La coloration par nombres révèle des modèles arithmétiques dans les fractions

Un an après avoir commencé son doctorat. en mathématiques à l'Université McGill, Matt Bowen avait un problème. "J'ai passé mes examens de qualification et j'ai fait des choses absolument horribles", a-t-il déclaré. Bowen était sûr que ses scores ne reflétaient pas ses compétences en mathématiques, et il a décidé de le prouver. L'automne dernier, il l'a fait, quand lui et son conseiller, Marcin Sabok, a enregistré une avancée majeure dans le domaine connu sous le nom Théorie de Ramsey.

Depuis près d'un siècle, les théoriciens de Ramsey rassemblent des preuves que la structure mathématique persiste dans des circonstances hostiles. Ils peuvent séparer de grands ensembles de nombres comme les nombres entiers ou les fractions, ou découper les connexions entre les points d'un réseau. Ils trouvent alors des moyens de prouver que certaines structures sont inévitables, même si vous essayez d'éviter de les créer en cassant ou en coupant de manière astucieuse.

Lorsque les théoriciens de Ramsey parlent de diviser un ensemble de nombres, ils utilisent souvent le langage de la coloration. Choisissez plusieurs couleurs : rouge, bleu et jaune, par exemple. Attribuez maintenant une couleur à chaque numéro d'une collection. Même si vous le faites de manière aléatoire ou chaotique, certains motifs émergeront inévitablement tant que vous n'utiliserez qu'un nombre fini de couleurs différentes, même si ce nombre est très grand. Les théoriciens de Ramsey tentent de trouver ces modèles, en recherchant des ensembles structurés de nombres « monochromatiques », ce qui signifie que leurs éléments ont tous reçu la même couleur.

Les premiers résultats de coloration remontent à la fin du XIXe siècle. En 19, Issai Schur avait prouvé que, quelle que soit la couleur des nombres entiers positifs (également appelés nombres naturels), il y aura toujours une paire de nombres. x et de y tel que x, y, et leur somme x+y sont tous de la même couleur. Tout au long du XXe siècle, les mathématiciens ont continué à travailler sur les problèmes de coloration. En 20, Neil Hindmann résultat de Schur étendu pour inclure un sous-ensemble infini d'entiers. Comme le théorème de Schur, celui de Hindman s'applique quelle que soit la couleur des nombres naturels (avec un nombre fini de crayons). Non seulement ces nombres entiers dans l'ensemble de Hindman sont tous de la même couleur, mais si vous additionnez n'importe quelle collection d'entre eux, le résultat sera également de cette couleur. De tels ensembles ressemblent aux nombres pairs en ce que, tout comme toute somme de nombres pairs est toujours paire, la somme de tous les nombres de l'un des ensembles de Hindman serait également contenue dans cet ensemble.

"Le théorème de Hindman est un morceau étonnant de mathématiques", a déclaré Sabok. "C'est une histoire dont on peut faire un film."

Mais Hindman pensait que plus était possible. Il croyait que vous pouviez trouver un ensemble monochromatique arbitrairement grand (mais fini) qui contenait non seulement les sommes de ses membres, mais aussi les produits. "J'ai soutenu pendant des décennies que c'est un fait", a-t-il déclaré, ajoutant: "Je ne prétends pas pouvoir le prouver."

Conjecture de Hindman

Si vous renoncez à la somme et que vous voulez seulement vous assurer que les produits sont de la même couleur, il est simple d'adapter le théorème de Hindman en utilisant l'exponentiation pour transformer les sommes en produits (un peu comme le fait une règle à calcul).

Cependant, lutter simultanément avec des sommes et des produits est beaucoup plus difficile. "Il est très difficile de faire en sorte que ces deux-là se parlent", a déclaré Joël Moreira, mathématicien à l'Université de Warwick. "Comprendre comment l'addition et la multiplication sont liées - c'est, en quelque sorte, la base de toute la théorie des nombres, presque."

Même une version plus simple que Hindman a suggérée pour la première fois dans les années 1970 s'est avérée difficile. Il a conjecturé que toute coloration des nombres naturels doit contenir un ensemble monochromatique de la forme {x, y, xy, x+y} — deux nombres x et de y, ainsi que leur somme et leur produit. "Les gens n'ont pas vraiment fait de progrès sur ce problème pendant des décennies", a déclaré Bowen. "Et puis tout d'un coup, vers 2010, les gens ont commencé à prouver de plus en plus de choses à ce sujet."

