परिचय
एल्गोरिद्म में, जीवन की तरह, नकारात्मकता एक खिंचाव हो सकती है।
एक ग्राफ़ पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजने की समस्या पर विचार करें - लिंक या किनारों से जुड़े नोड्स का एक नेटवर्क। अक्सर, ये किनारे आपस में बदलने योग्य नहीं होते हैं: एक ग्राफ़ एक रोड मैप का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जिस पर कुछ सड़कें दूसरों की तुलना में धीमी हैं या उच्च टोल हैं। कंप्यूटर वैज्ञानिक इन अंतरों के लिए प्रत्येक किनारे को एक "वजन" के साथ जोड़ते हैं जो उस खंड में जाने की लागत को निर्धारित करता है - चाहे वह लागत समय, धन या कुछ और का प्रतिनिधित्व करती हो। 1950 के दशक के बाद से, वे जानते हैं कि सैद्धांतिक रूप से जितना संभव हो उतना तेज़ सबसे छोटा रास्ता कैसे खोजा जाए, यह मानते हुए कि सभी वज़न सकारात्मक संख्याएँ हैं।
लेकिन कुछ ग्राफ़ पर भार ऋणात्मक हो सकता है — एक सेगमेंट के साथ यात्रा करने से दूसरे सेगमेंट को पार करने की लागत ऑफसेट हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक डिलीवरी ड्राइवर पर विचार करें, जिसे परिवहन पैकेज से होने वाली आय (नकारात्मक भार द्वारा दर्शाए गए) के विरुद्ध गैस और टोल (सकारात्मक भार द्वारा दर्शाए गए) की लागत को संतुलित करना चाहिए। ऐसे मामलों में, सबसे तेज़ ज्ञात शॉर्टेस्ट-पाथ एल्गोरिथम काम नहीं करता है। दशकों से, नकारात्मक-भार वाले ग्राफ़ पर सबसे छोटा रास्ता खोजने के लिए तेज़ एल्गोरिदम मायावी बने हुए हैं।
अब कंप्यूटर वैज्ञानिकों की तिकड़ी ने लंबे समय से चली आ रही इस समस्या का समाधान निकाल लिया है। उनका नया कलन विधि, जो किसी दिए गए "स्रोत" नोड से हर दूसरे नोड के लिए एक ग्राफ के माध्यम से सबसे छोटा रास्ता खोजता है, लगभग उस गति से मेल खाता है जो सकारात्मक-भार वाले एल्गोरिदम ने बहुत पहले हासिल की थी।
क्या अधिक है, नया दृष्टिकोण दशकों पुरानी गणितीय तकनीकों का उपयोग करता है, आधुनिक ग्राफ सिद्धांत अनुसंधान पर हावी होने वाले अधिक परिष्कृत तरीकों को छोड़कर।
"मुझे विश्वास नहीं हो रहा था कि इस तरह का एक सरल एल्गोरिदम मौजूद है," कहा मैक्सिमिलियन प्रोबस्ट गुटेनबर्ग, स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी ज्यूरिख में एक कंप्यूटर वैज्ञानिक। "यह सब वहाँ 40 वर्षों के लिए किया गया है। यह बस किसी को वास्तव में चतुर और यह सब काम करने के लिए निर्धारित करने के लिए ले गया।
लालच की हद
कहानी 1956 में शुरू होती है, जब डच कंप्यूटर वैज्ञानिक एड्जर डिजस्ट्रा ने केवल सकारात्मक वजन वाले ग्राफ पर सबसे छोटा रास्ता खोजने के लिए एक तेज एल्गोरिथम विकसित किया। इसे समझने के लिए, स्रोत से शुरू करने और एक समय में एक नोड के ग्राफ़ की खोज करने की कल्पना करें, जैसे ही आप जाते हैं नए खोजे गए किनारों के वजन को कम करते हुए। हर बार जब आप एक नोड पर जाते हैं, तो स्रोत से नए नोड के प्रत्येक पड़ोसी के लिए सबसे छोटे रास्तों का प्रारंभिक अनुमान लगाएं, यदि आपको एक नया छोटा रास्ता मिल गया है तो मौजूदा अनुमानों को अपडेट करें। यह तय करने के लिए कि किस अज्ञात नोड पर आगे जाना है, लालची रणनीति कहलाती है: अपने वर्तमान अनुमान के अनुसार जो भी स्रोत के सबसे करीब है, उस पर जाएं।
