Au début des années 1950, un groupe de chercheurs de l'Institute for Advanced Study s'est lancé dans un projet de haute technologie. Au ordre de John von Neumann et Herman Goldstine, le physicien Hedvig Selberg a programmé l'ordinateur à 1,700 18 tubes à vide de l'IAS pour calculer de curieuses sommes mathématiques dont les origines remontent au XVIIIe siècle.
Les sommes étaient liées aux sommes quadratiques de Gauss, du nom du célèbre mathématicien Carl Friedrich Gauss. Gauss choisirait un nombre premier p, puis additionnez des nombres de la forme $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Depuis leur création, les sommes quadratiques de Gauss se sont révélées inestimables pour des tâches telles que le comptage des solutions à certains types d'équations. "Il s'avère que les sommes de Gauss sont magiques, qu'elles font juste des choses merveilleuses pour Dieu sait quelle raison", a déclaré Jeffrey Hoffstein, mathématicien à l'Université Brown.
Au milieu du XIXe siècle, le mathématicien allemand Ernst Eduard Kummer jouait avec un proche parent de ces sommes quadratiques de Gauss, où le n2 dans l'exposant est remplacé par un n3. Kummer a remarqué qu'ils avaient tendance à collecter des valeurs proches de certaines à un degré surprenant - une observation fine qui conduirait à des siècles d'enquêtes sur la théorie des nombres.
Si les sommes cubiques de Gauss ne sont pas retravaillées dans une formule plus simple, leurs valeurs sont difficiles à déduire. Faute d'une telle formule, Kummer s'est mis à calculer des sommes de Gauss cubiques - et à calculer et à calculer. "Il était très courant pour eux de faire ce genre de calculs héroïques à la main à l'époque", a déclaré Matthew Young, mathématicien à la Texas A&M University. Après avoir parcouru 45 sommes, correspondant aux 45 premiers nombres premiers non triviaux, Kummer a finalement abandonné.
En examinant ses résultats, Kummer a remarqué quelque chose d'intéressant. En théorie, les sommes pourraient être n'importe quoi entre -1 et 1 (après avoir été "normalisées" - divisées par une constante appropriée). Mais quand il a fait les calculs, il a découvert qu'ils étaient distribués d'une manière étrange. La moitié des résultats étaient compris entre ½ et 1, et seulement un sixième d'entre eux se situaient entre −1 et −½. Ils semblaient se regrouper autour de 1.
Kummer a exposé ses observations, accompagnées d'une conjecture : si vous réussissiez d'une manière ou d'une autre à tracer toutes les infinités de sommes de Gauss cubiques, vous verriez la plupart d'entre elles entre ½ et 1 ; moins entre −½ et ½ ; et encore moins entre −1 et −½.
Selberg, von Neumann et Goldstine ont entrepris de tester cela sur leur premier ordinateur. Selberg l'a programmé pour calculer les sommes cubiques de Gauss pour tous les nombres premiers non triviaux inférieurs à 10,000 600 - environ 1 sommes en tout. (Goldstine et von Neumann continueraient à rédiger l'article; ses contributions finiraient par être reléguées à une ligne de remerciement à la fin.) Ils ont découvert qu'à mesure que les nombres premiers augmentaient, les sommes normalisées devenaient moins enclines à se regrouper près de XNUMX. Avec preuve convaincante que la conjecture de Kummer était fausse, les mathématiciens ont commencé à essayer de comprendre les sommes cubiques de Gauss d'une manière plus profonde qui allait au-delà du simple calcul.
Ce processus est maintenant terminé. En 1978, le mathématicien Samuel Patterson a osé une solution au mystère mathématique de Kummer, mais n'a pas pu le prouver. Puis l'automne dernier, deux mathématiciens du California Institute of Technology ont prouvé la conjecture de Patterson, mettant enfin un terme aux réflexions de Kummer de 1846.
Patterson est devenu accro au problème alors qu'il était étudiant diplômé à l'Université de Cambridge dans les années 1970. Sa conjecture était motivée par ce qui se passe lorsque des nombres sont placés au hasard entre -1 et 1. Si vous additionnez N de ces nombres aléatoires, la taille typique de la somme sera $latexsqrt{N}$ (elle peut être positive ou négative). De même, si les sommes de Gauss cubiques étaient dispersées uniformément de -1 à 1, vous vous attendriez à N d'entre eux pour ajouter environ $latexsqrt{N}$.
Dans cet esprit, Patterson a ajouté N sommes cubiques de Gauss, ignorant (pour le moment) l'obligation de s'en tenir aux nombres premiers. Il a trouvé que la somme était d'environ N5/6 — plus grand que $latexsqrt{N}$ (qui peut être écrit comme N1/2), mais moins que N. Cette valeur impliquait que les sommes se comportaient comme des nombres aléatoires mais avec une force faible les poussant vers des valeurs positives, appelées biais. Comme N devenait de plus en plus grand, le caractère aléatoire commencerait à submerger le biais, et donc si vous regardiez d'une manière ou d'une autre toutes les infinités de sommes cubiques de Gauss à la fois, elles apparaîtraient uniformément réparties.
Cela expliquait apparemment tout : les calculs de Kummer montrant un biais, ainsi que les calculs de l'IAS en réfutant un.