Bowen a appris l'existence du {x, y, xy, x+y} problème en 2016, son deuxième semestre d'université, lorsqu'un de ses professeurs à l'Université Carnegie Mellon a décrit le problème en classe. Bowen a été frappé par sa simplicité. "C'est une de ces choses cool où c'est comme, eh bien, je ne connais pas beaucoup les mathématiques, mais je peux en quelque sorte comprendre cela", a-t-il déclaré.

En 2017, Moreira prouvé qui you vous toujours trouver un ensemble monochromatique contenant trois des quatre éléments souhaités : x, xyet une x + y. Pendant ce temps, Bowen a commencé à bricoler avec désinvolture la question au cours de sa dernière année. "Je ne pouvais pas réellement résoudre le problème", a-t-il déclaré. "Mais j'y revenais tous les six mois environ." Après sa mauvaise performance sur son doctorat. examens de qualification en 2020, il a redoublé d'efforts. Quelques jours plus tard, il avait prouvé le {x, y, xy, x+y} conjecture pour le cas de deux couleurs, un résultat que Ron Graham avait déjà prouvé dans les années 1970 à l'aide d'un ordinateur.

Fort de ce succès, Bowen a travaillé avec Sabok pour étendre le résultat à n'importe quel nombre de couleurs. Mais ils se sont vite empêtrés dans les détails techniques. "La complexité du problème devient complètement incontrôlable lorsque le nombre de couleurs est grand", a déclaré Sabok. Pendant 18 mois, ils ont tenté de s'en sortir, sans grand succès. "Au cours de cette année et demie, nous avons eu environ un million de mauvaises preuves", a déclaré Sabok.

Une difficulté en particulier empêcha les deux mathématiciens de progresser. Si vous choisissez deux nombres entiers au hasard, vous ne pourrez probablement pas les diviser. La division ne fonctionne que dans les rares cas où le premier nombre est un multiple du second. Cela s'est avéré extrêmement limitant. Avec cette réalisation, Bowen et Sabok ont ​​pivoté pour prouver le {x, y, xy, x+y} conjecture dans les nombres rationnels (comme les mathématiciens appellent les fractions) à la place. Là, les nombres peuvent être divisés avec abandon.

La preuve de Bowen et Sabok est la plus élégante lorsque toutes les couleurs impliquées apparaissent fréquemment dans les nombres rationnels. Les couleurs peuvent apparaître "fréquemment" de plusieurs manières différentes. Ils pourraient chacun couvrir de gros morceaux de la droite numérique. Ou cela peut signifier que vous ne pouvez pas voyager trop loin le long de la droite numérique sans voir toutes les couleurs. Habituellement, cependant, les couleurs ne sont pas conformes à ces règles. Dans ces cas, vous pouvez vous concentrer sur de petites régions dans les nombres rationnels où les couleurs apparaissent plus fréquemment, a expliqué Sabok. "C'est là que le gros du travail est venu", a-t-il déclaré.

En octobre 2022, Bowen et Sabok ont ​​publié une preuve que si vous colorez les nombres rationnels avec un nombre fini de couleurs, il y aura un ensemble de la forme {x, y, xy, x+y} dont les éléments ont tous la même couleur. "C'est une preuve incroyablement intelligente", a déclaré Chef Imré de l'Université de Cambridge. « Il utilise des résultats connus. Mais il les combine d'une manière absolument géniale, très originale, très innovante.

Beaucoup de questions demeurent. Un troisième nombre peut-il z s'ajouter à la collection, avec les sommes et produits qui en découlent ? Satisfaire les prédictions les plus audacieuses de Hindman signifierait ajouter un quatrième, un cinquième et éventuellement de nombreux nouveaux nombres à la séquence. Cela nécessiterait également de passer des nombres rationnels aux nombres naturels et de trouver un moyen de contourner l'énigme de la division qui a entravé les efforts de Bowen et Sabok.

Leader pense qu'avec Moreira, Bowen et Sabok travaillant tous sur le problème, cette preuve n'est peut-être pas loin. "Ces gars-là semblent particulièrement brillants pour trouver de nouvelles façons de faire les choses", a-t-il déclaré. "Je suis donc plutôt optimiste qu'eux-mêmes ou certains de leurs collègues puissent le trouver."

Sabok est plus prudent dans ses prédictions. Mais il n'exclut rien. "L'un des charmes des mathématiques est qu'avant d'avoir une preuve, tout est possible", a-t-il déclaré.