esittely
Vuonna 2012 matemaatikko Shinichi Mochizuki väitti ratkaiseneensa abc arvelu, suuri avoin kysymys lukuteoriassa yhteen- ja kertolaskujen suhteesta. Oli vain yksi ongelma: hänen todisteensa, joka oli yli 500 sivua pitkä, oli täysin läpitunkematon. Se perustui lukuisiin uusiin määritelmiin, merkintöihin ja teorioihin, joita lähes kaikki matemaatikot eivät pystyneet ymmärtämään. Vuosia myöhemmin, kun kaksi matemaatikkoa käänsi suuren osan todistuksesta tutummiksi termeiksi, he viittasivat siihen, mitä yksi kutsui "vakava, korjaamaton kuilu” sen logiikassa – vain Mochizukille hylätä heidän väitteensä sillä perusteella, että he eivät yksinkertaisesti olleet ymmärtäneet hänen työtään.
Tapaus herättää perustavanlaatuisen kysymyksen: Mikä on matemaattinen todiste? Meillä on tapana ajatella sitä jonkin ikuisen totuuden paljastuksena, mutta ehkä se ymmärretään paremmin jonkinlaisena sosiaalisena konstruktiona.
Andrew Granville, matemaatikko Montrealin yliopistosta, on pohtinut sitä paljon viime aikoina. Kun filosofi otti minuun yhteyttä koskien hänen kirjoituksiaan, "minun piti miettiä, kuinka pääsemme totuuksiimme", hän sanoi. "Ja kun alat työntää tuota ovea, huomaat sen olevan laaja aihe."
Granville nautti aritmetiikasta pienestä pitäen, mutta hän ei koskaan harkinnut uraa matematiikan tutkijana, koska hän ei tiennyt sellaisen olemassaolosta. "Isäni jätti koulun 14-vuotiaana, äitini 15- tai 16-vuotiaana", hän sanoi. ”He syntyivät silloisella Lontoon työväenalueella, ja yliopisto oli juuri heidän mielestään mahdollista. Joten meillä ei ollut aavistustakaan."
Valmistuttuaan Cambridgen yliopistosta, jossa hän opiskeli matematiikkaa, hän alkoi sopeutua Rachelin paperit, Martin Amisin romaani, käsikirjoitukseen. Kun hän työskenteli projektin parissa ja haki siihen rahoitusta, hän halusi välttää pöytätyötä – hän oli työskennellyt vakuutusyhtiössä lukion ja korkeakoulun välisenä taukovuoden aikana, eikä halunnut palata siihen – ”niin menin lukioon", hän sanoi. Elokuva ei koskaan saanut alkuaan (romaanista tehtiin myöhemmin itsenäisesti elokuva), mutta Granville suoritti matematiikan maisterin tutkinnon ja muutti sitten Kanadaan suorittamaan tohtorintutkintonsa. Hän ei koskaan katsonut taaksepäin.
esittely
"Se oli todella seikkailu", hän sanoi. ”En todellakaan odottanut paljon. En todellakaan tiennyt, mikä tohtori. oli.”
Sen jälkeisten vuosikymmenten aikana hän on kirjoittanut yli 175 artikkelia, joista suurin osa on lukuteoriaa. Hän on tullut tunnetuksi myös matematiikasta kirjoittamisesta suositulle yleisölle: Vuonna 2019 hän oli mukana kirjoittamassa graafinen novelli alkuluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä vanhemman sisarensa, käsikirjoittaja Jenniferin kanssa. Viime kuussa yksi hänen papereistaan "miten saavutamme totuuksiamme" oli julkaistu Matematiikan ja Filosofian Annalsissa. Ja yhdessä muiden matemaatikoiden, tietojenkäsittelytieteilijöiden ja filosofien kanssa hän aikoo julkaista artikkelikokoelman ensi vuoden American Mathematical Societyn tiedote siitä, kuinka koneet voivat muuttaa matematiikkaa.
Quanta puhui Granvillen kanssa matemaattisten todisteiden luonteesta - siitä, kuinka todisteet toimivat käytännössä, yleisiin väärinkäsityksiin niistä ja kuinka todisteiden kirjoittaminen voi kehittyä tekoälyn aikakaudella. Haastattelua on muokattu ja tiivistetty selvyyden vuoksi.
