely johti väkijoukosta kuuluviin ooh ja aah: Gina oli muuttanut suorakulmion tarkaksi kopioksi neliöstä.
Molempien joukkueiden oli nyt myönnettävä, että heidän browniensa olivat samankokoisia. Leikkaamalla toisen ja järjestämällä sen toiseksi, Gina osoitti, että kahdella browniesella oli sama kokonaispinta-ala. Tällaisia dissektiota on käytetty geometriassa tuhansia vuosia osoittamaan, että kuviot ovat samankokoisia, ja dissektioista ja vastaavuudesta on saatu monia merkittäviä tuloksia. Vielä nykyäänkin matemaatikot käyttävät dissektiota ja uudelleenjärjestelyä ymmärtääkseen täysin, milloin tietyt muodot ovat samanarvoisia, mikä johtaa yllättäviin viimeaikaisiin tuloksiin.
Olet luultavasti nähnyt geometrisia dissektiota matematiikan tunnilla, kun kehität perusmuotojen aluekaavoja. Saatat esimerkiksi muistaa, että suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kantaosan pituus kertaa sen korkeus: Tämä johtuu siitä, että suuntaviiva voidaan leikata ja järjestää uudelleen suorakulmioksi.
Tämä dissessio osoittaa, että suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala, jolla on sama kanta ja korkeus, mikä, kuten jokainen, joka ei käynyt Imaginary Universityssä, tietää, on näiden kahden luvun tulo.
Imaginary U:sta puheen ollen, Great Brownie Bake Off oli juuri lämmennyt. Team Gamma lähestyi isolla kolmiomaisella brownie-lehdellä. "Tässä on voittaja", he ilmoittivat rohkeasti. "Molemmat puolemme ovat paljon pidempiä kuin muut."
Gina mittasi sivut. "Tässäkin on sama alue!" hän huudahti. ”Tämä on suorakulmainen kolmio ja jalat ovat 18 ja 16, joten alue on…” Gina pysähtyi hetkeksi huomaten hämmentyneet katseet kaikkien kasvoilla. "Voi, ei välitä. Anna vain veitsi."
Gina viipaloi näppärästi hypotenuusan keskipisteestä pidemmän jalan keskipisteeseen ja käänsi sitten vasta muodostettua kolmiota niin, että siitä muodostui täydellinen suorakulmio, kun se asetettiin suurempaan palaan.
"Se on juuri meidän brownie!" huudahti Team Alpha. Tosiaan, tuloksena oleva suorakulmio oli 9 x 16: täsmälleen saman kokoinen kuin heidän.
Team Betalla oli epäilyksiä. "Mutta miten tämä kolmio on meidän neliöimme verrattuna?" heidän tiiminsä johtaja kysyi.
Gina oli valmis siihen. "Tiedämme jo, että suorakulmio ja neliö ovat samankokoisia, joten transitiivisuuden perusteella kolmio ja neliö ovat samankokoisia." Transitiivisuus on yksi tasa-arvon tärkeimmistä ominaisuuksista: Se sanoo, että jos a = b ja b = c, sitten a = c. Gina jatkoi: "Jos ensimmäisen brownien pinta-ala on yhtä suuri kuin toisen ja toisen brownien pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmannen pinta-ala, myös ensimmäisessä ja kolmannessa brownien pinta-alat on oltava yhtä suuret."
Mutta Ginalla oli liian hauskaa dissektioiden kanssa lopettaakseen tähän. "Tai voisimme tehdä muutaman lisäleikkauksen."
Ensin Gina käänsi suorakulmiota, joka oli aiemmin kolmio. Sitten hän leikkasi sen käyttämällä täsmälleen samaa kuviota, jota hän oli käyttänyt Team Alphan suorakulmiossa.
Sitten hän osoitti, kuinka tämä Team Gamman kolmion uusi leikkaus voidaan muuttaa Team Betan neliöksi, aivan kuten hän oli tehnyt Team Alphan suorakulmion kanssa.
