Quelle est la taille de l'infini ?

À la fin du blockbuster Marvel Avengers: Fin de partie, un hologramme préenregistré de Tony Stark fait ses adieux à sa jeune fille en disant: "Je t'aime 3,000 XNUMX." Le moment touchant fait écho à une scène antérieure dans laquelle les deux sont engagés dans le rituel ludique du coucher consistant à quantifier leur amour l'un pour l'autre. Selon Robert Downey Jr., l'acteur qui joue Stark, la ligne a été inspirée par des échanges similaires avec ses propres enfants.

Le jeu peut être une façon amusante d'explorer de grands nombres :

"Je t'aime 10."

"Mais je t'aime 100."

"Eh bien, je t'aime 101!"

C'est précisément ainsi que "googolplex" est devenu un mot populaire chez moi. Mais nous savons tous où cet argument mène finalement :

"Je t'aime infiniment!"

"Oh ouais? Je t'aime infiniment plus 1 !"

Que ce soit sur le terrain de jeu ou à l'heure du coucher, les enfants rencontrent le concept de l'infini bien avant le cours de mathématiques, et ils développent naturellement une fascination pour ce concept mystérieux, compliqué et important. Certains de ces enfants grandissent pour devenir des mathématiciens fascinés par l'infini, et certains de ces mathématiciens découvrent des choses nouvelles et surprenantes sur l'infini.

Vous savez peut-être que certains ensembles de nombres sont infiniment grands, mais saviez-vous que certains infinis sont plus grands que d'autres ? Et que nous ne savons pas s'il existe d'autres infinis pris en sandwich entre les deux que nous connaissons le mieux ? Les mathématiciens réfléchissent à cette deuxième question depuis au moins un siècle, et certains travaux récents ont changé la façon dont les gens pensent à la question.

Afin d'aborder les questions sur la taille des ensembles infinis, commençons par des ensembles plus faciles à compter. Un ensemble est une collection d'objets ou d'éléments, et un ensemble fini est juste un ensemble qui contient un nombre fini d'objets.

Déterminer la taille d'un ensemble fini est simple : il suffit de compter le nombre d'éléments qu'il contient. Puisque l'ensemble est fini, vous savez que vous finirez par arrêter de compter, et lorsque vous aurez terminé, vous connaîtrez la taille de votre ensemble.

Cette stratégie ne fonctionne pas avec des ensembles infinis. Voici l'ensemble des nombres naturels, qui est noté ℕ. (Certains pourraient prétendre que zéro n'est pas un nombre naturel, mais ce débat n'affecte pas nos recherches sur l'infini.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Quelle est la taille de cet ensemble ? Puisqu'il n'y a pas de plus grand nombre naturel, essayer de compter le nombre d'éléments ne fonctionnera pas. Une solution consiste simplement à déclarer la taille de cet ensemble infini comme étant "infini", ce qui n'est pas faux, mais lorsque vous commencez à explorer d'autres ensembles infinis, vous réalisez que ce n'est pas tout à fait correct non plus.

Considérons l'ensemble des nombres réels, qui sont tous les nombres exprimables dans un développement décimal, comme 7, 3.2, −8.015, ou un développement infini comme $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Étant donné que tout nombre naturel est également un nombre réel, l'ensemble des réels est au moins aussi grand que l'ensemble des nombres naturels et doit donc également être infini.

Mais il y a quelque chose d'insatisfaisant à déclarer que la taille de l'ensemble des nombres réels est le même « infini » utilisé pour décrire la taille des nombres naturels. Pour voir pourquoi, choisissez deux nombres quelconques, comme 3 et 7. Entre ces deux nombres, il y aura toujours un nombre fini de nombres naturels : ici, ce sont les nombres 4, 5 et 6. Mais il y aura toujours une infinité de nombres réels entre eux, des nombres comme 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… et ainsi de suite.

Assez remarquablement, peu importe à quel point deux nombres réels distincts sont proches l'un de l'autre, il y aura toujours une infinité de nombres réels entre eux. En soi, cela ne signifie pas que les ensembles de nombres réels et de nombres naturels ont des tailles différentes, mais cela suggère qu'il y a quelque chose de fondamentalement différent dans ces deux ensembles infinis qui mérite une enquête plus approfondie.

Le mathématicien Georg Cantor a étudié cela à la fin du 19e siècle. Il a montré que ces deux ensembles infinis ont vraiment des tailles différentes. Pour comprendre et apprécier comment il a fait cela, nous devons d'abord comprendre comment comparer des ensembles infinis. Le secret est un aliment de base des cours de mathématiques partout : les fonctions.

Il existe de nombreuses façons différentes de penser aux fonctions - notation de fonction comme $latex f(x) = x^2 +1$, graphiques de paraboles dans le plan cartésien, règles telles que "prenez l'entrée et ajoutez-y 3" - mais ici, nous allons penser à une fonction comme un moyen de faire correspondre les éléments d'un ensemble avec les éléments d'un autre.

