एक गणितज्ञ बीजगणित और ज्यामिति के बीच नृत्य करता है

उन बहुत से लोगों की तरह जो आगे जाकर गणितज्ञ बनेंगे, वी हो गणित प्रतियोगिताओं में भाग लेते हुए बड़ा हुआ। आठवीं कक्षा में, उसने विस्कॉन्सिन में मैथकाउंट्स राज्य प्रतियोगिता जीती, और उसकी टीम ने राष्ट्रीय स्तर पर तीसरा स्थान हासिल किया।

कई भविष्य के गणितज्ञों के विपरीत, वह निश्चित नहीं थी कि वह कभी एक बनना चाहती थी।

"मैं हर समय सब कुछ करना चाहता था," हो ने कहा। "मैंने हाई स्कूल की शुरुआत तक बैले को बहुत गंभीरता से लिया। मैंने साहित्यिक पत्रिका का संपादन किया। मैंने बहस और फोरेंसिक किया। मैंने टेनिस और फ़ुटबॉल और पियानो और वायलिन बजाया। इसके विपरीत, कई सफल गणितज्ञ अन्य सभी चीजों को छोड़कर गणित के प्रति आसक्त दिखाई दिए। वह, कई जुनून वाली व्यक्ति, उस स्तर के फोकस के साथ कैसे प्रतिस्पर्धा कर सकती है?

अंतत: हो को गणित की कठोरता की ओर आकर्षित किया गया। वह अभी भी बैले का आनंद लेती है, उपन्यास पढ़ती है और गूढ़ वर्ग पहेली करती है, यहां तक ​​​​कि वह गणितीय मशीनरी को फिर से बनाने में मदद करती है, जो मौलिक गणितीय वस्तुओं, जैसे कि बहुपद समीकरणों को रेखांकित करती है, जिनके साथ लंबे समय तक चलने वाले और खुले प्रश्न जुड़े होते हैं।

हो परिचित ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करता है, लेकिन वह उन्हें परिमेय संख्याओं के दायरे में रखने के लिए प्रश्नों को सुधारता है - संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। "फिर संख्या सिद्धांत इस सब में मिश्रित होने लगता है," उसने कहा।

वह विशेष रूप से अण्डाकार वक्रों में रुचि रखती हैं, जो एक विशेष प्रकार के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित होते हैं, जिनका गणित की विभिन्न शाखाओं में अनुप्रयोग होता है। अण्डाकार वक्र विश्लेषण में दिखाई देते हैं - मोटे तौर पर बोलना, वास्तविक संख्याओं की तरह निरंतर चीजों का अध्ययन - और बीजगणित में, जो सटीक गणितीय संरचनाओं को खोजने और परिभाषित करने के बारे में है। (हालांकि उनका फोकस अलग है, विश्लेषण और बीजगणित एक सख्त सीमा की तुलना में संवेदनशीलता से अधिक विभाजित हैं, क्योंकि उनके बीच बहुत अधिक ओवरलैप है।)

2018 में जारी एक बैरियर-ब्रेकिंग प्रीप्रिंट में, हो और उसके सहयोगी लेवेंट एल्पोगे हार्वर्ड विश्वविद्यालय के एक नई ऊपरी सीमा की खोज की दीर्घवृत्त वक्रों को परिभाषित करने वाले बहुपदों के पूर्णांक समाधानों की संख्या के लिए। उनकी तकनीक लुइस मोर्डेल, एक अमेरिकी गणितज्ञ के दशकों पुराने काम पर आधारित है, जो 1906 में ब्रिटेन चले गए थे। अपने पेपर में, हो और एल्पोगे इन पूर्णांक समाधानों के वितरण के बारे में नई जानकारी प्राप्त करने में सक्षम थे, जो समान अध्ययन करने वाली अन्य टीमों से बच गए थे। समस्या।

हो इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस स्टडी में विज़िटिंग प्रोफेसर के रूप में (मिशिगन विश्वविद्यालय में अपने संकाय पद से छुट्टी पर) वर्ष बिता रही हैं, जहाँ उन्हें हाल ही में IAS की महिला और गणित कार्यक्रम की पहली निदेशक नामित किया गया था। वह अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी की 2023 की फेलो और प्रिंसटन यूनिवर्सिटी में रिसर्च स्कॉलर भी हैं।

