गणित की 'ए-टीम' जोड़ और समुच्चय के बीच एक महत्वपूर्ण कड़ी साबित होती है | क्वांटा पत्रिका

संख्याओं के बेतरतीब ढंग से चुने गए सेट में, जोड़ बेतहाशा हो सकता है।

ऐसे सेट से प्रत्येक जोड़ी को एक साथ जोड़ें, और आपके पास एक नई सूची होगी जिसमें आपके द्वारा शुरू की गई संख्याओं की तुलना में बहुत अधिक संख्याएं होने की संभावना है। 10 यादृच्छिक संख्याओं से प्रारंभ करें, और इस नई सूची (जिसे सारांश कहा जाता है) में लगभग 50 तत्व होंगे। 100 से प्रारंभ करें और कुल योग संभवतः 5,000 के आसपास होगा; 1,000 यादृच्छिक आरंभिक संख्याएँ 500,000 संख्याओं का एक सारांश बनाएंगी।

लेकिन यदि आपके प्रारंभिक सेट में संरचना है, तो सारांश इससे कम संख्याओं के साथ समाप्त हो सकता है। एक और 10-संख्या सेट पर विचार करें: 2 से 20 तक की सभी सम संख्याएँ। क्योंकि अलग-अलग जोड़े एक ही संख्या में जुड़ जाएंगे - 10 + 12, 8 + 14 और 6 + 16 के समान है - योग में केवल 19 संख्याएँ हैं, नहीं 50. जैसे-जैसे सेट बड़े होते जाते हैं यह अंतर और अधिक गहरा होता जाता है। 1,000 संख्याओं की एक संरचित सूची में केवल 2,000 संख्याओं का एक सारांश हो सकता है।

1960 के दशक में एक गणितज्ञ का नाम था ग्रेगरी फ़्रीमैन जोड़ और सेट संरचना के बीच संबंध की जांच करने के प्रयास में छोटे समुच्चय के साथ सेट की जांच शुरू की - एक महत्वपूर्ण कनेक्शन जो एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स के गणितीय क्षेत्र को परिभाषित करता है। फ़्रीमैन ने प्रभावशाली प्रगति की, यह साबित करते हुए कि एक छोटे समुच्चय वाले सेट में एक बड़ा सेट शामिल होना चाहिए जिसके तत्व अत्यधिक नियमित पैटर्न में स्थित हों। लेकिन फिर मैदान स्थिर हो गया. “फ़्रीमैन के मूल प्रमाण को समझना असाधारण रूप से कठिन था, इस हद तक कि कोई भी वास्तव में निश्चित नहीं था कि यह सही था। इसलिए इसका वास्तव में उतना प्रभाव नहीं पड़ा जितना हो सकता था,'' ने कहा टिमोथी गोवर्स, कॉलेज डी फ़्रांस और कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में गणितज्ञ और फ़ील्ड्स पदक विजेता। "परन्तु फिर इमरे रुज़सा घटनास्थल पर फूट पड़े।''

की एक श्रृंखला में दो कागजात 1990 के दशक में, रुज़सा ने एक शानदार नए तर्क के साथ फ़्रीमैन के प्रमेय को फिर से सिद्ध किया। कुछ साल पहले, कैटालिन मार्टनएक प्रभावशाली हंगेरियन गणितज्ञ, जिनकी 2019 में मृत्यु हो गई, ने इस सवाल को बदल दिया कि मूल सेट की संरचना के बारे में एक छोटा सा योग क्या दर्शाता है। उसने सेट में दिखाई देने वाले तत्वों के प्रकार और गणितज्ञों को जिस प्रकार की संरचना की तलाश करनी चाहिए, उसे बदल दिया, यह सोचकर कि इससे गणितज्ञों को और भी अधिक जानकारी निकालने की अनुमति मिलेगी। मार्टन के अनुमान में प्रूफ सिस्टम, कोडिंग सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी के लिंक हैं, और एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स में एक ऊंचा स्थान रखता है।

उनका अनुमान "वास्तव में सबसे बुनियादी चीजों में से एक जैसा लगता है जिसे हम नहीं समझ पाए," उन्होंने कहा बेन ग्रीनऑक्सफ़ोर्ड विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। यह "बहुत सी चीज़ों पर आधारित है जिनकी मुझे परवाह है।"

ग्रीन ने गोवर्स के साथ हाथ मिलाया, फ़्रेडी शिष्टाचार कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सैन डिएगो, और टेरेंस ताओकैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में फील्ड्स पदक विजेता, इजरायली गणितज्ञ और ब्लॉगर बने गिल कलाई "" कहा जाता हैएक टीमगणितज्ञों का। उन्होंने एक पेपर में अनुमान का एक संस्करण साबित किया 9 नवंबर को साझा किया गया.

