Du papier à la chaîne : comment la théorie des enchères éclaire les implémentations de contrats intelligents

Les enchères sont omniprésentes dans la crypto. De Fabricant enchères collatérales, à Flashbots enchères en bloc à offre scellée et enchères NFT sur OpenSea, les enchères conviennent à un large éventail de situations où la découverte des prix, la liquidité ou l'allocation de ressources rares sont nécessaires, à la fois sur et hors chaîne. 

Cependant, juxtaposé au vaste (et croissant) corpus de recherches universitaires sur les enchères, il est clair que nous n'avons fait qu'effleurer la surface de ce que ces mécanismes pourraient offrir en chaîne - par exemple, optimiser la confidentialité, l'efficacité, l'acheteur excédent et d'autres objectifs de conception clés. Compte tenu de «l'explosion cambrienne» des conceptions de market maker automatisés (AMM) après Curve et Sushiswap en 2020 - et de l'explosion simultanée des blockchains de troisième génération - il est plausible (inévitable, peut-être) que les enchères en chaîne soient mûres pour une recrudescence évolutive similaire . 

Alors que les formats d'enchères étaient autrefois vaguement adoptés pour (et limités par) les limites techniques des blockchains, nous commençons maintenant à voir plus de nouvelles conceptions adaptées spécialement pour les blockchains. Suivant la tradition de conception du marché, cet article fait partie d'une série qui vise à combler le fossé entre la théorie et la pratique des enchères : comment les principes théoriques peuvent-ils éclairer les décisions de mise en œuvre ? Et comment les implémentations en chaîne peuvent-elles, à leur tour, éclairer les nouvelles directions de la recherche théorique ? Bien que la théorie puisse nous guider vers une certaine conception d'enchères, un détail de mise en œuvre apparemment inoffensif peut être intéressant à analyser avec une lentille théorique. 

Nous commençons par comparer les quatre types d'enchères canoniques selon trois axes : révélation d'informations, stratégie d'enchères ainsi que considérations de mise en œuvre en chaîne. Ensuite, nous nous concentrerons spécifiquement sur les formats d'offres scellées, plongerons plus profondément dans les subtilités de mise en œuvre qui les ont rendus relativement inexplorés en chaîne, et présenterons notre implémentation open source de Solidity d'une vente aux enchères Vickrey - que nous espérons que d'autres pourront utiliser comme référence et base pour d'autres expérimentations. 

Mais d'abord, une brève introduction aux formats d'enchères

Nous avons déjà couvert la conception des enchères - dans les formats traditionnels et appliqués et adaptés aux blockchains - en détail sur une récente Podcast avec le partenaire de recherche crypto a16z (et professeur à la Harvard Business School) Scott Kominers et Tim Roughgarden, responsable de la recherche sur la cryptographie a16z (et professeur à l'Université de Columbia). S'appuyant sur leur expertise en matière de conseil en matière de protocoles cryptographiques, ils fournissent un aperçu des types d'enchères et de la conception des incitations, à la fois en théorie et en pratique - y compris les nuances de prix d'équilibre du marché et guerres du gaz (que nous avons couvert dans la deuxième partie de cette série en cours sur la conception d'enchères pour le web3).

Mais pour définir un contexte rapide pour la mise en œuvre ci-dessous : la théorie des enchères s'est historiquement centrée autour de quatre types d'enchères, d'abord taxonomisé par Guillaume Vickrey en 1961 et décrit ici dans le cadre d'une vente aux enchères pour un seul bien.