Mais Patterson n'était pas capable de faire les mêmes calculs pour les nombres premiers, donc en 1978, il l'a officiellement écrit comme un conjecture: Si vous additionnez les sommes cubiques de Gauss pour les nombres premiers, vous devriez obtenir le même N5/6 comportement.
Peu de temps après avoir donné une conférence sur son travail sur le problème de Kummer, Patterson a été contacté par un étudiant diplômé nommé Roger Heath-Brown, qui a suggéré d'incorporer des techniques de la théorie des nombres premiers. Les deux se sont associés et bientôt publié une avance sur le problème, mais ils ne pouvaient toujours pas montrer que Patterson avait prédit N5/6 le biais était exact pour les nombres premiers.
Au cours des décennies suivantes, il y a eu peu de progrès. Enfin, au tournant du millénaire, Heath-Brown a fait un autre percée, dans lequel un outil qu'il avait développé appelé le grand tamis cubique jouait un rôle essentiel.
Pour utiliser le grand tamis cubique, Heath-Brown a utilisé une série de calculs pour relier la somme des sommes cubiques de Gauss à une somme différente. Avec cet outil, Heath-Brown a pu montrer que si vous additionnez les sommes cubiques de Gauss pour les nombres premiers inférieurs à N, le résultat ne peut pas être beaucoup plus grand que N5/6. Mais il pensait qu'il pouvait faire mieux – que le tamis lui-même pouvait être amélioré. Si c'était possible, cela abaisserait la limite à N5/6 exactement, prouvant ainsi la conjecture de Patterson. Dans une courte ligne de texte, il a esquissé ce qu'il pensait être la meilleure formule possible pour le tamis.
Même avec ce nouvel outil en main, les mathématiciens étaient incapables d'avancer davantage. Puis deux décennies plus tard, une rencontre chanceuse entre le postdoc de Caltech Alexandre Dunn et son superviseur Maksym Radziwiłł marqué le début de la fin. Avant que Dunn n'entre en fonction en septembre 2020, Radziwiłł a proposé de travailler ensemble sur la conjecture de Patterson. Mais la pandémie de Covid-19 faisant toujours rage, la recherche et l'enseignement se sont poursuivis à distance. Enfin, en janvier 2021, le hasard – ou le destin – est intervenu lorsque les deux mathématiciens se sont croisés de manière inattendue dans un parking de Pasadena. "Nous avons cordialement discuté et nous avons convenu que nous devrions commencer à nous rencontrer et à parler de mathématiques", a écrit Dunn dans un e-mail. En mars, ils travaillaient assidûment sur une preuve de la conjecture de Patterson.
"C'était excitant de travailler dessus, mais le risque était extrêmement élevé", a déclaré Dunn. "Je veux dire, je me souviens d'être venu à mon bureau à, genre, 5 heures du matin tous les matins pendant quatre ou cinq mois."
Dunn et Radziwiłł, comme Heath-Brown avant eux, ont trouvé le grand tamis cubique indispensable pour leur preuve. Mais alors qu'ils utilisaient la formule que Heath-Brown avait écrite dans son article de 2000 - celle qu'il croyait être le meilleur tamis possible, une conjecture que la communauté de la théorie des nombres en était venue à croire était vraie - ils ont réalisé que quelque chose n'allait pas. . "Nous avons pu prouver que 1 = 2, après un travail très, très compliqué", a déclaré Radziwiłł.
À ce moment-là, Radziwiłł était sûr que l'erreur était la leur. "J'étais en quelque sorte convaincu que nous avons fondamentalement une erreur dans notre preuve." Dunn l'a convaincu du contraire. Le grand tamis cubique, contrairement aux attentes, n'a pas pu être amélioré.
Armés de la justesse du grand tamis cubique, Dunn et Radziwiłł ont recalibré leur approche de la conjecture de Patterson. Cette fois, ils ont réussi.
"Je pense que c'était la principale raison pour laquelle personne n'a fait cela, parce que cette conjecture [Heath-Brown] induisait tout le monde en erreur", a déclaré Radziwiłł. "Je pense que si je disais à Heath-Brown que sa conjecture est fausse, alors il trouverait probablement comment le faire."
Dunn et Radziwiłł ont publié leur article le 15 septembre 2021. En fin de compte, leur preuve reposait sur l'hypothèse généralisée de Riemann, une conjecture notoirement non prouvée en mathématiques. Mais d'autres mathématiciens n'y voient qu'un inconvénient mineur. « Nous aimerions nous débarrasser de l'hypothèse. Mais nous sommes contents d'avoir un résultat conditionnel de toute façon », a déclaré Bruyère-Brun, qui est maintenant professeur émérite à l'Université d'Oxford.
Pour Heath-Brown, le travail de Dunn et Radziwiłł est plus qu'une simple preuve de la conjecture de Patterson. Avec son aperçu inattendu du grand tamis cubique, leur article a apporté une fin surprenante à une histoire dont il fait partie depuis des décennies. "Je suis content de ne pas avoir écrit dans mon article:" Je suis sûr que l'on peut s'en débarrasser "", a-t-il déclaré, faisant référence au morceau de tamis que Dunn et Radziwiłł ont découvert comme essentiel. « J'ai juste dit : 'Ce serait bien si on pouvait s'en débarrasser. Il semble possible que vous en soyez capable. Et j'avais tort - pas pour la première fois.