नेट्स काट्ज़राइस यूनिवर्सिटी के एक गणितज्ञ, जो इस काम में शामिल नहीं थे, प्रमाण को "खूबसूरती से सीधा" - और "कमोबेश पूरी तरह से अप्रत्याशित" बताते हैं।

इसके बाद ताओ ने प्रमाण को औपचारिक रूप देने का प्रयास शुरू किया झुक, एक प्रोग्रामिंग भाषा जो गणितज्ञों को प्रमेयों को सत्यापित करने में मदद करती है। कुछ ही हफ्तों में वह प्रयास सफल हो गया। 5 दिसंबर मंगलवार की सुबह, ताओ ने घोषणा की लीन ने बिना किसी "खेद" के अनुमान को साबित कर दिया था - मानक कथन जो तब प्रकट होता है जब कंप्यूटर एक निश्चित चरण को सत्यापित नहीं कर पाता है। यह इस तरह का उच्चतम-प्रोफ़ाइल उपयोग है 2021 से सत्यापन उपकरण, और गणितज्ञों द्वारा कंप्यूटर द्वारा समझे जा सकने वाले शब्दों में प्रमाण लिखने के तरीकों में एक विभक्ति बिंदु को चिह्नित करता है। गोवर्स ने कहा, यदि ये उपकरण गणितज्ञों के लिए उपयोग करने में काफी आसान हो जाते हैं, तो वे अक्सर लंबी और कठिन सहकर्मी समीक्षा प्रक्रिया का विकल्प लेने में सक्षम हो सकते हैं।

प्रमाण की सामग्री दशकों से उबल रही थी। गोवर्स ने 2000 के दशक की शुरुआत में इसके पहले कदम की कल्पना की। लेकिन कलई ने जिसे क्षेत्र की "पवित्र कब्र" कहा था, उसे साबित करने में 20 साल लग गए।

समूह में

मार्टन के अनुमान को समझने के लिए, एक समूह की अवधारणा से परिचित होने में मदद मिलती है, एक गणितीय वस्तु जिसमें एक सेट और एक ऑपरेशन होता है। पूर्णांकों - संख्याओं का एक अनंत सेट - और जोड़ की संक्रिया के बारे में सोचें। हर बार जब आप दो पूर्णांकों को एक साथ जोड़ते हैं, तो आपको एक और पूर्णांक प्राप्त होता है। जोड़ समूह संचालन के कुछ अन्य नियमों का भी पालन करता है, जैसे सहयोगीता, जो आपको संचालन के क्रम को बदलने की सुविधा देता है: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2।

एक समूह के भीतर, आप कभी-कभी छोटे सेट पा सकते हैं जो समूह के सभी गुणों को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप कोई दो सम संख्याएँ जोड़ते हैं, तो आपको एक और सम संख्या प्राप्त होगी। सम संख्याएँ अपने आप में एक समूह हैं, जो उन्हें पूर्णांकों का एक उपसमूह बनाती हैं। इसके विपरीत, विषम संख्याएँ एक उपसमूह नहीं हैं। यदि आप दो विषम संख्याओं को जोड़ते हैं, तो आपको एक सम संख्या प्राप्त होती है - मूल सेट में नहीं। लेकिन आप प्रत्येक सम संख्या में केवल 1 जोड़कर सभी विषम संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार स्थानांतरित उपसमूह को कोसेट कहा जाता है। इसमें किसी उपसमूह के सभी गुण नहीं होते, लेकिन यह कई तरीकों से अपने उपसमूह की संरचना को बरकरार रखता है। उदाहरण के लिए, सम संख्याओं की तरह, विषम संख्याएँ भी समान दूरी पर होती हैं।