• Anglais (prix croissant) : dans une enchère anglaise ou à prix croissant, le commissaire-priseur ouvre les enchères à un prix de réserve (minimum) et les enchérisseurs placent des offres progressivement plus élevées jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul enchérisseur disposé à payer le prix actuel. le dernier enchérisseur l'emporte. Il s'agit du format d'enchères le plus couramment décrit dans la culture et les médias populaires, souvent dans le contexte de la vente d'antiquités, d'œuvres d'art ou de gemmes non coupées. 
• Néerlandais (prix décroissant): Dans une enchère néerlandaise ou à prix décroissant, le prix d'ouverture diminue selon un calendrier prescrit. Dans une enchère néerlandaise, le premier à enchérir est le gagnant et l'enchère se termine instantanément. Historiquement, les versions à plusieurs unités des ventes aux enchères néerlandaises ont souvent été utilisées pour vendre de grandes quantités de marchandises ayant une durée de conservation limitée, tel que fleurs coupées, poisson ou tabac. Plus récemment, le Trésor américain a introduit le recours aux enchères néerlandaises pour les titres (1974) et l'introduction en bourse de Google en 2004 (tristement célèbre) a vendu ses actions via une vente aux enchères néerlandaise.
• Premier prix enchère scellée: Chaque enchérisseur remet une offre cachetée (par exemple dans une enveloppe cachetée) au commissaire-priseur. Une fois toutes les offres soumises, le commissaire-priseur les lit en privé et annonce le gagnant (le plus offrant). Le gagnant paie alors le montant qu'il a enchéri. Les enchères au premier prix scellées sont souvent utilisées dans biens immobiliers lorsqu'une propriété suscite l'intérêt de plusieurs acheteurs. 
• Offre scellée second prix (les "Enchères Vickrey”) : l'enchère homonyme de Vickrey est la même que l'enchère au premier prix à offre scellée, sauf que le gagnant de ce type d'enchère paie la valeur de l'enchère seconde-Offre la plus élevée. Malgré ses propriétés théoriques intéressantes, l'enchère Vickrey est rarement vue en chaîne (en partie à cause de la difficulté de mettre en œuvre des offres scellées).

Ces quatre types d'enchères ont des propriétés et des dynamiques différentes qui sont encore compliquées lorsqu'elles sont traduites en implémentations de contrats intelligents (et que nous détaillerons plus tard).

Comparaison des types d'enchères par révélation d'informations

L'une des manières les plus naturelles de caractériser chaque type d'enchère consiste à visibilité des enchères (offre ouverte vs scellée). Même toutes choses étant égales par ailleurs, la modification de la visibilité des offres peut avoir un impact profond sur la dynamique et le résultat d'une enchère.

Les enchères en anglais et en néerlandais sont à la criée les enchères, ce qui signifie que les prix sont annoncés verbalement à mesure qu'ils montent ou descendent, et que les offres (y compris leurs montants) sont publiques pour tous les acheteurs potentiels. Les enchères scellées, cependant, peuvent utiliser différentes saveurs de confidentialité :

• Eventuellement public: toutes les offres sont révélées publiquement après la fin de l'enchère
• Prix ​​public: seul le prix gagnant est révélé, et pas les autres enchères
• Entièrement privé: rien n'est révélé publiquement sur les enchères ou le prix gagnant

Ces hypothèses concernant la visibilité des offres signifient que les enchères diffèrent également en termes de révélation d'informations; différents formats d'enchères révèlent différentes quantités d'informations sur les évaluations des soumissionnaires (souvent une limite supérieure ou inférieure) à différentes étapes du processus. Dans une enchère anglaise, placer une offre établit effectivement une limite inférieure sur l'évaluation de cet enchérisseur. Dans une vente aux enchères néerlandaise, en revanche, le prix actuel peut être interprété comme une limite supérieure sur les évaluations de tous les enchérisseurs. Les enchères scellées ne révèlent des informations qu'après la fin de l'enchère, voire pas du tout. 

Il convient de noter que les enchères néerlandaises peuvent revêtir les qualités des enchères ouvertes et scellées. Les ventes aux enchères néerlandaises à un seul article ont des propriétés de confidentialité similaires aux enchères à prix public et à offre scellée (depuis la premier les offres gagnantes, toutes les autres offres inférieures sont gardées privées). Mais comme nous le verrons plus tard, ces propriétés changent considérablement lorsque les enchères néerlandaises sont organisées en chaîne. 

Valeurs communes et privées

Examen des ventes de Privé ainsi que le valeur commune pour les entre les enchères ouvertes et les enchères scellées peut fournir une autre perspective pour comparer ces formats. Lors d'une vente aux enchères vendant un bien de valeur commune, l'article a une certaine valeur intrinsèque qui est partagée entre tous les enchérisseurs, mais les enchérisseurs peuvent avoir des informations différentes ou incomplètes sur cette valeur. En économiste du comportement lauréat du prix Nobel de Richard Thaler exemple canonique de valeur commune, un pot de pièces est mis aux enchères ; aucun des enchérisseurs ne connaît la valeur exacte contenue dans le pot, mais chacun a sa propre estimation. Dans une vente aux enchères vendant un bien à valeur privée, chaque enchérisseur a une valeur individuelle pour l'article mis aux enchères, indépendamment de ses pairs. Pour tirer des exemples du web3, un NFT acheté uniquement pour son plaisir personnel (sans intention de revente ou d'attente d'utilité future) est un bien de valeur privée, tandis que la garantie d'un coffre-fort Maker liquidé est un bien de valeur commune.

