अनुमानों का एक टॉवर जो एक सुई पर टिका हुआ है | क्वांटा पत्रिका

गणित में, एक साधारण समस्या अक्सर वैसी नहीं होती जैसी दिखती है। इस गर्मी की शुरुआत में, क्वांटा ऐसी ही एक समस्या पर रिपोर्ट की गई: वह सबसे छोटा क्षेत्र कौन सा है जिसे आप एक असीम पतली सुई को सभी संभावित दिशाओं में घुमाते समय साफ़ कर सकते हैं? इसे डायल की तरह इसके केंद्र के चारों ओर घुमाएं, और आपको एक वृत्त मिलता है। लेकिन इसे अधिक चतुराई से घुमाएं, और आप मनमाने ढंग से अंतरिक्ष के एक छोटे से हिस्से को कवर कर सकते हैं। यदि आपको सुई को एक निरंतर गति में घुमाने की आवश्यकता नहीं है, और इसके बजाय बस हर दिशा में एक सुई बिछा दें, तो आप सुइयों की एक ऐसी व्यवस्था बना सकते हैं जो किसी भी क्षेत्र को कवर नहीं करती है।

गणितज्ञ इन व्यवस्थाओं को काकेया सेट कहते हैं। जबकि वे जानते हैं कि ऐसे सेट क्षेत्रफल (या आयतन, यदि आप अपनी सुइयों को तीन या अधिक आयामों में व्यवस्थित कर रहे हैं) के संदर्भ में छोटे हो सकते हैं, तो उनका मानना ​​है कि सेट हमेशा बड़े होने चाहिए यदि उनका आकार हॉसडॉर्फ नामक मीट्रिक द्वारा मापा जाता है आयाम।

गणितज्ञों को अभी तक इस कथन को सिद्ध करना बाकी है, जिसे काकेया अनुमान के नाम से जाना जाता है। लेकिन हालांकि यह स्पष्ट रूप से सुइयों के बारे में एक सरल प्रश्न है, "इन काकेया सेटों की ज्यामिति आंशिक अंतर समीकरणों, हार्मोनिक विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में प्रश्नों की एक पूरी श्रृंखला को रेखांकित करती है," ने कहा। जोनाथन हिकमैन एडिनबर्ग विश्वविद्यालय के.

काकेया अनुमान हार्मोनिक विश्लेषण में तीन केंद्रीय समस्याओं के पदानुक्रम के आधार पर स्थित है - गणित की एक शाखा जो अध्ययन करती है कि कार्यों को नियमित रूप से दोलनशील साइन तरंगों जैसे आवधिक कार्यों के योग के रूप में कैसे दर्शाया जा सकता है।

उस पदानुक्रम में अगला कदम "प्रतिबंध" अनुमान है। यदि यह सत्य है, तो काकेय अनुमान भी सत्य है। (इसका यह भी अर्थ है कि यदि काकेया अनुमान गलत निकला, तो प्रतिबंध अनुमान सत्य नहीं हो सकता।) प्रतिबंध अनुमान, बदले में, तथाकथित बोचनर-रीज़ अनुमान द्वारा निहित है। और सबसे ऊपर स्थानीय स्मूथिंग अनुमान बैठता है।

पहले दो अनुमान फूरियर ट्रांसफॉर्म के व्यवहार से संबंधित हैं, जो हार्मोनिक विश्लेषण की एक तकनीक है, जो वास्तव में गणना करती है कि लगभग किसी भी फ़ंक्शन को साइन तरंगों के योग के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए। यह भौतिकविदों और इंजीनियरों के लिए उपलब्ध सबसे शक्तिशाली गणितीय उपकरणों में से एक है। फूरियर ट्रांसफॉर्म ने विभेदक समीकरणों को हल करने, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत जैसे क्वांटम यांत्रिक विचारों को व्यक्त करने और संकेतों का विश्लेषण और प्रसंस्करण करने में एक मौलिक भूमिका निभाई है - जिससे आधुनिक मोबाइल फोन जैसी चीजें संभव हो गई हैं।

चूँकि पदानुक्रम में प्रत्येक कथन अपने से नीचे वाले को दर्शाता है, यदि काकेया अनुमान गलत है, तो अन्य कोई भी अनुमान सत्य नहीं है। पूरा टावर ढह जायेगा. हिकमैन ने कहा, "आप एक सुपर राक्षस प्रति-उदाहरण बना सकते हैं जो कई अनुमानों को तोड़ देगा।"