Julkaisit äskettäin artikkelin matemaattisten todisteiden luonteesta. Miksi päätit, että tästä on tärkeää kirjoittaa?
Se, miten matemaatikot tekevät tutkimusta, ei yleensä näy hyvin suositussa mediassa. Ihmisillä on taipumus nähdä matematiikka puhtaana etsintänä, jossa saavutamme suuria totuuksia pelkän ajatuksen kautta. Mutta matematiikassa on kyse arvauksista - usein vääristä arvauksista. Se on kokeellinen prosessi. Opimme vaiheittain.
Esimerkiksi kun Riemannin hypoteesi ilmestyi ensimmäisen kerran eräässä paperissa vuonna 1859, se oli kuin taikuutta: Tässä on tämä hämmästyttävä arvaus, tyhjästä. 70 vuoden ajan ihmiset puhuivat siitä, mitä suuri ajattelija voi tehdä pelkällä ajatuksella. Sitten matemaatikko Carl Siegel löysi Riemannin raaputusarkistoista Göttingenin arkistosta. Riemann oli itse asiassa tehnyt sivuja Riemannin zeta-funktion nollien laskelmia. Siegelin kuuluisat sanat olivat: "Paljon pelkästä ajattelusta."
Joten on jännitystä tavassa, jolla ihmiset kirjoittavat matematiikasta – erityisesti jotkut filosofit ja historioitsijat. He näyttävät ajattelevan, että olemme joku puhdas maaginen olento, jokin tieteen yksisarvis. Mutta emme yleensä ole. Se on harvoin puhdas ajatus yksin.
esittely
Miten luonnehtisit matemaatikoiden toimintaa?
Matematiikan kulttuurissa on kyse todisteista. Istumme ympäriinsä ja ajattelemme, ja 95 % tekemissämme on todisteita. Suuri osa ymmärryksestä, jonka saamme, tulee kamppailemalla todisteiden kanssa ja tulkitsemalla ongelmia, jotka tulevat esiin kamppaillessamme niiden kanssa.
Ajattelemme usein todistetta matemaattisena argumenttina. Se osoittaa useiden loogisten vaiheiden avulla, että tietty väite on totta. Mutta kirjoitat, että tätä ei pidä sekoittaa puhtaaseen, objektiiviseen totuuteen. Mitä tarkoitat tuolla?
Todistuksen päätarkoitus on saada lukija vakuuttuneeksi väitteen totuudesta. Tämä tarkoittaa, että vahvistus on avainasemassa. Paras matematiikan todentamisjärjestelmä on se, että monet ihmiset katsovat todistetta eri näkökulmista, ja se sopii hyvin heidän tuntemaansa ja uskomaansa kontekstiin. Jossain mielessä emme väitä tietävämme sen olevan totta. Sanomme, että toivomme sen olevan oikein, koska monet ihmiset ovat kokeilleet sitä eri näkökulmista. Nämä yhteisön standardit hyväksyvät todisteet.
Sitten on tämä objektiivisuuden käsite – olla varma, että väitetyt asiat ovat oikein, tuntea, että sinulla on lopullinen totuus. Mutta mistä voimme tietää, että olemme objektiivisia? On vaikea irrottaa itseäsi kontekstista, jossa olet antanut lausunnon – saada perspektiiviä yhteiskunnan asettaman paradigman ulkopuolella. Tämä pätee yhtä lailla tieteellisiin ajatuksiin kuin mihin tahansa muuhunkin.
Voidaan myös kysyä, mikä on objektiivisesti kiinnostavaa tai tärkeää matematiikassa. Mutta tämä on myös selvästi subjektiivista. Miksi pidämme Shakespearea hyvänä kirjailijana? Shakespeare ei ollut omana aikanaan niin suosittu kuin nykyään. On ilmeisesti olemassa sosiaalisia sopimuksia sen ympärillä, mikä on mielenkiintoista, mikä on tärkeää. Ja se riippuu nykyisestä paradigmasta.
esittely
Miltä se näyttää matematiikassa?
