Lorsque Daniel Larsen était au collège, il a commencé à concevoir des mots croisés. Il a dû superposer ce passe-temps à ses autres centres d'intérêt : les échecs, la programmation, le piano, le violon. Il s'est qualifié deux fois pour le Scripps National Spelling Bee près de Washington, DC, après avoir remporté sa compétition régionale. "Il se concentre sur quelque chose, et c'est juste bang, bang, bang, jusqu'à ce qu'il réussisse", a déclaré la mère de Larsen, Ayelet Lindenstrauss. Ses premiers mots croisés ont été rejetés par les grands journaux, mais il a persévéré et a finalement fait irruption. À ce jour, il détient le record pour que la plus jeune personne publie un mot croisé dans The New York Times, à 13 ans. "Il est très persistant", a déclaré Lindenstrauss.
Pourtant, l'obsession la plus récente de Larsen était différente, "plus longue et plus intense que la plupart de ses autres projets", a-t-elle déclaré. Pendant plus d'un an et demi, Larsen n'a pas cessé de penser à un certain problème de mathématiques.
Il avait ses racines dans une question plus large, celle que le mathématicien Carl Friedrich Gauss considérait comme l'une des plus importantes en mathématiques : comment distinguer un nombre premier (un nombre qui n'est divisible que par 1 et lui-même) d'un nombre composé. Pendant des centaines d'années, les mathématiciens ont cherché un moyen efficace de le faire. Le problème est également devenu pertinent dans le contexte de la cryptographie moderne, car certains des cryptosystèmes les plus largement utilisés aujourd'hui impliquent de faire de l'arithmétique avec d'énormes nombres premiers.
Il y a plus d'un siècle, dans cette quête d'un test de primalité rapide et puissant, les mathématiciens sont tombés sur un groupe de fauteurs de troubles - des nombres qui trompent les tests en leur faisant croire qu'ils sont premiers, même s'ils ne le sont pas. Ces nombres pseudo-premiers, connus sous le nom de nombres de Carmichael, ont été particulièrement difficiles à appréhender. Ce n'est qu'au milieu des années 1990, par exemple, que les mathématiciens ont prouvé qu'il y en avait une infinité. Être capable d'en dire plus sur la façon dont ils sont répartis le long de la droite numérique a posé un défi encore plus grand.
Puis vint Larsen avec une nouvelle preuve à peu près cela, inspiré par des travaux d'époque récents dans un domaine différent de la théorie des nombres. A l'époque, il n'avait que 17 ans.
L'étincelle
Ayant grandi à Bloomington, Indiana, Larsen a toujours été attiré par les mathématiques. Ses parents, tous deux mathématiciens, l'ont initié, ainsi que sa sœur aînée, au sujet quand ils étaient jeunes. (Elle poursuit actuellement un doctorat en mathématiques.) Lorsque Larsen avait 3 ans, se souvient Lindenstrauss, il a commencé à lui poser des questions philosophiques sur la nature de l'infini. "Je pensais que ce gamin avait un esprit mathématique", a déclaré Lindenstrauss, professeur à l'Université de l'Indiana.
Puis, il y a quelques années - à peu près au moment où il était plongé dans ses projets d'orthographe et de mots croisés - il est tombé sur un documentaire à propos Yitang Zhang, un mathématicien inconnu qui est sorti de l'obscurité en 2013 après prouver un résultat historique qui mettent une borne supérieure sur les écarts entre les nombres premiers consécutifs. Quelque chose a cliqué à Larsen. Il ne pouvait s'empêcher de penser à la théorie des nombres et au problème connexe que Zhang et d'autres mathématiciens espéraient encore résoudre : la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui stipule qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers qui ne diffèrent que de 2.
Après les travaux de Zhang, qui ont montré qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent de moins de 70 millions, d'autres se sont lancés pour abaisser encore cette borne. En quelques mois, les mathématiciens James Maynard ainsi que Terence tao indépendamment prouvé une déclaration encore plus forte sur les écarts entre les nombres premiers. Cet écart s'est depuis réduit à 246.
Larsen voulait comprendre certaines des mathématiques sous-jacentes au travail de Maynard et Tao, "mais c'était pratiquement impossible pour moi", a-t-il déclaré. Leurs papiers étaient beaucoup trop compliqués. Larsen a essayé de lire le travail connexe, seulement pour le trouver également impénétrable. Il a continué, sautant d'un résultat à l'autre, jusqu'à ce que finalement, en février 2021, il tombe sur un article qu'il trouvait à la fois beau et compréhensible. Son sujet : les nombres de Carmichael, ces étranges nombres composés qui pouvaient parfois se faire passer pour premiers.