Prenons l'un de ces ensembles comme étant ℕ, l'ensemble des nombres naturels. Pour l'autre ensemble, que nous appellerons S, nous prendrons tous les nombres naturels pairs. Voici nos deux ensembles :

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Il existe une fonction simple qui transforme les éléments de ℕ en éléments de S: $latex f(x) = 2x$. Cette fonction double simplement ses entrées, donc si nous considérons les éléments de ℕ comme les entrées de $latex f(x)$ (nous appelons l'ensemble des entrées d'une fonction le "domaine"), les sorties seront toujours des éléments de S. Par exemple, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ et ainsi de suite.

Vous pouvez visualiser cela en alignant les éléments des deux ensembles côte à côte et en utilisant des flèches pour indiquer comment la fonction $latex f$ transforme les entrées de ℕ en sorties dans S.

Remarquez comment $latex f(x)$ attribue exactement un élément de S à chaque élément de ℕ. C'est ce que font les fonctions, mais $latex f(x)$ le fait d'une manière spéciale. Tout d'abord, $latex f$ assigne tout dans S à quelque chose en ℕ. En utilisant la terminologie des fonctions, nous disons que chaque élément de S est « l'image » d'un élément de ℕ sous la fonction $latex f$. Par exemple, le nombre pair 3,472 XNUMX est dans S, et nous pouvons trouver un x en ℕ tel que $latex f(x) = 3,472$ (soit 1,736). Dans cette situation, on dit que la fonction $latex f(x)$ mappe ℕ sur S. Une façon plus sophistiquée de le dire est que la fonction $latex f(x)$ est "surjective". Quelle que soit la façon dont vous le décrivez, ce qui est important est ceci : comme la fonction $latex f(x)$ transforme les entrées de ℕ en sorties dans S, rien dans S est manqué dans le processus.

La deuxième particularité de la façon dont $latex f(x)$ affecte les sorties aux entrées est qu'aucun élément de ℕ n'est transformé en le même élément dans S. Si deux nombres sont différents, alors leurs doubles sont différents ; 5 et 11 sont des nombres naturels différents en ℕ, et leurs sorties en S sont également différents : 10 et 22. Dans ce cas, nous disons que $latex f(x)$ est "1-to-1" (également écrit "1-1"), et nous décrivons $latex f(x)$ comme "injectif". La clé ici est que rien dans S est utilisé deux fois : chaque élément de S est apparié avec un seul élément dans ℕ.

Ces deux caractéristiques de $latex f(x)$ se combinent de manière puissante. La fonction $latex f(x)$ crée une correspondance parfaite entre les éléments de ℕ et les éléments de S. Le fait que $latex f(x)$ soit "sur" signifie que tout dans S a un partenaire dans ℕ, et le fait que $latex f(x)$ soit 1-à-1 signifie que rien dans S a deux partenaires en ℕ. En bref, la fonction $latex f(x)$ associe chaque élément de ℕ avec exactement un élément de S.

Une fonction à la fois injective et surjective est appelée une bijection, et une bijection crée une correspondance 1 à 1 entre les deux ensembles. Cela signifie que chaque élément d'un ensemble a exactement un partenaire dans l'autre ensemble, et c'est une façon de montrer que deux ensembles infinis ont la même taille.

Puisque notre fonction $latex f(x)$ est une bijection, cela montre que les deux ensembles infinis ℕ et S sont de la même taille. Cela peut sembler surprenant : après tout, tout nombre naturel pair est lui-même un nombre naturel, donc ℕ contient tout ce qui se trouve dans S et plus. Cela ne devrait-il pas faire ℕ plus grand que S? Si nous avions affaire à des ensembles finis, la réponse serait oui. Mais un ensemble infini peut en contenir complètement un autre et ils peuvent toujours avoir la même taille, un peu comme "l'infini plus 1" n'est pas en fait une plus grande quantité d'amour que le bon vieux "infini". Ce n'est là qu'une des nombreuses propriétés surprenantes des ensembles infinis.

Une surprise encore plus grande peut être qu'il existe des ensembles infinis de tailles différentes. Plus tôt, nous avons exploré les différentes natures des ensembles infinis de nombres réels et naturels, et Cantor a prouvé que ces deux ensembles infinis ont des tailles différentes. Il l'a fait avec son brillant et célèbre argument diagonal.

Puisqu'il existe une infinité de nombres réels entre deux réels distincts, concentrons-nous pour le moment sur l'infinité de nombres réels entre zéro et 1. Chacun de ces nombres peut être considéré comme une expansion décimale (éventuellement infinie), comme ceci.

Ici, $latex a_1, a_2, a_3$ et ainsi de suite ne sont que les chiffres du nombre, mais nous exigerons que tous les chiffres ne soient pas zéro afin de ne pas inclure le nombre zéro lui-même dans notre ensemble.

L'argument diagonal commence essentiellement par la question : que se passerait-il si une bijection existait entre les nombres naturels et ces nombres réels ? Si une telle fonction existait, les deux ensembles auraient la même taille et vous pourriez utiliser la fonction pour faire correspondre chaque nombre réel entre zéro et 1 avec un nombre naturel. Vous pouvez imaginer une liste ordonnée des correspondances, comme celle-ci.