Yksi kuuluisimmista esimerkeistä paradigman muutoksesta on laskenta. Kun laskelma keksittiin, siinä jaettiin jotain, joka menee kohti nollaa, jollain muulla, joka menee kohti nollaa - mikä johti nollaan jaettuun nollalla, jolla ei ole mitään merkitystä. Aluksi Newton ja Leibniz keksivät objektit, joita kutsutaan infinitesimaaleiksi. Se sai heidän yhtälönsä toimimaan, mutta nykystandardien mukaan se ei ollut järkevää tai tiukkaa.
Meillä on nyt epsilon-delta-formulaatio, joka otettiin käyttöön 19-luvun lopulla. Tämä moderni muotoilu on niin hämmästyttävän, ilmeisen hyvä näiden käsitteiden saattamiseksi oikein, että kun katsot vanhoja formulaatioita, olet kuin mitä he ajattelivat? Mutta tuolloin sitä pidettiin ainoana tapana, jolla voit tehdä sen. Ollakseni oikeudenmukainen Leibniziä ja Newtonia kohtaan, he olisivat luultavasti rakastaneet modernia tapaa. He eivät ajatelleet tehdä sitä aikakautensa paradigmojen vuoksi. Joten kesti hirveän kauan päästä sinne.
Ongelmana on, että emme tiedä milloin toimimme näin. Olemme jumissa yhteiskunnassa, jossa olemme. Meillä ei ole ulkopuolista näkökulmaa sanoa, mitä olettamuksia teemme. Yksi matematiikan vaaroista on se, että voit ajatella, että jokin asia ei ole tärkeä, koska sitä ei ole helppo ilmaista tai keskustella valitsemallasi kielellä. Se ei tarkoita, että olet oikeassa.
Pidän todella tästä Descartesin lainauksesta, jossa hän pohjimmiltaan sanoo: ”Luulen tietäväni kaiken kolmiosta, mutta kuka sanoo minun tietävän? Tarkoitan, että joku saattaa tulevaisuudessa keksiä radikaalisti erilaisen näkökulman, mikä johtaa paljon parempaan tapaan ajatella kolmiota." Ja mielestäni hän on oikeassa. Sen näkee matematiikassa.
Kuten kirjoitit artikkelissasi, voit ajatella todistusta sosiaalisena sopimuksena - eräänlaisena keskinäisenä sopimuksena kirjoittajan ja heidän matemaattisen yhteisönsä välillä. Olemme nähneet äärimmäisen esimerkin siitä, että tämä ei toimi, Mochizukin väittämällä todisteen siitä abc oletus.
Se on äärimmäistä, koska Mochizuki ei halunnut pelata peliä sillä tavalla kuin sitä pelataan. Hän on tehnyt tämän valinnan hämäräksi. Kun ihmiset tekevät suuria läpimurtoja, joissa on todella uusia ja vaikeita ideoita, mielestäni heidän velvollisuutenaan on yrittää ottaa mukaan muita ihmisiä selittämällä heidän ideansa mahdollisimman helposti lähestyttävällä tavalla. Ja hän oli enemmän kuin, että jos et halua lukea sitä niin kuin kirjoitin, se ei ole minun ongelmani. Hänellä on oikeus pelata sitä peliä, jota hän haluaa pelata. Mutta sillä ei ole mitään tekemistä yhteisön kanssa. Sillä ei ole mitään tekemistä tavoiden kanssa, joilla edistymme.
esittely
Jos todisteita on olemassa yhteiskunnallisessa kontekstissa, miten ne ovat muuttuneet ajan myötä?
Kaikki alkaa Aristoteleesta. Hän sanoi, että tarvitaan jonkinlainen deduktiivinen järjestelmä – että voit todistaa uusia asioita vain perustamalla ne asioihin, jotka jo tiedät ja joista olet varma, palaamalla tiettyihin "primitiivisiin väitteisiin" tai aksioomiin.
Joten kysymys kuuluu: mitkä ovat ne perusasiat, joiden tiedät olevan totta? Hyvin pitkään ihmiset vain sanoivat: no, viiva on viiva, ympyrä on ympyrä; on muutamia asioita, jotka ovat yksinkertaisia ja ilmeisiä, ja niistä pitäisi lähteä liikkeelle.