मार्टन का मानना ​​था कि यदि आपके पास कोई सेट है तो हम कॉल करेंगे A समूह तत्वों से बना है जिनका योगफल इससे बहुत बड़ा नहीं है A स्वयं, तो कुछ उपसमूह मौजूद है - इसे कॉल करें G - एक विशेष संपत्ति के साथ. बदलाव G कोसेट बनाने के लिए कुछ बार, और उन कोसेट को एक साथ लेने पर, मूल सेट समाहित हो जाएगा A. इसके अलावा, उनका मानना ​​था कि सहसमुच्चय की संख्या योग के आकार की तुलना में बहुत तेजी से नहीं बढ़ती है - उनका मानना ​​था कि इसे बहुत तेज घातीय वृद्धि के विपरीत, बहुपद कारक से संबंधित होना चाहिए।

यह अत्यधिक तकनीकी जिज्ञासा की तरह लग सकता है। लेकिन क्योंकि यह एक सरल परीक्षण से संबंधित है - जब आप सेट में केवल दो तत्व जोड़ते हैं तो क्या होता है? - एक उपसमूह की व्यापक संरचना के लिए, यह गणितज्ञों और कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। यही सामान्य विचार तब दिखाई देता है जब कंप्यूटर वैज्ञानिक संदेशों को एन्क्रिप्ट करने का प्रयास करते हैं ताकि आप समय पर संदेश का थोड़ा सा डिकोड कर सकें। यह संभावित रूप से जाँचने योग्य प्रमाणों में भी दिखाई देता है, प्रमाण का एक रूप जिसे कंप्यूटर वैज्ञानिक जानकारी के केवल कुछ पृथक बिट्स की जाँच करके सत्यापित कर सकते हैं। इनमें से प्रत्येक मामले में, आप एक संरचना में केवल कुछ बिंदुओं के साथ काम करते हैं - एक लंबे संदेश से केवल कुछ बिट्स को डिकोड करना, या एक जटिल प्रमाण के एक छोटे हिस्से को सत्यापित करना - और एक बड़े, उच्च-स्तरीय संरचना के बारे में कुछ निष्कर्ष निकालना।

"आप या तो दिखावा कर सकते हैं कि सब कुछ एक समूह का एक बड़ा उपसमूह है," कहा टॉम सैंडर्स, गोवर्स का एक पूर्व छात्र जो अब ऑक्सफ़ोर्ड में ग्रीन का सहयोगी है, या आप, “कई योगात्मक संयोगों के अस्तित्व से वह सब कुछ प्राप्त कर सकते हैं जो आप चाहते थे। ये दोनों दृष्टिकोण उपयोगी हैं।”

रुज़सा 1999 में मार्टन का अनुमान प्रकाशित किया, उसे पूरा श्रेय दे रही है। उन्होंने कहा, "वह मुझसे और फ्रीमैन से स्वतंत्र रूप से और शायद हमसे पहले इस अनुमान पर पहुंचीं।" "इसीलिए, जब मैंने उससे बात की, तो मैंने इसे उसका अनुमान कहने का फैसला किया।" फिर भी, गणितज्ञ अब इसे बहुपद फ़्रीमैन-रुज़सा अनुमान, या पीएफआर के रूप में संदर्भित करते हैं।

शून्य और वाले

समूह, कई गणितीय वस्तुओं की तरह, कई अलग-अलग रूप लेते हैं। मार्टन का मानना ​​था कि उसका अनुमान सभी समूहों के लिए सत्य है। ये अभी दिखाया जाना बाकी है. नया पेपर इसे एक विशेष प्रकार के समूह के लिए साबित करता है, जो अपने तत्वों के रूप में (0, 1, 1, 1, 0) जैसी बाइनरी संख्याओं की सूची लेता है। चूँकि कंप्यूटर बाइनरी में काम करते हैं, इसलिए यह समूह कंप्यूटर विज्ञान में महत्वपूर्ण है। लेकिन यह एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स में भी उपयोगी रहा है। सैंडर्स ने कहा, "यह इस खिलौने की सेटिंग की तरह है जिसमें आप खेल सकते हैं और चीजों को आज़मा सकते हैं।" उन्होंने आगे कहा, "पूर्ण संख्याओं के साथ काम करने की तुलना में बीजगणित बहुत अधिक अच्छा है"।

