Une tour de conjectures qui repose sur une aiguille | Magazine Quanta

En mathématiques, un problème simple n’est souvent pas ce qu’il semble être. Plus tôt cet été, Quanta a signalé un de ces problèmes: Quelle est la plus petite zone que vous pouvez balayer en faisant tourner une aiguille infiniment fine dans toutes les directions possibles ? Faites-le tourner autour de son centre comme un cadran et vous obtenez un cercle. Mais faites-le pivoter plus intelligemment et vous pourrez couvrir une fraction arbitrairement petite de l’espace. Si vous n'avez pas besoin que l'aiguille se déplace d'un seul mouvement continu et que vous posez simplement une aiguille dans toutes les directions, vous pouvez construire un arrangement d'aiguilles qui ne couvre aucune zone.

Les mathématiciens appellent ces arrangements des ensembles Kakeya. Bien qu'ils sachent que de tels ensembles peuvent être petits en termes de surface (ou de volume, si vous disposez vos aiguilles en trois dimensions ou plus), ils pensent que les ensembles doivent toujours être grands si leur taille est mesurée par une métrique appelée Hausdorff. dimension.

Les mathématiciens doivent encore prouver cette affirmation, connue sous le nom de conjecture de Kakeya. Mais bien qu'il s'agisse apparemment d'une simple question sur les aiguilles, "la géométrie de ces ensembles Kakeya sous-tend toute une multitude de questions dans les équations aux dérivées partielles, l'analyse harmonique et d'autres domaines", a déclaré Jonathan Hickman de l'Université d'Edimbourg.

La conjecture de Kakeya est à la base d'une hiérarchie de trois problèmes centraux en analyse harmonique – une branche des mathématiques qui étudie comment les fonctions peuvent être représentées comme des sommes de fonctions périodiques comme des ondes sinusoïdales oscillant régulièrement.

L’étape suivante dans cette hiérarchie est la conjecture de « restriction ». Si c’est vrai, la conjecture de Kakeya l’est aussi. (Cela signifie également que si la conjecture de Kakeya s'avère fausse, la conjecture de restriction ne peut pas être vraie.) La conjecture de restriction, à son tour, est impliquée par la conjecture dite de Bochner-Riesz. Et tout en haut se trouve la conjecture de lissage local.

Les deux premières conjectures traitent du comportement de la transformée de Fourier, une technique d'analyse harmonique permettant, en fait, de calculer comment exprimer presque n'importe quelle fonction sous la forme d'une somme d'ondes sinusoïdales. Il s’agit de l’un des outils mathématiques les plus puissants dont disposent les physiciens et les ingénieurs. La transformée de Fourier a joué un rôle fondamental dans la résolution d'équations différentielles, l'expression d'idées de mécanique quantique telles que le principe d'incertitude de Heisenberg, ainsi que l'analyse et le traitement des signaux, rendant ainsi possibles des choses comme les téléphones mobiles modernes.

Puisque chaque affirmation de la hiérarchie implique celle qui se trouve en dessous, si la conjecture de Kakeya est fausse, aucune des autres conjectures n'est vraie. La tour entière va s’effondrer. "Vous pouvez créer un contre-exemple de super monstre qui briserait de nombreuses conjectures", a déclaré Hickman.

D’un autre côté, prouver la conjecture de Kakeya n’impliquerait pas automatiquement la véracité de ces autres conjectures – mais cela donnerait aux mathématiciens des informations importantes sur la façon de procéder.

Ainsi, « près de la moitié de la communauté d’analyse harmonique que je connais travaille sur ce sujet et sur des problèmes connexes, ou a travaillé dessus à un moment donné », a déclaré Shaoming Guo de l'Université du Wisconsin, Madison.

Plus récemment, des mathématiciens ont découvert, à leur grande surprise, que les techniques qu'ils ont développées pour résoudre ces problèmes peuvent également être utilisées pour prouver des résultats majeurs dans le domaine apparemment sans rapport de la théorie des nombres. "C'est un phénomène beaucoup plus général que ce que les gens pensaient", a déclaré Guo.

Layer Cake

L'histoire commence par la transformée de Fourier. "Vous souhaitez décomposer [les fonctions] en petits morceaux, analyser leurs interactions et les réassembler", a déclaré Yumeng Ou de l'Université de Pennsylvanie. Pour les fonctions unidimensionnelles (des courbes que vous pouvez tracer sur une feuille de papier), les mathématiciens savent bien comment procéder, même lorsqu'ils doivent inverser la transformée de Fourier en utilisant seulement certaines pièces.

Mais dans deux dimensions ou plus, les choses peuvent devenir compliquées.

