1ICFO-Institut de Sciences Fotoniques, Institut des Sciences et Technologies de Barcelone, 08860 Castelldefels, Espagne
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelone, Espagne
3Université Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, France
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcelone, Espagne
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Abstract
Les bases mutuellement non biaisées correspondent à des paires de mesures très utiles en théorie de l'information quantique. Dans la plus petite dimension composite, six, on sait qu'il existe entre trois et sept bases mutuellement impartiales, avec une conjecture vieille de plusieurs décennies, connue sous le nom de conjecture de Zauner, indiquant qu'il en existe au plus trois. Ici, nous abordons numériquement la conjecture de Zauner à travers la construction d'inégalités de Bell pour chaque paire d'entiers $n,d ge 2$ qui peut être violée au maximum dans la dimension $d$ si et seulement si $n$ MUBs existent dans cette dimension. Nous transformons donc la conjecture de Zauner en un problème d'optimisation, que nous abordons au moyen de trois méthodes numériques : l'optimisation en dents de scie, la programmation semi-définie non linéaire et les techniques de Monte Carlo. Les trois méthodes identifient correctement les cas connus en petites dimensions et toutes suggèrent qu'il n'existe pas quatre bases mutuellement impartiales en dimension six, toutes trouvant les mêmes bases qui optimisent numériquement l'inégalité de Bell correspondante. De plus, ces optimiseurs numériques semblent coïncider avec les « quatre bases les plus éloignées » en dimension six, trouvées en optimisant numériquement une mesure de distance dans [P. Raynal, X. Lu, B.-G. Englert, {Phys. Rév. A}, { 83} 062303 (2011)]. Enfin, les résultats de Monte Carlo suggèrent qu'il existe au plus trois MUB en dimension dix.
Image sélectionnée : La différence relative entre la valeur de nos inégalités de Bell en supposant que n MUB existent dans la dimension d et la valeur trouvée par nos méthodes numériques. Les valeurs nulles signifient que les méthodes ont trouvé n MUB dans la dimension d, tandis que les valeurs non nulles signifient que les méthodes n'ont pas trouvé n MUB dans la dimension d. Tous les cas connus (dimensions deux à cinq et dimension six avec deux et trois MUB) sont correctement identifiés par les chiffres. En dimension six, aucune des méthodes ne trouve quatre MUB, et toutes les méthodes convergent vers le même ensemble de quatre bases.
Résumé populaire
Malgré leur large utilisation, il reste encore des questions ouvertes concernant la structure des MUB. Plus important encore, le nombre maximal de mesures non biaisées par paires ("le nombre de MUB") est inconnu si la dimension du système quantique est un nombre composé. En particulier, dans la dimension six, nous savons seulement que le nombre de MUB est compris entre trois et sept. Une conjecture ouverte de longue date est celle de Zauner, déclarant qu'il n'existe pas plus de trois MUB en dimension six. Cette conjecture de plusieurs décennies est étayée par des preuves numériques, mais il n'existe aucune preuve à ce jour.
Dans ce travail nous abordons la conjecture de Zauner à travers la non-localité de Bell. La non-localité de Bell concerne deux expérimentateurs qui ne sont pas autorisés à communiquer, mais qui peuvent partager certaines corrélations sous la forme d'un aléa classique ou d'un état quantique partagé. Il a été montré que le partage des ressources quantiques peut conduire à des données expérimentales qui ne peuvent pas être expliquées par la physique classique (plus précisément, par les modèles dits locaux à variables cachées). C'est ce qu'on appelle le théorème de Bell, et il a été vérifié expérimentalement au cours de la dernière décennie. Témoigner de la non-classicité des données expérimentales se fait le plus souvent via les inégalités dites de Bell, qui sont des fonctions des probabilités de résultat de mesure se produisant dans l'expérience. Les données classiques doivent satisfaire les inégalités de Bell, tandis que les données quantiques peuvent les violer.
Récemment, des inégalités de Bell ont été trouvées qui sont violées au maximum si l'une des parties utilise une paire de mesures MUB d'une dimension donnée. Dans ce travail, nous étendons ces inégalités à de nouvelles, violées au maximum par un nombre sélectionné de mesures MUB dans une dimension donnée. De plus, si la dimension dans l'expérience est fixe, la violation maximale est obtenue si et seulement si les mesures employées correspondent au nombre sélectionné de MUB dans la dimension donnée. Par conséquent, décider si un nombre sélectionné de MUB existe dans une dimension donnée équivaut à trouver la violation maximale de l'inégalité de Bell correspondante dans cette dimension fixe.
Bien que trouver cette violation maximale soit en général un problème difficile, nous utilisons trois méthodes numériques différentes pour tenter de trouver la violation maximale de nos inégalités de Bell dans une dimension fixe. Deux de ces méthodes sont des variantes des techniques de programmation semi-définies, tandis que la troisième est inspirée de la physique statistique et est appelée recuit simulé. Bien que toutes ces méthodes soient heuristiques - c'est-à-dire qu'il n'y a aucune garantie qu'elles trouveront le véritable optimum du problème - on peut évaluer leurs performances en les appliquant à des problèmes d'optimisation dont l'optimum est connu. En particulier, nous constatons que les trois méthodes sont correctement capables d'identifier les mesures MUB dans les cas où elles sont connues. De plus, dans les cas où l'on sait qu'elles n'existent pas, les trois méthodes convergent vers le même ensemble de mesures à précision numérique près. Nous appliquons ensuite nos méthodes au premier cas inconnu, soit quatre MUB en dimension six. Aucune des méthodes n'est capable d'identifier quatre MUB en dimension six, mais encore une fois, elles convergent toutes vers le même ensemble de quatre mesures jusqu'à une précision numérique. De plus, la technique de recuit simulé ne trouve pas quatre MUB dans la dimension composite suivante, la dimension dix. Par conséquent, bien que des affirmations rigoureuses ne puissent être faites en raison de la nature heuristique de nos techniques, nos résultats soutiennent la conjecture de Zauner du nouveau point de vue de la non-localité de Bell.
► Données BibTeX
► Références
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