दूसरी ओर, काकेया अनुमान को सच साबित करने से स्वचालित रूप से उन अन्य अनुमानों की सच्चाई का पता नहीं चलेगा - लेकिन यह गणितज्ञों को आगे बढ़ने के तरीके में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि देगा।

और इसलिए, "हार्मोनिक विश्लेषण के समुदाय का लगभग आधा हिस्सा, जिसके बारे में मैं जानता हूं, इस और संबंधित समस्याओं पर काम कर रहा है, या किसी बिंदु पर उन पर काम किया है," कहा शाओमिंग गुओ विस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय, मैडिसन के।

हाल ही में, गणितज्ञों को यह जानकर आश्चर्य हुआ कि इन समस्याओं से निपटने के लिए उन्होंने जो तकनीकें विकसित की हैं, उनका उपयोग संख्या सिद्धांत के असंबद्ध प्रतीत होने वाले क्षेत्र में प्रमुख परिणाम साबित करने के लिए भी किया जा सकता है। गुओ ने कहा, "यह लोगों की सोच से कहीं अधिक सामान्य घटना है।"

परतदार कैक

कहानी फूरियर रूपांतरण से शुरू होती है। "आप [कार्यों] को छोटे-छोटे टुकड़ों में विघटित करना चाहते हैं, उनकी अंतःक्रियाओं का विश्लेषण करना चाहते हैं, और उन्हें वापस एक साथ जोड़ना चाहते हैं," कहा युमेंग ओउ पेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय के. एक-आयामी कार्यों के लिए - वक्र जिन्हें आप कागज के एक टुकड़े पर प्लॉट कर सकते हैं - गणितज्ञों को यह करने की अच्छी समझ है, तब भी जब उन्हें केवल कुछ टुकड़ों का उपयोग करके फूरियर रूपांतरण को उलटने की आवश्यकता होती है।

लेकिन दो या दो से अधिक आयामों में चीजें गड़बड़ हो सकती हैं।

1971 में, चार्ली फेफरमैनप्रिंसटन विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ, ने यह पता लगाया कि काकेया सेट का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए कैसे किया जाए कि फूरियर परिवर्तन को उलटने से कई आयामों में अजीब और आश्चर्यजनक परिणाम मिल सकते हैं।

गणितज्ञों को बोचनर-रीज़ अनुमान के रूप में एक समाधान मिला, जो अनिवार्य रूप से बताता है कि मूल फ़ंक्शन को पुनर्प्राप्त करने के लिए और अधिक परिष्कृत तरीके हैं जो फ़ेफ़रमैन के उदाहरण की तरह टूटते नहीं हैं। लेकिन वह सुधार काकेया अनुमान की सत्यता पर निर्भर था।

यदि यह सच है, तो "आवृत्तियों को छोटा करने से केवल छोटी त्रुटियाँ होंगी," ने कहा बेट्सी स्टोवाल विस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय, मैडिसन के। "इसका मतलब है कि छोटी-छोटी गलतियाँ तूल न पकड़ लें।"

तो पदानुक्रम शुरू हुआ. बाद में, गणितज्ञों ने एक और महत्वपूर्ण संबंध खोजा: यदि सच है, तो बोचनर-रीज़ अनुमान में प्रतिबंध अनुमान नामक एक कथन भी निहित है। यह अनुमान बताता है कि यदि आप फूरियर ट्रांसफॉर्म के सीमित संस्करण से शुरू करते हैं - उन मूल्यों को "प्रतिबंधित" करना जो आप केवल उन लोगों तक देखते हैं जो विशेष सतहों पर रहते हैं - यह अभी भी आपको मूल फ़ंक्शन के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी दे सकता है। और यह पता चला कि यदि प्रतिबंध अनुमान सत्य था, तो काकेया अनुमान भी सत्य था। (इसने टॉवर में काकेया और बोचनर-रीज़ के बीच प्रतिबंध अनुमान लगाया।)

पदानुक्रम में प्रमुख समस्या, जिसे स्थानीय स्मूथिंग अनुमान कहा जाता है, फूरियर परिवर्तन से सीधे तौर पर नहीं निपटती है, बल्कि तरंगों के व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरणों के समाधान के आकार पर सीमाएं लगाती है।