Pendant ce temps, les auteurs d'un autre papier l'examen des données des enchères de bois a révélé que les enchères scellées "attirent plus de petits soumissionnaires, déplacent l'allocation vers ces soumissionnaires et peuvent également générer des revenus plus élevés" par rapport à leurs homologues à offre ouverte. Notamment, les auteurs ont constaté que ces résultats pouvaient être expliqués par un modèle de valeur privée (où les valeurs privées varient en fonction des idiosyncrasies des enchères de bois, comme les « différences dans les coûts des soumissionnaires et les arrangements contractuels »), en omettant entièrement les valeurs communes de leur modèle. Cela suggère qu'un vendeur peut bénéficier du choix d'une enchère scellée pour les ventes où les enchérisseurs ont des motivations, des contextes ou des utilisations disparates pour l'article mis aux enchères.

Les enchères en anglais peuvent être utiles dans des contextes où des valeurs communes dominer et la découverte des prix est un objectif - comme mentionné, les enchérisseurs apprennent comment les autres évaluent l'article au fur et à mesure que les offres arrivent et peuvent ajuster leur stratégie en conséquence. Dans une étude sur les enchères inversées en marchés du travail en ligne, les auteurs ont constaté que si les enchères scellées attiraient plus d'offres, les enchères ouvertes permettaient à ces acheteurs d'obtenir un meilleur prix (ou un surplus d'acheteurs plus important). L'analyse suggère que les différences « dépendent largement de l'importance relative de la composante de valeur commune (par rapport à la valeur privée) des services informatiques mis aux enchères ». En d'autres termes, le format d'offre ouverte permet aux soumissionnaires de recalibrer dynamiquement leur compréhension de la valeur du service, ce qui n'est souvent pas clair au début de l'enchère.

Dans la pratique, les enchères affichent généralement une combinaison de caractéristiques communes et de valeur privée. L'interaction entre les caractéristiques de ces biens et comment (et quand) les informations sont révélées par le format d'enchères a des effets complexes en aval sur la stratégie d'enchères. Cela nous amène à la question suivante : Pouvons-nous formaliser la notion d'une stratégie d'enchères « simple » (je n'ai pas besoin de trop réfléchir à la façon dont vous pourriez enchérir) ? et y a-t-il des enchères où de telles stratégies sont optimales ?

Comparaison des types d'enchères par stratégie d'enchères

Parmi les quatre types d'enchères canoniques, l'une qui a été jusqu'à présent manifestement absente de notre analyse est l'enchère Vickrey. Un lecteur attentif peut froncer les sourcils à la règle de paiement de l'enchère Vickrey : le gagnant paie le seconde offre la plus élevée au lieu de ce qu'ils ont eux-mêmes offert. Cela peut sembler contre-intuitif au premier abord, mais les enchères anglaises se règlent finalement de la même manière. Une enchère en anglais se termine par l'offre la plus basse qu'aucun autre enchérisseur n'est disposé à satisfaire ; le gagnant n'a aucune raison d'enchérir davantage, même si sa propre évaluation est beaucoup plus élevée. En fait, les enchères anglaises et Vickrey partagent un bel avantage théorique sur les enchères néerlandaises et scellées au premier prix : compatibilité avec les incitations de la stratégie dominante (DSCI). 

À un niveau élevé, cela signifie que la stratégie de maximisation de l'utilité de chaque enchérisseur consiste simplement à enchérir sur ce qu'il pense réellement que l'article mis aux enchères vaut (dans une enchère à valeur commune, il s'agit simplement de la valeur attendue de l'article, conditionnée par les informations de l'enchérisseur) . Pour une plongée plus profonde, ces les notes de cours constituent une excellente introduction.

