Introduction
Plus tôt cette année, un trio de mathématiciens a décidé de transformer des citrons en limonade - et a fini par fabriquer avancée majeure sur un problème auquel les mathématiciens réfléchissent depuis des siècles.
Les trois finissaient juste un projet et réfléchissaient aux prochaines étapes quand, fin mars, deux d'entre eux - Levent Alpöge de l'Université de Harvard et Ari Shnidman de l'Université hébraïque de Jérusalem - a contracté le Covid-19, séparément mais presque simultanément. Beaucoup de gens prendraient une pause dans de telles circonstances, mais le troisième membre de l'équipe, Manjul Bhargava de l'Université de Princeton, a proposé le contraire. Augmenter leurs réunions Zoom hebdomadaires à trois ou quatre fois par semaine, a-t-il suggéré, pourrait distraire ses collaborateurs malades de leurs symptômes. La quarantaine, ont décidé les trois, pourrait être l'occasion de réfléchir sans être dérangé.
Au cours de ces réunions, ils se sont penchés sur l'une des questions les plus anciennes de la théorie des nombres : combien d'entiers peuvent être écrits comme la somme de deux fractions au cube, ou, comme les mathématiciens les appellent, des nombres rationnels ? Le nombre 6, par exemple, peut s'écrire (17/21)3 + (37/21)3, tandis que 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Les mathématiciens soupçonnent depuis des décennies que la moitié de tous les nombres entiers peuvent être écrits de cette façon. Comme pour les nombres pairs et impairs, cette propriété semble diviser les nombres entiers en deux camps égaux : ceux qui sont la somme de deux cubes et ceux qui ne le sont pas.
Mais personne n'a été en mesure de le prouver, ni même de donner une borne sur la proportion de nombres entiers qui tombent dans chaque camp. Pour autant que les mathématiciens le sachent, le camp constitué de sommes de cubes rationnels pourrait être extrêmement petit - ou il pourrait contenir presque tous les nombres entiers. Mathématiciens avoir calculé que, si quelque chose appelé la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vraie (comme on le croit généralement), environ 59% des nombres jusqu'à 10 millions sont la somme de deux cubes rationnels. Mais de telles données peuvent, au mieux, offrir des indices sur la façon dont le reste de la droite numérique pourrait se comporter.
Contrairement aux nombres pairs et impairs, "ces deux camps sont subtils", a déclaré Barry Mazur d'Harvard. Il n'y a pas de test pour déterminer quels nombres appartiennent à quel camp qui est connu pour fonctionner pour tous les nombres. Les mathématiciens ont proposé des tests qui sont de bons candidats, mais pour l'instant chacun a un inconvénient - soit les mathématiciens ne peuvent pas prouver que le test aboutira toujours à une conclusion, soit ils ne peuvent pas prouver que la conclusion est correcte.
La difficulté de comprendre les sommes de cubes, et les équations cubiques plus généralement, a été "un embarras récurrent pour les théoriciens des nombres", a déclaré Bhargava. Il a remporté la médaille Fields en 2014 en partie pour son travail sur les solutions rationnelles aux équations cubiques dites courbes elliptiques, dont les sommes de deux cubes sont un cas particulier.
Maintenant dans un document mis en ligne fin octobre, Alpöge, Bhargava et Shnidman ont montré qu'au moins 2/21 (environ 9.5%) et au plus 5/6 (environ 83%) des nombres entiers peuvent être écrits comme la somme de deux fractions au cube.
La question des sommes de cubes n'est pas qu'une curiosité. Les courbes elliptiques ont une structure richement complexe qui les a propulsées au centre de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées, permettant notamment aux cryptographes de construire des chiffrements puissants. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, la question centrale dans le domaine, a une prime de 1 million de dollars sur sa tête comme l'un des problèmes du prix du millénaire du Clay Mathematics Institute.
Le nouveau travail s'appuie sur un ensemble d'outils que Bhargava a développé au cours des 20 dernières années, avec des collaborateurs, pour explorer toute la famille de courbes elliptiques. Comprendre les sommes de deux cubes signifie analyser une famille beaucoup plus petite, et "plus la famille est petite, plus le problème est difficile", a déclaré Pierre Sarnak de l'Institute for Advanced Study de Princeton.