Tässä tilanteessa sanomme, että kolmio ja neliö ovat "sakset yhteensopivia": Voit kuvitella saksilla leikkaavan yhden hahmon äärettömän moneksi kappaleeksi, jotka voidaan sitten järjestää uudelleen muodostamaan toinen. Kolmion ja neliön tapauksessa browniet näyttävät tarkalleen, kuinka tämä saksien yhteensopivuus toimii.
Huomaa, että kuvio toimii kumpaankin suuntaan: Sen avulla voidaan muuttaa kolmio neliöksi tai neliö kolmioksi. Toisin sanoen saksien yhteensopivuus on symmetrinen: Jos muoto A on muodon B kanssa yhteneväinen saksi, muoto B on myös muodon A kanssa yhtenevä sakset.
Itse asiassa yllä oleva kolmiota, suorakulmiota ja neliöä koskeva argumentti osoittaa, että saksien kongruenssi on myös transitiivinen. Koska kolmio on sakset, jotka ovat yhteneväisiä suorakulmion kanssa ja suorakulmio on sakset, jotka ovat yhteneväisiä neliön kanssa, kolmio on sakset, jotka ovat samansuuntaisia neliön kanssa. Todiste on kuvioissa: Aseta ne vain välimuodon päälle, kuten tehtiin yllä olevan suorakulmion kanssa.
Jos leikkaat kolmion paloiksi, jotka muodostavat suorakulmion, ja leikkaat sitten suorakulmion paloiksi, jotka muodostavat neliön, tuloksena olevia kappaleita voidaan käyttää minkä tahansa kolmen muodon muodostamiseen.
Se, että saksien yhteensopivuus on transitiivinen, on hämmästyttävän tuloksen ytimessä: Jos kahdella polygonilla on sama pinta-ala, ne ovat saksien yhteneväisiä. Tämä tarkoittaa, että jos kaksi monikulmiota, joilla on sama pinta-ala, voit aina leikata yhden rajalliseen määrään kappaleita ja järjestää ne uudelleen toiseksi.
Tämän merkittävän lauseen todistus on myös huomattavan suoraviivainen. Leikkaa ensin jokainen monikulmio kolmioiksi.
Toiseksi, muuta jokainen kolmio suorakulmioksi samalla tavalla kuin Gina järjesti kolmion muotoisen brownien uudelleen.
Nyt tulee hankala tekninen osa: Muuta jokainen suorakulmio uudeksi suorakulmioksi, joka on yhden yksikön leveä.
Voit tehdä tämän aloittamalla suorakulmion kappaleiden leikkaamisen, jotka ovat yhden yksikön leveitä.
Jos pystyt pilkkomaan suorakulmion kokonaismäärään leveys 1, olet valmis: pinoa ne vain päällekkäin. Muussa tapauksessa lopeta pilkkominen, kun viimeinen pala on 1–2 yksikköä leveä, ja pinoa loput päällekkäin.
Älä huoli, jos suorakulmio itsessään on alle 1 yksikön leveä: Leikkaa se vain puoliksi ja tee kahdesta osasta uusi suorakulmio, joka on kaksi kertaa pitempi ja puolet paksumpi. Toista tarvittaessa, kunnes sinulla on 1–2 yksikköä leveä suorakulmio.
Kuvittele nyt, että tällä viimeisellä suorakulmiolla on korkeus h ja leveys w, kanssa 1 w < 2. Leikkaamme sen suorakulmion ja järjestämme sen uudelleen suorakulmioksi, jonka leveys on 1 ja korkeus h × w. Voit tehdä tämän peittämällä h × w suorakaide halutun kanssa hw × 1 suorakulmio näin.
Leikkaa sitten kulmasta kulmaan katkoviivaa pitkin ja leikkaa pieni kolmio oikeasta alareunasta oikean reunan jälkeen. hw × 1 suorakulmio.
Tämä leikkaa h × w suorakulmio kolmeen osaan, jotka voidaan järjestää uudelleen hw × 1 suorakulmio. (Tämän viimeisen dissessoinnin perusteleminen vaatii fiksuja argumentteja, joissa on mukana samanlaisia kolmioita. Katso yksityiskohdat alla olevista harjoituksista.)