Tämä näkökulma on kestänyt ikuisuuden. Se on edelleen olemassa suurelta osin. Mutta kehittyneellä euklidalaisella aksiomaattisella järjestelmällä - "viiva on viiva" - oli ongelmansa. Bertrand Russell löysi nämä paradoksit joukon käsitteen perusteella. Lisäksi matemaattisen kielen kanssa voitaisiin pelata sanaleikkejä ja luoda ongelmallisia väitteitä, kuten "tämä väite on epätosi" (jos se on totta, niin se on epätosi; jos se on epätosi, niin se on totta), jotka osoittivat, että aksiomaattisessa järjestelmässä oli ongelmia.
Joten Russell ja Alfred Whitehead yrittivät luoda uuden matematiikan järjestelmän, joka voisi välttää kaikki nämä ongelmat. Mutta se oli naurettavan monimutkaista, ja oli vaikea uskoa, että nämä olivat oikeita primitiivejä aloittaa. Kukaan ei ollut tyytyväinen siihen. Jokin 2 + 2 = 4 todistaminen vei valtavan määrän tilaa aloituspisteestä. Mitä järkeä tällaisessa järjestelmässä on?
Sitten David Hilbert tuli mukaan ja sai tämän hämmästyttävän idean: ehkä meidän ei pitäisi kertoa kenellekään, mistä on oikein aloittaa. Sen sijaan kaikki mikä toimii – lähtökohta, joka on yksinkertainen, johdonmukainen ja johdonmukainen – on tutkimisen arvoista. Et voi päätellä kahta asiaa, jotka ovat ristiriidassa keskenään, ja sinun pitäisi pystyä kuvaamaan suurin osa matematiikasta valittujen aksioomien avulla. Mutta sinun ei pitäisi etukäteen sanoa, mitä ne ovat.
Tämä näyttää myös sopivan aikaisempaan keskusteluumme matematiikan objektiivisesta totuudesta. Joten 20-luvun vaihteessa matemaatikot ymmärsivät, että aksiomaattisia järjestelmiä voi olla useita - että yhtä annettua aksioomajoukkoa ei pitäisi pitää universaalina tai itsestään selvänä totuutena?
Oikein. Ja minun pitäisi sanoa, että Hilbert ei aloittanut tätä abstrakteista syistä. Hän oli hyvin kiinnostunut erilaisista geometrian käsitteistä: ei-euklidisesta geometriasta. Se oli hyvin kiistanalaista. Ihmiset tuolloin ajattelivat, että jos annat minulle tämän määritelmän linjasta, joka kulkee laatikon kulmien ympäri, miksi ihmeessä minun pitäisi kuunnella sinua? Ja Hilbert sanoi, että jos hän voisi tehdä siitä johdonmukaisen ja johdonmukaisen, sinun pitäisi kuunnella, koska tämä voi olla toinen geometria, joka meidän on ymmärrettävä. Ja tämä näkökulman muutos – että voit sallia minkä tahansa aksiomaattisen järjestelmän – ei koskenut vain geometriaa; se soveltui kaikkeen matematiikkaan.
Mutta tietysti jotkut asiat ovat hyödyllisempiä kuin toiset. Joten useimmat meistä työskentelevät samojen 10 aksiooman, ZFC-nimisen järjestelmän kanssa.
Mikä johtaa kysymykseen, mitä siitä voidaan päätellä ja mitä ei. On väitteitä, kuten jatkumohypoteesi, joita ei voida todistaa ZFC:llä. Täytyy olla 11. aksiooma. Ja voit ratkaista sen kummalla tahansa tavalla, koska voit valita aksiomaattisen järjestelmän. Se on aika siistiä. Jatkamme tällaista monimuotoisuutta. Ei ole selvää, mikä on oikein, mikä väärin. Kurt Gödelin mukaan valintoja on vielä tehtävä maun perusteella, ja toivottavasti meillä on hyvä maku. Meidän tulee tehdä asioita, joissa on järkeä. Ja me teemme.
Gödelistä puheen ollen, hän näyttelee tässäkin melko suurta roolia.
Jotta voit keskustella matematiikasta, tarvitset kielen ja säännöt, joita noudatetaan tällä kielellä. Gödel osoitti 1930-luvulla, että riippumatta siitä, miten valitset kielen, sillä kielellä on aina väitteitä, jotka ovat totta, mutta joita ei voida todistaa lähtöaksioomistasi. Se on itse asiassa monimutkaisempi, mutta silti sinulla on välittömästi tämä filosofinen dilemma: Mikä on totta lausunto, jos et pysty perustelemaan sitä? Se on hullua.
