एक सदी बाद, नया गणित सामान्य सापेक्षता को सुचारू बनाता है | क्वांटा पत्रिका

अल्बर्ट आइंस्टीन का सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत यह बताने में बेहद सफल रहा है कि गुरुत्वाकर्षण कैसे काम करता है और यह ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना को कैसे आकार देता है। इसे भौतिक विज्ञानी जॉन व्हीलर की एक कहावत में संक्षेपित किया गया है: “अंतरिक्ष-समय पदार्थ को बताता है कि कैसे चलना है; पदार्थ अंतरिक्ष-समय को बताता है कि कैसे वक्रित होना है।" फिर भी सामान्य सापेक्षता का गणित भी अत्यंत प्रतिकूल है।

क्योंकि इसके मूल समीकरण इतने जटिल हैं कि सबसे सरल लगने वाले कथनों को भी सिद्ध करना कठिन है। उदाहरण के लिए, 1980 के आसपास तक ऐसा नहीं था कि गणितज्ञों ने सामान्य सापेक्षता में एक प्रमुख प्रमेय के हिस्से के रूप में यह साबित कर दिया था कि एक पृथक भौतिक प्रणाली, या स्थान, जिसमें कोई द्रव्यमान नहीं है, समतल होना चाहिए।

इससे यह प्रश्न अनसुलझा रह गया कि यदि कोई स्थान लगभग निर्वात हो, जिसमें थोड़ी मात्रा में द्रव्यमान हो तो वह कैसा दिखेगा। क्या यह आवश्यक रूप से लगभग सपाट है?

हालांकि यह स्पष्ट लग सकता है कि छोटे द्रव्यमान से छोटी वक्रता आएगी, लेकिन जब सामान्य सापेक्षता की बात आती है तो चीजें इतनी कटी और सूखी नहीं होती हैं। सिद्धांत के अनुसार, पदार्थ की घनी सांद्रता अंतरिक्ष के एक हिस्से को "विकृत" कर सकती है, जिससे यह अत्यधिक घुमावदार हो जाता है। कुछ मामलों में, यह वक्रता अत्यधिक हो सकती है, जिससे संभवतः ब्लैक होल का निर्माण हो सकता है। यह उस स्थान में भी हो सकता है जहां थोड़ी मात्रा में पदार्थ हो, यदि यह पर्याप्त रूप से सघन रूप से केंद्रित हो।

हाल के दिनों में काग़ज़, कॉन्घन डोंग, स्टोनी ब्रुक विश्वविद्यालय में स्नातक छात्र, और एंटोनी गीतकैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के एक सहायक प्रोफेसर ने साबित किया कि कम और कम मात्रा में द्रव्यमान वाले घुमावदार स्थानों का एक क्रम अंततः शून्य वक्रता वाले एक समतल स्थान में परिवर्तित हो जाएगा।

यह परिणाम सामान्य सापेक्षता के गणितीय अन्वेषण में एक उल्लेखनीय प्रगति है - एक ऐसी खोज जो आइंस्टीन द्वारा अपना सिद्धांत तैयार करने के एक शताब्दी से भी अधिक समय बाद भी लाभ दे रही है। डैन लीक्वींस कॉलेज के एक गणितज्ञ, जो सामान्य सापेक्षता के गणित का अध्ययन करते हैं, लेकिन इस शोध में शामिल नहीं थे, ने कहा कि डोंग और सॉन्ग का प्रमाण इस बात की गहरी समझ को दर्शाता है कि वक्रता और द्रव्यमान कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।

उन्होंने क्या साबित किया

डोंग और सॉन्ग का प्रमाण त्रि-आयामी स्थानों से संबंधित है, लेकिन पहले चित्रण के लिए दो-आयामी उदाहरण पर विचार करें। कागज की एक साधारण, चिकनी शीट के रूप में बिना किसी द्रव्यमान वाले समतल स्थान का चित्र बनाएं। इस उदाहरण में, छोटे द्रव्यमान वाला स्थान दूर से समान दिख सकता है - जिसका अर्थ है, अधिकतर समतल। हालाँकि, बारीकी से निरीक्षण करने पर यहां-वहां उभरते हुए कुछ तेज स्पाइक्स या बुलबुले दिखाई दे सकते हैं - जो पदार्थ के एकत्रीकरण के परिणाम हैं। ये यादृच्छिक आउटक्रॉपिंग कागज को एक अच्छी तरह से रखे गए लॉन जैसा बना देंगे, जिसमें कभी-कभी मशरूम या डंठल सतह से चिपके रहेंगे।

