1950 के दशक की शुरुआत में, उन्नत अध्ययन संस्थान के शोधकर्ताओं के एक समूह ने एक उच्च तकनीक परियोजना शुरू की। पर आज्ञा जॉन वॉन न्यूमैन और हरमन गोल्डस्टाइन के, भौतिक विज्ञानी हेडविग सेलबर्ग ने जिज्ञासु गणितीय योगों की गणना करने के लिए IAS के 1,700-वैक्यूम-ट्यूब कंप्यूटर को प्रोग्राम किया, जिनकी उत्पत्ति 18 वीं शताब्दी तक फैली हुई थी।
राशियाँ द्विघात गॉस राशियों से संबंधित थीं, जिनका नाम प्रसिद्ध गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया था। गॉस कुछ अभाज्य संख्या चुनेंगे p, फिर $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$ फॉर्म की संख्याओं का योग करें। अपनी स्थापना के बाद से, द्विघात गॉस योग कुछ प्रकार के समीकरणों के समाधान गिनने जैसे कार्यों के लिए अमूल्य साबित हुए हैं। "यह पता चला है कि गॉस योग जादुई हैं, कि वे भगवान के लिए सिर्फ अद्भुत चीजें करते हैं, इसका कारण क्या है," ने कहा जेफरी हॉफस्टीन, ब्राउन विश्वविद्यालय में गणितज्ञ।
19वीं शताब्दी के मध्य में, जर्मन गणितज्ञ अर्न्स्ट एडुआर्ड कुमर इन द्विघात गॉस योगों के एक निकट संबंधी के साथ संघर्ष कर रहे थे, जहाँ n2 घातांक में an . द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है n3. कुमेर ने देखा कि वे लगभग विशेष मूल्यों को एक आश्चर्यजनक डिग्री तक इकट्ठा करने के लिए प्रवृत्त हुए - एक गहन अवलोकन जो संख्या सिद्धांत में सदियों की जांच का नेतृत्व करेगा।
यदि क्यूबिक गॉस योगों को एक सरल सूत्र में नहीं बदला जाता है, तो उनके मूल्यों का अनुमान लगाना कठिन होता है। इस तरह के एक सूत्र की कमी के कारण, कुमेर ने घन गॉस राशियों की गणना - और गणना, और गणना के बारे में निर्धारित किया। "उस समय हाथ से इस तरह की वीर गणना करना उनके लिए बहुत आम था," ने कहा मैथ्यू यंग, टेक्सास ए एंड एम विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। पहले 45 गैर-तुच्छ अभाज्य संख्याओं के अनुरूप 45 योगों की जुताई करने के बाद, कुमेर ने अंततः हार मान ली।
अपने परिणामों का सर्वेक्षण करते हुए, कुमेर ने कुछ दिलचस्प देखा। सिद्धांत रूप में, योग -1 और 1 के बीच कुछ भी हो सकता है ("सामान्यीकृत" होने के बाद - एक उपयुक्त स्थिरांक से विभाजित)। लेकिन जब उन्होंने गणना की, तो उन्होंने पाया कि वे एक अजीब तरीके से वितरित किए गए थे। आधे परिणाम ½ और 1 के बीच थे, और उनमें से केवल छठा −1 और −½ के बीच था। वे 1 के आसपास क्लस्टर करते दिखाई दिए।
कुमेर ने एक अनुमान के साथ अपनी टिप्पणियों को रखा: यदि आप किसी तरह असीम रूप से कई घन गॉस योगों की साजिश रचने में कामयाब रहे, तो आप उनमें से अधिकांश को ½ और 1 के बीच देखेंगे; −½ और ½ के बीच कम; और −1 और −½ के बीच अभी भी कम है।
सेलबर्ग, वॉन न्यूमैन और गोल्डस्टाइन ने अपने शुरुआती कंप्यूटर पर इसका परीक्षण किया। सेलबर्ग ने इसे 10,000 से कम सभी गैर-तुच्छ अभाज्य संख्याओं के लिए घन गॉस योगों की गणना करने के लिए क्रमादेशित किया - कुल मिलाकर लगभग 600 राशियाँ। (गोल्डस्टाइन और वॉन न्यूमैन कागज के लेखक के रूप में आगे बढ़ेंगे; उनका योगदान अंत में पावती की एक पंक्ति में समाप्त हो जाएगा।) उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे प्राइम बड़े होते गए, सामान्यीकृत रकम 1 के पास क्लस्टर में कम झुकी। के साथ इस बात के पुख्ता सबूत कि कुमेर का अनुमान गलत था, गणितज्ञों ने घन गॉस योगों को गहराई से समझने की कोशिश करना शुरू कर दिया जो केवल गणना से परे था।