Le génie de l'argument diagonal est que vous pouvez utiliser cette liste pour construire un nombre réel qui ne peut pas être sur la liste. Commencez à construire un nombre réel chiffre par chiffre de la manière suivante : faites en sorte que le premier chiffre après la virgule soit différent de $latex a_1$, que le deuxième chiffre soit différent de $latex b_2$, que le troisième chiffre soit différent de $latex c_3 $, et ainsi de suite.

Ce nombre réel est défini par sa relation avec la diagonale de la liste. Est-ce sur la liste ? Il ne peut pas s'agir du premier numéro de la liste, car il a un premier chiffre différent. Il ne peut pas non plus s'agir du deuxième numéro de la liste, car il a un deuxième chiffre différent. En fait, ça ne peut pas être le nème numéro sur cette liste, car il a un autre nème chiffre. Et c'est vrai pour tous n, donc ce nouveau nombre, qui est compris entre zéro et 1, ne peut pas être sur la liste.

Mais tous les nombres réels entre zéro et 1 étaient censés être sur la liste ! Cette contradiction provient de l'hypothèse qu'il existe une bijection entre les nombres naturels et les réels entre zéro et 1, et donc aucune bijection ne peut exister. Cela signifie que ces ensembles infinis ont des tailles différentes. Un peu plus de travail avec les fonctions (voir les exercices) peut montrer que l'ensemble de tous les nombres réels est de la même taille que l'ensemble de tous les réels entre zéro et 1, et donc les réels, qui contiennent les nombres naturels, doivent être un plus grand ensemble infini.

Le terme technique pour la taille d'un ensemble infini est sa « cardinalité ». L'argument diagonal montre que la cardinalité des réels est supérieure à la cardinalité des nombres naturels. La cardinalité des nombres naturels s'écrit $latex aleph_0$, prononcé « aleph rien ». Dans une vue standard des mathématiques, il s'agit du plus petit cardinal infini.

Le prochain cardinal infini est $latex aleph_1$ (« aleph un »), et une question simplement énoncée intrigue les mathématiciens depuis plus d'un siècle : est-ce que $latex aleph_1$ est le cardinal des nombres réels ? Autrement dit, existe-t-il d'autres infinis entre les nombres naturels et les nombres réels ? Cantor pensait que la réponse était non - une affirmation connue sous le nom de hypothèse du continu - mais il n'a pas été en mesure de le prouver. Au début des années 1900, cette question était considérée comme si importante que lorsque David Hilbert a dressé sa célèbre liste de 23 problèmes ouverts importants en mathématiques, l'hypothèse du continuum était numéro un.

Cent ans plus tard, beaucoup de progrès ont été accomplis, mais ces progrès ont conduit à de nouveaux mystères. En 1940, le célèbre logicien Kurt Gödel a prouvé que, selon les règles communément admises de la théorie des ensembles, il est impossible de prouver qu'il existe un infini entre celui des nombres naturels et celui des réels. Cela peut sembler être un grand pas vers la preuve que l'hypothèse du continu est vraie, mais deux décennies plus tard, le mathématicien Paul Cohen prouvé qu'il est impossible de prouver qu'un tel infini n'existe pas ! Il s'avère que l'hypothèse du continuum ne peut être prouvée dans un sens ou dans l'autre.

Ensemble, ces résultats ont établi « l'indépendance » de l'hypothèse du continuum. Cela signifie que les règles communément acceptées des ensembles n'en disent pas assez pour nous dire s'il existe ou non un infini entre les nombres naturels et les réels. Mais plutôt que de décourager les mathématiciens dans leur quête de compréhension de l'infini, cela les a conduits dans de nouvelles directions. Les mathématiciens recherchent maintenant de nouvelles règles fondamentales pour les ensembles infinis qui peuvent à la fois expliquer ce que l'on sait déjà sur l'infini et aider à combler les lacunes.

Dire "Mon amour pour toi est indépendant des axiomes" n'est peut-être pas aussi amusant que de dire "Je t'aime l'infini plus 1", mais cela aidera peut-être la prochaine génération de mathématiciens amoureux de l'infini à passer une bonne nuit de sommeil.

Des exercices

1. Soit $latex T = {1,3,5,7,…}$, l'ensemble des nombres naturels impairs positifs. Est T plus grand, plus petit ou de la même taille que ℕ, l'ensemble des nombres naturels ?

2. Trouvez une correspondance 1 à 1 entre l'ensemble de nombres naturels, ℕ, et l'ensemble d'entiers $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Trouver une fonction $latex f(x)$ qui est une bijection entre l'ensemble des nombres réels compris entre zéro et 1 et l'ensemble des nombres réels supérieurs à zéro.

4. Trouvez une fonction qui est une bijection entre l'ensemble des nombres réels entre zéro et 1 et l'ensemble de tous les nombres réels.

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