Siellä on siis iso sotku. Olemme rajallisia siinä, mitä voimme tehdä.
Ammattimatemaatikot jättävät tämän suurelta osin huomiotta. Keskitymme siihen, mikä on mahdollista. Kuten Peter Sarnak sanoo: "Olemme työskenteleviä ihmisiä." Jatkamme ja yritämme todistaa, mitä voimme.
esittely
Nyt, kun käytetään tietokoneiden lisäksi jopa tekoälyä, miten todisteiden käsitys muuttuu?
Olemme muuttaneet toiseen paikkaan, missä tietokoneilla voi tehdä villiä asioita. Nyt ihmiset sanovat, että meillä on tämä tietokone, sillä se pystyy tekemään asioita, joita ihmiset eivät pysty. Mutta voiko se? Voiko se todella tehdä asioita, joita ihmiset eivät voi? 1950-luvulla Alan Turing sanoi, että tietokone on suunniteltu tekemään sen, mitä ihmiset voivat tehdä, vain nopeammin. Paljon ei ole muuttunut.
Matemaatikko on vuosikymmeniä käyttänyt tietokoneita esimerkiksi laskelmien tekemiseen, jotka voivat ohjata heidän ymmärrystään. Uutta tekoäly voi varmistaa sen, minkä uskomme olevan totta. Joitakin mahtavaa kehitystä on tapahtunut todisteiden vahvistamisen yhteydessä. Kuten [todistusavustaja] Lean, joka on antanut matemaatikoille mahdollisuuden todentaa monia todisteita ja samalla auttanut tekijöitä ymmärtämään paremmin omaa työtään, koska heidän on jaettava jotkin ideoistaan yksinkertaisempiin vaiheisiin syöttääkseen Leaniin todentamista varten.
Mutta onko tämä idioottivarma? Onko todiste todiste vain siksi, että Lean hyväksyy sen? Jollain tapaa se on yhtä hyvä kuin ihmiset, jotka muuttavat todisteen Leanin syötteiksi. Mikä kuulostaa hyvin pitkälti siltä, kuinka teemme perinteistä matematiikkaa. Joten en väitä uskovani, että Leanin kaltaiset asiat tekevät paljon virheitä. En vain ole varma, onko se turvallisempaa kuin useimmat ihmisten tekemät asiat.
Pelkään, että suhtaudun hyvin skeptisesti tietokoneiden rooliin. Ne voivat olla erittäin arvokas työkalu asioiden saattamiseksi oikein - erityisesti matematiikan todentamiseksi, joka perustuu voimakkaasti uusiin määritelmiin, joita ei ole helppo analysoida ensi silmäyksellä. Ei ole kiistaa siitä, että uusien näkökulmien, uusien työkalujen ja uuden teknologian tarjoaminen asevarastossamme on hyödyllistä. Mutta se, mitä välttelen, on ajatus, että meillä on nyt täydelliset loogiset koneet, jotka tuottavat oikeita lauseita.
Sinun on myönnettävä, että emme voi olla varmoja, että asiat ovat oikein tietokoneiden kanssa. Tulevaisuutemme on nojattava siihen yhteisöllisyyteen, johon olemme luottaneet kautta tieteen historian: siihen, että me pomppaamme asioita toisistamme. Puhumme ihmisten kanssa, jotka katsovat samaa asiaa täysin eri näkökulmasta. Ja niin edelleen.
Mihin näet tämän menevän tulevaisuudessa, kun nämä tekniikat kehittyvät entistä kehittyneemmiksi?
Ehkä se auttaisi todisteen luomisessa. Ehkä viiden vuoden kuluttua sanon ChatGPT:n kaltaiselle tekoälymallille: "Olen melko varma, että olen nähnyt tämän jossain. Tarkistaisitko sen?" Ja se tulee takaisin samanlaisella toteamuksella, joka on oikein.