डोंग और सॉन्ग ने साबित कर दिया अनुमान जिसे 2001 में गणितज्ञों द्वारा तैयार किया गया था गेरहार्ड हुइस्केन और टॉम इलमानेन. अनुमान में कहा गया है कि जैसे-जैसे किसी स्थान का द्रव्यमान शून्य के करीब पहुंचता है, वैसे-वैसे उसकी वक्रता भी शून्य होनी चाहिए। हालाँकि, हुइस्केन और इलमैनन ने माना कि यह परिदृश्य बुलबुले और स्पाइक्स (जो गणितीय रूप से एक दूसरे से अलग हैं) की उपस्थिति से जटिल है। उन्होंने परिकल्पना की कि बुलबुले और स्पाइक्स को इस तरह से काटा जा सकता है कि प्रत्येक छांटने से अंतरिक्ष की सतह पर छोड़ा गया सीमा क्षेत्र छोटा हो। उन्होंने सुझाव दिया, लेकिन यह साबित नहीं कर सके कि इन परेशान करने वाले उपांगों को हटा दिए जाने के बाद जो जगह बचेगी वह समतल के करीब होगी। वे यह भी निश्चित नहीं थे कि ऐसी कटौती कैसे की जानी चाहिए।

ली ने कहा, "ये प्रश्न कठिन थे, और मैं हुइस्केन-इलमैनन अनुमान का समाधान देखने की उम्मीद नहीं कर रहा था।"

अनुमान के केंद्र में वक्रता का माप है। अंतरिक्ष अलग-अलग तरीकों से, अलग-अलग मात्रा में और अलग-अलग दिशाओं में वक्रित हो सकता है - एक काठी की तरह (दो आयामों में) जो आगे और पीछे की ओर मुड़ता है, लेकिन बाईं और दाईं ओर नीचे की ओर मुड़ता है। डॉन्ग और सॉन्ग उन विवरणों को नजरअंदाज करते हैं। वे अदिश वक्रता नामक एक अवधारणा का उपयोग करते हैं, जो वक्रता को एक एकल संख्या के रूप में दर्शाता है जो सभी दिशाओं में पूर्ण वक्रता का सारांश देता है।

डोंग और सॉन्ग का नया काम, कहा डैनियल स्टर्न कॉर्नेल यूनिवर्सिटी का, "हमारे अब तक के सबसे मजबूत परिणामों में से एक है जो हमें दिखाता है कि स्केलर वक्रता समग्र रूप से अंतरिक्ष की ज्यामिति को कैसे नियंत्रित करती है"। उनका पेपर दर्शाता है कि "यदि हमारे पास गैर-नकारात्मक अदिश वक्रता और छोटा द्रव्यमान है, तो हम अंतरिक्ष की संरचना को बहुत अच्छी तरह से समझते हैं।"

सबूत

हुइस्केन-इलमैनन अनुमान लगातार घटते द्रव्यमान वाले स्थानों की ज्यामिति से संबंधित है। यह यह बताने के लिए एक विशिष्ट विधि निर्धारित करता है कि छोटे द्रव्यमान वाला स्थान समतल स्थान के कितना करीब है। उस माप को ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ़ दूरी कहा जाता है, जिसका नाम गणितज्ञों के नाम पर रखा गया है माइकल ग्रोमोव और फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़. ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ़ दूरी की गणना दो चरणों वाली प्रक्रिया है।

पहला कदम हॉसडॉर्फ दूरी ज्ञात करना है। मान लीजिए कि आपके पास दो वृत्त हैं, ए और बी। ए पर किसी भी बिंदु से शुरू करें और पता लगाएं कि यह बी पर निकटतम बिंदु से कितनी दूर है।

ए पर प्रत्येक बिंदु के लिए इसे दोहराएं। आपको जो सबसे बड़ी दूरी मिलती है वह वृत्तों के बीच हॉसडॉर्फ दूरी है।