उन्हें उम्मीद है कि महिला और गणित कार्यक्रम को निर्देशित करने से "कम से कम समुदाय को और अधिक लोगों की मदद करने में मदद मिलेगी, बजाय इसके कि मैं अपने कार्यालय में खुद या सहयोगियों के साथ गणित अनुसंधान कर रहा हूं," उसने कहा। "मैं प्रमेय सिद्ध कर सकता हूं, और शायद किसी दिन मैं एक प्रमेय साबित कर सकता हूं जो 100 वर्षों में मायने रखेगा। शायद शायद नहीं। लेकिन मुझे लगा कि मैं दुनिया या अपने आसपास के लोगों पर पर्याप्त प्रभाव नहीं डाल पा रहा हूं।”

क्वांटा वीडियोकांफ्रेंसिंग की एक श्रृंखला में हो के साथ बात की। स्पष्टता के लिए साक्षात्कारों को संघनित और संपादित किया गया है।

आप जिस तरह से गणित करते हैं उसका वर्णन आप कैसे करेंगे?

कभी-कभी गणितज्ञ खुद को बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक लोगों में विभाजित करते हैं। मैं जो गणित करता हूं वह दोनों पक्षों को छूता है, लेकिन दिल से, मैं एक बीजगणित हूं, हालांकि मैं जिस तरह से सोचता हूं, मैं ज्यामितीय हूं। मैं अक्सर बीजगणित और ज्यामिति को अनिवार्य रूप से समान देखता हूं।

यह बिल्कुल सटीक नहीं है, लेकिन मूल रूप से डेसकार्टेस के काम के बाद से और विशेष रूप से पिछली सदी में, दो विषय वास्तव में करीब हो गए हैं। एक अपेक्षाकृत सटीक शब्दकोष है, जो कुछ स्थितियों में, एक ज्यामितीय चित्र को बीजगणितीय परिणामों में अनुवाद करने में मदद कर सकता है।

मेरे अपने मामले में, ज्यामितीय चित्र अक्सर बयानों और अनुमानों को तैयार करने और अंतर्ज्ञान देने में मदद करते हैं, लेकिन फिर हम उन्हें लिखते समय बीजगणित में अनुवाद करते हैं। गलतियों का पता लगाना आसान है क्योंकि बीजगणित आमतौर पर अधिक कठोर होता है। बीजगणित का उपयोग तब भी आसान हो सकता है जब ज्यामिति की कल्पना करना बहुत कठिन हो जाता है।

आप अपने हाल के काम में किन विचारों पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं?

मेरे काम का थोड़ा बहुत अण्डाकार वक्रों के साथ करना है, जो संख्या सिद्धांत और अंकगणितीय ज्यामिति में बहुत ही स्वाभाविक वस्तुएँ हैं।

इस तरह के समीकरणों के पूर्णांक समाधान होना कठिन होना चाहिए। हम उम्मीद करते हैं, मूल रूप से, लगभग सभी वक्रों का कोई पूर्णांक समाधान नहीं होना चाहिए। लेकिन इसे साबित करना बेहद मुश्किल है।

लेवेंट और मैंने अभिन्न बिंदुओं की संख्या के इस वितरण का अध्ययन किया। हम मोर्डेल की 1969 की पुस्तक से शास्त्रीय निर्माण का उपयोग करते हैं डायोफैंटाइन समीकरण. हम दीर्घवृत्ताकार वक्र पर पूर्णांक बिंदुओं की संख्या पर ऊपरी सीमा देने में सक्षम हैं। अन्य लोगों ने ऊपरी सीमा दी है। हमें एक अलग बाउंड मिला है जिसे बताना आसान है।

आपके हाल के परिणाम में मोर्डेल के पहले के काम की क्या भूमिका थी?

हमारे प्रश्न में अण्डाकार वक्रों पर अभिन्न बिंदु शामिल हैं। मोर्डेल के पास इसे किसी और चीज़ से संबंधित करने का एक तरीका है जिसका हम अध्ययन कर सकते हैं।

यह कुछ ऐसा है जो हम गणित में हर समय करते हैं: हम किसी वस्तु को समझना चाहते हैं, लेकिन हमें इसे समझने के लिए एक प्रतिनिधि खोजना होगा। कभी-कभी वह प्रॉक्सी बहुत सटीक होती है। कभी-कभी यह जानकारी खो देता है। लेकिन यह वास्तव में कुछ ऐसा है जिसे हम एक्सेस कर सकते हैं।

आपने गणित पर ध्यान केंद्रित करने का निर्णय कब लिया?