Cette famille particulière semblait "hors de portée", a ajouté Sarnak. "J'aurais dit: 'Ça a l'air trop dur, beaucoup trop dur.'"
Une transition de phase
Contrairement aux sommes de fractions au cube, qui semblent abondantes, presque aucun nombre entier n'est la somme de deux fractions au carré. Au début des années 1600, les mathématiciens Albert Girard et Pierre de Fermat avaient mis au point un test simple pour déterminer quels nombres entiers sont la somme de deux carrés : factorisez votre nombre en nombres premiers, puis vérifiez l'exposant de chaque nombre premier qui a un reste de 3. lorsque vous le divisez par 4. Si ces exposants sont tous pairs, votre nombre est la somme de deux fractions au carré ; sinon, ce n'est pas le cas. Par exemple, 490 facteurs en 21 × 51 × 72. Le seul de ces facteurs qui a un reste de 3 lorsque vous divisez par 4 est 7, et 7 a un exposant pair. Donc, 490 est la somme de deux carrés (pour les curieux, ça vaut 72 + 212).
La grande majorité des nombres échouent au test de l'exposant pair. Si vous choisissez un nombre entier au hasard, la probabilité qu'il soit la somme de deux fractions au carré est essentiellement nulle. Les mathématiciens pensent qu'il en va de même pour les sommes de deux fractions élevées à la quatrième puissance, ou à la cinquième puissance, ou à toute puissance supérieure à trois. Ce n'est qu'avec les sommes de cubes qu'il y a soudain abondance.
Les mathématiciens sont habitués aux équations cubiques se comportant différemment de celles de toutes les autres puissances. Parmi les équations composées de deux variables (comme les équations de la somme de deux cubes), les équations dont l'exposant le plus élevé est 1 ou 2 ont tendance à être bien comprises - généralement, elles n'ont pas de solutions rationnelles ou une infinité, et il est généralement simple de dis lequel. Pendant ce temps, les équations dont l'exposant le plus élevé est 4 ou plus ont généralement seulement un arrosage fini de solutions rationnelles.
Les équations cubiques, en revanche, peuvent avoir un nombre fini de solutions, un nombre infini ou pas du tout. Ces équations représentent une sorte de transition de phase entre les exposants inférieurs à 3 et ceux supérieurs, affichant des phénomènes jamais vus dans ces autres paramètres. "Les cubes sont différents à tous égards", a déclaré Mazur.
Contrairement aux équations avec des exposants inférieurs, les cubes sont étonnamment difficiles à comprendre. Il n'y a pas de méthode globale pour trouver ou même compter les solutions rationnelles aux cubiques dont il a été prouvé qu'elles fonctionnent toujours.
"Même avec toute la puissance de calcul que nous avons, si vous me donnez une courbe elliptique avec de très grands coefficients, je ne sais pas nécessairement combien de solutions rationnelles elle a", a déclaré Wei Ho, un ancien élève de Bhargava qui est actuellement professeur invité à l'Institut d'études avancées.
Dans le problème de la somme de deux cubes, les fractions impliquées peuvent être énormes : le nombre 2,803 40, par exemple, est la somme de deux fractions au cube dont les dénominateurs ont chacun XNUMX chiffres. Et une fois que nous examinons les nombres en millions, a déclaré Bhargava, de nombreuses fractions "impliqueraient plus de chiffres que ce qui pourrait tenir sur tout le papier de ce monde".
Matrices de cartographie
Parce que les courbes elliptiques sont si ingouvernables, les théoriciens des nombres cherchent des moyens de les relier à des objets plus traitables. En avril, alors qu'Alpöge et Shnidman combattaient Covid, eux et Bhargava se sont appuyés sur le travail que ce dernier avait précédemment effectué avec Ho et ont compris que chaque fois qu'une équation de somme de cubes a des solutions rationnelles, il existe un moyen de construire au moins un spécial 2 matrice × 2 × 2 × 2 - un analogue à quatre dimensions de la matrice bidimensionnelle plus familière. "Nous avons commencé à élaborer un plan pour compter ces matrices 2 × 2 × 2 × 2", ont écrit les trois.
