Quelques minutes après le début d'une conférence en 2018 à l'Université du Michigan, Ian Tabasco Il ramassa un grand morceau de papier et le froissa en une boule de chaos apparemment désordonnée. Il l'a présenté au public, l'a pressé pour faire bonne mesure, puis l'a étalé à nouveau.
"J'obtiens une masse sauvage de plis qui émergent, et c'est le casse-tête", a-t-il déclaré. « Qu'est-ce qui sélectionne ce modèle parmi un autre modèle plus ordonné ? »
Il a ensuite brandi un deuxième grand morceau de papier – celui-ci pré-plié en un célèbre motif d'origami de parallélogrammes connu sous le nom de Miura-ori – et l'a aplati. La force qu’il a utilisée sur chaque feuille de papier était à peu près la même, a-t-il déclaré, mais les résultats n’auraient pas pu être plus différents. Le Miura-ori était soigneusement divisé en régions géométriques ; la balle froissée n’était qu’un désordre de lignes irrégulières.
"On a l'impression que ceci", dit-il en désignant la disposition dispersée des plis sur la feuille froissée, "n'est qu'une version aléatoire et désordonnée de ceci". Il désigna Miura-ori, soignée et ordonnée. "Mais nous n'avons pas encore déterminé si c'est vrai ou non."
Établir ce lien ne nécessiterait rien de moins que d’établir des règles mathématiques universelles de modèles élastiques. Tobasco travaille sur ce sujet depuis des années, étudiant des équations décrivant des matériaux élastiques minces – des matériaux qui répondent à une déformation en essayant de reprendre leur forme originale. Enfoncez un ballon assez fort et un motif en étoile de rides radiales se formera ; retirez votre doigt et ils se lisseront à nouveau. Pressez une boule de papier froissée et elle se dilatera lorsque vous la relâcherez (même si elle ne se défrisera pas complètement). Les ingénieurs et les physiciens ont étudié comment ces modèles apparaissent dans certaines circonstances, mais pour un mathématicien, ces résultats pratiques suggèrent une question plus fondamentale : est-il possible de comprendre, en général, ce qui sélectionne un modèle plutôt qu'un autre ?
En janvier 2021, Tobasco a publié un document qui a répondu à cette question par l'affirmative - du moins dans le cas d'une feuille lisse, incurvée et élastique pressée pour devenir plane (une situation qui offre un moyen clair d'explorer la question). Ses équations prédisent comment des rides apparemment aléatoires contiennent des domaines « ordonnés », qui présentent un motif répétitif et identifiable. Et il a co-écrit un article publié le mois dernier qui présente une nouvelle théorie physique, fondée sur des mathématiques rigoureuses, capable de prédire des modèles dans des scénarios réalistes.
Les travaux de Tobasco suggèrent notamment que les rides, sous leurs nombreuses formes, peuvent être considérées comme la solution à un problème géométrique. "C'est une belle pièce d'analyse mathématique", a déclaré Stefan Müller du Centre Hausdorff de mathématiques de l’Université de Bonn en Allemagne.
Il expose avec élégance, pour la première fois, les règles mathématiques – et une nouvelle compréhension – derrière ce phénomène commun. "Le rôle des mathématiques ici n'était pas de prouver une conjecture que les physiciens avaient déjà formulée", a déclaré Robert Kohn, mathématicien au Courant Institute de l’Université de New York et conseiller des études supérieures de Tobasco, « mais plutôt pour fournir une théorie là où il n’y avait auparavant aucune compréhension systématique ».
S'étirer
L’objectif de développer une théorie des rides et des motifs élastiques est ancien. En 1894, dans une revue de Nature, le mathématicien George Greenhill a souligné la différence entre les théoriciens (« Que devons-nous penser ? ») et les applications utiles qu'ils pourraient imaginer (« Que devons-nous faire ? »).
Aux XIXe et XXe siècles, les scientifiques ont largement progressé dans ce domaine, en étudiant les problèmes de rides sur des objets spécifiques en cours de déformation. Les premiers exemples incluent le problème de la forge de plaques métalliques lisses et incurvées pour les navires de mer et la tentative de relier la formation des montagnes au réchauffement de la croûte terrestre.