सूचियों की लंबाई निश्चित होती है, और प्रत्येक बिट या तो 0 या 1 हो सकता है। आप प्रत्येक प्रविष्टि को किसी अन्य सूची में उसके समकक्ष में जोड़कर उन्हें एक साथ जोड़ते हैं, इस नियम के साथ कि 1 + 1 = 0. तो (0, 1, 1, 1) , 0) + (1, 1, 1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0, 1). पीएफआर यह पता लगाने का प्रयास है कि एक सेट कैसा दिख सकता है यदि यह पूरी तरह से उपसमूह नहीं है लेकिन इसमें कुछ समूह जैसी विशेषताएं हैं।

पीएफआर को सटीक बनाने के लिए, कल्पना करें कि आपके पास बाइनरी सूचियों का एक सेट है A. अब तत्वों का प्रत्येक जोड़ा लें A और उन्हें जोड़ें. परिणामी योग का योग बनता है Aकहा जाता है, A + A. यदि के तत्व A यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं, तो अधिकांश राशियाँ एक दूसरे से भिन्न होती हैं। अगर वहाँ k तत्वों में A, इसका मतलब है कि आसपास होगा k²/संक्षेप में 2 तत्व। कब k बड़ा है - मान लीजिए, 1,000 - k²/2 से बहुत बड़ा है k। लेकिन अगर A एक उपसमूह है, प्रत्येक तत्व A + A में है A, जिसका अर्थ है कि A + A के समान आकार है A ही.

पीएफआर उन सेटों पर विचार करता है जो यादृच्छिक नहीं हैं, लेकिन उपसमूह भी नहीं हैं। इन सेटों में, तत्वों की संख्या A + A कुछ हद तक छोटा है - मान लीजिए, 10k, या 100k. "यह वास्तव में उपयोगी है जब संरचना की आपकी धारणा एक सटीक बीजगणितीय संरचना होने की तुलना में कहीं अधिक समृद्ध है," ने कहा शचर लवेट, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सैन डिएगो में एक कंप्यूटर वैज्ञानिक।

ताओ ने कहा, गणितज्ञों को पता था कि इस संपत्ति का पालन करने वाले सभी सेट "वास्तविक उपसमूहों के काफी करीब हैं"। "वह अंतर्ज्ञान था, कि आसपास किसी अन्य प्रकार के नकली समूह नहीं थे।" फ़्रीमैन ने अपने मूल कार्य में इस कथन का एक संस्करण सिद्ध किया था। 1999 में, रुज़सा ने फ्रीमैन के प्रमेय को पूर्णांकों से बाइनरी सूचियों की सेटिंग तक विस्तारित किया। उसने साबित किया कि जब तत्वों की संख्या A + A के आकार का एक अचर गुणज है A, A एक उपसमूह में समाहित है।

लेकिन रुज़सा के प्रमेय के अनुसार उपसमूह का विशाल होना आवश्यक था। मार्टन की अंतर्दृष्टि का मानना ​​था कि एक विशाल उपसमूह में समाहित होने के बजाय, A किसी उपसमूह के सहसमुच्चय की बहुपद संख्या में समाहित किया जा सकता है जो मूल समुच्चय से बड़ा नहीं हो A.

'जब मैं कोई वास्तविक विचार देखता हूं तो मुझे वास्तविक विचार का पता चलता है'

सहस्राब्दी के मोड़ के आसपास, गोवर्स को समान दूरी वाली संख्याओं के तार वाले सेट के बारे में एक अलग समस्या का अध्ययन करते समय रुज़सा के फ्रीमैन के प्रमेय के प्रमाण मिले। गोवर्स ने कहा, "मुझे इस तरह की किसी चीज़ की ज़रूरत थी, एक निश्चित सेट के बारे में बहुत कम जानकारी से संरचनात्मक जानकारी प्राप्त करना।" "मैं बहुत भाग्यशाली था कि कुछ ही समय पहले, रुज़सा ने यह अत्यंत भव्य प्रमाण प्रस्तुत किया था।"

