अनंत कितना बड़ा है?

मार्वल ब्लॉकबस्टर के अंत में एवेंजर्स: एंडगेम्स, टोनी स्टार्क का एक प्री-रिकॉर्डेड होलोग्राम उनकी छोटी बेटी को "आई लव यू 3,000" कहकर विदाई देता है। मार्मिक क्षण पहले के एक दृश्य को प्रतिध्वनित करता है जिसमें दोनों एक दूसरे के लिए अपने प्यार को मापने के लिए चंचल सोने की रस्म में लगे हुए हैं। स्टार्क की भूमिका निभाने वाले अभिनेता रॉबर्ट डाउनी जूनियर के अनुसार, रेखा अपने बच्चों के साथ इसी तरह के आदान-प्रदान से प्रेरित थी।

खेल बड़ी संख्या का पता लगाने का एक मजेदार तरीका हो सकता है:

"आई लव यू 10।"

"लेकिन मैं तुमसे प्यार करता हूँ 100।"

"ठीक है, मैं तुमसे प्यार करता हूँ 101!"

ठीक इसी तरह मेरे घर में "गूगोलप्लेक्स" एक लोकप्रिय शब्द बन गया। लेकिन हम सभी जानते हैं कि यह तर्क आखिर कहाँ ले जाता है:

"मुझे तुमसे बेइंतहा प्यार है!"

"अरे हां? आई लव यू इनफिनिटी प्लस 1!"

चाहे वह खेल के मैदान पर हो या सोते समय, बच्चे गणित की कक्षा से बहुत पहले अनंत की अवधारणा का सामना करते हैं, और वे इस रहस्यमय, जटिल और महत्वपूर्ण अवधारणा के साथ एक आकर्षण विकसित करते हैं। उनमें से कुछ बच्चे बड़े होकर अनंत से मोहित गणितज्ञ बन जाते हैं, और उनमें से कुछ गणितज्ञ अनंत के बारे में नई और आश्चर्यजनक बातें खोज रहे हैं।

आप जानते होंगे कि संख्याओं के कुछ समुच्चय अपरिमित रूप से बड़े होते हैं, लेकिन क्या आप जानते हैं कि कुछ अनंत दूसरे से बड़े होते हैं? और यह कि हम सुनिश्चित नहीं हैं कि क्या उन दोनों के बीच अन्य अनन्तताएँ हैं जिन्हें हम सबसे अच्छी तरह जानते हैं? गणितज्ञ कम से कम एक सदी से इस दूसरे प्रश्न पर विचार कर रहे हैं, और कुछ हालिया कार्यों ने इस मुद्दे के बारे में लोगों के सोचने के तरीके को बदल दिया है।

अनंत समुच्चयों के आकार के बारे में प्रश्नों से निपटने के लिए, आइए उन समुच्चयों से शुरू करें जिन्हें गिनना आसान है। एक सेट वस्तुओं, या तत्वों का एक संग्रह है, और एक परिमित सेट सिर्फ एक सेट है जिसमें बहुत से ऑब्जेक्ट होते हैं।

एक परिमित समुच्चय का आकार निर्धारित करना आसान है: बस उसमें मौजूद तत्वों की संख्या गिनें। चूंकि सेट सीमित है, आप जानते हैं कि आप अंततः गिनना बंद कर देंगे, और जब आप कर लेंगे तो आपको अपने सेट का आकार पता चल जाएगा।

यह रणनीति अनंत सेट के साथ काम नहीं करती है। यहाँ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, जिसे दर्शाया गया है। (कुछ लोग तर्क दे सकते हैं कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, लेकिन वह बहस अनंत में हमारी जांच को प्रभावित नहीं करती है।)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