Tout sauf Prime
Au milieu du XVIIe siècle, le mathématicien français Pierre de Fermat écrivit une lettre à son ami et confident Frénicle de Bessy, dans laquelle il énonçait ce que l'on appellerait plus tard son « petit théorème ». Si N est un nombre premier, alors bN - b est toujours un multiple de N, peu importe ce que b est. Par exemple, 7 est un nombre premier, et par conséquent, 27 – 2 (qui vaut 126) est un multiple de 7. De même, 37 – 3 est un multiple de 7, et ainsi de suite.
Les mathématiciens ont vu le potentiel d'un test parfait pour savoir si un nombre donné est premier ou composé. Ils savaient que si N est premier, bN - b est toujours un multiple de N. Et si l'inverse était aussi vrai ? C'est-à-dire si bN - b est un multiple de N pour toutes les valeurs de b, doit N être premier ?
Hélas, il s'est avéré que dans de très rares cas, N peut satisfaire cette condition tout en restant composite. Le plus petit de ces nombres est 561 : Pour tout entier b, b561 - b est toujours un multiple de 561, même si 561 n'est pas premier. Des nombres comme ceux-ci ont été nommés d'après le mathématicien Robert Carmichael, à qui l'on attribue souvent la publication du premier exemple en 1910 (bien que le mathématicien tchèque Václav Šimerka ait découvert indépendamment des exemples en 1885).
Les mathématiciens ont voulu mieux comprendre ces nombres qui ressemblent si étroitement aux objets les plus fondamentaux de la théorie des nombres, les nombres premiers. Il s'est avéré qu'en 1899 - une décennie avant le résultat de Carmichael - un autre mathématicien, Alwin Korselt, avait proposé une définition équivalente. Il n'avait tout simplement pas su s'il y avait des chiffres qui correspondaient à la facture.
Selon le critère de Korselt, un nombre N est un nombre de Carmichael si et seulement s'il satisfait trois propriétés. Premièrement, il doit avoir plus d'un facteur premier. Deuxièmement, aucun facteur premier ne peut se répéter. Et troisièmement, pour chaque nombre premier p qui divise N, p – 1 divise aussi N – 1. Considérons à nouveau le nombre 561. Il est égal à 3 × 11 × 17, il satisfait donc clairement les deux premières propriétés de la liste de Korselt. Pour montrer la dernière propriété, soustrayez 1 de chaque facteur premier pour obtenir 2, 10 et 16. De plus, soustrayez 1 de 561. Les trois plus petits nombres sont des diviseurs de 560. Le nombre 561 est donc un nombre de Carmichael.
Bien que les mathématiciens soupçonnent qu'il existe une infinité de nombres de Carmichael, il y en a relativement peu par rapport aux nombres premiers, ce qui les rend difficiles à cerner. Puis en 1994, Red Alford, André Granville ainsi que Carl Pomerance publié une percée papier dans lequel ils ont finalement prouvé qu'il existe en effet une infinité de ces pseudopremiers.
Malheureusement, les techniques qu'ils ont développées ne leur ont pas permis de dire à quoi ressemblaient ces chiffres de Carmichael. Sont-ils apparus en grappes le long de la droite numérique, avec de grands écarts entre les deux ? Ou pourriez-vous toujours trouver un numéro Carmichael dans un court intervalle ? "On pourrait penser que si vous pouvez prouver qu'il y en a une infinité", a déclaré Granville, "vous devriez sûrement être en mesure de prouver qu'il n'y a pas de grands écarts entre eux, qu'ils devraient être relativement bien espacés."
En particulier, lui et ses co-auteurs espéraient prouver une déclaration qui reflétait cette idée - qu'étant donné un nombre suffisamment grand X, il y aura toujours un nombre de Carmichael entre X 2X. "C'est une autre façon d'exprimer à quel point ils sont omniprésents", a déclaré Jon Grantham, mathématicien à l'Institute for Defense Analyzes qui a effectué des travaux connexes.