गोवर्स ने अनुमान के बहुपद संस्करण के संभावित प्रमाण पर काम करना शुरू किया। उनका विचार एक सेट से शुरुआत करने का था A जिसका समुच्चय अपेक्षाकृत छोटा था, फिर धीरे-धीरे हेरफेर किया गया A एक उपसमूह में. यदि वह साबित कर सके कि परिणामी उपसमूह मूल सेट के समान था A, वह आसानी से यह निष्कर्ष निकाल सकता था कि अनुमान सत्य था। गोवर्स ने अपने विचारों को सहकर्मियों के साथ साझा किया, लेकिन कोई भी उन्हें पूर्ण प्रमाण में ढाल नहीं सका। हालाँकि गोवर्स की रणनीति कुछ मामलों में सफल रही, लेकिन कुछ मामलों में जोड़-तोड़ की आवश्यकता पड़ी A बहुपद फ़्रीमैन-रुज़सा अनुमान के वांछित निष्कर्ष से और भी दूर।

आख़िरकार, मैदान आगे बढ़ा। 2012 में, सैंडर्स पीएफआर लगभग सिद्ध हो चुका है. लेकिन उन्हें स्थानांतरित उपसमूहों की संख्या की आवश्यकता थी जो बहुपद स्तर से ऊपर थी, हालांकि केवल थोड़ी सी। गोवर्स ने कहा, "एक बार जब उन्होंने ऐसा किया, तो इसका मतलब था कि यह कम जरूरी चीज बन गई, लेकिन फिर भी यह वास्तव में एक अच्छी समस्या है, जिससे मुझे बहुत लगाव है।"

लेकिन गोवर्स के विचार उनके सहकर्मियों की यादों और हार्ड ड्राइव में जीवित रहे। "वहाँ एक वास्तविक विचार है," ग्रीन ने कहा, जो गोवर्स का छात्र भी रहा है। "जब मैं कोई वास्तविक विचार देखता हूँ तो मुझे एक वास्तविक विचार पता चलता है।" इस गर्मी में, ग्रीन, मैनर्स और ताओ ने अंततः गोवर्स के विचारों को उनके शुद्धिकरण से मुक्त कर दिया।

गोवर्स के 37 साल पुराने विचारों पर लौटने के बारे में सोचने से पहले ग्रीन, ताओ और मैनर्स ने 20 पृष्ठों का सहयोग किया था। 23 जून को काग़ज़, उन्होंने छोटे योग वाले सेटों की संरचना की जांच करने के लिए यादृच्छिक चर नामक संभाव्यता सिद्धांत की एक अवधारणा का सफलतापूर्वक उपयोग किया था। इस स्विच को बनाकर, समूह अपने सेट में अधिक कुशलता से हेरफेर कर सकता है। मैनर्स ने कहा, "यादृच्छिक चर से निपटना सेट से निपटने की तुलना में बहुत कम कठोर है।" एक यादृच्छिक चर के साथ, "मैं संभावनाओं में से एक को थोड़ी मात्रा में बदल सकता हूं, और इससे मुझे एक बेहतर यादृच्छिक चर मिल सकता है।"

इस संभाव्य परिप्रेक्ष्य का उपयोग करते हुए, ग्रीन, मैनर्स और ताओ एक सेट में तत्वों की संख्या के साथ काम करने से लेकर एक यादृच्छिक चर में निहित जानकारी के माप की ओर बढ़ सकते हैं, एक मात्रा जिसे एन्ट्रापी कहा जाता है। एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स के लिए एन्ट्रॉपी कोई नई बात नहीं थी। वास्तव में, ताओ प्रयास किया था 2000 के दशक के अंत में इस अवधारणा को लोकप्रिय बनाने के लिए। लेकिन अभी तक किसी ने बहुपद फ़्रीमैन-रूज़सा अनुमान पर इसका उपयोग करने का प्रयास नहीं किया था। ग्रीन, मैनर्स और ताओ ने पाया कि यह शक्तिशाली था। लेकिन वे फिर भी अनुमान को सिद्ध नहीं कर सके।