Ja sitten kun siitä tulee erittäin, erittäin hyvä siinä, voisit ehkä mennä askeleen pidemmälle ja sanoa: "En tiedä miten tämä tehdään, mutta onko ketään, joka on tehnyt jotain tällaista?" Ehkäpä tekoälymalli voisi lopulta löytää taitavia tapoja etsiä kirjallisuutta ja tuoda käyttöön työkaluja, joita on käytetty muualla – tavalla, jota matemaatikko ei ehkä osaa ennakoida.
En kuitenkaan ymmärrä, kuinka ChatGPT voi ylittää tietyn tason tehdäkseen todisteita tavalla, joka ohittaa meidät. ChatGPT ja muut koneoppimisohjelmat eivät ajattele. He käyttävät sanayhdistelmiä monien esimerkkien perusteella. Joten näyttää epätodennäköiseltä, että he ylittävät harjoitustietonsa. Mutta jos niin tapahtuisi, mitä matemaatikot tekevät? Niin paljon siitä, mitä teemme, on todiste. Jos otat meiltä todisteet pois, en ole varma, keitä meistä tulee.
Siitä huolimatta, kun ajattelemme, mihin otamme tietokoneapua, meidän on otettava huomioon kaikki inhimillisistä ponnisteluista saadut opetukset: eri kielten käytön, yhteistyön ja eri näkökulmien kantamisen tärkeys. Siinä on vahvuutta, terveyttä siinä, kuinka eri yhteisöt kokoontuvat työskentelemään ja ymmärtämään todisteita. Jos aiomme saada tietokoneapua matematiikassa, meidän on rikastettava sitä samalla tavalla.
- SEO-pohjainen sisällön ja PR-jakelu. Vahvista jo tänään.
- PlatoData.Network Vertical Generatiivinen Ai. Vahvista itseäsi. Pääsy tästä.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Tietoa laajennettu. Pääsy tästä.
- PlatoESG. Autot / sähköautot, hiili, CleanTech, energia, ympäristö, Aurinko, Jätehuolto. Pääsy tästä.
- PlatonHealth. Biotekniikan ja kliinisten kokeiden älykkyys. Pääsy tästä.
- ChartPrime. Nosta kaupankäyntipeliäsi ChartPrimen avulla. Pääsy tästä.
- BlockOffsets. Ympäristövastuun omistuksen nykyaikaistaminen. Pääsy tästä.
- Lähde: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- :on
- :On
- :ei
- :missä
- ][s
- $ YLÖS
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- pystyy
- Meistä
- TIIVISTELMÄ
- hyväksytty
- saatavilla
- Mukaan
- Tili
- tunnustaa
- todella
- Lisäksi
- Seikkailu
- peloissaan
- Jälkeen
- ikä
- sopimus
- AI
- Alan
- Alan Turing
- Kaikki
- sallia
- sallittu
- yksin
- pitkin
- jo
- Myös
- aina
- hämmästyttävä
- Amazon
- Amerikkalainen
- määrä
- an
- analysoida
- ja
- Toinen
- Kaikki
- joku
- mitään
- ilmestyi
- sovellettu
- käyttää
- arkisto
- OVAT
- ALUE
- perustelu
- noin
- artikkelit
- keinotekoinen
- tekoäly
- AS
- auttaa
- Apu
- Avustaja
- yhdistykset
- oletukset
- At
- yleisö
- kirjoittaja
- tekemääsi
- Tekijät
- välttää
- pois
- takaisin
- perustua
- perustiedot
- perusta
- BE
- Bear
- koska
- tulevat
- ollut
- ovat
- Uskoa
- Bertrand
- PARAS
- Paremmin
- välillä
- Jälkeen
- Iso
- syntynyt
- Pomppia
- Laatikko
- Tauko
- läpimurtoja
- tuoda
- mutta
- by
- laskelmat