वह प्रक्रिया अब पूरी हो गई है। 1978 में, गणितज्ञ सैमुअल पैटरसन कुमेर के गणितीय रहस्य का समाधान निकाला, लेकिन इसे साबित नहीं कर सके। फिर आखिरी गिरावट, कैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के दो गणितज्ञों ने पैटरसन के अनुमान को साबित कर दिया, जो अंततः 1846 से कुमर के विचारों को बंद करने के लिए प्रदान किया गया था।
पैटरसन पहली बार 1970 के दशक में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में स्नातक छात्र के रूप में इस समस्या से रूबरू हुए। उनका अनुमान इस बात से प्रेरित था कि क्या होता है जब संख्याओं को यादृच्छिक रूप से -1 और 1 के बीच कहीं भी रखा जाता है। यदि आप जोड़ते हैं N इन यादृच्छिक संख्याओं में से, योग का विशिष्ट आकार $latexsqrt{N}$ होगा (यह धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है)। इसी तरह, यदि घन गॉस राशियाँ -1 से 1 तक समान रूप से बिखरी हुई हों, तो आप उम्मीद करेंगे N उनमें से लगभग $latexsqrt{N}$ तक जोड़ने के लिए।
इसे ध्यान में रखते हुए, पैटरसन ने जोड़ा N क्यूबिक गॉस रकम, (फिलहाल) अभाज्य संख्याओं से चिपके रहने की आवश्यकता को अनदेखा करते हुए। उन्होंने पाया कि राशि लगभग थी N5/6 — $latexsqrt{N}$ से बड़ा (जिसे के रूप में लिखा जा सकता है) N1/2), लेकिन से कम N. इस मान का अर्थ है कि योग यादृच्छिक संख्याओं की तरह व्यवहार करते हैं लेकिन एक कमजोर बल के साथ सकारात्मक मूल्यों की ओर दबाव डालते हैं, जिसे पूर्वाग्रह कहा जाता है। जैसा N बड़ा और बड़ा हो गया, यादृच्छिकता पूर्वाग्रह को खत्म करना शुरू कर देगी, और इसलिए यदि आप किसी भी तरह से असीमित रूप से कई घन गॉस रकम को एक साथ देखते हैं, तो वे समान रूप से वितरित दिखाई देंगे।
यह प्रतीत होता है कि सब कुछ समझाया गया है: कुमेर की गणना एक पूर्वाग्रह दिखा रही है, साथ ही आईएएस गणना एक खंडन कर रही है।
लेकिन पैटरसन अभाज्य संख्याओं के लिए समान गणना करने में सक्षम नहीं थे, इसलिए 1978 में, उन्होंने आधिकारिक तौर पर इसे एक के रूप में लिखा। अनुमान: यदि आप अभाज्य संख्याओं के लिए घन गॉस योग जोड़ते हैं, तो आपको वही मिलना चाहिए N5/6 व्यवहार.
कुमेर समस्या पर अपने काम के बारे में बात करने के तुरंत बाद, पैटरसन से रोजर हीथ-ब्राउन नामक स्नातक छात्र ने संपर्क किया, जिन्होंने प्राइम नंबर सिद्धांत से तकनीकों को शामिल करने का सुझाव दिया। दोनों ने मिलकर काम किया और जल्द ही प्रकाशित समस्या पर एक अग्रिम, लेकिन वे अभी भी नहीं दिखा सके कि पैटरसन की भविष्यवाणी की गई थी N5/6 पूर्वाग्रह primes के लिए सटीक था।
आने वाले दशकों में, बहुत कम प्रगति हुई थी। अंत में, सहस्राब्दी के मोड़ पर, हीथ-ब्राउन ने एक और बनाया सफलता, जिसमें उन्होंने एक उपकरण विकसित किया जिसे घन बड़ी छलनी कहा जाता है, ने एक आवश्यक भूमिका निभाई।
क्यूबिक बड़ी छलनी का उपयोग करने के लिए, हीथ-ब्राउन ने गणनाओं की एक श्रृंखला का उपयोग करके क्यूबिक गॉस राशि के योग को एक अलग राशि से जोड़ा। इस उपकरण के साथ, हीथ-ब्राउन यह दिखाने में सक्षम था कि यदि आप कम से कम प्राइम के लिए घन गॉस योग जोड़ते हैं N, परिणाम से बहुत बड़ा नहीं हो सकता N5/6. लेकिन उसने सोचा कि वह बेहतर कर सकता है - कि चलनी में ही सुधार किया जा सकता है। यदि यह हो सकता है, तो यह सीमा को कम कर देगा N5/6 वास्तव में, इस प्रकार पैटरसन के अनुमान को सिद्ध करते हैं। पाठ की एक छोटी सी पंक्ति में, उन्होंने स्केच किया कि उनके अनुसार चलनी के लिए सर्वोत्तम संभव सूत्र क्या होगा।
