कोई अनंत के बारे में निश्चितता के साथ कैसे बोल सकता है? रहस्यमय अभाज्य संख्याओं को जाने बिना हम वास्तव में उनके बारे में क्या जान सकते हैं? जिस प्रकार वैज्ञानिकों को अपनी परिकल्पनाओं का आकलन करने के लिए डेटा की आवश्यकता होती है, उसी प्रकार गणितज्ञों को अनुमानों को सिद्ध या अस्वीकृत करने के लिए साक्ष्य की आवश्यकता होती है। लेकिन संख्या सिद्धांत के अमूर्त क्षेत्र में साक्ष्य के रूप में क्या गिना जाता है? इस एपिसोड में, स्टीवन स्ट्रोगाट्ज़ बात करते हैं मेलानी मैचेट वुड, हार्वर्ड विश्वविद्यालय में गणित के एक प्रोफेसर, यह जानने के लिए कि कैसे संभाव्यता और यादृच्छिकता गणितज्ञों द्वारा मांगे गए सटीक तर्कों के लिए सबूत स्थापित करने में मदद कर सकते हैं।
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प्रतिलेख
स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ (00:02): मैं स्टीव स्ट्रोगेट्ज हूं, और यह है क्यों की खुशी, से एक पॉडकास्ट क्वांटा पत्रिका यह आपको आज गणित और विज्ञान के कुछ सबसे बड़े अनुत्तरित प्रश्नों में ले जाता है। इस एपिसोड में हम बात करने जा रहे हैं गणित में साक्ष्य. गणितज्ञ किस प्रकार के साक्ष्य का उपयोग करते हैं? इससे पहले कि उनके पास पुख्ता सबूत हो, उन्हें किस बात पर संदेह होता है कि कुछ सच हो सकता है?
(00:26) यह एक विरोधाभास की तरह लग सकता है, लेकिन यह पता चला है कि संभाव्यता सिद्धांत पर आधारित तर्क, मौका और यादृच्छिकता का अध्ययन, कभी-कभी गणितज्ञ वास्तव में क्या चाहते हैं, जो निश्चितता है, न कि केवल संभावना। उदाहरण के लिए, गणित की शाखा में जिसे संख्या सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, गणितज्ञों को अनुमान लगाने में मदद करने के लिए यादृच्छिकता का उपयोग करने का एक लंबा इतिहास है कि क्या सच है। अब, जो सच है उसे साबित करने में उनकी मदद के लिए संभाव्यता का उपयोग किया जा रहा है।
(00:53) हम यहां अभाज्य संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आपको संभवतः अभाज्य संख्याएँ याद होंगी, है ना? आपने उनके बारे में स्कूल में सीखा। अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है जिसे केवल 1 और स्वयं से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 7 या 11. वे अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन 15 नहीं हैं क्योंकि 15 को 3 या 5 से समान रूप से विभाजित किया जा सकता है। आप अभाज्य संख्याओं को रसायन विज्ञान की आवर्त सारणी के तत्वों की तरह सोच सकते हैं, इस अर्थ में वे अविभाज्य परमाणु हैं जो अन्य सभी संख्याएँ बनाते हैं।
(01:27) ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याएँ सरल होनी चाहिए, लेकिन गणित के कुछ सबसे बड़े रहस्य अभाज्य संख्याओं के बारे में प्रश्न हैं। कुछ मामलों में, ऐसे प्रश्न जो सैकड़ों वर्षों से मौजूद हैं। अभाज्य संख्याओं के बारे में सचमुच कुछ बहुत ही सूक्ष्म बात है। ऐसा प्रतीत होता है कि वे व्यवस्था और यादृच्छिकता के बीच एक सीमा रेखा पर रहते हैं। मेरे अतिथि आज हमें गणित में साक्ष्य की प्रकृति के बारे में और अधिक समझने में मदद करेंगे, और विशेष रूप से कैसे और क्यों यादृच्छिकता हमें अभाज्य संख्याओं के बारे में इतना कुछ बता सकती है, और संभाव्यता पर आधारित मॉडल संख्या सिद्धांत के अत्याधुनिक क्षेत्र में इतने उपयोगी क्यों हो सकते हैं। इस सब पर चर्चा करने के लिए अब मेरे साथ हार्वर्ड विश्वविद्यालय में गणित की प्रोफेसर मेलानी मैचेट वुड हैं। आपका स्वागत है, मेलानी!