- nimeltään
- Cambridge
- tuli
- CAN
- Kanada
- ei voi
- Ura
- Carl
- kuljettaa
- Century
- tietty
- muuttaa
- muuttunut
- muuttuviin
- kuvata
- ChatGPT
- tarkastaa
- valinta
- valintoja
- Valita
- valittu
- Ympyrä
- väitti
- selkeys
- selkeä
- selvästi
- JOHDONMUKAINEN
- kokoelma
- College
- Tulla
- mukava
- yhteisöjen
- yhteisö
- kompakti
- yritys
- täydellinen
- täysin
- monimutkainen
- tietokone
- tietokoneet
- käsite
- käsitteet
- otaksuma
- Harkita
- harkittu
- johdonmukainen
- rakentaa
- tausta
- jatkaa
- jatkumo
- kiistanalainen
- muuntaa
- Viileä
- kulmat
- korjata
- voisi
- Kurssi
- hullu
- luoda
- Luominen
- olento
- Kulttuuri
- Nykyinen
- vaaroista
- tiedot
- David
- keskustelu
- vuosikymmeninä
- päättää
- määritelmä
- määritelmät
- Aste
- osoittaa
- riippuu
- kuvata
- suunniteltu
- kirjoituspöytä
- kehitetty
- kehitys
- DID
- eri
- vaikea
- löysi
- pohtia
- keskusteltiin
- keskustelu
- jaettu
- do
- ei
- ei
- tekee
- tehty
- Dont
- Mukaan
- alas
- aikana
- kukin
- Aikaisemmin
- Varhainen
- maa
- helposti
- helppo
- myöskään
- muu
- muualla
- loppu
- yrittää
- rikastuttaa
- yhtälöt
- Aikakausi
- virheet
- olennaisesti
- Jopa
- lopulta
- kaikki
- kehittää
- esimerkki
- Esimerkit
- olla
- odottaa
- kokeellinen
- selitetään
- Tutkiminen
- ilmaistuna
- äärimmäinen
- Epäonnistui
- oikeudenmukainen
- väärä
- tuttu
- kuuluisa
- nopeampi
- tuntea
- harvat
- Elokuva
- Löytää
- Etunimi
- sovittaa
- viisi
- Keskittää
- seurata
- varten
- aavistaa
- ikuisesti
- löytyi
- alkaen
- toiminto
- perus-
- rahoitus
- edelleen
- tulevaisuutta
- Saada
- peli
- Pelit
- kuilu
- yleensä
- saada
- saada
- Antaa
- tietty
- Go
- Goes
- menee
- hyvä
- suuri
- Maa
- ohjaavat
- HAD
- tapahtua
- tapahtui
- Kova
- Olla
- he
- terveys
- raskaasti
- auttaa
- hyödyllinen
- auttaa
- tätä
- Korkea
- hänen
- historia
- toivoa
- Toivon mukaan
- Miten
- Miten
- HTTPS
- ihmisen
- Ihmiset
- i
- Minä
- ajatus
- ideoita
- if
- heti
- merkitys
- tärkeä
- mahdoton
- in
- tapaus
- sisältää
- vakiintuneet
- itsenäisesti
- ilmoitettu
- ensin
- tuloa
- esimerkki
- sen sijaan
- vakuutus
- Älykkyys
- kiinnostunut
- mielenkiintoinen
- Haastatella
- tulee
- käyttöön
- keksi
- osallistuva
- kysymykset
- IT
- SEN
- Jennifer
- Job
- vain
- vain yksi
- avain
- Tietää
- tunnettu
- Kurt
- Kieli
- kielet
- suuri
- suureksi osaksi
- Sukunimi
- myöhemmin
- johtava
- Liidit
- OPPIA
- oppinut
- oppiminen
- vasemmalle
- Lessons
- Taso
- pitää
- tykkää
- rajallinen
- linja
- kirjallisuus
- logiikka
- looginen
- Lontoo
- Pitkät
- pitkä aika
- katso
- näyttää joltakin
- Katsoin
- Erä
- rakastettu
- kone
- koneoppiminen
- Koneet
- tehty
- aikakauslehti
- taika-
- tärkein
- merkittävä
- tehdä
- Tekeminen
- monet
- räystäspääsky
- maisterin
- matematiikka
- matemaattinen
- matematiikka
- asia
- Saattaa..