मुझे नहीं लगता कि मेरे लिए कोई टिपिंग पॉइंट था। मैं अब अपने जीवन और करियर से खुश हूं, लेकिन मुझे लगता है कि अगर चीजें थोड़ी अलग होतीं तो मैं कई करियर या अन्य क्षेत्रों में खुश रह सकता था। शायद यह कुछ ऐसा है जो अधिकांश गणितज्ञ नहीं कहेंगे, क्योंकि वे इस बारे में बात करना पसंद करते हैं कि वे गणित के बारे में कितने भावुक हैं और वे किसी और चीज के बारे में कभी नहीं सोच सकते। मेरे लिए, मुझे नहीं लगता कि यह सच है।

मैं बहुत सी अलग-अलग चीजों को लेकर उत्सुक हूं। शायद मैं एक गणितज्ञ बन गया क्योंकि मैं अन्य क्षेत्रों में कठोरता की कमी से निराश था। एक बच्चे के रूप में, मुझे कुछ तरीकों से एक गणितज्ञ की तरह सोचने के लिए प्रशिक्षित किया गया था, क्योंकि इसी तरह हम घर पर काम करते थे। मेरे पिताजी मेरे साथ गणित के खेल खेलते थे, जिसका मतलब था कि मैं छोटी उम्र से तार्किक तर्क सीख रहा था। मैं चाहता था कि चीजें साबित हों।

लेकिन मुझे यकीन नहीं था कि मैं एक अच्छा गणितज्ञ बनूंगा।

क्यों?

जब मैं छोटा था, तो मुझे नहीं पता था कि बहुत से गणित के लोग जो अलग-अलग तरीकों से मेरे जैसे थे। हम इन शब्दों को रोल मॉडल के बारे में बताते हैं। ऐसा नहीं है कि मैंने पर्याप्त महिलाएं या एशियाई अमेरिकी महिलाएं नहीं देखीं।

मेरे कहने का मतलब यह है कि मैंने बहुत से ऐसे लोगों को नहीं देखा जो गणित के अलावा अन्य चीजों के बारे में भावुक थे। इससे मुझे खुद पर बहुत शक हुआ। अगर मैं अपना 100% समय गणित के बारे में सोचने में नहीं लगाता तो मैं गणित में कैसे सफल हो सकता हूँ? मैंने अपने आसपास यही देखा। मुझे इस बात का आभास था कि अन्य लोग गणित को मुझसे अलग तरीके से समझ रहे थे, मेरे साथी और मुझसे बड़े लोग। मैंने सोचा कि ऐसा करियर बनाना मुश्किल है जहां मैं ऐसा नहीं होने वाला था। मेरे अन्य हित होंगे।

मानवीय पहलू एक ऐसी चीज है जिसकी मैंने दूसरे लोगों को उतनी परवाह करते नहीं देखा। मुझे डर था कि मेरा एक हिस्सा गणितज्ञ बनने पर मुझे बुरा बना देगा।

आपको अभी-अभी IAS के महिला और गणित कार्यक्रम का निदेशक नामित किया गया है। वह कार्यक्रम महिला गणितज्ञों को क्या प्रदान करता है?

यह स्नातक महिलाओं, स्नातक छात्रों, पोस्टडॉक्स, और कुछ जूनियर और वरिष्ठ संकाय सहित विभिन्न कैरियर चरणों में महिलाओं के लिए एक सप्ताह की कार्यशाला है। यह सहायक वातावरण में गणित सीख रहा है।

अंडरग्रेजुएट जो शायद नहीं जानते होंगे कि वे गणित का पीछा करना चाहते हैं, वे बहुत वरिष्ठ गणितज्ञों से मिल रहे हैं और सभी तरह से सलाह ले रहे हैं। वे करियर के विभिन्न चरणों में कई अलग-अलग लोगों को देख सकते हैं और लोगों से उनके अनुभवों के बारे में बात कर सकते हैं। मुझे नहीं लगता कि ऐसे कई अन्य कार्यक्रम हैं जिनकी पूरी श्रृंखला है और एक विशेष उपक्षेत्र में केंद्रित हैं।

2023 के कार्यक्रम को "पूर्णांकों में पैटर्न" कहा जाता है। इसमें बहुत सारे लोग एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स और एनालिटिक नंबर थ्योरी में होंगे। हम उनसे मिलने के लिए विभिन्न करियर पथों से लोगों को लाते हैं।

इस क्षेत्र में पहले से ही काम कर रहे पुराने स्नातक छात्रों के लिए, वे अपने क्षेत्र में पोस्टडॉक्स, जूनियर और सीनियर फैकल्टी से मिल रहे हैं, और एक सप्ताह के लिए उनके साथ काम करने का मौका पा रहे हैं।

आप भी शामिल हैं ढेर परियोजना, जो एक व्यापक ऑनलाइन संसाधन है। इसके बारे में क्या अनोखा है?