En 1971, Charlie Feffermann, mathématicien à l'Université de Princeton, a découvert comment utiliser les ensembles de Kakeya pour démontrer qu'inverser la transformée de Fourier peut conduire à des résultats étranges et surprenants dans plusieurs dimensions.

Les mathématiciens ont trouvé une solution sous la forme de la conjecture de Bochner-Riesz, qui affirme essentiellement qu'il existe des moyens plus sophistiqués de récupérer la fonction originale qui ne s'effondrent pas comme l'exemple de Fefferman. Mais cette solution dépendait de la véracité de la conjecture de Kakeya.

Si c'est vrai, "tronquer les fréquences ne conduira qu'à de petites erreurs", a déclaré Betsy Stovall de l'Université du Wisconsin, Madison. "Cela signifie que les petites erreurs n'explosent pas."

Ainsi commença la hiérarchie. Plus tard, les mathématiciens ont découvert un autre lien important : si elle est vraie, la conjecture de Bochner-Riesz impliquait également une déclaration appelée conjecture de restriction. Cette conjecture stipule que si vous commencez avec une version limitée de la transformée de Fourier – « restreignant » les valeurs que vous examinez uniquement à celles qui vivent sur des surfaces particulières – cela peut toujours vous donner des informations importantes sur la fonction d'origine. Et il s’est avéré que si la conjecture de restriction était vraie, la conjecture de Kakeya l’était aussi. (Cela a placé la conjecture de restriction entre Kakeya et Bochner-Riesz dans la tour.)

Le problème suprême de la hiérarchie, appelé conjecture de lissage local, ne traite pas directement de la transformée de Fourier, mais impose plutôt des limites à la taille des solutions aux équations décrivant le comportement des ondes.

Vous pouvez également penser à cela en termes de géométrie des lignes dans un ensemble Kakeya. Vous pouvez diviser une solution générale de l’équation des vagues en un ensemble de morceaux qui se déplacent dans des directions différentes et interagissent les uns avec les autres de différentes manières au fil du temps. Chacune de ces pièces ressemble mathématiquement à une aiguille dans un ensemble Kakeya. La conjecture Kakeya affirme qu'une telle configuration ne peut pas avoir trop de chevauchement. Dans ce contexte physique, les chevauchements correspondraient à la persistance de comportements irréguliers et inattendus dans la solution. Par exemple, une onde sonore peut s’amplifier dans de nombreuses régions à différents moments.

La conjecture de lissage local stipule que ces irrégularités devraient s'équilibrer. "C'est comme prendre la moyenne du marché financier", a déclaré Cyprien Déméter de l'Université de l'Indiana à Bloomington. "Il pourrait y avoir des krachs ici et là, mais si vous investissez votre argent et prenez votre retraite dans 40 ans, il y a de fortes chances que vous obteniez de bons investissements."

Mais comme pour toutes les conjectures de la hiérarchie, cela dépend de la vérité de la conjecture Kakeya. "L'idée est que si vous excluez de nombreuses intersections dans les ensembles Kakeya, cela signifie que vous pouvez exclure ces situations dans lesquelles des parties de votre solution conspirent ensemble pour créer une sorte d'explosion", a déclaré Stovall.

Cette conjecture est la plus difficile du groupe : alors que les cas bidimensionnels des problèmes de Kakeya, de restriction et de Bochner-Riesz ont été résolus il y a des décennies, la conjecture de lissage local bidimensionnel n'a été prouvée qu'il y a quelques années. (Dans les dimensions supérieures, tous ces problèmes restent ouverts.)

Mais malgré la lenteur des progrès dans la preuve de la conjecture du lissage local, les travaux sur celle-ci ont conduit à d’énormes progrès ailleurs. En 1999, alors qu’il tentait de s’attaquer à cette conjecture, le mathématicien Thomas Wolff a introduit une méthode connue sous le nom de découplage. Depuis lors, cette technique a pris son essor : elle a été utilisée pour réaliser des avancées majeures non seulement dans l'analyse harmonique, mais aussi dans la théorie des nombres, la géométrie et d'autres domaines. "En utilisant les résultats du découplage, vous disposez désormais de records du monde pour des problèmes très célèbres et importants", a déclaré Christophe Sogge de l'Université Johns Hopkins, qui a formulé pour la première fois la conjecture du lissage local dans les années 1990. Par exemple, le découplage a été utilisé pour aider à compter le nombre de façons dont un entier peut être représenté comme la somme de carrés, de cubes ou d’une autre puissance.

Comme le dit Demeter, ces résultats sont possibles parce que « nous pouvons considérer les nombres comme des vagues ». Que tous ces problèmes soient liés aux kits d’aiguilles Kakeya « est fascinant », a-t-il ajouté. "Vous ne pensez pas que tant de beauté, de difficulté et d'importance puissent être cachées dans quelque chose qui peut être formulé à l'aide de segments de ligne."