Dans une enchère au premier prix, il n'y a pas une telle stratégie d'enchère dominante. Les soumissionnaires doivent Ombre (ou réduire) leurs offres pour qu'elles soient inférieures à leur valorisation afin d'obtenir une utilité positive. Exactement combien inférieur ils peuvent s'en tirer tout en surenchérissant sur les autres participants est un Jeu bayésien. Une vente aux enchères néerlandaise est stratégiquement similaire. Afin d'obtenir une utilité positive, un enchérisseur doit attendre que le prix tombe en dessous de son évaluation, mais combien de temps attendre après ce seuil est un autre jeu bayésien. Plus surprenant peut-être, les revenus attendus pour les quatre types d'enchères est le même (sous certaines hypothèses ; voir Théorème 1). 

Malgré les avantages théoriques des enchères Vickrey, elles sont quelque peu rares dans la pratique. Dans La belle mais solitaire vente aux enchères Vickrey, les économistes Lawrence Ausubel et Paul Milgrom fournissent plusieurs explications expliquant pourquoi cela peut être le cas. Les auteurs notent qu'en dépit d'être stratégiquement équivalentes, les enchères anglaises sont intuitivement plus faciles à raisonner pour les enchérisseurs que les enchères Vickrey. Cette intuition est formalisée dans Évidemment des mécanismes à l'épreuve de la stratégie, ce qui montre que les enchères anglaises ne sont pas seulement DSIC, mais que les enchères honnêtes sont "évidemment dominantes". 

Pour donner un exemple concret, Google annoncé l'année dernière qu'AdSense - un programme dans lequel les annonceurs enchérissent pour un espace publicitaire sur le contenu - passerait des enchères au second prix aux enchères au premier prix, citant la simplicité et l'alignement avec le reste de l'écosystème de la publicité numérique. En plus de ces considérations d'utilisation, des plates-formes comme AdSense adoptent une position de confiance lors de l'exécution d'enchères au second prix : en surévaluant la deuxième enchère la plus élevée, un commissaire-priseur malhonnête pourrait soutirer plus de paiement au gagnant. 

Bien que ces préoccupations aient ralenti l'adoption, l'enchère Vickrey pourrait trouver de nouveaux cas d'utilisation lorsqu'elle est étendue à de nouveaux environnements. Les blockchains publiques, en particulier, fournissent une plate-forme crédible et neutre qui peut aider à contourner des problèmes tels que le commissaire-priseur malhonnête. Ceci, associé à la diversité des applications potentielles en chaîne, suggère que les contrats intelligents peuvent fournir un banc d'essai particulièrement efficace pour le mécanisme d'enchères Vickrey.

Comparaison des types d'enchères à travers des considérations de mise en œuvre

La mise en place d'enchères en chaîne peut parfois poser de nouveaux défis par rapport à leurs homologues hors chaîne. Dans les sections suivantes, nous explorerons le paysage actuel des enchères en chaîne et les considérations de mise en œuvre pour chaque type d'enchères. 

Enchères anglaises en chaîne

La majorité des enchères en chaîne trouvées dans la nature aujourd'hui entrent dans la catégorie des offres ouvertes (c'est-à-dire en anglais ou en néerlandais). Il s'agit notamment des enchères OpenSea à prix croissant, des enchères de garanties Maker et du contrat Zora Auction House. 

Sous le capot d'OpenSea, les enchères sont des messages hors chaîne qui encodent la valeur de l'enchère, signés par l'enchérisseur. Au fur et à mesure que les acheteurs potentiels placent leurs offres, l'interface utilisateur OpenSea présente les valeurs des offres au vendeur et aux enchérisseurs potentiels. Dans les enchères de garantie Maker et de Zora, cependant, les enchérisseurs soumettent une transaction pour indiquer leur enchère ; ensuite, la transaction d'enchère séquestre la garantie de l'enchérisseur dans un contrat d'enchères. En raison du fait qu'il s'agit d'une transaction en chaîne non obscurcie, l'offre est intrinsèquement ouverte - n'importe qui peut voir ce que ses collègues enchérisseurs proposent en examinant les transactions entrantes dans le contrat d'enchères (soit dans le mempool public, soit au fur et à mesure qu'ils sont inclus dans la chaîne ). 

