Comment les mathématiques simples font bouger les choses | Magazine Quanta

Imaginez que vous roulez dans la rue dans une voiture sans conducteur lorsque vous voyez un problème devant vous. Un chauffeur-livreur d'Amazon a amené sa camionnette à mi-chemin devant un camion UPS stationné en double file avant de se rendre compte qu'il ne pourrait pas passer. Maintenant, ils sont coincés. Et toi aussi.

La rue est trop étroite pour effectuer un U-ey, donc votre automobile améliorée par l'IA initie un virage en trois points. Tout d’abord, la voiture emprunte un chemin courbe vers un trottoir. Une fois sur place, il tourne dans l’autre sens et recule jusqu’au trottoir opposé. Ensuite, il fait reculer le volant dans la direction du premier chemin courbe, en avançant et en s'éloignant de l'obstacle.

Cet algorithme géométrique simple consistant à effectuer des virages intermédiaires peut vous aider à vous déplacer dans des situations difficiles. (Si vous vous êtes déjà garé en créneau, vous savez ce que ce mouvement de va-et-vient peut faire pour vous.)

Il y a ici un problème mathématique amusant concernant l'espace dont vous avez besoin pour faire demi-tour avec votre voiture, et les mathématiciens travaillent sur une version idéalisée depuis plus de 100 ans. Tout a commencé en 1917 lorsque le mathématicien japonais Sōichi Kakeya a posé un problème qui ressemble un peu à nos embouteillages. Supposons que vous disposiez d’une aiguille infiniment fine de longueur 1. Quelle est l’aire de la plus petite région dans laquelle vous pouvez tourner l’aiguille de 180 degrés et la remettre dans sa position d’origine ? C'est ce qu'on appelle le problème de l'aiguille de Kakeya, et les mathématiciens en étudient encore les variantes. Jetons un coup d'œil à la géométrie simple qui rend le problème de l'aiguille de Kakeya si intéressant et surprenant.

Comme beaucoup de problèmes mathématiques, celui-ci implique des hypothèses simplificatrices qui le rendent moins réaliste mais plus gérable. Par exemple, la longueur et la largeur d'une voiture sont importantes lorsque vous conduisez, mais nous supposerons que notre aiguille a une longueur de 1 et une largeur de zéro. (Cela signifie que l'aiguille elle-même a une aire de zéro, ce qui joue un rôle important en nous permettant de résoudre le problème.) De plus, nous supposerons que l'aiguille, contrairement à une voiture, peut pivoter autour de son extrémité avant, de son extrémité arrière. , ou n'importe quel point entre les deux.

Le but est de trouver la plus petite région permettant à l’aiguille de tourner à 180 degrés. Trouver la plus petite chose qui satisfait à un certain ensemble de conditions peut être difficile, mais une bonne façon de commencer est de rechercher tout ce qui satisfait à ces conditions et de voir ce que vous pouvez apprendre en cours de route. Par exemple, une réponse simple consiste simplement à faire pivoter l’aiguille de 180 degrés autour de son point final, puis à la faire glisser vers le haut. Cela ramène l'aiguille à sa position d'origine, mais elle pointe maintenant dans la direction opposée, comme l'exige le problème de l'aiguille de Kakeya.

La région requise pour le virage est un demi-cercle de rayon 1, qui a une aire de $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Nous avons donc trouvé une région qui fonctionne.

Nous pouvons faire mieux en tirant parti de la capacité de notre aiguille mathématique magique à tourner autour de n’importe quel point. Au lieu de le faire pivoter autour de son point final, faisons-le pivoter autour de son point médian.

Vous pourriez appeler cela la boussole de Kakeya : notre aiguille commence par pointer vers le nord, mais après la rotation, elle se trouve au même endroit mais pointe vers le sud. Cette région est un cercle de rayon $latex frac{1}{2}$, donc son aire est $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Cela représente la moitié de la superficie de notre première région, nous progressons donc.