सकारात्मक भार के साथ, दिज्क्स्त्र का एल्गोरिथ्म पहली बार प्रत्येक नोड पर जाने के लिए जो पथ लेता है वह वास्तव में सबसे छोटा है। यह देखना सबसे आसान है कि यह पहले चरण के लिए सत्य है। दो नोड्स ए और बी की कल्पना करें जो वजन 2 के किनारे से जुड़े हुए हैं। यदि ए स्रोत नोड है, और इसे छूने वाले हर दूसरे किनारे का वजन बड़ा है, तो ए से बी तक का सीधा रास्ता उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा संभव रास्ता होना चाहिए। , क्योंकि किसी भी अन्य पथ का पहला खंड पहले से ही लंबा होगा। इसी तरह का तर्क हर कदम पर काम करता है। एल्गोरिद्म को कभी भी पीछे मुड़कर नहीं देखना पड़ता है, इसलिए ग्राफ़ को एक बार पूरा करने के बाद समाप्त होने की गारंटी है - यही वह चीज़ है जो इसे इतनी तेज़ बनाती है।
लेकिन दिज्क्स्ट्रा की लालची रणनीति के लिए नकारात्मक भार परेशानी पैदा करता है। हमारे डिलीवरी ड्राइवर पर फिर से विचार करें। A से B तक का एक सीधा मार्ग जो एक छोटे से लाभ को शुद्ध करता है, एक घुमावदार रास्ते की तुलना में कम पैसा कमा सकता है जिसमें कहीं बड़ा भुगतान होता है। "आप केवल स्थानीय जानकारी के आधार पर निर्णय नहीं ले सकते," कहा संजीव खन्नापेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय में एक कंप्यूटर वैज्ञानिक। "अंत में एक वास्तविक इनाम पाने के लिए आपको कई उप-इष्टतम कदम उठाने पड़ सकते हैं।"
दशकों से, नकारात्मक-वजन वाले ग्राफ़ पर काम कर रहे कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने दिज्क्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म की गति को समान "कॉम्बिनेटरियल" एल्गोरिदम के साथ मिलाने की कोशिश की। इनमें असतत संचालन शामिल हैं - जैसे गिनती की संभावनाएँ, वज़न को संशोधित करना और किनारों को चुनिंदा रूप से हटाना - जो अंतर्निहित ग्राफ़ की असतत संरचना को दर्शाता है। हालाँकि, 1990 के दशक तक प्रगति धीमी हो गई। हाल ही में, शोधकर्ताओं ने "निरंतर अनुकूलन" एल्गोरिदम का उपयोग किया है, जो कलन से तरकीबें उधार लेते हैं। दुर्भाग्य से, परिणामी स्पीडअप सीमित रहे हैं, और अक्सर सादगी की कीमत पर आए हैं।
साइकिल तोड़ दो
2021 की गर्मियों में, दो कंप्यूटर वैज्ञानिक जो कोपेनहेगन विश्वविद्यालय में सहयोगी बनेंगे — दानुपोन नानोंगकाई और क्रिश्चियन वुल्फ-निल्सन - एक संयुक्त शोध परियोजना के लिए एक विषय खोज रहे थे। "ईसाई ने कहा, 'ओह, वैसे, मैं छुट्टी पर था, और इस वजह से मैं कुछ बहुत महत्वाकांक्षी सोचने की कोशिश कर रहा था," नानोंगकाई को याद किया, जो अब सारब्रुकन, जर्मनी में मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट फॉर इंफॉर्मेटिक्स में हैं। वे नेगेटिव-वेट शॉर्टेस्ट-पाथ प्रॉब्लम पर बस गए और उन्हें आमंत्रित किया हारून बर्नस्टीन उनमें शामिल होने के लिए रटगर्स विश्वविद्यालय के।
सभी तीन शोधकर्ता अन्य समस्याओं के लिए कॉम्बिनेटरियल ग्राफ एल्गोरिदम के विशेषज्ञ थे, और वे यह देखना चाहते थे कि ये अपेक्षाकृत प्राचीन दृष्टिकोण उन्हें कितनी दूर तक ले जा सकते हैं। "वास्तव में एक ऐसी समस्या पर काम करने की एक निश्चित स्वतंत्रता है जो महत्वाकांक्षी है और लंबे समय से खुली है," बर्नस्टीन ने कहा।