- ehkä
- me
- tarkoittaa
- merkitys
- välineet
- Media
- ehkä
- väärinkäsityksiä
- malli
- Moderni
- Kuukausi
- lisää
- Lisäksi
- eniten
- enimmäkseen
- äiti
- siirretty
- elokuva
- paljon
- täytyy
- keskinäinen
- my
- luonto
- lähes
- Tarve
- tarpeet
- ei ikinä
- Uusi
- Newton
- seuraava
- Nro
- Huomautuksia
- ei mitään
- Käsite
- romaani
- nyt
- numero
- numerot
- tavoite
- objektiivisesti
- esineet
- Ilmeinen
- of
- pois
- usein
- oh
- Vanha
- on
- kerran
- ONE
- vain
- avata
- or
- Muut
- Muuta
- meidän
- ulos
- ulkopuolella
- päihittää
- yli
- oma
- sivut
- Paperi
- paperit
- paradigma
- erityinen
- erityisesti
- osat
- Ihmiset
- täydellinen
- ehkä
- näkökulma
- näkökulmia
- Pietari
- filosofia
- PHP
- Paikka
- suunnittelu
- Platon
- Platonin tietotieto
- PlatonData
- Pelaa
- pelataan
- soittaa
- Kohta
- Suosittu
- mahdollinen
- harjoitusta.
- aika
- tärkein
- todennäköisesti
- Ongelma
- ongelmia
- prosessi
- tuottaa
- Ohjelmat
- Edistyminen
- projekti
- todiste
- todisteet
- todistaa
- osoittautui
- julkaista
- julkaistu
- Työnnä
- laittaa
- Kvantamagatsiini
- etsintä
- kysymys
- lainata
- radikaalisti
- herättää
- harvoin
- Lue
- lukija
- ymmärtämättä
- ihan oikeesti
- syistä
- äskettäin
- liittyvä
- yhteys
- luottaa
- tutkimus
- palata
- oikein
- tiukka
- kestävyys
- Rooli
- säännöt
- Said
- sama
- näki
- sanoa
- sanonta
- sanoo
- Koulu
- tiede
- tieteellinen
- tutkijat
- raapia
- Haku
- turvallinen
- nähdä
- etsiä
- näyttää
- näyttää
- nähneet
- valittu
- tunne
- Sarjat
- setti
- shouldnt
- shy
- Näky
- samankaltainen
- Yksinkertainen
- yksinkertaisempi
- yksinkertaisesti
- koska
- sisko
- istua
- skeptisyys
- taitava
- So
- sosiaalinen
- yhteiskunta
- jonkin verran
- jotain
- jonnekin
- hienostunut
- Tila
- vaiheissa
- standardit
- Alkaa
- alkoi
- Aloita
- alkaa
- Lausunto
- lausuntoja
- Vaihe
- Askeleet
- Yhä
- taistelu
- Struggling
- tutkittu
- aihe
- niin
- varma
- järjestelmä
- järjestelmät
- ottaa
- otettava
- ottaen
- Puhua
- näppäimet
- Technologies
- Elektroniikka
- ehdot
- kuin
- että
- -
- Tulevaisuus
- heidän
- Niitä
- sitten
- teoria
- Siellä.
- Nämä
- ne
- asia
- asiat
- ajatella
- ajattelija
- Ajattelu
- tätä
- ne
- vaikka?
- ajatus
- Kautta
- kauttaaltaan
- aika
- että
- tänään
- tämän päivän
- yhdessä
- liian
- otti
- työkalu
- työkalut
- kohti
- perinteinen
- koulutus
- kokeillut
- totta
- Totuus
- yrittää
- Turing
- VUORO
- kaksi
- tyypillisesti
- lopullinen
- ymmärtää
- ymmärtäminen
- ymmärsi
- yksisarvinen
- Yleismaailmallinen
- yliopisto
- Cambridgen yliopisto
- epätodennäköinen
- us
- käyttää
- käytetty
- käyttämällä
- arvokas
- valtava
- Vahvistus
- todentaa
- tarkastaa
- hyvin
- haluta
- halusi
- haluaa
- oli
- Tapa..
- tavalla
- we
- WebP
- HYVIN
- meni
- olivat
- Mitä
- Mikä on
- kun
- joka
- vaikka
- KUKA
- miksi
- Villi
- tulee
- with
- sana
- sanoja
- Referenssit
- työskenteli
- työskentely
- toimii
- arvoinen
- olisi
- kirjoittaa
- kirjailija
- kirjoittaminen
- Väärä
- kirjoitti
- vuosi
- vuotta
- Voit
- Sinun
- itse
- zephyrnet
- nolla-
- Zeta