मेलानी मैचेट वुड (02:09): नमस्ते, आपसे बात करके अच्छा लगा।
स्ट्रोगेट्ज़ (02:11): आपसे बात करके बहुत अच्छा लगा, मैं आपका बहुत बड़ा प्रशंसक हूं। आइए गणित और विज्ञान के बारे में एक दूसरे के संबंध में बात करें क्योंकि शब्द अक्सर एक साथ उपयोग किए जाते हैं, और फिर भी गणित में प्रमाण और निश्चितता तक पहुंचने के लिए हम जिन तकनीकों का उपयोग करते हैं वे विज्ञान में हम जो करने की कोशिश करते हैं उससे कुछ अलग हैं। उदाहरण के लिए, जब हम गणित में साक्ष्य इकट्ठा करने की बात करते हैं, तो यह कैसे समान है या यह विज्ञान में वैज्ञानिक पद्धति से साक्ष्य इकट्ठा करने से कैसे भिन्न है?
लकड़ी (02:38): एक गणितीय प्रमाण एक पूर्णतया अचूक, पूर्ण तार्किक तर्क है कि कुछ गणितीय दावे इस तरह से होने चाहिए और किसी अन्य तरीके से नहीं हो सकते। तो एक वैज्ञानिक सिद्धांत के विपरीत - जो आज हमारे पास मौजूद सबूतों के आधार पर सबसे अच्छा हो सकता है, लेकिन हमें और सबूत मिलेंगे, आप जानते हैं, अगले 10 वर्षों में और शायद एक नया सिद्धांत होगा - एक गणितीय प्रमाण कहते हैं कि कुछ कथन इस तरह से होने चाहिए, हम संभवतः यह पता नहीं लगा सकते कि यह 10 वर्षों या 20 वर्षों में गलत होगा।
स्ट्रोगेट्ज़ (03:17): खैर, गणित में किस प्रकार की चीज़ों को प्रमाण के रूप में गिना जाता है?
लकड़ी (03:19): तो आप देख सकते हैं कि कई उदाहरणों में कुछ सत्य है। और कई उदाहरणों में इसके सत्य होने के आधार पर, आप शायद कह सकते हैं कि यह उस तथ्य का प्रमाण होगा, आप अनुमान लगा सकते हैं, जिसे गणितज्ञ अनुमान कहेंगे, एक अनुमान कि कुछ सत्य है। लेकिन फिर, गणितज्ञ इस बात का प्रमाण चाहेंगे कि जिस चीज़ को आपने इतने सारे उदाहरणों में काम करते देखा है वह हमेशा उसी तरह काम करेगी जैसा आपने दावा किया था।
स्ट्रोगेट्ज़ (03:49): सही है, सबूतों के वजन से बहुत अलग। यह एक कथन है कि कोई चीज़ हमेशा, हर समय, हर मामले में सच होने का एक कारण है।
लकड़ी (03:58): और सिर्फ "ओह ठीक नहीं, मैंने दस लाख मामले देखे हैं और उनमें से हर एक में यह सच है।" जो यह अनुमान लगाने या अनुमान लगाने का एक कारण है कि यह हमेशा सत्य है। लेकिन गणित में, हम ऐसे अनुमान के बीच अंतर करते हैं जो कई मामलों या सबूतों पर आधारित हो सकता है, और एक प्रमेय या प्रमाण, एक तर्क जो आपको बताता है कि यह हर मामले में काम करेगा, यहां तक कि आपके पास भी। कोशिश नहीं की.