एक बार जब आपके पास हॉसडॉर्फ़ दूरी हो, तो आप ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ़ दूरी की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, अपनी वस्तुओं को एक बड़े स्थान पर रखें ताकि उनके बीच हॉसडॉर्फ की दूरी कम से कम हो। दो समान वृत्तों के मामले में, चूँकि आप उन्हें वस्तुतः एक-दूसरे के ऊपर रख सकते हैं, उनके बीच ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ की दूरी शून्य है। इस तरह की ज्यामितीय रूप से समान वस्तुओं को "आइसोमेट्रिक" कहा जाता है।

बेशक, दूरी मापना अधिक कठिन होता है, जब तुलना की जा रही वस्तुएं या स्थान एक जैसे हों लेकिन समान न हों। ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी दो वस्तुओं के आकार के बीच समानता (या अंतर) का एक सटीक माप प्रदान करती है जो शुरू में अलग-अलग स्थानों पर स्थित होती हैं। स्टर्न ने कहा, "ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ़ दूरी यह कहने के सर्वोत्तम तरीकों में से एक है कि दो स्थान लगभग सममितीय हैं, और यह 'लगभग' को एक संख्या देता है।"

इससे पहले कि डोंग और सॉन्ग एक छोटे द्रव्यमान वाले स्थान और बिल्कुल सपाट स्थान के बीच तुलना कर सकें, उन्हें खतरनाक उभारों को काटना पड़ा - संकीर्ण स्पाइक्स जहां पदार्थ कसकर पैक किया जाता है और यहां तक ​​​​कि घने बुलबुले जो छोटे ब्लैक होल को आश्रय दे सकते हैं। "हमने उन्हें काटा ताकि सीमा क्षेत्र [जहां टुकड़ा बनाया गया था] छोटा हो," सॉन्ग ने कहा, "और हमने दिखाया कि जैसे-जैसे द्रव्यमान कम होता जाता है, क्षेत्र छोटा होता जाता है।"

हालाँकि यह युक्ति एक धोखा की तरह लग सकती है, स्टर्न ने कहा कि बुलबुले और स्पाइक्स को काटकर एक प्रकार का पूर्व-प्रसंस्करण करने के अनुमान को साबित करने की अनुमति है, जिसका क्षेत्र द्रव्यमान घटने के साथ शून्य हो जाता है।

छोटे द्रव्यमान वाले स्थान के लिए एक प्रॉक्सी के रूप में, उन्होंने सुझाव दिया, हम कागज की एक मुड़ी हुई शीट की कल्पना कर सकते हैं, जिसे फिर से चिकना करने के बाद, अभी भी तेज सिलवटें और सिलवटें हैं। आप सबसे प्रमुख अनियमितताओं को दूर करने के लिए एक छेद पंच का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें कुछ छेद के साथ कागज का थोड़ा असमान टुकड़ा छोड़ दिया जा सकता है। जैसे-जैसे उन छिद्रों का आकार सिकुड़ता जाएगा, वैसे-वैसे कागज के क्षेत्र की असमानता भी कम होती जाएगी। सीमा पर, आप कह सकते हैं, छेद शून्य हो जाएंगे, टीले और लकीरें गायब हो जाएंगी, और आपके पास कागज का एक समान रूप से चिकना टुकड़ा रह जाएगा - समतल स्थान के लिए एक वास्तविक स्टैंड-इन।

डॉन्ग और सॉन्ग यही साबित करना चाहते थे। अगला कदम यह देखना था कि कैसे ये खाली स्थान - अपनी खुरदरी विशेषताओं से रहित - पूरी तरह से समतलता के मानक के विपरीत खड़े हो गए। उन्होंने जो रणनीति अपनाई उसमें एक विशेष प्रकार के मानचित्र का उपयोग किया गया, जो एक स्थान के बिंदुओं को दूसरे स्थान के बिंदुओं के साथ जोड़कर दो स्थानों की तुलना करने का एक तरीका है। उनके द्वारा उपयोग किया गया मानचित्र एक में विकसित किया गया था काग़ज़ स्टर्न और तीन सहयोगियों - ह्यूबर्ट ब्रे, डेमेट्रे कज़ारस और मार्कस खुरी द्वारा लिखित। यह प्रक्रिया सटीक रूप से बता सकती है कि दो स्थान कितने करीब हैं।