संभावित ग्राफ़ के एक सबसेट को अस्थायी रूप से अनदेखा करके तीनों ने शुरुआत की: नकारात्मक चक्र वाले। ये ऐसे रास्ते हैं जो किनारों की एक श्रृंखला से गुजरने के बाद वापस उसी जगह पर लौट आते हैं जहां से वे शुरू हुए थे, जिनका वजन एक ऋणात्मक संख्या में जुड़ जाता है। प्रारंभिक बिंदु से पहुंचने योग्य नकारात्मक चक्र वाले ग्राफ में, सबसे छोटे रास्ते की धारणा टूट जाती है, क्योंकि आप पहले नकारात्मक चक्र के चारों ओर बार-बार चक्कर लगाकर किसी भी नोड की दूरी को नकारात्मक (या लाभदायक) के रूप में बना सकते हैं। अपने गंतव्य की ओर जा रहे हैं।
शोधकर्ताओं को संदेह था कि समस्या को कठिन बनाने के लिए मुख्य रूप से लंबे नकारात्मक रास्ते जिम्मेदार थे। इसलिए उन्होंने आस-पास के नोड्स के तंग समूहों पर ध्यान केंद्रित करना शुरू किया, जिसमें कोई भी लंबा नकारात्मक पथ नहीं हो सकता: ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि दो बिंदु एक छोटे सकारात्मक पथ से जुड़े हैं, तो उनके बीच एक लंबा नकारात्मक पथ जोड़ने से एक नकारात्मक चक्र बन जाएगा। एक तंग समूह के भीतर, "तथ्य यह है कि हर कोई सकारात्मक अर्थों में एक साथ है, वास्तव में आपको नकारात्मक किनारों के बारे में भी उपयोगी जानकारी देता है," बर्नस्टीन ने कहा। "यह आपको बताता है कि चीजें बहुत नकारात्मक नहीं हो सकतीं।"
अधिकांश ग्राफ़ में कई ऐसे तंग-बुनने वाले समूह होते हैं जो केवल एक दूसरे से कमजोर रूप से जुड़े होते हैं। यदि शोधकर्ता सभी समूहों को इंगित कर सकते हैं, तो उन्हें संदेह था कि वे हर एक के भीतर सबसे छोटा रास्ता खोजने का एक तरीका विकसित कर सकते हैं। वहां से, उनके पास अलग-अलग समूहों को जोड़ने और मूल ग्राफ पर सबसे छोटा रास्ता खोजने का एक आसान समय हो सकता है। लेकिन इसके लिए किसी भी ग्राफ़ के क्षेत्रों को जल्दी से खोलने की आवश्यकता होगी जिसमें नोड्स एक साथ बंद हों - कुछ ऐसा जो उन्हें नहीं पता था कि कैसे करना है। कुंजी एक ऐसी तकनीक निकली जो ग्राफ सिद्धांत की एक पूरी तरह से अलग शाखा में उत्पन्न हुई।
रेखांकन काटना
1980 के दशक में, कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने एक ग्राफ में तंग समूहों को चुनने और उन समूहों को अलग करने के लिए किनारों की पहचान करने के लिए कम-व्यास अपघटन नामक एक तकनीक विकसित की। यह तकनीक ग्राफ़ को स्वतंत्र वर्गों में विभाजित करने का एक तरीका प्रदान करती है। इसका आविष्कार "वितरित" एल्गोरिदम को सुविधाजनक बनाने के लिए किया गया था, जिसमें ग्राफ़ के विभिन्न हिस्सों पर समानांतर में संगणनाएँ चलती हैं, इसलिए यह सबसे छोटे-पथ एल्गोरिदम के लिए कम स्पष्ट रूप से उपयोगी था, जिसमें यह संपत्ति नहीं है।
बर्नस्टीन, नानोंगकाई और वुल्फ-निल्सन ने महसूस किया कि कम-व्यास के अपघटन से उन्हें बहुत अधिक केंद्रित नकारात्मकता के बिना समूहों की पहचान करने में मदद मिल सकती है। दुर्भाग्य से, मानक कम-व्यास अपघटन एल्गोरिदम केवल अप्रत्यक्ष रेखांकन पर काम करते हैं - वे जिनमें प्रत्येक किनारे को दोनों दिशाओं में पार किया जा सकता है। नकारात्मक-भार सबसे कम-पथ समस्या, इस बीच, केवल निर्देशित ग्राफ़ पर समझ में आता है, जिसमें हर किनारा एक तरफ़ा सड़क है। (अन्यथा, एक एकल अप्रत्यक्ष नकारात्मक किनारा एक नकारात्मक चक्र बनाता है जिसमें उस किनारे पर आगे और पीछे बार-बार हॉप्स होते हैं।) यदि शोधकर्ता कम-व्यास अपघटन का उपयोग करना चाहते हैं, तो उन्हें इसे अनुकूलित करना होगा।