स्ट्रोगेट्ज़ (04:25): अब, क्या यह सिर्फ इतना है कि गणितज्ञ स्वभाव से ही नकचढ़े होते हैं, या ऐसे भी मामले हैं जहां जो कुछ बहुत बड़ी संख्या में संभावनाओं तक सच लगता था, वह किसी अन्य बड़ी संख्या से परे सच नहीं हो गया ?
लकड़ी (04:39): ओह, यह एक बढ़िया सवाल है। खैर, यहां एक उदाहरण है जो मुझे पसंद है, क्योंकि मुझे अभाज्य संख्याएं पसंद हैं। तो जैसे-जैसे आप अभाज्य संख्याओं - 2, 3, 5, 7 - पर आगे बढ़ते हैं, उन चीजों में से एक जो आप कर सकते हैं, आप देख सकते हैं और कह सकते हैं, "अरे, क्या वे 2 से विभाज्य हैं?" और यह बहुत दिलचस्प नहीं निकला। 2 के बाद, उनमें से कोई भी 2 से विभाज्य नहीं है। वे सभी हैं, वे सभी विषम हैं।
(05:10) और फिर आप सोच सकते हैं, "अच्छा, क्या वे 3 से विभाज्य हैं?" और हां, 3 के बाद, उन्हें 3 से भी विभाज्य नहीं किया जा सकता, क्योंकि वे अभाज्य हैं। हालाँकि, आप देख सकते हैं कि उनमें से कुछ को, जब आप उन्हें 3 से विभाजित करते हैं, तो आपको 1 शेष बचता है, अर्थात वे 1 के गुणज से 3 अधिक होते हैं। तो 7 जैसी चीज़ें, जो 1 से 6 अधिक है, या 13 , जो कि 1 से 12 अधिक है। और उनमें से कुछ अभाज्य संख्याएँ, जैसे 11, या 17, जो 2 से 15 अधिक हैं, जब आप उन्हें 2 से विभाजित करेंगे तो 3 शेष बचेगा, क्योंकि वे एक से 2 अधिक हैं 3 का गुणज.
(05:47) और इसलिए आप टीमों में इन अभाज्य संख्याओं के बारे में सोच सकते हैं। टीम 1 वे सभी हैं जो 1 के गुणज से 3 अधिक हैं और टीम 2 वे सभी हैं जो 2 के गुणज से 3 अधिक हैं। और जैसे ही आप अभाज्य संख्याओं से गुजरते हैं और अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करते हैं, आप सभी को सूचीबद्ध कर सकते हैं अभाज्य संख्याएँ और आप मिलान कर सकते हैं, और देख सकते हैं कि टीम 1 में कितने हैं, और टीम 2 में कितने हैं। और यदि आपने यह मिलान 600 बिलियन तक किया, तो हर बिंदु पर, प्रत्येक संख्या 600 बिलियन तक, आप पाएंगे कि टीम 2 अभाज्य की तुलना में टीम 1 अभाज्य अधिक हैं। तो, आप स्वाभाविक रूप से उस सबूत के आधार पर अनुमान लगा सकते हैं कि टीम 2 प्राइम की तुलना में टीम 1 प्राइम हमेशा अधिक होंगे।
स्ट्रोगेट्ज़ (06:33): ज़रूर। बिल्कुल ऐसा ही लगता है.
लकड़ी: पता चला, लगभग 608-बिलियन-कुछ की संख्या में, मैं सटीक संख्या भूल जाता हूं, यह बदल जाती है।
स्ट्रोगेट्ज़ (06:46): ओह, चलो।
लकड़ी: हाँ, यह सचमुच बदल जाता है। और अब अचानक, टीम 1 अग्रणी है। तो, वह एक है -
स्ट्रोगेट्ज़ (06:53): एक मिनट रुकें। रुको, लेकिन यह आश्चर्यजनक है. क्या - अब, क्या वे बदलते रहते हैं? क्या हम जानते हैं कि जब आप आगे बढ़ते हैं तो क्या होता है? क्या वे बदलते रहते हैं?