Plus récemment, les mathématiciens et les physiciens ont étendu leurs efforts pour relier la théorie et l'observation à un large éventail de situations de rides, de géométries et de matériaux. "Cela dure depuis environ 10 ans, où nous faisons d'abord des expériences et essayons ensuite de trouver la théorie pour les comprendre", a déclaré le mathématicien. Dominique Vella de l'Université d'Oxford. « Ce n’est que récemment que nous avons commencé à avoir une bonne compréhension. »
Il y a eu des étapes passionnantes. En 2015, Pedro Reis, ingénieur en mécanique au Massachusetts Institute of Technology, décrit les lois physiques pour les motifs géométriques qui se forment sur des boules de silicium dégonflées. Son travail reliait ces rides à l’épaisseur des couches intérieures et extérieures du matériau élastique. Reis a également noté que les rides, au lieu d'être considérées comme des défauts, pourraient offrir des opportunités de conception de nouveaux comportements mécaniques. Puis en 2017, Vella a dirigé l'analyse des instabilités de rides d'un film élastique mince sous pression, caractérisant la façon dont le nombre de rides change en fonction de la profondeur de la poussée initiale et d'autres détails spécifiques.
Mais ces développements n’ont résolu qu’une partie du problème. Pour une compréhension mathématique plus générale de la formation des rides, une approche différente était nécessaire. Ce serait Tobasco qui ferait avancer les choses.
Suivre la curiosité
Quand il était plus jeune, Tobasco pensait se lancer dans l’ingénierie aérospatiale. Il est diplômé de l’Université du Michigan en 2011 avec une licence dans ce domaine, mais à ce moment-là, il était déjà amené à réfléchir en profondeur au raisonnement mathématique et aux systèmes physiques. Il a obtenu un doctorat en mathématiques, mais il reproche à Joey Paulsen, aujourd'hui physicien à l'Université de Syracuse, de l'avoir mis sur la voie spécifique des rides.
Plus tôt dans la carrière de Paulsen, alors qu’il étudiait les propriétés de matériaux inhabituels, il a appris à fabriquer et à analyser des films polymères ultra-fins à l’aide d’une technique appelée revêtement par rotation. Il créerait d’abord un matériau liquide spécial contenant des traces de polymère dissous ; puis il plaçait le matériau sur une assiette tournante. La majeure partie du liquide s'évaporerait, tandis que le polymère s'étendrait sur une épaisseur uniforme avant de se solidifier. Une fois qu'il a eu son propre laboratoire à Syracuse, Paulsen a appris à adapter le revêtement par rotation pour créer des films incurvés, comme des carapaces de tortue ultra-minces.
Un jour, il a placé certains de ces films incurvés au-dessus de l'eau calme et a photographié comment ils se déposaient à la surface. "C'était purement motivé par la curiosité", a-t-il déclaré. Les photos ont attiré l’attention de Tobasco lors d’une réunion informelle avec Paulsen en 2017.
"Ils ont montré qu'il était possible d'obtenir des motifs de rides désordonnés et aléatoires. Lorsque vous faisiez l'expérience deux fois, vous obteniez deux motifs différents", a déclaré Tobasco, qui est maintenant professeur adjoint à l'Université de l'Illinois à Chicago. «Je voulais voir si je pouvais trouver un moyen dérivable [de prédire ces modèles] à partir de l'élasticité, qui incorporait la forme de la coque. Et que le modèle ne changerait pas d’une coque à l’autre.
Les motifs de rides sont des configurations avec le moins d’énergie possible. Autrement dit, lorsque le film mince se dépose sur une surface plane, il se transforme jusqu'à trouver la disposition des rides, désordonnées ou non, qui nécessite le moins d'énergie à maintenir. "Vous pouvez organiser les modèles en fonction de la quantité d'énergie stockée lorsque [le modèle] se manifeste", a déclaré Tobasco.
Guidé par ce principe directeur, il a isolé quelques caractéristiques du film qui se sont révélées être celles qui sélectionnent son motif, notamment une mesure de sa forme appelée courbure gaussienne. Une surface avec une courbure gaussienne positive s'éloigne d'elle-même, comme l'extérieur d'une balle. En revanche, les surfaces incurvées négativement ont la forme d'une selle, comme une puce Pringles : si vous allez dans une direction, vous montez, mais si vous allez dans une direction différente, vous descendez.
Tobasco a découvert que les zones de courbure gaussienne positive produisent un type d'arrangement de domaines ordonnés et désordonnés, et que les zones de courbure négative en produisent d'autres types. "La géométrie détaillée n'est pas si importante", a déclaré Vella. "Cela dépend vraiment du signe de la courbure de Gauss."