यही उन्होंने अपने नए पेपर में किया। से प्रेरित पिछले काम जिसमें बर्नस्टीन और वुल्फ-निल्सन ने प्रोबस्ट गुटेनबर्ग के साथ सहयोग किया था, उन्होंने निम्न-व्यास अपघटन के अनुरूप निर्देशित ग्राफ़ के लिए एक फ्रैक्चरिंग प्रक्रिया विकसित की। प्रक्रिया केवल कुछ मुट्ठी भर किनारों को हटाने के लिए एक यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग करके तंग-बुनने वाले समूहों की एक श्रृंखला में एक मनमाने ढंग से निर्देशित ग्राफ को काटती है। बाद में, उन समूहों को विरल नेटवर्क से जोड़ा जाता है जिसमें सभी किनारे एक ही दिशा में इंगित करते हैं। उस तरह के नेटवर्क को डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ या डीएजी कहा जाता है।
DAG को एक धारा की तरह समझें जिसमें पानी अलग-अलग रास्तों से बह सकता है: कुछ रास्ते अलग-अलग स्रोतों से बहते हैं, अन्य अलग-अलग दिशाओं में निकलते हैं, और फिर भी अन्य अलग हो सकते हैं और एक साथ वापस मिल सकते हैं। लेकिन कुछ भी कभी पीछे की ओर नहीं बहता, इसलिए कोई चक्र नहीं होता; इससे DAG के साथ काम करना बहुत आसान हो जाता है।
शोधकर्ताओं ने लंबे समय से जाना है कि नकारात्मक भार के साथ भी डीएजी पर तेजी से सबसे छोटा रास्ता कैसे खोजा जाए। इसलिए फ्रैक्चरिंग तकनीक ने तीन शोधकर्ताओं को किसी भी निर्देशित ग्राफ को दो विशेष मामलों - डीएजी और तंग समूहों के संयोजन में कम करने में सक्षम बनाया - जो कि प्रत्येक को संभालना आसान था।
नया शॉर्टेस्ट-पाथ एल्गोरिद्म बार-बार फ्रैक्चरिंग प्रक्रिया का उपयोग करके डीएजी द्वारा जुड़े तंग-बुनने वाले समूहों में ग्राफ को तोड़ने के लिए उपयोग करता है। यह फिर उन समूहों को आगे और आगे तोड़ता है। प्रक्रिया के अंत में, अंतरतम स्तर पर क्लस्टर यथासंभव निकट से जुड़े हुए हैं। एल्गोरिथम इतना तेज़ होने का एक कारण यह है कि एक बहुत बड़े ग्राफ़ को भी पूरी तरह से तोड़ने के लिए इसमें कई पुनरावृत्तियों की आवश्यकता नहीं होती है, ठीक वैसे ही जैसे यदि आप बार-बार विभाजित करते हैं तो एक बड़ी संख्या को एक उचित आकार में काटने में देर नहीं लगती है। यह आधे में।
इस तरह से ग्राफ पूरी तरह से टूटने के साथ, शोधकर्ता ग्राफ के हर हिस्से के माध्यम से सबसे छोटा रास्ता खोज सकते हैं। नेस्टेड ग्राफ संरचना के अंतरतम स्तर पर तंग समूहों के लिए, यह आसान था - उनके पास व्यावहारिक रूप से कोई नकारात्मकता नहीं बची थी। और शोधकर्ताओं को पहले से ही पता था कि उन्हें जोड़ने वाले डीएजी अनुभागों पर सबसे छोटा रास्ता कैसे खोजा जाए।
अंत में, एल्गोरिथ्म फ्रैक्चरिंग प्रक्रिया द्वारा हटाए गए किनारों को वापस जोड़ता है और सबसे छोटे रास्तों पर उनके प्रभावों की गणना करता है। शोधकर्ताओं ने साबित किया कि किनारों को बेतरतीब ढंग से हटाने के लिए उनकी प्रक्रिया को "पिछड़े" किनारों को खत्म करने के लिए लगभग हमेशा कुछ विलोपन की आवश्यकता होगी - जिस तरह से उनके डीएजी को बड़े चक्रों के साथ एक ग्राफ में बदल दिया जाएगा। इससे यह बेहद असंभव हो गया कि कोई भी छोटा रास्ता ऐसे कई पिछड़े खंडों से होकर गुजरेगा, इसलिए वे 1950 के दशक से दो पाठ्यपुस्तक विधियों को मिलाकर इस मुश्किल अंतिम चरण को हल कर सकते थे: दिज्क्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म और नकारात्मक-वजन वाले ग्राफ के लिए विकसित पहला एल्गोरिथ्म।