इसकी विशाल मात्रा और पहुंच। यह इतना बड़ा है - 7,500 से अधिक पृष्ठ यदि आपने इसे प्रिंट किया है - ऑनलाइन सहयोगी परियोजना। लेकिन वास्तव में, [कोलंबिया विश्वविद्यालय गणितज्ञ] ऐसे जोहान डी जोंग लगभग यह सब लिखता है। यह बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक कठोर, सावधानीपूर्वक लिखित संसाधन है। उन्होंने समाज के लिए जो किया है वह अद्भुत है।

हर हफ्ते या दो, यह बढ़ता है। यह लगभग किसी भी चीज़ के लिए एक विश्वसनीय संदर्भ है। इसमें बड़ी मात्रा में बीजगणितीय ज्यामिति शामिल है जिसके लिए आपको 20 पाठ्यपुस्तकों की तरह देखने की आवश्यकता होगी।

यह इस मायने में जी रहा है कि चीजों को जोड़ा और संपादित किया जा सकता है। गलतियां होंगी तो पकड़ी जाएंगी।

दूसरी चीज जो इसके बारे में दिलचस्प है वह है टैग सिस्टम। भले ही यह दस्तावेज़ लगातार बढ़ रहा है, फिर भी आप किसी विशिष्ट टैग को हमेशा के लिए संदर्भित कर सकते हैं। विशेष परिणामों के लिए 21,000 से अधिक स्थायी टैग हैं जिन्हें आप उद्धृत करना चाहते हैं। पीटर बेलमैन्स ने पूरे बैक एंड का निर्माण किया, जिसका उपयोग अन्य परियोजनाओं में भी किया गया है। अन्य लोगों ने इसकी तकनीक को अपनाया है।

समस्या यह है - और जोहान यह जानता है - वह अंततः इसे लिखने में सक्षम नहीं होने जा रहा है। किसी दिन, अगर हम चाहते हैं कि यह जारी रहे, तो इसमें अन्य लोगों को और अधिक शामिल करने की आवश्यकता है।

स्टैक प्रोजेक्ट में आपकी वर्कशॉप क्या भूमिका निभाती है?

मुद्दा युवा लोगों को शामिल करना शुरू करना है। हम उनसे कुछ अंश लिखवा रहे हैं जो अंततः इसमें शामिल हो सकते हैं। यहां कुछ तनाव हैं, क्योंकि संसाधन के रूप में वेबसाइट सही और उच्च गुणवत्ता के बने रहने के लिए इसे सावधानी से मॉडरेट करने की आवश्यकता है। इसलिए जोहान को इसमें चीजें डालने के लिए अभी भी बहुत काम करने की जरूरत है। यह विकिपीडिया जैसा नहीं हो सकता जहाँ कोई भी इसे छू सके। यह थोड़ा दुर्भाग्यपूर्ण है लेकिन अगर आप चाहते हैं कि यह काम करे तो ऐसा होना चाहिए।

हम स्टैक प्रोजेक्ट में धीरे-धीरे अधिक लोगों को शामिल करने के तरीकों का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। हम स्नातक छात्रों और पोस्टडॉक्स के साथ परियोजनाओं पर काम करने के लिए संरक्षक ला रहे हैं। वे कुछ बीजगणितीय ज्यामिति सीखते हैं। फिर वे कुछ लिखते हैं।

We अभी प्रकाशित वर्णनात्मक लेखों के एक समूह के साथ एक वॉल्यूम जिसके बारे में हमें उम्मीद है कि अंततः स्टैक प्रोजेक्ट में शामिल हो जाएगा।

स्टैक्स परियोजना सैकड़ों वर्षों तक बेहद प्रभावशाली बनी रह सकती है यदि पर्याप्त लोग शामिल हों और इसे जारी रखें।