हाथ में इस नए उपकरण के साथ भी, गणितज्ञ आगे नहीं बढ़ पाए। फिर दो दशक बाद, Caltech पोस्टडॉक के बीच एक भाग्यशाली मुठभेड़ एलेक्ज़ेंडर डन और उसके पर्यवेक्षक मैक्सिम रेडज़िविल अंत की शुरुआत को चिह्नित किया। डन ने 2020 के सितंबर में अपना पद शुरू करने से पहले, रैडज़िविल ने प्रस्तावित किया कि वे पैटरसन के अनुमान पर एक साथ काम करें। लेकिन कोविड -19 महामारी अभी भी उग्र है, अनुसंधान और शिक्षण दूर से जारी है। अंत में, जनवरी 2021 में, मौका - या भाग्य - ने हस्तक्षेप किया जब दो गणितज्ञ अप्रत्याशित रूप से एक पसादेना पार्किंग स्थल में एक दूसरे से टकरा गए। डन ने एक ईमेल में लिखा, "हमने सौहार्दपूर्ण ढंग से बातचीत की, और हम सहमत हुए कि हमें गणित से मिलना और बात करना शुरू करना चाहिए।" मार्च तक, वे पैटरसन के अनुमान के प्रमाण पर लगन से काम कर रहे थे।
"यह काम करने के लिए रोमांचक था, लेकिन अत्यधिक उच्च जोखिम," डन ने कहा। "मेरा मतलब है, मुझे याद है कि मैं अपने कार्यालय में आता हूं, जैसे, हर सुबह 5 बजे सीधे चार या पांच महीने के लिए।"
उनके सामने हीथ-ब्राउन की तरह डन और रैडज़िविल ने पाया कि क्यूबिक बड़ी छलनी उनके सबूत के लिए अपरिहार्य है। लेकिन जैसा कि उन्होंने हीथ-ब्राउन ने अपने 2000 के पेपर में लिखा था - जिसे वह सबसे अच्छा संभव चलनी मानते थे, एक अनुमान है कि संख्या सिद्धांत समुदाय विश्वास करने के लिए आया था - उन्होंने महसूस किया कि कुछ सही नहीं था . "हम यह साबित करने में सक्षम थे कि 1 = 2, बहुत जटिल काम के बाद," रैडज़िविल ने कहा।
उस समय, रैडज़िविल को यकीन था कि गलती उनकी थी। "मैं एक तरह से आश्वस्त था कि मूल रूप से हमारे प्रमाण में त्रुटि है।" डन ने उसे अन्यथा आश्वस्त किया। उम्मीदों के विपरीत, क्यूबिक बड़ी छलनी में सुधार नहीं किया जा सका।
घन बड़ी चलनी के अधिकार के साथ सशस्त्र, डन और रैडज़िविल ने पैटरसन के अनुमान के प्रति अपने दृष्टिकोण को पुन: कैलिब्रेट किया। इस बार उन्हें सफलता मिली।
"मुझे लगता है कि यह मुख्य कारण था कि किसी ने ऐसा क्यों नहीं किया, क्योंकि यह [हीथ-ब्राउन] अनुमान हर किसी को गुमराह कर रहा था," रैडज़िविल ने कहा। "मुझे लगता है कि अगर मैंने हीथ-ब्राउन को बताया कि उनका अनुमान गलत है, तो वह शायद यह पता लगा लेंगे कि यह कैसे करना है।"
डन और रेडज़िविल ने 15 सितंबर, 2021 को अपना पेपर पोस्ट किया। अंत में, उनका प्रमाण सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना पर निर्भर था, जो गणित में एक प्रसिद्ध अप्रमाणित अनुमान है। लेकिन अन्य गणितज्ञ इसे केवल एक छोटी सी खामी के रूप में देखते हैं। "हम परिकल्पना से छुटकारा पाना चाहते हैं। लेकिन हम एक परिणाम पाकर खुश हैं जो वैसे भी सशर्त है," ने कहा हीथ-ब्राउन, जो अब ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में प्रोफेसर एमेरिटस हैं।
हीथ-ब्राउन के लिए, डन और रैडज़िविल का काम पैटरसन के अनुमान के प्रमाण से कहीं अधिक है। क्यूबिक बड़ी छलनी में अपनी अप्रत्याशित अंतर्दृष्टि के साथ, उनके पेपर ने एक ऐसी कहानी को आश्चर्यजनक रूप से समाप्त कर दिया जिसका वह दशकों से हिस्सा रहा है। "मुझे खुशी है कि मैंने वास्तव में अपने पेपर में नहीं लिखा था, 'मुझे यकीन है कि कोई इससे छुटकारा पा सकता है," उन्होंने कहा, डन और रैडज़िविल ने जिस छलनी की खोज की थी, वह आवश्यक थी। "मैंने अभी कहा, 'यह अच्छा होगा यदि कोई इससे छुटकारा पा सके। ऐसा लगता है कि आपको सक्षम होना चाहिए।' और मैं गलत था - पहली बार नहीं।"
