Un siècle plus tard, les nouvelles mathématiques adoucissent la relativité générale | Magazine Quanta

La théorie de la relativité générale d'Albert Einstein a parfaitement réussi à décrire le fonctionnement de la gravité et la manière dont elle façonne la structure à grande échelle de l'univers. Cela est résumé dans un dicton du physicien John Wheeler : « L'espace-temps indique à la matière comment se déplacer ; la matière indique à l’espace-temps comment se courber. Pourtant, les mathématiques de la relativité générale sont également profondément contre-intuitives.

Parce que ses équations de base sont si complexes, même les affirmations les plus simples sont difficiles à prouver. Par exemple, ce n’est que vers 1980 que les mathématiciens ont prouvé, dans le cadre d’un théorème majeur de la relativité générale, qu’un système physique isolé, ou espace, sans aucune masse, devait être plat.

Cela laisse en suspens la question de savoir à quoi ressemble un espace s’il est presque vide, n’ayant qu’une infime quantité de masse. Est-ce forcément presque plat ?

Même s’il peut sembler évident qu’une masse plus petite entraînerait une courbure plus petite, les choses ne sont pas si simples lorsqu’il s’agit de relativité générale. Selon cette théorie, des concentrations denses de matière peuvent « déformer » une partie de l’espace, le rendant ainsi très courbé. Dans certains cas, cette courbure peut être extrême, pouvant conduire à la formation de trous noirs. Cela peut se produire même dans un espace contenant de petites quantités de matière, si celle-ci est suffisamment concentrée.

Dans une récente papier, Conghan Dong, étudiant diplômé à l'Université Stony Brook, et Antoine Chanson, professeur adjoint au California Institute of Technology, a prouvé qu'une séquence d'espaces courbes avec des masses de plus en plus petites finirait par converger vers un espace plat avec une courbure nulle.

Ce résultat constitue une avancée remarquable dans l’exploration mathématique de la relativité générale – une quête qui continue de porter ses fruits plus d’un siècle après qu’Einstein ait conçu sa théorie. Dan Lee, un mathématicien du Queens College qui étudie les mathématiques de la relativité générale mais n'a pas participé à cette recherche, a déclaré que la preuve de Dong et Song reflète une compréhension profonde de la manière dont la courbure et la masse interagissent.

Ce qu'ils ont prouvé

La preuve de Dong et Song concerne les espaces tridimensionnels, mais considérons d'abord un exemple bidimensionnel à des fins d'illustration. Imaginez un espace plat sans masse comme une feuille de papier ordinaire et lisse. Dans ce cas, un espace de petite masse peut paraître similaire de loin, c'est-à-dire essentiellement plat. Cependant, une inspection plus approfondie pourrait révéler des pointes ou des bulles pointues apparaissant ici et là – conséquences de l’agrégation de matière. Ces affleurements aléatoires feraient ressembler le papier à une pelouse bien entretenue avec des champignons ou des tiges occasionnelles dépassant de la surface.

Dong et Song se sont révélés un conjecture qui a été formulée en 2001 par les mathématiciens Gerhard Huisken et les Tom Ilmanen. La conjecture stipule que lorsque la masse d’un espace s’approche de zéro, sa courbure doit également s’en rapprocher. Huisken et Ilmanen reconnaissent cependant que ce scénario est compliqué par la présence de bulles et de pointes (qui sont mathématiquement distinctes les unes des autres). Ils ont émis l’hypothèse que les bulles et les pointes pourraient être coupées de telle manière que la zone limite laissée à la surface de l’espace par chaque excision soit petite. Ils ont suggéré, mais n'ont pas pu le prouver, que l'espace qui restait après la suppression de ces appendices gênants serait presque plat. Ils ne savaient pas non plus comment procéder à de telles réductions.

"Ces questions étaient difficiles et je ne m'attendais pas à voir une solution à la conjecture de Huisken-Ilmanen", a déclaré Lee.

Au cœur de la conjecture se trouve une mesure de courbure. L'espace peut se courber de différentes manières, dans différentes proportions et dans différentes directions - comme une selle (en deux dimensions) qui se courbe vers l'avant et vers l'arrière, mais vers le bas vers la gauche et la droite. Dong et Song ignorent ces détails. Ils utilisent un concept appelé courbure scalaire, qui représente la courbure sous la forme d'un nombre unique résumant la courbure complète dans toutes les directions.

Le nouveau travail de Dong et Song, a déclaré Daniel Stern de l'Université Cornell, est « l'un des résultats les plus solides que nous ayons jusqu'à présent et qui nous montre comment la courbure scalaire contrôle [la] géométrie » de l'espace dans son ensemble. Leur article illustre que « si nous avons une courbure scalaire non négative et une petite masse, nous comprenons très bien la structure de l’espace ».

La preuve

La conjecture de Huisken-Ilmanen concerne la géométrie des espaces dont la masse diminue régulièrement. Il prescrit une méthode spécifique pour indiquer à quel point un espace de petite masse est proche d'un espace plat. Cette mesure est appelée distance de Gromov-Hausdorff, du nom des mathématiciens Mikhaël Gromov et Félix Hausdorff. Le calcul de la distance Gromov-Hausdorff est un processus en deux étapes.

La première étape consiste à trouver la distance de Hausdorff. Supposons que vous ayez deux cercles, A et B. Commencez par n’importe quel point de A et déterminez à quelle distance il se trouve du point le plus proche de B.

Répétez cette opération pour chaque point de A. La plus grande distance que vous trouvez est la distance de Hausdorff entre les cercles.