Aseta lopuksi tämä viimeinen suorakulmio pinon päälle, ja olet onnistuneesti muuttanut tämän monikulmion – oikeastaan minkä tahansa monikulmion – suorakulmioksi, jonka leveys on 1.
Nyt jos alkuperäisen monikulmion alue oli A, tämän suorakulmion korkeuden on oltava A, joten jokainen polygoni, jolla on pinta-ala A on sakset, jotka ovat yhteneväisiä suorakulmion kanssa, jonka leveys ja korkeus on 1 A. Tämä tarkoittaa, että jos kahdella polygonilla on pinta-ala A, niin ne ovat molemmat saksia, jotka ovat yhteneväisiä saman suorakulmion kanssa, joten transitiivisuuden perusteella ne ovat keskenään yhteneviä saksia. Tämä osoittaa, että jokainen polygoni, jolla on pinta-ala A on sakset yhteneväiset joka toisen polygonin kanssa, jolla on pinta-ala A.
Mutta edes tämä voimakas tulos ei riittänyt onnistuneesti suorittamaan Imaginary Universityn Brownie Bake Offin arvostelua. Jäljellä oli vielä yksi ilmoittautuminen, eikä kukaan ollut yllättynyt siitä, mitä Team Pi esiintyi.
Sillä hetkellä, kun Gina näki tuon ympyrän tulevan, hän heräsi unestaan kylmässä hiessä. Hän tiesi, että oli mahdotonta leikata ympyrää äärettömän moneksi osaksi ja järjestää ne uudelleen neliöiksi, suorakulmioiksi tai monikulmioiksi. Vuonna 1964 matemaatikot Lester Dubins, Morris Hirsch ja Jack Karush osoittivat, että ympyrä ei ole minkään monikulmion kanssa yhtenevä saksi. Ginan unelma oli muuttunut geometriseksi painajaiseksi.
Mutta kuten he aina näyttävät tekevän, matemaatikot muuttivat tämän esteen uudeksi matematiikaksi. Vuonna 1990 Miklós Laczkovich osoitti, että on mahdollista leikata ympyrä ja järjestää se uudelleen neliöksi, kunhan voi käyttää äärettömän pieniä, äärettömän irti, äärettömän rosoisia kappaleita, joita ei mitenkään pystyisi tekemään saksilla.
Niin yllättävä ja jännittävä kuin Laczkovichin tulos olikin, se vain osoitti, että tällainen hajoaminen on teoreettisesti mahdollista. Siinä ei selitetty, kuinka kappaleet rakennetaan, vaan että ne voisivat olla olemassa. Mihin Andras Máthé, Oleg Pikhurko ja Jonathan Noel tulivat: Vuoden 2022 alussa he julkaisi paperin jossa ne sovittivat Laczkovichin suorituksen, mutta kappaleilla, jotka on mahdollista visualisoida.
Valitettavasti et voi käyttää heidän tulostaan brownien leivontaan. Sakset eivät yksin tuota kymmentä200 hajoamisessa tarvittavia paloja. Mutta se on jälleen yksi askel eteenpäin vastaamisessa pitkään kysymyksiin, jotka alkoivat, kun Arkhimedes ensimmäisen kerran keksi tai löysi $lateksi pi$. Ja se pitää meidät siirtymässä kohti uutta matematiikkaa, josta aiemmat sukupolvet eivät voineet haaveilla.
Harjoitukset
1. Selitä, mistä tiedämme, että suunnikkaan pintakaavan johdosta katkaisemamme kolmio sopii täydellisesti suunnikkaan toisella puolella olevaan tilaan.
2. Selitä, miksi mikä tahansa kolmio voidaan leikata suorakulmioksi.
Harkitse harjoituksissa 3 ja 4 käytettyä kaaviota osoittamaan, että an h × w suorakulmio on sakset, jotka ovat yhteneväisiä an:n kanssa hw × 1 suorakulmio, jossa pisteet merkitty.