Mais pendant des décennies, personne n'a pu le prouver. Les techniques développées par Alford, Granville et Pomerance "nous ont permis de montrer qu'il y aurait beaucoup de numéros de Carmichael", a déclaré Pomerance, "mais ne nous ont pas vraiment permis d'avoir beaucoup de contrôle sur l'endroit où ils seraient. ”
Puis, en novembre 2021, Granville a ouvert un e-mail de Larsen, alors âgé de 17 ans et en dernière année de lycée. UN papier était attaché - et à la surprise de Granville, cela semblait correct. "Ce n'était pas la lecture la plus facile de tous les temps", a-t-il déclaré. "Mais quand je l'ai lu, il était clair qu'il ne plaisantait pas. Il avait des idées brillantes.
Pomerance, qui a lu une version ultérieure de l'œuvre, a accepté. "Sa preuve est vraiment assez avancée", a-t-il déclaré. "Ce serait un article que n'importe quel mathématicien serait vraiment fier d'avoir écrit. Et voici un lycéen qui l'écrit.
La clé de la preuve de Larsen était le travail qui l'avait attiré vers les nombres de Carmichael en premier lieu : les résultats de Maynard et Tao sur les écarts principaux.
Improbable - Pas impossible
Lorsque Larsen a commencé à montrer que vous pouvez toujours trouver un numéro de Carmichael dans un court intervalle, "il semblait que c'était si évidemment vrai, à quel point cela peut-il être difficile à prouver?" il a dit. Il s'est vite rendu compte que cela pouvait être très difficile en effet. "C'est un problème qui teste la technologie de notre époque", a-t-il déclaré.
Dans leur article de 1994, Alford, Granville et Pomerance avaient montré comment créer une infinité de nombres de Carmichael. Mais ils n'avaient pas été en mesure de contrôler la taille des nombres premiers qu'ils utilisaient pour les construire. C'est ce que Larsen aurait besoin de faire pour construire des nombres de Carmichael relativement proches. La difficulté du problème inquiète son père, Michael Larsen. "Je ne pensais pas que c'était impossible, mais je pensais qu'il était peu probable qu'il réussisse", a-t-il déclaré. "J'ai vu combien de temps il y passait … et j'ai senti que ce serait dévastateur pour lui de se donner autant de lui-même et de ne pas l'obtenir."
Pourtant, il savait qu'il ne fallait pas essayer de dissuader son fils. "Quand Daniel s'engage dans quelque chose qui l'intéresse vraiment, il s'y tient à travers vents et marées", a-t-il déclaré.
Larsen est donc revenu aux articles de Maynard - en particulier, pour montrer que si vous prenez certaines séquences de nombres suffisants, un sous-ensemble de ces nombres doit être premier. Larsen a modifié les techniques de Maynard pour les combiner avec les méthodes utilisées par Alford, Granville et Pomerance. Cela lui a permis de s'assurer que les nombres premiers avec lesquels il se retrouvait varieraient en taille - suffisamment pour produire des nombres de Carmichael qui tomberaient dans les intervalles qu'il voulait.
"Il a plus de contrôle sur les choses que nous n'en avons jamais eu", a déclaré Granville. Et il y est parvenu grâce à une utilisation particulièrement intelligente de l'œuvre de Maynard. "Ce n'est pas facile... d'utiliser ces progrès sur de courts écarts entre les nombres premiers", a déclaré Kaisa Matomaki, mathématicien à l'Université de Turku en Finlande. "C'est plutôt bien qu'il puisse combiner cela avec cette question sur les chiffres de Carmichael."
En fait, l'argument de Larsen ne lui a pas seulement permis de montrer qu'un nombre de Carmichael doit toujours figurer entre X 2X. Sa preuve fonctionne également pour des intervalles beaucoup plus petits. Les mathématiciens espèrent maintenant que cela aidera également à révéler d'autres aspects du comportement de ces nombres étranges. "C'est une autre idée", a déclaré Thomas Wright, mathématicien du Wofford College en Caroline du Sud qui travaille sur les nombres pseudo-premiers. "Cela change beaucoup de choses sur la façon dont nous pourrions prouver des choses sur les chiffres de Carmichael."
Grantham a accepté. "Maintenant, vous pouvez faire des choses auxquelles vous n'aviez jamais pensé", a-t-il déclaré.
Larsen, quant à lui, vient de commencer sa première année au Massachusetts Institute of Technology. Il ne sait pas sur quel problème il pourrait travailler ensuite, mais il a hâte d'apprendre ce qui se passe. « Je ne fais que suivre des cours… et j'essaie d'être ouvert d'esprit », a-t-il déclaré.
"Il a fait tout cela sans études de premier cycle", a déclaré Grantham. "Je ne peux qu'imaginer ce qu'il va inventer à l'école doctorale."