इस सेट का आकार क्या है? चूंकि कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए तत्वों की संख्या गिनने का प्रयास काम नहीं करेगा। एक समाधान यह है कि इस अनंत सेट के आकार को "अनंत" घोषित किया जाए, जो गलत नहीं है, लेकिन जब आप अन्य अनंत सेटों की खोज शुरू करते हैं, तो आप महसूस करते हैं कि यह बिल्कुल सही नहीं है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर विचार करें, जो दशमलव प्रसार में व्यक्त होने वाली सभी संख्याएँ हैं, जैसे 7, 3.2, −8.015, या अनंत विस्तार जैसे $latexsqrt{2} = 1.414213…$। चूँकि प्रत्येक प्राकृत संख्या भी एक वास्तविक संख्या होती है, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कम से कम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय जितना बड़ा होता है, और इसलिए भी अनंत होना चाहिए।

लेकिन वास्तविक संख्याओं के सेट के आकार को समान "अनंत" घोषित करने के बारे में कुछ असंतोषजनक है जिसका उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के आकार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह देखने के लिए, किन्हीं दो संख्याओं को चुनें, जैसे कि 3 और 7। उन दो संख्याओं के बीच हमेशा बहुत सी प्राकृतिक संख्याएँ होंगी: यहाँ यह संख्याएँ 4, 5 और 6 हैं। लेकिन उनके बीच हमेशा अपरिमित रूप से कई वास्तविक संख्याएँ होंगी, संख्याएँ जैसे 3.001, 3.01, , 4.01023, 5.666… और इसी तरह।

उल्लेखनीय रूप से पर्याप्त, कोई भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याएं एक-दूसरे के कितने करीब हों, बीच में हमेशा अनंत रूप से कई वास्तविक संख्याएं होंगी। अपने आप में इसका मतलब यह नहीं है कि वास्तविक संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के अलग-अलग आकार होते हैं, लेकिन यह सुझाव देता है कि इन दो अनंत सेटों के बारे में मौलिक रूप से कुछ अलग है जो आगे की जांच की गारंटी देता है।

19वीं सदी के अंत में गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर ने इसकी जांच की। उन्होंने दिखाया कि इन दो अनंत सेटों के वास्तव में अलग-अलग आकार हैं। यह समझने और सराहना करने के लिए कि उसने ऐसा कैसे किया, पहले हमें यह समझना होगा कि अनंत समुच्चयों की तुलना कैसे की जाती है। रहस्य हर जगह गणित की कक्षाओं का एक प्रधान है: कार्य।

फ़ंक्शंस के बारे में सोचने के कई अलग-अलग तरीके हैं - फ़ंक्शन नोटेशन जैसे $latex f(x) = x^2 +1$, कार्टेशियन प्लेन में पैराबोलस के ग्राफ़, "इनपुट लें और इसमें 3 जोड़ें" जैसे नियम - लेकिन यहां हम एक फ़ंक्शन को एक सेट के तत्वों को दूसरे के तत्वों के साथ मिलाने के तरीके के रूप में सोचेंगे।

आइए उन समुच्चयों में से एक को मान लें, जो प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। दूसरे सेट के लिए, जिसे हम कॉल करेंगे S, हम सभी सम प्राकृत संख्याएँ लेंगे। यहाँ हमारे दो सेट हैं:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

एक सरल कार्य है जो के तत्वों को के तत्वों में बदल देता है S: $लेटेक्स f(x) = 2x$। यह फ़ंक्शन बस इसके इनपुट को दोगुना कर देता है, इसलिए यदि हम $latex f(x)$ के इनपुट के रूप में के तत्वों के बारे में सोचते हैं (हम एक फ़ंक्शन के इनपुट के सेट को "डोमेन" कहते हैं), तो आउटपुट हमेशा के तत्व होंगे S. उदाहरण के लिए, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ इत्यादि।

आप दो सेटों के तत्वों को एक साथ जोड़कर और तीरों का उपयोग करके यह कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन $latex f$ कैसे इनपुट को से आउटपुट में बदल देता है S.