3. Selitä miksi $lateksikolmio$ XYQ on samanlainen kuin $latekstriangle$ ABX. Mitä tämä tekee pituudesta QY?
4. Selitä miksi $lateksikolmio$ PCX on yhteneväinen $lateksikolmion$ kanssa AZQ.
Napsauta saadaksesi vastauksen 1:
On monia tapoja osoittaa, että kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä. Yksi tapa on huomata, että yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys on vakio, joten kahdella suorakulmaisella kolmiolla on pari yhteneväisiä jalkoja.
Ja suunnikkaassa vastakkaiset sivut ovat yhteneväisiä, mikä tekee kahdesta kolmiosta yhteneväisen hypotenuusa-jalka kolmion kongruenssilauseen mukaan. Voit myös esittää argumentin käyttämällä kulma-sivu-kulma-kolmio-kongruenssilausetta.
Napsauta saadaksesi vastauksen 2:
Yksi kolmion geometrian hienoimmista alkeistuloksista on kolmion keskiosan lause: Jos yhdistät kolmion kahden sivun keskipisteet, tuloksena oleva jana on yhdensuuntainen kolmannen sivun kanssa ja puolet sen pituudesta.
Koska segmentti on yhdensuuntainen kolmannen sivun kanssa, kulmat 1 ja 3 ovat kongruentteja vastaavia kulmia. Ja kulmat 1 ja 2 ovat saman puolen sisäkulmia, joten ne ovat täydentäviä, mikä tarkoittaa, että niiden mittojen summa on 180 astetta. Koska $latexangle$ 1 on yhteneväinen $latexangle$ 3:n kanssa, kulmat 3 ja 2 ovat myös täydentäviä.
Näin ollen kun käännät yläkolmiota ympäri ja oikealle, yhtenevät sivut kohtaavat täydellisesti ja kulmat 2 ja 3 muodostavat suoran viivan.
Tämä muuttaa kolmion suunnikkaaksi, joka, kuten jo tiedämme, voidaan muuttaa suorakulmioksi.
Napsauta saadaksesi vastauksen 3:
Koska BXYZ on suorakulmio, molemmat $latexangle$ ZBC ja $lateksikulma$ ZYX ovat suoria kulmia. Ja koska suorakulmion vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, tämä tekee $lateksikulmasta $ YQX yhdenmukainen $latexangle$:n kanssa AXB, koska ne ovat vaihtoehtoisia sisäkulmia. Siten $latekstriangle$ XYQ on samanlainen kuin $latekstriangle$ ABX kulma-kulman samankaltaisuuden perusteella. Samankaltaisissa kolmioissa sivut ovat suhteessa, joten $lateksi frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Siten $lateksi frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$ ja niin edelleen QY = 1. Huomaa, että koska $latexangle$ ADC on suora kulma ja $lateksikulma$ DAP ja $lateksikulma$ YQX ovat yhteneviä vastaavia kulmia, tämä tekee $lateksikolmiosta$ DAP yhteneväinen $latekstriangle$:n kanssa YQX. Tämä todistaa, että voit liu'uttaa $latextriangle$ YQX kohtaan, jossa tällä hetkellä on $lateksikolmio$ DAP, kuten tarvitaan saksien kongruenssiargumentissa.
Napsauta saadaksesi vastauksen 4:
Huomaa, että $lateksikulma$ AZQ ja $lateksikulma$ PCX ovat molemmat suoria kulmia ja siten yhteneviä. Käyttämällä rinnakkaisten suorien ominaisuuksia kuten harjoituksessa 3, voimme myös nähdä, että $lateksikulma$ AQZ ja $lateksikulma$ PX laajennus ovat yhteneväisiä vastaavia kulmia. Myös harjoituksessa 3 osoitimme sen QY = 1. Tämä tekee QZ = w − 1, mikä on juuri sitä CX on yhtä suuri kuin. Siten $lateksikolmio$ PCX on yhteneväinen $lateksikolmion$ kanssa AZQ kulma-sivu-kulma kolmion kongruenssilla. Tämä oikeuttaa väitteen toisen osan, että an h × w suorakulmio on sakset, jotka ovat yhteneväisiä an:n kanssa hw × 1 suorakulmio.