जैसे ही समूह ने अपने नए परिणामों पर विचार किया, उन्हें एहसास हुआ कि उन्होंने अंततः एक ऐसा वातावरण बनाया है जिसमें गोवर्स के सुप्त विचार पनप सकते हैं। यदि वे तत्वों की संख्या के बजाय इसकी एन्ट्रॉपी का उपयोग करके सेट के आकार को मापते हैं, तो तकनीकी विवरण बहुत बेहतर काम कर सकते हैं। ताओ ने कहा, "कुछ बिंदु पर हमें एहसास हुआ कि 20 साल पहले टिम के ये पुराने विचार वास्तव में उन विचारों की तुलना में काम करने की अधिक संभावना रखते थे जिन्हें हम आजमा रहे थे।" “और इसलिए हम टिम को परियोजना में वापस ले आए। और फिर सभी टुकड़े आश्चर्यजनक रूप से अच्छी तरह से एक साथ फिट हो जाते हैं।

फिर भी, सबूत सामने आने से पहले कई विवरणों का पता लगाना बाकी था। मैनर्स ने कहा, "यह एक तरह से मूर्खतापूर्ण था कि हम चारों अन्य चीजों में अविश्वसनीय रूप से व्यस्त थे।" "आप इस महान परिणाम को प्रकाशित करना और दुनिया को बताना चाहते हैं, लेकिन वास्तव में आपको अभी भी अपना मध्यावधि लिखना होगा।" आख़िरकार, समूह आगे बढ़ा और 9 नवंबर को उन्होंने अपना पेपर पोस्ट किया। उन्होंने ये साबित कर दिया अगर A + A से बड़ा नहीं है k के आकार का गुना A, तो A से अधिक नहीं द्वारा कवर किया जा सकता है k¹² एक उपसमूह का बदलाव जो इससे बड़ा नहीं है A. यह बदलावों की संभावित रूप से बहुत बड़ी संख्या है। लेकिन यह एक बहुपद है, इसलिए यह तेजी से नहीं बढ़ता है k बड़ा हो जाता है, जैसे कि होता k प्रतिपादक में थे.

कुछ दिनों बाद, ताओ शुरू करना प्रमाण को औपचारिक बनाना. उन्होंने योगदान को समन्वित करने के लिए संस्करण-नियंत्रण पैकेज GitHub का उपयोग करके औपचारिकीकरण परियोजना को सहयोगात्मक रूप से चलाया दुनिया भर में 25 स्वयंसेवक. उन्होंने नामक एक उपकरण का प्रयोग किया खाका द्वारा विकसित पैट्रिक मैसोट, पेरिस-सैकले विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ, ताओ से अनुवाद करने के प्रयासों को व्यवस्थित करने के लिए बुलाया कंप्यूटर कोड में "गणितीय अंग्रेजी"। ब्लूप्रिंट, अन्य बातों के अलावा, एक बना सकता है चार्ट प्रमाण में शामिल विभिन्न तार्किक चरणों का चित्रण। एक बार जब सभी बुलबुले, जिसे ताओ ने "हरे रंग की सुंदर छाया" कहा था, से ढक दिया गया, तो टीम का काम पूरा हो गया। उन्हें एक ऑनलाइन पेपर में कुछ बहुत ही मामूली टाइपिंग त्रुटियाँ मिलीं message, ताओ ने कहा कि "परियोजना के सबसे गणितीय रूप से दिलचस्प हिस्से औपचारिक रूप से अपेक्षाकृत सरल थे, लेकिन यह तकनीकी 'स्पष्ट' कदम थे जिनमें सबसे अधिक समय लगा।"

अपने प्रसिद्ध अनुमान के सिद्ध होने से कुछ वर्ष पहले ही मार्टन की मृत्यु हो गई, लेकिन सबूत उसी की बात दोहराते हैं जीवन का काम एन्ट्रापी और सूचना सिद्धांत पर। गोवर्स ने कहा, "जब आप इसे इस एन्ट्रॉपी ढांचे में करते हैं तो सब कुछ उस ढांचे की तुलना में बहुत बेहतर काम करता है जिसे मैं करने की कोशिश कर रहा था।" "मेरे लिए, यह अभी भी कुछ हद तक जादुई लगता है।"

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