Ils soupçonnaient que la courbure gaussienne était importante pour le froissement, mais Vella a déclaré qu'il était surprenant que les domaines dépendent si fortement du signe. De plus, la théorie de Tobasco s’applique également à un large spectre de matériaux élastiques, et pas seulement aux formes de Paulsen. "C'est une belle construction géométrique qui montre où les rides apparaîtront", a déclaré Vella. "Mais comprendre d'où cela vient est vraiment profond et plutôt surprenant."
Paulsen était d'accord. "Ce que fait très bien la théorie de Ian, c'est de vous donner le modèle complet, d'un seul coup."
Les rides réelles
Début 2018, Tobasco avait en grande partie établi sa théorie – mais même si elle fonctionnait sur papier, il ne pouvait pas être sûr qu’elle serait exacte dans le monde réel. Tobasco a contacté Paulsen et lui a demandé s'il serait intéressé à collaborer. "Quelque chose a fonctionné tout de suite", a déclaré Paulsen. « Avec certaines des prédictions de Ian, superposées à des images expérimentales, nous avons pu voir immédiatement qu’elles s’alignaient. »
Cette année-là, lors de la conférence de la Society for Industrial and Applied Mathematics sur les aspects mathématiques de la science des matériaux, Tobasco a été présenté à Eléni Katifori, physicien à l'Université de Pennsylvanie qui explorait le problème des rides dans les coquilles confinées et construisait une base de données de résultats. C'était un moment de hasard. "Nous avons pu voir les domaines [dans les simulations] expliqués par le travail d'Ian", a-t-elle déclaré. Le match était étrange. Dès les premières discussions, il était clair que la théorie de Tobasco, les images expérimentales de Paulsen et les simulations de Katifori décrivaient toutes les mêmes phénomènes. « Même au début, alors que nous n’avions rien de concret, nous pouvions voir le lien. »
Cet enthousiasme précoce a rapidement fait naître le scepticisme. Cela semblait presque trop beau pour être vrai. "C'est un mathématicien et il rend toutes ces choses non dimensionnelles", a déclaré Paulsen, faisant référence à la façon dont les idées de Tobasco sur la courbure pourraient être étendues bien au-delà des matériaux plats bidimensionnels. « Sommes-nous vraiment devant le même système ? Il est d’accord, mais aurait-il dû accepter ?
Au cours des deux années suivantes, les trois chercheurs ont peaufiné les détails, montrant que la théorie de Tobasco prédisait réellement – exactement – la disposition des rides que Paulsen avait vue dans ses expériences et que Katifori avait trouvée dans ses modèles informatiques. Le 25 août, ils ont publié un article dans Physique de la nature montrant comment les trois approches convergent toutes vers le même arrangement géométrique simple des rides. Ils ont notamment découvert que les modèles se répartissent en familles distinctes de triangles isocèles qui délimitent les domaines d’ordre et de désordre. De plus, les résultats ne se limitent pas aux abstractions mathématiques de matériaux incroyablement fins, mais abordent plusieurs ordres de grandeur d’épaisseur.
Leurs travaux suggèrent également des opportunités d’élargir la théorie et ses applications. Katifori a déclaré qu’en tant que physicienne, elle souhaitait exploiter les prédictions pour concevoir de nouveaux matériaux. "Je veux comprendre comment vous pouvez concevoir des surfaces afin qu'elles auto-organisent réellement les motifs de rides en quelque chose que vous voulez."
Une autre question ouverte est de savoir dans quelle mesure la théorie peut être appliquée à différents types de surfaces courbes. "Il est très axé sur les situations dans lesquelles [la courbure gaussienne] est positive ou négative, mais il existe de nombreuses situations dans lesquelles certaines régions sont positives et d'autres négatives", a déclaré Vella.
Paulsen a reconnu qu'il s'agissait d'une possibilité passionnante, et Tobasco a déclaré qu'il travaillait activement dans ce domaine et envisageait d'autres formes de coquilles, telles que celles avec des trous.
Mais Paulsen a déclaré que la théorie, même telle qu’elle existe actuellement, est belle et surprenante. "Si je vous donne une coquille, une forme de frontière et cet ensemble simple de règles prédit par la théorie de Ian, alors vous pouvez prendre un compas et une règle et dessiner les rides", a-t-il déclaré. « Cela n’aurait pas dû se passer de cette façon. Cela aurait pu être totalement horrible.
