Carrelage Einstein - l'incroyable forme de "chapeau" qui ne se répète jamais !

Carrelage Einstein - l'incroyable forme de "chapeau" qui ne se répète jamais !

Horodatage: 4 avril 2023 12h59
by Paul Canard

Les mathématiques sont un domaine complexe et ésotérique qui sous-tend la science et l'ingénierie, incluant notamment les disciplines de la cryptographie et de la cybersécurité.

(Là… nous avons ajouté une mention sur la cybersécurité, justifiant ainsi le reste de cet article.)

Le sujet des mathématiques a été largement et ardemment étudié depuis au moins l'époque babylonienne antique, et les noms de nombreux mathématiciens célèbres sont entrés dans notre vocabulaire quotidien, dans des phrases telles que pythagoricien les triangles (ceux qui ont un angle droit), cartésien géométrie (travail avec des formes sur des surfaces planes), ordinateur algorithmes (séquences d'instructions qui fonctionnent de manière itérative ou récursive pour calculer un résultat), et Penrose carrelages.

Les carrelages Penrose, si vous les avez déjà rencontrés, ont été inventés par Sir Roger Penrose dans les années 1970 et traitaient de manières fascinantes et inhabituelles de recouvrir des surfaces dans des combinaisons de formes.

Au cas où vous vous demanderiez pourquoi le mot algorithme n'a pas de majuscule comme les autres, c'est parce qu'il ne s'agit pas d'une interprétation précise d'un nom d'origine, mais d'un mot dérivé de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, mathématicien, géographe et astronome influent qui vivait il y a environ 1200 ans dans une région située à l'est de la mer Caspienne et au sud de la mer d'Aral, une région aujourd'hui partagée entre l'Ouzbékistan et le Turkménistan.

Le carrelage rendu funky

Les surfaces carrelées, bien sûr, sont courantes, par exemple dans les salles de bains, les cuisines et les allées.

Et sur les toits, bien sûr, mais nous ignorerons les tuiles dans cet article car elles sont conçues pour se chevaucher, de sorte qu'elles empêchent la pluie d'entrer sans avoir besoin d'être scellées individuellement les unes contre les autres.

Même les zones recouvertes de moquette sont souvent carrelées, en particulier dans les bureaux, de sorte que certaines parties du sol peuvent être recarrelées sans déchirer et remplacer la moquette légèrement utilisée autour des parties usées.

Si vous avez déjà visité le siège social de Sophos au Royaume-Uni, par exemple, vous saurez qu'il s'agit d'une zone largement ouverte recouverte de dalles de moquette carrées dans diverses nuances douces de bleu et de vert clair :

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Comme vous pouvez le voir, les tuiles carrées forment ce qu'on appelle un modèle périodique, ce qui signifie que le motif se répète de temps en temps.

Dans l'exemple ci-dessus, la grille précise utilisée dans la mise en page garantit que le motif se répète dans les deux dimensions après avoir déplacé un seul carré vers le haut, le bas, la gauche ou la droite.

Des motifs plus complexes et visuellement attrayants, qui sont néanmoins des pavages périodiques car ils se répètent sans cesse, peuvent être réalisés avec des combinaisons régulières de formes simples, comme l'hepta-pentagone :

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Ou le losange-tri-hexagone :

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Carrelage Penrose

Cela nous amène aux pavages de Penrose.

Bien que Sir Roger Penrose soit probablement le plus célèbre en tant que lauréat du prix Nobel de physique en 2020, il est également réputé pour son travail dans une classe spéciale de motifs de carreaux connus sous le nom de pavages apériodiques.

Contrairement aux pavages périodiques, qui se répètent de temps en temps, les pavages apériodiques ne se répètent jamais, peu importe avec quel soin vous choisissez la prochaine pièce à placer et où la placer…

… même si les pavages sont basés sur un nombre fini de formes, et couvrent une surface infinie sans lacunes ni chevauchements.

Les pavages périodiques sont un peu comme des nombres rationnels (fractions basées sur un nombre entier divisé par un autre), en ce sens qu'ils se répètent finalement quoi que vous fassiez.

Si vous divisez 22 par 7, par exemple, vous obtenez environ 3.142..., utilement proche de la valeur de Pi, qui est d'environ 3.14159...

Mais 22/7 sort en fait comme 3.142857142857142857… et ce modèle 142857 se répète indéfiniment, car le nombre est le rapport (d'où la description nombre rationnel) de deux nombres entiers.

En revanche, la vraie valeur de Pi est irrationnel: il ne peut pas être réduit à un rapport, et sa valeur en décimal ne tombe jamais dans un motif répétitif.

Qu'en est-il d'une sorte de séquence similaire ne se répétant pas basée non pas sur des valeurs numériques mais sur des formes ?

Auriez-vous besoin d'un nombre infini de formes différentes pour garantir un motif qui ne se répétera jamais, ou pourriez-vous réaliser votre travail de carrelage (certes sans fin) avec un ensemble fini de carreaux ?

Penrose a réduit à deux le nombre de formes différentes nécessaires pour garantir des pavages non répétitifs, mais la question persiste depuis : Pouvez-vous trouver une seule forme, une seule tuile, qui peut être posée à plusieurs reprises pour couvrir une surface infinie sans jamais se répéter ?

Dans ce qui passe pour un jeu de mots mathématique, ce Saint Graal de tuiles est connu comme un einstein, qui signifie « une forme » en allemand, mais fait aussi écho au nom d'Albert Einstein, de E=mc2 la gloire.

Présentation… du chapeau

Eh bien, un quatuor mathématique dirigé par un chercheur de formes britannique appelé David Smith, affirme que les einstein existent et a révélé un triskaidecagon (c'est une figure à 13 côtés) qu'ils ont surnommé le Casquette.

Ils prétendent avoir prouvé que le chapeau génère à lui seul le résultat tant recherché d'un motif apériodique :

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En termes simples, si vous carrelez votre sol, ou votre porche, ou votre allée, ou même le terrain de football local avec un approvisionnement en tuiles Hat…

…vous finirez par couvrir toute la surface avec un motif qui ne se répète jamais.

Malgré tout ce qu'il affiche divers "sous-designs" et auto-similitudes apparentes lorsque vous construisez votre œuvre d'art basée sur Hat, c'est le Pi des carreaux de sol : essayez comme vous le ferez, vous n'obtiendrez jamais un motif régulier et périodique de il.

Que faire?

Nous n'allons même pas tenter une description de preuve ici - en toute honnêteté, nous n'avons pas encore réussi à le digérer nous-mêmes - nous vous suggérons donc simplement l'étudier à votre rythme. (Peut-être réserver un long week-end pour la tâche ?

Mais si vous voulez jouer avec le concept des pavages apériodiques, pourquoi ne pas vous faire cuire des biscuits Hat, ou des cookies si vous venez d'Amérique du Nord ?

Si vous avez une imprimante 3D, vous pouvez télécharger un dessin pour fabriquer votre propre emporte-pièce en forme de chapeau !

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