Dans l'ensemble, la dynamique des enchères anglaises reste relativement intacte lorsqu'elle se traduit par un contrat intelligent. Une différence notable est que les offres en chaîne entraînent un coût du gaz, qui est inclus dans la valeur de facto de l'offre. Comme les prix du gaz fluctuent au cours de la période d'enchères d'une vente aux enchères, un soumissionnaire qui aurait autrement eu l'offre la plus élevée peut être temporairement exclu par des frais de gaz coûteux.

Ventes aux enchères néerlandaises en chaîne

Les enchères néerlandaises en chaîne ont connu un essor important, de la facilitation NFT vente à rééquilibrer TokenSets (et engendrant des variantes comme Ventes aux enchères progressives ainsi que le VGDA à taux variable). Cette popularité est pour une bonne raison - une simple enchère néerlandaise est relativement facile à mettre en œuvre en tant que contrat intelligent et ne nécessite que deux transactions en chaîne (une pour créer l'enchère, une pour la première et unique enchère). Plus important encore, il ne verrouille pas les fonds des enchérisseurs, contrairement à d'autres enchères avec des enchères en chaîne.   

La dynamique des enchères néerlandaises hors chaîne dépend du fait que les enchères sont effectivement instantanées. Une enchère néerlandaise à un seul article se termine dès qu'une offre est annoncée et aucune autre offre ne peut être placée. Lorsqu'elle est menée en chaîne, cependant, il y a un intervalle de temps entre le moment où l'offre est diffusée et le moment où elle est incluse dans la chaîne, ce qui peut avoir des conséquences inattendues. Si la première enchère est diffusée sur le mempool public (par opposition à un pool de transaction privé comme flashbots), cela peut déclencher un guerre du gaz, avec d'autres acheteurs potentiels diffusant des offres avec des prix du gaz progressivement plus élevés. En conséquence, le prix ajusté du gaz peut augmenter soudainement à mesure que la chaîne hors chaîne, ascendant-la vente aux enchères de prix pour la commande de transactions éclipse la vente aux enchères néerlandaise elle-même. 

La nature dépendante du temps du mécanisme des prix décroissants présente également d'autres inconvénients. En supposant une fonction de baisse continue des prix, un enchérisseur doit être en ligne exactement au moment nécessaire pour placer une enchère à un prix spécifique ou configurer un bot (par exemple, en utilisant Réseau Gelato) pour enchérir sur eux. Une congestion du réseau coïncidant incidemment (ou malicieusement) avec la diffusion de la première enchère peut faire baisser le prix final fixé au détriment des revenus du vendeur. Pire encore, une attaque par déni de service (DoS) pourrait coûter l'enchère au gagnant légitime. 

Enchères scellées en chaîne, démontrées par une nouvelle implémentation open source

Les plates-formes qui utilisent des offres hors chaîne (par exemple OpenSea) pourraient facilement mettre en œuvre des enchères scellées, mais elles nécessiteraient de faire confiance à un commissaire-priseur pour (a) ne révéler aucune offre, (b) ne censurer aucune offre et (c) déterminer correctement le résultat de la vente aux enchères. Idéalement, un contrat intelligent serait sans confiance faciliter l'enchère, tout en préservant un certain degré de confidentialité des offres. 

Pour le démontrer, nous avons ouvert une implémentation Solidity d'une enchère scellée surgarantie à github.com/a16z/auction-zoo, en tant qu'enchère Vickrey à un seul article (ERC721) avec des offres libellées en ETH. Nous avons abordé la mise en œuvre en gardant à l'esprit trois exigences pour un contrat intelligent d'enchères scellées : 

1. Intimité: Les valeurs d'enchère doivent rester privées, ce qui signifie que les observateurs ne peuvent pas déduire les valeurs pendant que l'enchère est en cours. Nous autorisons certaines fuites d'informations (par exemple, révéler qu'une offre se situe dans un intervalle important), mais il devrait y avoir un degré raisonnable d'ambiguïté. 
2. Résistance à la censure: Cela peut généralement être accompli en publiant des offres sur la chaîne.
3. Engagement d'offre : Un acheteur potentiel ne devrait pas pouvoir revenir sur son offre. L'enchérisseur gagnant doit être contraint de payer le prix fixé, et de même, le vendeur doit être contraint de vendre l'article au plus offrant (éventuellement soumis à un prix de réserve).