Où aller ensuite ? Nous pourrions nous inspirer de notre dilemme de la voiture sans conducteur et envisager d’utiliser quelque chose comme un virage à trois points pour l’aiguille. Cela fonctionne plutôt bien.

La région balayée par l'aiguille à l'aide de cette technique s'appelle un deltoïde et répond également aux exigences de Kakeya. Le calcul de son aire nécessite plus que la géométrie élémentaire dont nous discutons ici (la connaissance des courbes paramétriques aide), mais il s'avère que l'aire de ce deltoïde particulier - celui balayé par un segment de ligne de longueur 1 - est exactement $latex frac{pi}{8}$. Nous disposons désormais d'une région encore plus petite dans laquelle nous pouvons renverser la situation de Kakeya, et on pourrait vous pardonner de penser que c'est le mieux que nous puissions faire. Kakeya lui-même pensait que cela pourrait être le cas.

Mais ce problème d’aiguille a pris une tournure importante lorsque le mathématicien russe Abram Besicovitch a découvert qu’on pouvait faire infiniment mieux. Il a mis au point une procédure pour réduire les parties inutiles de la région jusqu'à ce qu'elle soit aussi petite qu'il le souhaitait.

Le processus est technique et compliqué, mais une stratégie basée sur l'idée de Besicovitch repose sur deux idées simples. Considérons d’abord le triangle rectangle ci-dessous, avec une hauteur de 1 et une base de 2.

Pour le moment, nous allons oublier de faire tourner complètement l'aiguille et nous concentrer uniquement sur un fait simple : si nous plaçons une aiguille de longueur 1 au sommet supérieur, le triangle est suffisamment grand pour permettre à l'aiguille de tourner de 90 °. degrés d’un côté à l’autre.

Puisque l'aire du triangle est $latex A=frac{1}{2}bh$, ce triangle a une aire $latex A=frac{1}{2} fois 2 fois 1 = 1$.

Maintenant, voici la première idée importante : nous pouvons réduire la superficie de la région tout en préservant la rotation de 90 degrés. La stratégie est simple : nous coupons le triangle au milieu, puis nous rapprochons les deux moitiés.

L'aire de cette nouvelle figure doit être inférieure à celle d'origine car certaines parties du triangle se chevauchent désormais. En fait, il est facile de calculer l'aire de la figure : elle ne représente que les trois quarts du carré du côté 1, donc l'aire est $latex A = frac{3}{4}$, ce qui est inférieur à l'aire du côté XNUMX. triangle avec lequel nous avons commencé.

Et nous pouvons toujours pointer l’aiguille dans les mêmes directions qu’auparavant. Il n'y a qu'un seul problème : l'angle d'origine a été divisé en deux parties, donc ces directions sont désormais divisées en deux régions distinctes.

Si l'aiguille est sur le côté gauche de la nouvelle région, nous pouvons la faire pivoter de 45 degrés entre le sud et le sud-est, et si elle est à droite, nous pouvons la faire pivoter de 45 degrés entre le sud et le sud-ouest, mais comme les deux parties sont séparées , il ne semble pas que nous puissions le faire pivoter de 90 degrés comme nous le faisions auparavant.

C'est là qu'intervient la deuxième idée importante. Il existe un moyen sournois de faire passer l'aiguille d'un côté à l'autre qui ne nécessite pas beaucoup d'espace. Aux échecs, vous savez peut-être que le chevalier se déplace en forme de L. Eh bien, notre aiguille va se déplacer en forme de N.

Voici comment procéder. Tout d’abord, l’aiguille glisse vers le haut d’un côté du N. Ensuite, elle tourne pour pointer le long de la diagonale et glisse vers le bas. Puis il tourne à nouveau et termine son voyage en glissant de l'autre côté du N.

À première vue, ce mouvement en forme de N ne ressemble peut-être pas à grand-chose, mais il fait quelque chose de très utile. Cela permet à l’aiguille de « sauter » d’une ligne parallèle à une autre, ce qui nous aidera à faire passer notre aiguille d’une région à l’autre. Plus important encore, cela ne nécessite pas beaucoup d’espace. En fait, vous pouvez faire en sorte qu’il nécessite aussi peu d’espace que vous le souhaitez. Voici pourquoi.

