Introduction
Comme beaucoup de gens qui deviendront mathématiciens, Wei Ho a grandi en participant à des concours de mathématiques. En huitième année, elle a remporté le concours d'État Mathcounts dans le Wisconsin et son équipe a pris la troisième place aux championnats nationaux.
Contrairement à de nombreux futurs mathématiciens, elle n'était pas sûre de vouloir le devenir un jour.
"Je voulais tout faire, tout le temps", a déclaré Ho. « J'ai pris le ballet très au sérieux jusqu'au début du secondaire. J'ai édité le magazine littéraire. J'ai fait du débat et de la criminalistique. J'ai joué au tennis, au football, au piano et au violon. En revanche, de nombreux mathématiciens à succès semblaient être obsédés par les mathématiques à l'exclusion de tout le reste. Comment pourrait-elle, une personne aux multiples passions, rivaliser avec ce niveau de concentration ?
En fin de compte, Ho a été attiré par la rigueur des mathématiques. Elle aime toujours le ballet, lire des romans et faire des mots croisés énigmatiques, même si elle aide à réinventer la machinerie mathématique qui sous-tend les objets mathématiques fondamentaux, tels que les équations polynomiales, qui sont associées à des questions ouvertes de longue date et déroutantes.
Ho étudie des objets géométriques familiers, mais elle reformule les questions pour les situer dans le domaine des nombres rationnels - des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions. "Ensuite, la théorie des nombres commence à se mêler à tout cela", a-t-elle déclaré.
Elle s'intéresse particulièrement aux courbes elliptiques, qui sont définies par un type particulier d'équation polynomiale qui a des applications dans différentes branches des mathématiques. Les courbes elliptiques apparaissent dans l'analyse - au sens large, l'étude des choses continues, comme les nombres réels - et dans l'algèbre, qui consiste à trouver et à définir des structures mathématiques précises. (Bien que leur objectif soit différent, l'analyse et l'algèbre sont davantage divisées par la sensibilité que par une frontière stricte, car il y a beaucoup de chevauchement entre elles.)
Introduction
Dans une prépublication révolutionnaire publiée en 2018, Ho et son collaborateur Levent Alpöge de l'Université de Harvard découvert une nouvelle limite supérieure pour le nombre de solutions entières aux polynômes qui définissent les courbes elliptiques. Leur technique s'appuie sur le travail vieux de plusieurs décennies de Louis Mordell, un mathématicien américain qui a émigré en Grande-Bretagne en 1906. Dans leur article, Ho et Alpöge ont pu glaner de nouvelles informations sur la distribution de ces solutions entières qui avaient échappé à d'autres équipes étudiant des solutions similaires. problèmes.
Ho passe l'année (en congé de son poste de professeur à l'Université du Michigan) en tant que professeure invitée à l'Institute for Advanced Study, où elle a récemment été nommée première directrice du programme Women and Mathematics de l'IAS. Elle est également membre 2023 de l'American Mathematical Society et chercheuse à l'Université de Princeton.
Elle espère que diriger le programme Femmes et Mathématiques "aidera au moins davantage la communauté, aidera plus de gens, au lieu de me contenter d'être dans mon bureau à faire des recherches en mathématiques par moi-même ou avec des collaborateurs", a-t-elle déclaré. « Je peux prouver des théorèmes, et peut-être qu'un jour je pourrai prouver un théorème qui comptera dans 100 ans. Peut-être peut-être pas. Mais j'avais l'impression de ne pas avoir assez d'impact sur le monde ou sur les gens autour de moi.
Quanta a parlé avec Ho dans une série de vidéoconférences. Les entretiens ont été condensés et édités pour plus de clarté.
Comment décririez-vous votre façon de faire des mathématiques ?
Parfois, les mathématiciens se divisent en gens algébriques et analytiques. Les mathématiques que je fais touchent les deux côtés, mais au fond, je suis un algébriste, bien que je sois géométrique dans ma façon de penser. J'ai souvent tendance à considérer l'algèbre et la géométrie comme essentiellement identiques.