Pour ce faire, l'équipe s'est appuyée sur deux sujets classiques étudiés chacun depuis plus d'un siècle. L'une est la « géométrie des nombres », qui consiste à compter les points du réseau à l'intérieur de différentes formes géométriques. Ce sujet a connu une renaissance dans le domaine des courbes elliptiques au cours des 20 dernières années, en grande partie grâce au travail de Bhargava et de ses collaborateurs.
L'autre technique, connue sous le nom de méthode du cercle, trouve son origine dans les travaux du légendaire mathématicien indien Srinivasa Ramanujan et de son collaborateur de longue date GH Hardy au début du XXe siècle. "Il s'agit de la première application majeure de la combinaison de la méthode du cercle avec ces techniques de géométrie des nombres", a déclaré Ho. "Cette partie est très cool."
En utilisant ces méthodes, le trio a pu montrer que pour au moins 1/6 de tous les nombres entiers, aucune matrice 2 × 2 × 2 × 2 n'existe. Cela signifie que pour ces nombres, l'équation de la somme des cubes n'a pas de solutions rationnelles. Ainsi, pas plus de 5/6 des nombres entiers, soit environ 83 %, peuvent être la somme de cubes de deux fractions.
Dans le sens inverse, ils ont constaté qu'au moins 5/12 de tous les nombres entiers ont exactement une matrice correspondante. Il est tentant de conclure que ces nombres sont la somme de deux cubes, mais cela ne s'ensuit pas automatiquement. Chaque nombre qui est la somme de deux cubes a une matrice, mais cela ne signifie pas nécessairement que l'inverse est vrai : que chaque nombre avec une matrice est la somme de deux cubes.
Alpöge, Bhargava et Shnidman avaient besoin de ce que les chercheurs sur les courbes elliptiques appellent un théorème inverse - quelque chose qui prend des informations sur une équation cubique et les utilise pour construire des solutions rationnelles. Les théorèmes inverses forment un sous-domaine florissant de la théorie des courbes elliptiques, de sorte que le trio s'est tourné vers deux des praticiens experts du sous-domaine - Ashay Burungale de l'Université du Texas, Austin et de Princeton. Burungale et Skinner ont pu montrer que, au moins une partie du temps, si un nombre entier a une seule matrice associée, alors ce nombre doit être la somme de deux cubes rationnels. Leur théorème, qui prouve essentiellement une partie pertinente de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, apparaît dans l'article sous la forme d'une annexe de trois pages, que Sarnak décrit comme merveilleuse en soi.
Burungale et Skinner n'ont pas prouvé leur théorème pour chaque nombre entier avec exactement une matrice - ils ont dû imposer une condition technique qui réduisait le sous-ensemble 5/12 à 2/21, soit environ 9.5 %, de tous les nombres entiers. Mais Bhargava est optimiste que Burungale et Skinner, ou d'autres chercheurs dans leur domaine, atteindront le reste du 5/12 (environ 41% en tout) avant trop longtemps. "Leurs techniques se renforcent régulièrement", a déclaré Bhargava.
Prouver la conjecture complète - qu'exactement la moitié de tous les nombres entiers sont la somme de deux cubes - nécessitera éventuellement de s'attaquer à l'ensemble des nombres qui ont plus d'une matrice associée. Cet ensemble, que Bhargava appelle «très flou», comprend à la fois des nombres qui sont la somme de deux cubes et d'autres qui ne le sont pas. La gestion de tels chiffres nécessitera des idées complètement nouvelles, a-t-il déclaré.
Pour l'instant, les chercheurs sont heureux d'avoir enfin réglé la question pour une proportion substantielle de nombres entiers et sont impatients d'approfondir les techniques de la preuve. "C'est l'une de ces belles choses : vous pouvez expliquer le résultat très facilement, mais les outils sont très, très à la pointe de la théorie des nombres", a déclaré Sarnak.