"यह इन विचारों की एक अत्यंत चतुर रचना है," खन्ना ने कहा। एल्गोरिदम नकारात्मक-वजन वाले ग्राफ़ के लिए पहला है जो "निकट-रैखिक" समय में चलता है - जिसका अर्थ है कि इसका रनटाइम सभी किनारों को गिनने के लिए आवश्यक समय के लगभग आनुपातिक है, यह संभवतः सबसे तेज़ हो सकता है।
और नकारात्मक चक्रों वाले ग्राफों का क्या, जिन्हें शोधकर्ताओं ने शुरुआत में अनदेखा करने का फैसला किया? अपने शॉर्टेस्ट-पाथ एल्गोरिथम को अंतिम रूप देने के बाद, उन्होंने दिखाया कि यह नकारात्मक चक्रों को इंगित करने के लिए एक तेज़ एल्गोरिथम के रूप में भी काम कर सकता है। वास्तव में कोई भी ग्राफ इसकी पहुंच से बाहर नहीं था।
समानांतर पथ
बर्नस्टीन ने 2022 फ़ाउंडेशन ऑफ़ कंप्यूटर साइंस सम्मेलन में टीम का परिणाम प्रस्तुत किया, जहाँ नए एल्गोरिथम का वर्णन करने वाली उनकी पांडुलिपि को दो सर्वश्रेष्ठ पेपरों में से एक माना गया। अन्य कागज ग्राफ थ्योरी में लंबे समय से चली आ रही समस्या को हल करने के लिए एक नए नियर-लीनियर-टाइम एल्गोरिथम का वर्णन करने के लिए भी हुआ।
प्रोब्स्ट गुटेनबर्ग और पांच अन्य शोधकर्ताओं द्वारा विकसित एल्गोरिथम ने न्यूनतम लागत प्रवाह नामक एक अधिक सामान्य समस्या को संबोधित किया, जिसमें लक्ष्य समानांतर में कई रास्तों के माध्यम से परिवहन का अनुकूलन करना है, और प्रत्येक किनारे की अधिकतम क्षमता के साथ-साथ संबद्ध लागत भी है। . शॉर्टेस्ट-पाथ प्रॉब्लम्स मिनिमम-कॉस्ट फ्लो का एक विशेष मामला है, इसलिए न्यू मिनिमम-कॉस्ट-फ्लो एल्गोरिद्म का उपयोग नेगेटिव-वेट शॉर्टेस्ट-पाथ्स प्रॉब्लम को नियर-लीनियर टाइम में हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि बिल्कुल भिन्न दृष्टिकोण के साथ।
न्यूनतम-लागत प्रवाह पर काम करने वाली टीम ने संयोजन और निरंतर अनुकूलन तकनीकों के एक जटिल संश्लेषण का उपयोग करके अपने सामान्य-उद्देश्य वाले तेज़ एल्गोरिदम को विकसित किया है जो कम से कम वर्तमान में व्यवहार में इसे बोझिल बना देता है। बर्नस्टीन और उनके सहयोगियों द्वारा संयोजी एल्गोरिथ्म, हालांकि एक अधिक विशिष्ट समस्या तक सीमित है, सादगी का त्याग किए बिना अपने निकट-रैखिक रनटाइम को प्राप्त करता है।
प्रोब्स्ट गुटेनबर्ग ने कहा, "यह इस पेपर के बारे में इतना आश्चर्यजनक है।" "आप इसे एक स्नातक छात्र को समझा सकते हैं, और आप इसे अपने कंप्यूटर पर लागू भी कर सकते हैं।"
नतीजतन, इस नए एल्गोरिथ्म ने ग्राफ सिद्धांत में अन्य समस्याओं के संयोजन के दृष्टिकोण में रुचि को पुनर्जीवित किया है। यह देखा जाना बाकी है कि विशुद्ध रूप से संयोजी एल्गोरिदम का उपयोग करके किन समस्याओं को तेजी से हल किया जा सकता है, और जिन्हें वास्तव में पिछले 20 वर्षों में विकसित निरंतर तकनीकों की आवश्यकता होती है।
"यह एक दार्शनिक प्रश्न है जिसे मैं समझने की कोशिश कर रहा हूं," नानोंगकाई ने कहा। "यह सबसे छोटी-पथ समस्या कुछ आशा देती है।"
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- स्रोत: https://www.quantamagazine.org/finally-a-fast-algorithm-for-shortest-paths-on-negative-graphs-20230118/
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