Nous devons d'abord résoudre le problème de l'affichage Privé enchères en chaîne, conformément aux deux premières exigences. Un schéma d'engagement-révélation se prête à des offres «éventuellement publiques» (lorsque les valeurs des offres sont révélées après la fin de l'enchère). Au lieu d'enchérir ouvertement, les acheteurs potentiels peuvent fournir un engagement de hachage de leur offre au contrat d'enchères pendant la période d'enchères désignée. Plus tard, après la fin de la période d'enchères, chaque acheteur potentiel révèle l'enchère à laquelle il s'est engagé. Lorsque les offres sont révélées, le contrat intelligent peut déterminer le gagnant. Dans notre implémentation, les engagements de hachage sont calculés comme keccak256(abi.encode(nonce, bidValue)) et passé au commitBid fonction. Pour l'efficacité du gaz, nous ne stockons que les 20 octets supérieurs de ce hachage. Une fois la période d'enchères terminée, les utilisateurs appellent le revealBid et le contrat chèques que le fourni nonce ainsi que le bidValue correspondre à l'engagement stocké.

Nous découvrons un peu plus de complexité lorsque nous passons à la troisième exigence. Pour s'assurer que les gagnants paient, le contrat intelligent doit verrouiller les offres. Nous pourrions exiger que les soumissionnaires envoient des ETH pour garantir leurs offres avec chaque engagement - notez que le commitBid la fonction est payante et Articles combien d'ETH l'utilisateur a verrouillé - mais l'ETH attaché à ces transactions est public et impossible à obscurcir ; en « bloquant » les offres, nous perdons la confidentialité.

Heureusement, il existe un moyen simple de soutenir notre homme de paille : permettre (et encourager) les enchérisseurs à surdimensionner leurs offres, c'est-à-dire verrouiller plus d'ETH que leur valeur d'offre elle-même ne l'exige. Les offres étant potentiellement surdimensionnées, un observateur ne peut connaître qu'une limite supérieure de la valeur d'une offre. Notez que notre commitBid fonction permet à l'utilisateur de verrouiller tous montant d'ETH avec leur transaction; tout excédent obtient revenu au gagnant à la fin de l'enchère (et une enchère sera ignoré si c'est sousgarantie).

Malheureusement, cette solution rapide a un inconvénient : le surdimensionnement crée un compromis direct entre la confidentialité et l'efficacité du capital. Le coût d'opportunité de l'immobilisation d'une grande quantité de capital peut l'emporter sur la confidentialité marginale, et les soumissionnaires limités en capital sont désavantagés. 

Cela dit, la conception surdimensionnée sert de base de référence utile alors que nous continuons à explorer différentes approches. Une évolution de cette mise en œuvre pourrait être particulièrement utile dans les contextes où un utilisateur peut enchérir dans un grand nombre d'enchères et où la garantie peut être réutilisée pour chacune. Dans ce cas, il serait alors naturel que la garantie soit beaucoup plus importante que l'offre dans une enchère donnée.

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Pouvons-nous trouver des solutions en chaîne encore meilleures ? Bien que le surdimensionnement puisse être approprié pour certains scénarios, le compromis entre l'efficacité du capital et la confidentialité des offres peut présenter aux soumissionnaires une décision difficile : bloquer plus de capital pour une confidentialité renforcée ou sacrifier une partie de la confidentialité pour libérer du capital à utiliser ailleurs. Mais alors que les enchères en chaîne continuent de proliférer et de s'appuyer sur les travaux antérieurs, nous nous attendons à ce que les concepteurs d'enchères aient beaucoup plus de formats et d'implémentations parmi lesquels choisir en fonction des compromis qu'ils sont prêts à faire. 

Dans la prochaine partie de cette série, nous plongeons plus avant dans l'espace de conception et examinons la question : Pouvons-nous garantir une forte confidentialité sans surdimensionnement ? Ce référentiel continuera à servir de référence pratique pour les idées dont nous discutons tout au long de la série et fournira une base pour une exploration encore plus approfondie. Nous espérons que vous suivrez, bifurquerez et expérimenterez d'autres implémentations au fur et à mesure de leur ajout.

Remerciements : Merci à Joe Bonneau, Scott Kominers, Sonal Choksi et Tim Roughgarden pour leurs précieux commentaires sur cet article ; et Noah Citron, Sam Ragsdale et Matt Gleason pour avoir révisé le code. Remerciements particuliers à Stephanie Zinn pour l'édition.

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