लकड़ी (07:01): हाँ, बढ़िया सवाल है। तो, वास्तव में, यह एक प्रमेय है कि वे बार-बार लीड बदलेंगे।
स्ट्रोगेट्ज़ (07:07): वाक़ई?
लकड़ी: तो वे लीड का व्यापार करते रहेंगे। लेकिन जब आप अभाज्य संख्याओं का अध्ययन कर रहे हों तो यह वास्तव में आपके दिमाग में रखने के लिए एक महान उदाहरण है, कि सिर्फ इसलिए कि पहले 600 अरब मामलों के लिए कुछ सच था इसका मतलब यह नहीं है कि यह हमेशा सच होगा।
स्ट्रोगेट्ज़ (07:25): ओह, वाह। अच्छा। ठीक है। तो, सामान्य तौर पर, आप अनुमान से प्रमाण तक कैसे पहुँचते हैं?
लकड़ी (07:31): यह काफी हद तक मामले पर निर्भर करता है। मेरा मतलब है, गणित के ऐसे कई मामले हैं जहां हमारे पास अनुमान हैं और हमारे पास कोई प्रमाण नहीं है। तो अनुमान से प्रमाण तक पहुंचने के लिए कोई सरल नुस्खा नहीं है, या हमारे पास इतनी प्रसिद्ध खुली समस्याएं नहीं होतीं, जहां, आप जानते हैं, कुछ - कुछ अनुमान हैं जिनके बारे में लोग सोचते हैं कि कुछ एक निश्चित तरीके से काम करता है, लेकिन हम ऐसा नहीं करते हैं यह निश्चित रूप से नहीं पता. लेकिन, आप जानते हैं, कभी-कभी अनुमान ऐसे कारण सुझा सकता है कि कुछ सच है। कभी-कभी यह सिर्फ गणितीय सिद्धांत होता है, जो अधिक से अधिक गणितीय सिद्धांतों पर आधारित होता है जिसे लोग सैकड़ों वर्षों से विकसित कर रहे हैं, जो हमें चीजों को समझने के लिए काम करने के लिए पर्याप्त उपकरण और संरचना प्रदान करता है, जिससे हम एक प्रमाण के साथ आते हैं। लेकिन ऐसा नहीं है कि अनुमान आवश्यक रूप से प्रमाण की ओर ले जाता है। अनुमान लोगों को प्रमाण खोजने की कोशिश करने के लिए प्रेरित कर सकता है, लेकिन जिस तरह से प्रमाण आता है वह अनुमान से पूरी तरह अलग हो सकता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (08:31): हां, मुझे ऐसे सबूतों को गिनने, या सूचीबद्ध करने में दिलचस्पी है जो सबूत से कम हैं, जिससे लोगों को यह विश्वास हो कि सबूत के लिए प्रयास करना उचित है।
लकड़ी (08:41): हाँ, एक और चीज़ जिसे हम साक्ष्य के रूप में कह सकते हैं, वह केवल उदाहरण नहीं है, वह अनुमानी होगी। कठोरता के बहुत कम मानक को छोड़कर, अनुमान एक तर्क जैसा कुछ हो सकता है। यह ऐसा ही है, क्या यह ठीक लगता है? नहीं "क्या मैंने इस तथ्य को किसी भी संदेह से परे निश्चित रूप से स्थापित किया है?" लेकिन "ऐसा करता है - हाँ, यह काफी प्रशंसनीय लगता है।" तो एक अनुमान तर्क की एक पंक्ति हो सकती है जो काफी प्रशंसनीय लगती है, आप जानते हैं, लेकिन वास्तव में यह एक कठोर तर्क नहीं है। तो यह एक प्रकार का साक्ष्य है।
(09:12) कभी-कभी किसी के पास एक मॉडल हो सकता है जो हमें लगता है कि गणितीय प्रणाली के आवश्यक तत्वों को पकड़ लेता है जिसे हम समझने की कोशिश कर रहे हैं, और तब आप अनुमान लगाएंगे कि आपके सिस्टम का व्यवहार आपके मॉडल के समान ही है।
स्ट्रोगेट्ज़ (09:30): ठीक है। किसी बिंदु पर, मैं मॉडलों और अनुमानों के कुछ उदाहरण सुनना चाहता हूं और, आप जानते हैं, वे किस हद तक कुछ प्रश्नों पर काम करते हैं या नहीं करते हैं या दूसरों पर नहीं, लेकिन, यदि आप बुरा न मानें, तो मैं मैं बस कुछ छोटी-छोटी व्यक्तिगत बातों पर वापस जाना चाहता हूँ, क्योंकि हम यहाँ संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और आप एक संख्या सिद्धांतकार हैं। लोग अपने रोजमर्रा के जीवन में कई संख्या सिद्धांतकारों को नहीं जानते होंगे। तो, मुझे आश्चर्य है कि क्या आप हमें बता सकते हैं संख्या सिद्धांत क्या है, और साथ ही, आपको यह दिलचस्प क्यों लगता है? आप इसका अध्ययन करने क्यों आये?
