Isaac Newton n'était pas connu pour sa générosité d'esprit et son dédain pour ses rivaux était légendaire. Mais dans une lettre à son concurrent Gottfried Leibniz, désormais connu sous le nom de Épistole postérieure, Newton se révèle nostalgique et presque amical. Il y raconte une histoire de ses années d'étudiant, alors qu'il commençait tout juste à apprendre les mathématiques. Il raconte comment il a fait une découverte majeure en assimilant les aires sous les courbes à des sommes infinies par un processus de devinettes et de vérification. Son raisonnement dans la lettre est si charmant et accessible qu'il me rappelle les jeux de devinettes que les petits enfants aiment jouer.
Tout a commencé lorsque le jeune Newton a lu John Wallis Arithmetica Infinitorum, un ouvrage fondateur des mathématiques du XVIIe siècle. Wallis a inclus une méthode nouvelle et inductive pour déterminer la valeur de pi, et Newton a voulu concevoir quelque chose de similaire. Il a commencé avec le problème de trouver l'aire d'un "segment circulaire" de largeur réglable $latex x$. Il s'agit de la région sous le cercle unitaire, définie par $latex y=sqrt{1-x^2}$, qui se trouve au-dessus de la partie de l'axe horizontal de 0 à $latex x$. Ici $latex x$ peut être n'importe quel nombre entre 0 et 1, et 1 est le rayon du cercle. L'aire d'un cercle unitaire est pi, comme Newton le savait bien, donc quand $latex x=1$, l'aire sous la courbe est un quart du cercle unitaire, $latexfrac{π}{4}$. Mais pour d'autres valeurs de $latex x$, rien n'était connu.
Si Newton pouvait trouver un moyen de déterminer l'aire sous la courbe pour chaque valeur possible de $latex x$, cela pourrait lui donner un moyen sans précédent d'approximer pi. C'était à l'origine son grand plan. Mais en cours de route, il a trouvé quelque chose d'encore mieux : une méthode pour remplacer des courbes compliquées par des sommes infinies de blocs de construction plus simples constitués de puissances de $latex x$.
La première étape de Newton a été de raisonner par analogie. Au lieu de viser directement l'aire du segment circulaire, il a étudié les aires de segments analogues délimités par les courbes suivantes :
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton savait que les aires sous les courbes de la liste avec des puissances entières (comme $latex frac{0}{2}=0$ et $latex frac{2}{2} = 1$) seraient faciles à calculer, car ils simplifient algébriquement. Par exemple,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
De même, le
Mais aucune simplification de ce type n'est disponible pour l'équation du cercle — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— ou les autres courbes avec les demi-puissances. À l'époque, personne ne savait comment trouver la zone sous l'un d'eux.
Heureusement, les aires sous les courbes avec des puissances entières étaient simples. Prenez la courbe $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Une règle bien connue à l'époque pour de telles fonctions permettait à Newton (et à n'importe qui d'autre) de trouver rapidement l'aire : Pour toute puissance entière $latex nge 0$, l'aire sous la courbe $latex y=x^n$ sur l'intervalle de $latex 0$ à $latex x$ est donné par $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis avait deviné cette règle avec sa méthode inductive, et Pierre de Fermat l'a prouvé de manière concluante.) Armé de cette règle, Newton savait que l'aire sous la courbe $latex y_4$ était $latex x- frac{2x^3}{3 } + fraction{x^5}{5}$.