ध्यान दें कि कैसे $latex f(x)$ के ठीक एक तत्व को निर्दिष्ट करता है S के प्रत्येक तत्व के लिए। यही कार्य करता है, लेकिन $latex f(x)$ इसे एक विशेष तरीके से करता है। सबसे पहले, $latex f$ सब कुछ असाइन करता है S में कुछ करने के लिए। फलन शब्दावली का प्रयोग करते हुए, हम कहते हैं कि का प्रत्येक अवयव S $latex f$ फ़ंक्शन के तहत के एक तत्व की "छवि" है। उदाहरण के लिए, सम संख्या 3,472 in . है S, और हम एक पा सकते हैं x ℕ में ऐसा है कि $latex f(x) = 3,472$ (अर्थात् 1,736)। इस स्थिति में हम कहते हैं कि फ़ंक्शन $latex f(x)$ मैप्स on S. यह कहने का एक कट्टर तरीका यह है कि फ़ंक्शन $latex f(x)$ "विशेषण" है। हालाँकि आप इसका वर्णन करते हैं, यह क्या महत्वपूर्ण है: फ़ंक्शन $latex f(x)$ के रूप में से इनपुट को आउटपुट में बदल देता है S, में कुछ भी नहीं S प्रक्रिया में चूक जाता है।

दूसरी विशेष बात यह है कि $latex f(x)$ इनपुट को आउटपुट कैसे प्रदान करता है, यह है कि में कोई भी दो तत्व एक ही तत्व में परिवर्तित नहीं होते हैं S. यदि दो संख्याएँ भिन्न हैं, तो उनके युगल भिन्न हैं; 5 और 11 में भिन्न प्राकृत संख्याएं हैं, और उनके आउटपुट में हैं S भी अलग हैं: 10 और 22। इस मामले में हम कहते हैं कि $latex f(x)$ "1-to-1" है ("1-1" भी लिखा गया है), और हम $latex f(x)$ का वर्णन इस प्रकार करते हैं "इंजेक्शन।" यहाँ कुंजी यह है कि इसमें कुछ भी नहीं है S दो बार उपयोग किया जाता है: प्रत्येक तत्व में S में केवल एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है।

$latex f(x)$ की ये दो विशेषताएं एक शक्तिशाली तरीके से संयोजित होती हैं। फ़ंक्शन $latex f(x)$ के तत्वों और के तत्वों के बीच एक पूर्ण मिलान बनाता है S. तथ्य यह है कि $latex f(x)$ "चालू" है, इसका मतलब है कि सब कुछ S में एक भागीदार है, और यह तथ्य कि $latex f(x)$ 1-to-1 है, इसका अर्थ है कि . में कुछ भी नहीं है S में दो साझेदार हैं। संक्षेप में, फ़ंक्शन $latex f(x)$ ℕ के प्रत्येक तत्व को के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ता है S.

एक फ़ंक्शन जो इंजेक्शन और विशेषण दोनों होता है उसे एक आक्षेप कहा जाता है, और एक आक्षेप दो सेटों के बीच 1-से-1 पत्राचार बनाता है। इसका मतलब यह है कि एक सेट के प्रत्येक तत्व का दूसरे सेट में ठीक एक साथी है, और यह दिखाने का एक तरीका है कि दो अनंत सेटों का आकार समान है।

चूँकि हमारा फलन $latex f(x)$ एक आक्षेप है, यह दर्शाता है कि दो अनंत समुच्चय और S एक ही आकार के हैं। यह आश्चर्यजनक लग सकता है: आखिरकार, प्रत्येक सम प्राकृत संख्या अपने आप में एक प्राकृत संख्या होती है, इसलिए में सब कुछ समाहित होता है S और अधिक। क्या इससे बड़ा नहीं होना चाहिए S? यदि हम परिमित समुच्चयों के साथ काम कर रहे हैं, तो उत्तर हाँ होगा। लेकिन एक अनंत सेट में पूरी तरह से दूसरा हो सकता है और वे अभी भी एक ही आकार के हो सकते हैं, जिस तरह से "अनंत प्लस 1" वास्तव में सादे पुराने "अनंत" की तुलना में बड़ी मात्रा में प्यार नहीं है। यह अनंत समुच्चयों के कई आश्चर्यजनक गुणों में से एक है।