Rappelez-vous que notre aiguille a une largeur nulle. Ainsi, toute ligne le long de laquelle l’aiguille se déplace, vers l’avant ou vers l’arrière, aura une surface nulle. Cela signifie que la région requise pour déplacer l'aiguille vers le haut, le bas ou en diagonale le long de la forme N sera composée de pièces de surface nulle.

Cela laisse juste les rotations aux coins de la forme N.

Ces mouvements nécessitent de la superficie. Vous pouvez voir un petit secteur de cercle à chaque coin. Mais voici la partie sournoise : vous pouvez réduire la taille de ces régions en allongeant le N.

La formule pour l'aire d'un secteur de cercle est $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, où $latex theta$ est la mesure de l'angle du secteur en degrés. Quelle que soit la hauteur du N, le rayon du secteur sera toujours 1 : c'est la longueur de l'aiguille. Mais à mesure que le N grandit, l’angle diminue, ce qui réduira la superficie du secteur. Ainsi, vous pouvez rendre la zone supplémentaire aussi petite que vous le souhaitez en étirant le N autant que nécessaire.

N'oubliez pas que nous avons pu réduire la superficie de notre région triangulaire en la divisant en deux et en faisant chevaucher les morceaux. Le problème était que cela divisait l’angle de 90 degrés en deux parties distinctes, nous empêchant de faire tourner l’aiguille de 90 degrés. Nous pouvons désormais résoudre ce problème en créant une forme en N appropriée pour garantir que l'aiguille ait un chemin d'un côté à l'autre.

Dans cette région mise à jour, l’aiguille peut toujours tourner à 90 degrés comme auparavant, cela se produit désormais en deux étapes. Tout d’abord, l’aiguille tourne de 45 degrés et s’aligne avec le bord vertical de gauche. Ensuite, il se déplace le long de la forme N pour arriver de l’autre côté. Une fois là-bas, vous êtes libre de tourner les 45 degrés restants.

Cela déplace l'aiguille de 90 degrés et pour la maintenir en rotation, il vous suffit d'ajouter des copies pivotées de la région.

En ajoutant les formes N appropriées, l'aiguille peut sauter d'une péninsule triangulaire à la suivante, en tournant petit à petit jusqu'à faire un tour complet, tout comme une voiture exécutant un virage en trois points.

Il y a des mathématiques plus diaboliques dans les détails, mais ces deux idées – selon lesquelles nous pouvons continuellement réduire la surface de la région d'origine en la découpant et en la déplaçant tout en garantissant que nous pouvons passer d'une pièce à l'autre en utilisant les formes N arbitrairement petites – nous aident déplacez l’aiguille dans une région de plus en plus réduite qui peut finalement être aussi petite que vous le souhaitez.

Une approche plus standard pour construire ce type de région commence par des triangles équilatéraux et utilise des « arbres de Perron », qui sont des moyens astucieux de découper des triangles, d'étirer et de faire glisser les morceaux ensemble. Le résultat est assez bluffant.

Récemment, les mathématiciens ont progrès accomplis sur de nouvelles variantes de ce vieux problème, situées dans des dimensions supérieures et avec des notions de taille différentes. Nous ne verrons probablement jamais une voiture alimentée par l’IA tracer un virage à la pointe d’une aiguille Kakeya, mais nous pouvons toujours apprécier la beauté et la simplicité de son quasi-néant.

Des exercices

1. Quelle est l'aire du plus petit triangle équilatéral qui fonctionne comme un jeu d'aiguilles Kakeya ?

2. Vous pouvez faire un peu mieux que le triangle équilatéral de l'exercice 1 en utilisant un « triangle de Reuleaux », une région formée de trois secteurs circulaires superposés. Quelle est l'aire du plus petit triangle de Reuleaux qui fonctionne ?