La même règle lui a permis de trouver l'aire sous les autres courbes avec des puissances entières dans la liste ci-dessus. Écrivons $latex A_n$ pour l'aire sous la courbe $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, où $latex n= 0, 1, 2, …$ . L'application de la règle donne
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em} ?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em} ?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em} ? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
etc. L'idée astucieuse de Newton était de combler les lacunes, espérant deviner $latexA_1$ (la série pour la zone inconnue du segment circulaire) en fonction de ce qu'il pouvait voir dans l'autre série. Une chose était immédiatement claire : chaque $latexA_n$ commençait simplement par $latex x$ . Cela suggérait de modifier les formules comme suit :
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em} ?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em} ?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em} ?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Ensuite, pour remplacer le prochain lot de points d'interrogation, Newton a examiné les termes $latex x^3$. Avec un peu de licence, nous pouvons voir que même $latexA_0$ avait un de ces termes cubiques, puisque nous pouvons le réécrire comme $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Comme Newton l'a expliqué à Leibniz, il a observé "que les seconds termes $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ etc., étaient en progression arithmétique » (il faisait référence aux 0, 1, 2, 3 dans les numérateurs). Soupçonnant que cette progression arithmétique pourrait également s'étendre dans les vides, Newton supposa que toute la séquence de numérateurs, connus et inconnus, devait être constituée de nombres séparés par $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "et donc que les deux premiers termes de la série" l'intéressaient — le $latex A_1$ encore inconnu , $latex A_3$ et $latex A_5$ — "devrait être $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, etc."
Ainsi, à ce stade, les modèles ont suggéré à Newton que $latex A_1$ devrait commencer comme
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
C'était un bon début, mais il en fallait plus. Alors qu'il cherchait d'autres modèles, Newton remarqua que les dénominateurs des équations contenaient toujours des nombres impairs en ordre croissant. Par exemple, regardez $latex A_6$, qui a 1, 3, 5 et 7 dans ses dénominateurs. Ce même modèle a fonctionné pour $latex A_4$ et $latex A_2$. Assez simple. Ce modèle a apparemment persisté dans tous les dénominateurs de toutes les équations.
Restait à trouver une régularité dans les numérateurs. Newton a de nouveau examiné $latex A_2$, $latex A_4$ et $latex A_6$ et a repéré quelque chose. Dans $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ il a vu un 1 multipliant le $latex x$ et un autre 1 dans le terme $latexfrac {1}{3}x^3$ (il a ignoré son signe négatif pour le moment). Dans $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, il a vu des numérateurs de 1, 2, 1. Et dans $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , il a vu les numérateurs 1, 3, 3, 1. Ces nombres devraient être familiers à tout le monde qui a déjà étudié le triangle de Pascal, un arrangement triangulaire de nombres qui, dans sa forme la plus simple, est créé en additionnant les nombres au-dessus, en commençant par 1 en haut.
Au lieu d'invoquer Pascal, Newton a qualifié ces numérateurs de "puissances du nombre 11". Par exemple, 112 = 121, qui est la deuxième ligne du triangle, et 113 = 1331, qui est le troisième. De nos jours, ces nombres sont également appelés coefficients binomiaux. Ils surviennent lorsque vous développez les puissances d'un binôme comme ($latex a +b$), comme dans $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Avec ce modèle en main, Newton avait maintenant un moyen facile d'écrire $latex A_2, A_4, A_6$, et tous les autres numéros pairs A'S.
Ensuite, pour extrapoler ses résultats aux demi-puissances et aux indices impairs (et enfin arriver à la série qu'il voulait, $latex A_1$), Newton devait étendre le triangle de Pascal à un nouveau régime fantastique : à mi-chemin entre les lignes. Pour effectuer l'extrapolation, il a dérivé une formule générale pour les coefficients binomiaux dans n'importe quelle ligne donnée du triangle de Pascal - ligne $latex m$ - puis a audacieusement branché $latex m= frac{1}{2}$. Et étonnamment, cela a fonctionné. Cela lui a donné les numérateurs de la série qu'il cherchait pour un cercle unitaire, $latexA_1$.