Une fois que vous avez la distance Hausdorff, vous pouvez calculer la distance Gromov-Hausdorff. Pour cela, placez vos objets dans un espace plus grand afin de minimiser la distance Hausdorff entre eux. Dans le cas de deux cercles identiques, puisqu’on pourrait les superposer littéralement, la distance de Gromov-Hausdorff qui les sépare est nulle. Des objets géométriquement identiques comme ceux-ci sont appelés « isométriques ».

Bien entendu, mesurer la distance est plus difficile lorsque les objets ou les espaces comparés sont similaires mais pas identiques. La distance de Gromov-Hausdorff fournit une mesure précise des similitudes (ou des différences) entre les formes de deux objets se trouvant initialement dans des espaces différents. "La distance Gromov-Hausdorff est l'un des meilleurs moyens dont nous disposons pour dire que deux espaces sont presque isométriques, et elle donne un chiffre à ce" presque "", a déclaré Stern.

Avant que Dong et Song puissent établir des comparaisons entre un espace de petite masse et un espace parfaitement plat, ils ont dû couper les protubérances embêtantes – les pointes étroites où la matière est étroitement tassée et les bulles encore plus denses qui peuvent abriter de minuscules trous noirs. "Nous les avons coupés de manière à ce que la zone limite [où la tranche a été réalisée] soit petite", a déclaré Song, "et nous avons montré que la zone diminue à mesure que la masse diminue."

Bien que cette tactique puisse ressembler à une triche, Stern a déclaré qu'il était permis, pour prouver la conjecture, d'effectuer une sorte de pré-traitement en supprimant les bulles et les pointes dont la surface se réduit à zéro à mesure que la masse diminue.

Pour représenter un espace de petite masse, a-t-il suggéré, nous pourrions imaginer une feuille de papier froissée qui, après avoir été à nouveau lissée, présente encore des plis et des plis nets. Vous pouvez utiliser une perforatrice pour éliminer les irrégularités les plus importantes, laissant un morceau de papier légèrement irrégulier avec quelques trous. À mesure que la taille de ces trous diminue, les irrégularités du terrain du papier diminuent également. À la limite, pourrait-on dire, les trous se réduiraient à zéro, les monticules et les crêtes disparaîtraient et vous vous retrouveriez avec un morceau de papier uniformément lisse – un véritable substitut à un espace plat.

C'est ce que Dong et Song cherchaient à prouver. L’étape suivante consistait à voir comment ces espaces dénudés – dépouillés de leurs caractéristiques brutes – se comparaient à la norme de la planéité totale. La stratégie qu'ils ont poursuivie utilisait un type particulier de carte, qui permet de comparer deux espaces en associant des points d'un espace à des points d'un autre. La carte qu'ils ont utilisée a été élaborée dans un papier écrit par Stern et trois collègues — Hubert Bray, Demeter Kazaras et Marcus Khuri. Cette procédure peut indiquer exactement à quel point deux espaces sont proches.

Pour simplifier leur tâche, Dong et Song ont adopté une autre astuce mathématique de Stern et de ses co-auteurs, qui a montré qu'un espace tridimensionnel peut être divisé en une infinité de tranches bidimensionnelles appelées niveaux, tout comme un œuf dur peut le faire. être segmenté en feuilles étroites par les fils tendus d’une trancheuse à œufs.

Les ensembles de niveaux héritent de la courbure de l'espace tridimensionnel qu'ils composent. En concentrant leur attention sur les niveaux plutôt que sur un espace tridimensionnel plus grand, Dong et Song ont pu réduire la dimensionnalité du problème de trois à deux. C’est très bénéfique, a déclaré Song, car « nous en savons beaucoup sur les objets bidimensionnels… et nous disposons de nombreux outils pour les étudier ».

S’ils parvenaient à démontrer que chaque ensemble de niveaux est « plutôt plat », a déclaré Song, cela leur permettrait d’atteindre leur objectif global de montrer qu’un espace tridimensionnel avec peu de masse est presque plat. Heureusement, cette stratégie a fonctionné.

Prochaines étapes

Pour l'avenir, Song a déclaré que l'un des prochains défis du domaine serait de rendre la preuve plus explicite en établissant une procédure précise pour éliminer les bulles et les pointes et en décrivant mieux les régions qui ont été découpées. Mais pour l’instant, a-t-il admis, « nous n’avons pas de stratégie claire pour y parvenir ».

 Une autre voie prometteuse, selon Song, consisterait à explorer une conjecture séparée qui a été formulée en 2011 par Lee et Christine Sormani, mathématicien à la City University de New York. La conjecture de Lee-Sormani pose une question similaire à celle posée par Huisken et Ilmanen, mais elle repose sur une manière différente de mesurer la différence entre les formes. Au lieu de considérer la distance maximale entre deux formes, comme le fait la distance de Gromov-Hausdorff, l'approche de Lee-Sormani s'interroge sur la distance volume de l'espace entre eux. Plus ce volume est petit, plus ils sont proches.

Song, quant à lui, espère examiner des questions fondamentales sur la courbure scalaire qui ne sont pas motivées par la physique. "En relativité générale", a-t-il déclaré, "nous traitons d'espaces très spéciaux qui sont presque plats à l'infini, mais en géométrie, nous nous soucions de toutes sortes d'espaces."

"Il y a de l'espoir que ces techniques pourraient être utiles dans d'autres contextes" sans rapport avec la relativité générale, a déclaré Stern. « Il existe une grande famille de problèmes connexes », a-t-il déclaré, qui attendent d'être explorés.

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