Ce n'est pas tout à fait exact, mais au fond depuis les travaux de Descartes et surtout au siècle dernier, les deux sujets sont devenus très proches. Il existe un dictionnaire assez précis qui peut, dans certaines situations, aider à traduire une image géométrique en conséquences algébriques.
Dans mon propre cas, l'image géométrique aide souvent à formuler des déclarations et des conjectures et à donner de l'intuition, mais nous les traduisons ensuite en algèbre lors de l'écriture. Il est plus facile de détecter les erreurs car l'algèbre est généralement plus rigoureuse. Il peut également être plus facile d'utiliser l'algèbre lorsque la géométrie devient trop difficile à visualiser.
Sur quelles idées vous êtes-vous concentré dans vos travaux récents ?
Une bonne partie de mon travail concerne les courbes elliptiques, qui sont des objets très naturels en théorie des nombres et en géométrie arithmétique.
Il devrait être difficile d'avoir des solutions entières d'équations comme celles-ci. Nous nous attendons, fondamentalement, à ce que presque toutes les courbes n'aient pas de solutions entières. Mais c'est très difficile à prouver.
Levent et moi avons étudié cette distribution du nombre de points entiers. Nous utilisons une construction classique du livre de Mordell de 1969 Équations diophantiennes. Nous sommes capables de donner une borne supérieure sur le nombre de points entiers sur une courbe elliptique. D'autres personnes ont donné des limites supérieures. Nous avons trouvé une borne différente qui est simple à énoncer.
Quel rôle les travaux antérieurs de Mordell ont-ils joué dans votre récent résultat ?
Notre question porte sur des points entiers sur des courbes elliptiques. Mordell a une façon de le relier à quelque chose d'autre que nous pouvons étudier.
C'est quelque chose que nous faisons tout le temps en mathématiques : nous voulons comprendre un objet, mais nous devons trouver un proxy pour le comprendre. Parfois, ce proxy est très précis. Parfois, il perd des informations. Mais c'est en fait quelque chose auquel nous pouvons accéder.
Quand avez-vous décidé de vous concentrer sur les mathématiques ?
Je ne pense pas qu'il y ait eu un point de basculement pour moi. Je suis satisfait de ma vie et de ma carrière maintenant, mais je pense que si les choses avaient été légèrement différentes, j'aurais pu être heureux dans de nombreuses carrières ou dans d'autres domaines. C'est peut-être quelque chose que la plupart des mathématiciens ne diraient pas, car ils aiment parler de leur passion pour les mathématiques et du fait qu'ils ne pourraient jamais penser à autre chose. Pour moi, je ne pense pas que ce soit vrai.
Je suis curieux de beaucoup de choses différentes. Peut-être que j'ai fini par devenir mathématicien parce que j'étais frustré par le manque de rigueur dans d'autres domaines. Enfant, j'ai été formé à penser comme un mathématicien à certains égards, parce que c'est ainsi que nous faisions les choses à la maison. Mon père jouait à des jeux de mathématiques avec moi, ce qui signifiait que j'apprenais le raisonnement logique dès mon plus jeune âge. Je voulais que les choses soient prouvées.
Mais je n'étais pas sûr d'être un bon mathématicien.
Pourquoi ?
Quand j'étais plus jeune, je ne connaissais pas beaucoup de mathématiciens qui me ressemblaient de différentes manières. Nous jetons ces mots sur les modèles de rôle. Ce n'est pas seulement que je n'ai pas vu assez de femmes ou de femmes américaines d'origine asiatique.
Ce que je veux dire, c'est que je n'ai pas vu beaucoup de gens passionnés par autre chose que les mathématiques. Cela m'a beaucoup fait douter de moi. Comment puis-je réussir en mathématiques si je ne passe pas 100 % de mon temps à penser aux mathématiques ? C'est ce que j'ai vu autour de moi. J'avais l'impression que les autres abordaient les mathématiques différemment de moi, mes pairs et les personnes plus âgées que moi. Je pensais que c'était difficile de poursuivre une carrière où je n'allais pas être comme ça. J'aurais d'autres intérêts.
L'aspect humain est quelque chose dont je n'ai pas vu d'autres personnes se soucier autant. J'avais peur qu'une partie de moi me rende mauvais pour devenir mathématicien.