Voici, selon les propres mots de Newton, son résumé à Leibniz des modèles qu'il a remarqués inductivement jusqu'à ce stade de l'argument :
J'ai commencé à réfléchir que les dénominateurs 1, 3, 5, 7, etc. étaient en progression arithmétique, de sorte que seuls les coefficients numériques des numérateurs avaient encore besoin d'être étudiés. Mais dans les zones alternativement données, c'étaient les chiffres des puissances du nombre 11… c'est-à-dire d'abord « 1 » ; puis '1, 1' ; troisièmement, '1, 2, 1'; quatrièmement "1, 3, 3, 1" ; cinquièmement '1, 4, 6, 4, 1' etc. et j'ai donc commencé à chercher comment les chiffres restants de la série pouvaient être dérivés des deux premiers chiffres donnés, et j'ai trouvé qu'en mettant $latex m$ pour le second chiffre, le reste serait produit par la multiplication continuelle des termes de cette série,
$latex frac{m-0}{1} fois frac{m-1}{2} fois frac {m-2}{3} fois frac{m-3}{4} fois frac {m-4}{5 }$, etc...
… En conséquence, j'ai appliqué cette règle pour interposer des séries entre séries, et puisque, pour le cercle, le deuxième terme était $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, j'ai mis $latex m=frac{1}{2}$, et les termes résultants étaient
$latex frac {1}{2} fois frac{frac{1}{2}-1}{2}$ ou $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} fois frac{frac{1}{2}-2}{3}$ ou $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} fois frac{frac{1}{2}-3}{4}$ ou $latex - frac {5}{128}$,donc à l'infini. D'où j'en suis venu à comprendre que l'aire du segment circulaire que je voulais était
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Enfin, en branchant $latex x=1$, Newton pourrait obtenir une somme infinie pour $latexfrac{π}{4}$. C'était une découverte importante, mais il s'avère qu'il existe de meilleures façons d'approximer pi au moyen d'une somme infinie, comme Newton lui-même l'a rapidement découvert après cette première incursion dans ce genre de sommes infinies, maintenant appelées séries de puissances. Finalement, il a calculé les 15 premiers chiffres de pi.
Revenant au problème du segment circulaire, Newton s'est rendu compte que l'équation du cercle lui-même (et pas seulement l'aire en dessous) pouvait également être représentée par une série de puissances. Tout ce qu'il avait à faire était d'omettre les dénominateurs et de réduire les puissances de $latex x$ de 1 dans la série de puissances affichée ci-dessus. Ainsi fut-il amené à deviner que
Pour tester si ce résultat avait du sens, Newton le multiplia par lui-même : "Il est devenu $latex 1-x^2$, les termes restants s'évanouissant par la poursuite de la série à l'infini."
En prenant un peu de recul par rapport aux détails, nous voyons ici plusieurs leçons sur la résolution de problèmes. Si un problème est trop difficile, changez-le. Si cela vous semble trop spécifique, généralisez-le. Newton a fait les deux et a obtenu des résultats plus importants et plus puissants que ce qu'il recherchait à l'origine.
Newton ne s'est pas obstinément fixé sur un quart de cercle. Il regarda une forme beaucoup plus générale, n'importe quel segment circulaire de largeur $latex x$. Plutôt que de s'en tenir à $latex x=1$, il a laissé $latex x$ courir librement de 0 à 1. Cela a révélé le caractère binomial des coefficients de sa série — l'apparition inattendue de nombres dans le triangle de Pascal et leurs généralisations — qui laissez Newton voir des modèles que Wallis et d'autres avaient manqués. Voir ces modèles a ensuite donné à Newton les informations dont il avait besoin pour développer la théorie des séries de puissances beaucoup plus largement et généralement.
Dans ses travaux ultérieurs, la série de puissance de Newton lui a donné un couteau suisse pour le calcul. Avec eux, il pouvait faire des intégrales, trouver des racines d'équations algébriques et calculer les valeurs de sinus, de cosinus et de logarithmes. Comme il l'a dit, "Avec leur aide, l'analyse atteint, je pourrais presque dire, à tous les problèmes."
La morale : Changer un problème n'est pas tricher. C'est créatif. Et c'est peut-être la clé de quelque chose de plus grand.