इससे भी बड़ा आश्चर्य यह हो सकता है कि विभिन्न आकारों के अनंत सेट हैं। इससे पहले हमने वास्तविक और प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेटों के विभिन्न स्वरूपों की खोज की, और कैंटर ने साबित किया कि इन दो अनंत सेटों के अलग-अलग आकार हैं। उन्होंने अपने शानदार, और प्रसिद्ध, विकर्ण तर्क के साथ ऐसा किया।

चूँकि किन्हीं दो भिन्न वास्तविकों के बीच अपरिमित रूप से कई वास्तविक संख्याएँ हैं, आइए इस क्षण के लिए शून्य और 1 के बीच की अनंत वास्तविक संख्याओं पर ध्यान दें। इनमें से प्रत्येक संख्या को इस तरह (संभवतः अनंत) दशमलव विस्तार के रूप में माना जा सकता है।

यहां $latex a_1, a_2, a_3$ आदि केवल संख्या के अंक हैं, लेकिन हमें यह आवश्यकता होगी कि सभी अंक शून्य न हों इसलिए हम अपने सेट में संख्या शून्य को शामिल नहीं करते हैं।

विकर्ण तर्क अनिवार्य रूप से इस प्रश्न से शुरू होता है: यदि प्राकृतिक संख्याओं और इन वास्तविक संख्याओं के बीच एक आक्षेप मौजूद हो तो क्या होगा? यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन मौजूद था, तो दो सेटों का आकार समान होगा, और आप फ़ंक्शन का उपयोग प्रत्येक वास्तविक संख्या को शून्य और 1 के बीच एक प्राकृतिक संख्या से मिलाने के लिए कर सकते हैं। आप इस तरह से मिलानों की एक क्रमबद्ध सूची की कल्पना कर सकते हैं।

विकर्ण तर्क की प्रतिभा यह है कि आप इस सूची का उपयोग वास्तविक संख्या बनाने के लिए कर सकते हैं जो सूची में नहीं हो सकती है। निम्नलिखित तरीके से अंकों के आधार पर एक वास्तविक संख्या अंक बनाना शुरू करें: दशमलव बिंदु के बाद पहले अंक को $latex a_1$ से कुछ अलग बनाएं, दूसरे अंक को $latex b_2$ से कुछ अलग बनाएं, तीसरे अंक को $latex से कुछ अलग बनाएं c_3 $, और इसी तरह।

यह वास्तविक संख्या सूची के विकर्ण के साथ इसके संबंध से परिभाषित होती है। क्या यह सूची में है? यह सूची में पहला नंबर नहीं हो सकता, क्योंकि इसका पहला अंक अलग है। न ही यह सूची में दूसरा नंबर हो सकता है, क्योंकि इसका दूसरा अंक अलग है। वास्तव में, यह नहीं हो सकता nइस सूची में वां नंबर है, क्योंकि इसकी एक अलग है nवें अंक। और यह सभी के लिए सच है n, इसलिए यह नया नंबर, जो शून्य और 1 के बीच है, सूची में नहीं हो सकता।

लेकिन शून्य और 1 के बीच की सभी वास्तविक संख्याओं को सूची में होना चाहिए था! यह विरोधाभास इस धारणा से उत्पन्न होता है कि शून्य और 1 के बीच प्राकृतिक संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक विभाजन मौजूद है, और इसलिए ऐसा कोई विभाजन मौजूद नहीं हो सकता है। इसका मतलब है कि इन अनंत सेटों के अलग-अलग आकार हैं। फंक्शन के साथ थोड़ा और काम (अभ्यास देखें) यह दिखा सकता है कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय शून्य और 1 के बीच के सभी वास्तविकों के समुच्चय के समान आकार का है, और इसलिए वास्तविक, जिनमें प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, एक होना चाहिए बड़ा अनंत सेट।

