Algorithme quantique de Goemans-Williamson avec le test d'Hadamard et les contraintes d'amplitude approximatives

Algorithme quantique de Goemans-Williamson avec le test d'Hadamard et les contraintes d'amplitude approximatives

Horodatage: 12 juillet 2023 8:29

Taylor L.Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2, et Susanne F. Yelin1

1Département de physique, Université Harvard, Cambridge, Massachusetts 02138, États-Unis
2NVIDIA, Santa Clara, Californie 95051, États-Unis
3Département d'informatique + sciences mathématiques (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 États-Unis

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Abstract

Les programmes semi-définis sont des méthodes d'optimisation avec un large éventail d'applications, telles que l'approximation de problèmes combinatoires difficiles. L'un de ces programmes semi-définis est l'algorithme de Goemans-Williamson, une technique populaire de relaxation d'entiers. Nous introduisons un algorithme quantique variationnel pour l'algorithme de Goemans-Williamson qui utilise seulement $n{+}1$ qubits, un nombre constant de préparations de circuits et des valeurs d'attente $text{poly}(n)$ afin de résoudre approximativement des programmes semi-définis avec jusqu'à $N=2^n$ variables et $M sim O(N)$ contraintes. Une optimisation efficace est obtenue en codant la matrice objective comme un unitaire correctement paramétré conditionné sur un qubit auxiliaire, une technique connue sous le nom de test Hadamard. Le test d'Hadamard nous permet d'optimiser la fonction objectif en n'estimant qu'une seule valeur d'attente du qubit auxiliaire, plutôt que d'estimer séparément de manière exponentielle de nombreuses valeurs d'attente. De même, nous illustrons que les contraintes de programmation semi-définies peuvent être efficacement appliquées en mettant en œuvre un deuxième test Hadamard, ainsi qu'en imposant un nombre polynomial de contraintes d'amplitude de corde de Pauli. Nous démontrons l'efficacité de notre protocole en concevant une implémentation quantique efficace de l'algorithme de Goemans-Williamson pour divers problèmes NP-difficiles, y compris MaxCut. Notre méthode dépasse les performances des méthodes classiques analogues sur un sous-ensemble diversifié de problèmes MaxCut bien étudiés de la bibliothèque GSet.

Algorithme quantique de Goemans-Williamson avec le test Hadamard et les contraintes d'amplitude approximatives PlatoBlockchain Data Intelligence. Recherche verticale. Aï.

Image en vedette : Diagramme de HTAAC-QSDP pour l'algorithme de Goemans-Williamson avec $n=3$ qubits non auxiliaires. a) Un problème classique de variables $N$ (ici un problème MaxCut $N$-vertex où $N=8$). La matrice de poids $W$ est utilisée pour générer l'unité $U_W$. b) Le test d'Hadamard est utilisé pour évaluer efficacement la fonction objectif et les contraintes d'équilibrage de population. L'état $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ est préparé avec un circuit quantique variationnel $U_V$. Le $n+1$ième qubit (auxiliaire) est initialisé comme $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Par la suite, le test de Hadamard est effectué : $U_W$ est implémenté comme un unitaire contrôlé conditionné sur le qubit auxiliaire, qui est ensuite mesuré pour calculer $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im}[langle psi|U_W|psi rangle]$ ou $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi range] $. c) Les contraintes d'amplitude $M=2^n$ SDP sont approximativement appliquées avec seulement des contraintes de chaîne $m sim text{poly}(n)$ Pauli. Celles-ci sont calculées en collectant des mesures de Pauli $n$-qubit-$z$ et en utilisant des statistiques marginales pour estimer les valeurs d'attente $m$.

Résumé populaire

Les programmes semi-définis nous permettent d'approximer un large éventail de problèmes difficiles, y compris les problèmes NP-difficiles. L'un de ces programmes semi-définis est l'algorithme de Goemans-Williamson, qui peut résoudre des problèmes difficiles, tels que MaxCut. Nous introduisons un algorithme quantique variationnel pour l'algorithme de Goemans-Williamson qui utilise seulement $n{+}1$ qubits, un nombre constant de préparations de circuits et un nombre polynomial de valeurs d'attente afin de résoudre approximativement des programmes semi-définis avec un nombre exponentiel de variables et de contraintes. Nous encodons le problème dans un circuit quantique (ou unitaire) et le lisons sur un seul qubit auxiliaire, une technique connue sous le nom de test de Hadamard. De même, nous illustrons que les contraintes du problème peuvent être appliquées par 1) un deuxième test de Hadamard et 2) un nombre polynomial de contraintes de chaîne de Pauli. Nous démontrons l'efficacité de notre protocole en concevant une implémentation quantique efficace de l'algorithme de Goemans-Williamson pour divers problèmes NP-difficiles, y compris MaxCut. Notre méthode dépasse les performances des méthodes classiques analogues sur un sous-ensemble diversifié de problèmes MaxCut bien étudiés.

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