आप इसके बारे में काकेया सेट में रेखाओं की ज्यामिति के संदर्भ में भी सोच सकते हैं। आप तरंग समीकरण के सामान्य समाधान को टुकड़ों के एक समूह में तोड़ सकते हैं जो अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं और समय के साथ अलग-अलग तरीकों से एक-दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। उनमें से प्रत्येक टुकड़ा गणितीय रूप से काकेया सेट में एक सुई जैसा दिखता है। काकेया अनुमान का दावा है कि इस तरह के कॉन्फ़िगरेशन में बहुत अधिक ओवरलैप नहीं हो सकता है। इस भौतिक संदर्भ में, ओवरलैप समाधान में अनियमित और अप्रत्याशित व्यवहार की दृढ़ता के अनुरूप होगा। उदाहरण के लिए, एक ध्वनि तरंग कई अलग-अलग समय पर कई क्षेत्रों में फैल सकती है।

स्थानीय स्मूथिंग अनुमान में कहा गया है कि ऐसी अनियमितताएं औसत होनी चाहिए। “यह वित्तीय बाज़ार का औसत लेने जैसा है,” कहा सिप्रियन डेमेटर इंडियाना यूनिवर्सिटी ब्लूमिंगटन के। "यहाँ-वहाँ दुर्घटनाएँ हो सकती हैं, लेकिन यदि आप अपना पैसा निवेश करते हैं और 40 वर्षों में सेवानिवृत्त होते हैं, तो इस बात की अच्छी संभावना है कि आपको कुछ अच्छे निवेश मिलेंगे।"

लेकिन जैसा कि पदानुक्रम में सभी अनुमानों के साथ होता है, यह काकेया अनुमान की सच्चाई पर निर्भर करता है। स्टोवाल ने कहा, "विचार यह है कि यदि आप काकेया सेट में बहुत सारे प्रतिच्छेदन को खारिज करते हैं, तो इसका मतलब है कि आप उन स्थितियों को खारिज कर सकते हैं जहां आपके समाधान के कुछ हिस्से मिलकर किसी प्रकार की गड़बड़ी पैदा करते हैं।"

यह अनुमान समूह में सबसे कठिन है: जबकि काकेया, प्रतिबंध और बोचनर-रीज़ समस्याओं के द्वि-आयामी मामलों को दशकों पहले हल किया गया था, द्वि-आयामी स्थानीय स्मूथिंग अनुमान केवल कुछ साल पहले ही साबित हुआ था। (उच्च आयामों में, ये सभी समस्याएं खुली रहती हैं।)

लेकिन स्थानीय स्मूथिंग अनुमान को साबित करने में धीमी प्रगति के बावजूद, इस पर काम करने से अन्यत्र जबरदस्त प्रगति हुई है। 1999 में, अनुमान से निपटने की कोशिश करते हुए, गणितज्ञ थॉमस वोल्फ ने डिकॉउलिंग नामक एक विधि पेश की। तब से, उस तकनीक ने अपना जीवन बना लिया है: इसका उपयोग न केवल हार्मोनिक विश्लेषण में, बल्कि संख्या सिद्धांत, ज्यामिति और अन्य क्षेत्रों में बड़ी सफलताएं हासिल करने के लिए किया गया है। "डिकॉउलिंग परिणामों का उपयोग करके, अब आपके पास बहुत प्रसिद्ध, महत्वपूर्ण समस्याओं में विश्व रिकॉर्ड हैं," कहा क्रिस्टोफर सोग्गे जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय के, जिन्होंने पहली बार 1990 के दशक में स्थानीय स्मूथिंग अनुमान तैयार किया था। उदाहरण के लिए, डिकॉउलिंग का उपयोग यह गिनने में मदद के लिए किया गया है कि किसी पूर्णांक को वर्गों, घनों या किसी अन्य घात के योग के रूप में कितने तरीकों से दर्शाया जा सकता है।

जैसा कि डेमेटर ने कहा, ये परिणाम संभव हैं क्योंकि "हम संख्याओं को तरंगों के रूप में देख सकते हैं।" उन्होंने आगे कहा, "ये सभी समस्याएं काकेया सुई सेट से जुड़ी हैं, यह आकर्षक है।" "आपको नहीं लगता कि रेखाखंडों का उपयोग करके तैयार की जा सकने वाली किसी चीज़ में इतनी सुंदरता, कठिनाई और महत्व छिपा हो सकता है।"