एक अनंत सेट के आकार के लिए तकनीकी शब्द इसकी "कार्डिनैलिटी" है। विकर्ण तर्क से पता चलता है कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनैलिटी से अधिक है। प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनैलिटी $latex aleph_0$ लिखी जाती है, जिसका उच्चारण "एलेफ़ नॉट" होता है। गणित के मानक दृष्टिकोण में यह सबसे छोटा अनंत कार्डिनल है।

अगला अनंत कार्डिनल $latex aleph_1$ ("एलेफ़ वन") है, और एक साधारण प्रश्न ने गणितज्ञों को एक सदी से भी अधिक समय से परेशान किया है: क्या $latex aleph_1$ वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी है? दूसरे शब्दों में, क्या प्राकृत संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच कोई अन्य अनन्तताएँ हैं? कैंटर ने सोचा कि उत्तर नहीं था - एक दावा जिसे के रूप में जाना जाने लगा सातत्य परिकल्पना - लेकिन वह इसे साबित नहीं कर पाए। 1900 की शुरुआत में इस प्रश्न को इतना महत्वपूर्ण माना जाता था कि जब डेविड हिल्बर्ट ने गणित में 23 महत्वपूर्ण खुली समस्याओं की अपनी प्रसिद्ध सूची को एक साथ रखा, तो सातत्य परिकल्पना नंबर एक थी।

सौ साल बाद, बहुत प्रगति हुई है, लेकिन उस प्रगति ने नए रहस्यों को जन्म दिया है। 1940 में प्रसिद्ध तर्कशास्त्री कर्ट गोडेल ने साबित किया कि, सेट थ्योरी के सामान्य रूप से स्वीकृत नियमों के तहत, यह साबित करना असंभव है कि प्राकृतिक संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक अनंत मौजूद है। यह साबित करने की दिशा में एक बड़ा कदम लग सकता है कि सातत्य परिकल्पना सच है, लेकिन दो दशक बाद गणितज्ञ पॉल कोहेन साबित कि यह साबित करना असंभव है कि ऐसी अनंतता मौजूद नहीं है! यह पता चला है कि सातत्य परिकल्पना को एक या दूसरे तरीके से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

इन परिणामों ने मिलकर सातत्य परिकल्पना की "स्वतंत्रता" स्थापित की। इसका मतलब यह है कि सेट के आम तौर पर स्वीकृत नियम हमें यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं कहते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं और वास्तविक के बीच अनंत मौजूद है या नहीं। लेकिन गणितज्ञों को अनंत को समझने की उनकी खोज में हतोत्साहित करने के बजाय, इसने उन्हें नई दिशाओं में ले जाया है। गणितज्ञ अब अनंत समुच्चयों के लिए नए मूलभूत नियमों की तलाश कर रहे हैं जो दोनों को समझा सकते हैं कि अनंत के बारे में पहले से क्या जाना जाता है और अंतराल को भरने में मदद करता है।

यह कहना कि "माई लव फॉर यू स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है" कहना "आई लव यू इनफिनिटी प्लस 1" कहने जितना मजेदार नहीं हो सकता है, लेकिन शायद यह अगली पीढ़ी के अनंत-प्रेमी गणितज्ञों को एक अच्छी रात की नींद लेने में मदद करेगा।

अभ्यास

1. मान लीजिए $latex T = {1,3,5,7,…}$, धनात्मक विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय। है T प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से बड़ा, छोटा या के समान आकार का?

2. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय ℕ और पूर्णांकों के समुच्चय $latexmathbb{Z}={…,-1,-1,-3, ...}$.

3. एक फलन $latex f(x)$ ज्ञात कीजिए जो शून्य और 1 के बीच की वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और शून्य से बड़ी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के बीच एक द्विभाजन है।

4. एक ऐसा फलन ज्ञात कीजिए जो शून्य और 1 के बीच की वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के बीच एक द्विभाजक हो।

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