अपने कार्य को सरल बनाने के लिए, डोंग और सॉन्ग ने स्टर्न और उनके सह-लेखकों से एक और गणितीय तरकीब अपनाई, जिससे पता चला कि एक त्रि-आयामी स्थान को अनंत रूप से कई दो-आयामी स्लाइसों में विभाजित किया जा सकता है, जिन्हें लेवल सेट कहा जाता है, जितना कि एक कठोर उबले अंडे को। अंडा स्लाइसर के तने हुए तारों द्वारा संकीर्ण शीटों में विभाजित किया जा सकता है।

लेवल सेट में शामिल त्रि-आयामी स्थान की वक्रता विरासत में मिलती है। बड़े त्रि-आयामी स्थान के बजाय स्तर सेट पर अपना ध्यान केंद्रित करके, डोंग और सॉन्ग समस्या की आयामीता को तीन से घटाकर दो करने में सक्षम थे। सॉन्ग ने कहा, यह बहुत फायदेमंद है, क्योंकि "हम द्वि-आयामी वस्तुओं के बारे में बहुत कुछ जानते हैं... और हमारे पास उनका अध्ययन करने के लिए बहुत सारे उपकरण हैं।"

यदि वे सफलतापूर्वक दिखा सकें कि प्रत्येक स्तर का सेट "एक प्रकार का सपाट" है, तो इससे उन्हें यह दिखाने का अपना समग्र लक्ष्य प्राप्त करने में मदद मिलेगी कि कम द्रव्यमान वाला त्रि-आयामी स्थान सपाट के करीब है। सौभाग्य से, यह रणनीति सफल रही।

अगला चरण

आगे देखते हुए, सॉन्ग ने कहा कि क्षेत्र की अगली चुनौतियों में से एक है बुलबुले और स्पाइक्स से छुटकारा पाने के लिए एक सटीक प्रक्रिया बनाकर सबूत को और अधिक स्पष्ट बनाना और कटे हुए क्षेत्रों का बेहतर वर्णन करना। लेकिन अभी के लिए, उन्होंने स्वीकार किया, "हमारे पास इसे हासिल करने के लिए कोई स्पष्ट रणनीति नहीं है।"

 सॉन्ग ने कहा, एक और आशाजनक रास्ता तलाशना होगा अलग अनुमान इसे 2011 में ली और द्वारा तैयार किया गया था क्रिस्टीना सोरमानी, सिटी यूनिवर्सिटी ऑफ़ न्यूयॉर्क में गणितज्ञ। ली-सोरमानी अनुमान हुइस्केन और इलमानेन द्वारा उठाए गए प्रश्न के समान प्रश्न पूछता है, लेकिन यह आकृतियों के बीच अंतर को मापने के एक अलग तरीके पर निर्भर करता है। दो आकृतियों के बीच अधिकतम दूरी पर विचार करने के बजाय, जैसा कि ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी करती है, ली-सोरमानी दृष्टिकोण किस बारे में पूछता है अंतरिक्ष का आयतन उन दोनों के बीच। वह आयतन जितना छोटा होगा, वे उतने ही करीब होंगे।

इस बीच, सॉन्ग को अदिश वक्रता के बारे में बुनियादी सवालों पर गौर करने की उम्मीद है जो भौतिकी से प्रेरित नहीं हैं। "सामान्य सापेक्षता में," उन्होंने कहा, "हम बहुत विशेष स्थानों से निपटते हैं जो अनंत पर लगभग सपाट हैं, लेकिन ज्यामिति में हम सभी प्रकार के स्थानों की परवाह करते हैं।"

स्टर्न ने कहा, "उम्मीद है कि ये तकनीकें सामान्य सापेक्षता से असंबंधित अन्य सेटिंग्स में भी उपयोगी हो सकती हैं।" उन्होंने कहा, ''संबंधित समस्याओं का एक बड़ा परिवार है, जिसका पता लगाया जाना बाकी है।''

क्वांटा अपने दर्शकों को बेहतर सेवा देने के लिए सर्वेक्षणों की एक श्रृंखला आयोजित कर रहा है। हमारा ले गणित पाठक सर्वेक्षण और आपको निःशुल्क जीतने के लिए प्रवेश दिया जाएगा क्वांटा merch।