Introduction
Vous venez d'être nommée directrice du programme Femmes et Mathématiques de l'IAS. Qu'est-ce que ce programme offre aux femmes mathématiciennes ?
Il s'agit d'un atelier d'une semaine pour les femmes à différents stades de carrière, y compris les femmes de premier cycle, les étudiantes des cycles supérieurs, les post-doctorants et certains professeurs juniors et seniors. C'est apprendre les mathématiques dans un environnement favorable.
Les étudiants de premier cycle qui ne savaient peut-être pas qu'ils voulaient poursuivre des études en mathématiques rencontrent des mathématiciens très expérimentés et bénéficient d'un mentorat jusqu'au bout. Ils peuvent voir de nombreuses personnes différentes à différentes étapes de leur carrière et parler aux gens de leurs expériences. Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup d'autres programmes qui couvrent toute cette gamme et se concentrent sur un sous-domaine particulier.
Le programme 2023 s'appelle "Patterns in Integers". Il y aura beaucoup de monde en combinatoire additive et en théorie analytique des nombres. Nous faisons venir des gens de différents parcours professionnels pour qu'ils se rencontrent.
Pour les étudiants diplômés plus âgés qui travaillent déjà dans ce domaine, ils rencontrent des post-doctorants, des professeurs juniors et seniors dans leur domaine et ont la chance de travailler à leurs côtés pendant une semaine.
Vous êtes également impliqué dans la Projet Stacks, qui est une vaste ressource en ligne. Qu'est-ce qu'il a d'unique ?
Son volume et son accessibilité. C'est ce projet collaboratif en ligne massif - plus de 7,500 XNUMX pages si vous l'avez imprimé. Mais de manière réaliste, [le mathématicien de l'Université de Columbia] Aise Johan de Jong écrit presque tout. C'est une ressource rigoureuse et soigneusement écrite pour les géomètres algébriques. C'est une chose incroyable qu'il a faite pour la communauté.
Chaque semaine ou deux, il grandit. C'est une référence de confiance pour presque tout. Il couvre une énorme quantité de géométrie algébrique pour laquelle vous auriez besoin de consulter 20 manuels.
C'est vivre dans le sens où des choses peuvent être ajoutées et modifiées. S'il y a des erreurs, elles seront rattrapées.
L'autre chose qui est assez intéressante à ce sujet est le système de balises. Même si ce document est en croissance constante, vous pouvez toujours référencer une balise spécifique pour toujours. Il existe plus de 21,000 XNUMX balises permanentes pour des résultats particuliers que vous voudrez peut-être citer. Pieter Belmans a construit tout le back-end, qui a également été utilisé dans d'autres projets. D'autres personnes en ont adapté la technologie.
Le problème est - et Johan le sait - qu'il ne pourra finalement pas continuer à écrire ceci. Un jour, si nous voulons que cela continue, il faut que d'autres personnes s'impliquent davantage.
Quel rôle jouent vos ateliers dans le projet Stacks ?
Le but est de commencer à impliquer les jeunes. Nous leur demandons d'écrire des morceaux qui pourraient éventuellement y être incorporés. Il y a quelques tensions ici, car pour que le site Web reste correct et de haute qualité en tant que ressource, il doit être modéré avec soin. Johan doit donc encore faire beaucoup de travail pour y mettre les choses. Cela ne peut pas être comme Wikipedia où n'importe qui peut y toucher. C'est un peu malheureux, mais cela doit arriver si vous voulez que cela fonctionne.
Nous essayons de trouver des moyens d'impliquer progressivement plus de personnes dans le projet Stacks. Nous faisons appel à des mentors pour travailler sur des projets avec des étudiants diplômés et des postdoctorants. Ils apprennent un peu de géométrie algébrique. Ensuite, ils écrivent quelque chose.
We vient de publier un volume avec un tas d'articles explicatifs qui, nous l'espérons, finiront par entrer dans le projet Stacks.
Le projet Stacks pourrait continuer à avoir un impact extrêmement important pendant des centaines d'années si suffisamment de personnes s'impliquent et le maintiennent.