लकड़ी (10:02) खैर, संख्या सिद्धांत संपूर्ण संख्याओं का गणितीय अध्ययन है। तो, 1, 2, 3, 4, 5 के बारे में सोचें। और, विशेष रूप से, पूर्ण संख्याओं में से एक महत्वपूर्ण चीज़ अभाज्य संख्याएँ हैं। जैसा कि आपने समझाया, बिल्कुल शुरुआत में, वे बिल्डिंग ब्लॉक्स हैं जिनसे हम गुणन के माध्यम से अन्य सभी संख्याएँ बना सकते हैं। इसलिए क्योंकि संख्या सिद्धांत का संबंध उन सभी पूर्ण संख्याओं से है, यह उनके निर्माण खंडों, अभाज्य संख्याओं और कैसे अन्य संख्याएं अभाज्य में कारक बनती हैं और कैसे वे अभाज्य संख्याओं से बने हैं.
स्ट्रोगेट्ज़ (10:37): तो, संख्या सिद्धांत, आज हमारे उद्देश्यों के लिए, मुझे लगता है, अभाज्य संख्याओं में विशेष रुचि के साथ, पूर्ण संख्याओं का अध्ययन होगा। यह एक बहुत अच्छी शुरुआत लगती है. मेरा मानना है कि यह उससे भी अधिक है। लेकिन शायद अब यह हमारे लिए एक अच्छी परिभाषा है। क्या आप ऐसा सोचते हैं?
लकड़ी (10:50): यह एक अच्छा है, यह एक अच्छी शुरुआत है। मेरा मतलब है, वहाँ से, आगे की चीज़ों की खोज की जाती है, जैसे, ठीक है, क्या होगा यदि आप संख्या प्रणालियों पर विचार करना शुरू करें जो कि पूर्ण संख्याओं की तुलना में अधिक जटिल हैं? जैसे आप अन्य संख्याएँ डालना शुरू करते हैं, जैसे 2 का वर्गमूल, तो अभाज्य संख्या और गुणनखंडन के साथ क्या होता है? आपको आगे के प्रश्नों की ओर ले जाया जाता है। लेकिन ईमानदारी से कहूं तो, पूर्ण संख्याओं और अभाज्य संख्याओं में बहुत समृद्ध और सुंदर गणित है।
स्ट्रोगेट्ज़ (11:16): तो फिर इसे ध्यान में रखते हुए, आपको यह सम्मोहक क्यों लगता है? आपको संख्या सिद्धांत का अध्ययन क्यों पसंद है? किस चीज़ ने आपको इसकी ओर आकर्षित किया?
लकड़ी (11:22): मुझे लगता है कि मुझे यह पसंद है कि प्रश्न इतने ठोस हो सकते हैं। आप जानते हैं, मैं जाता हूँ और प्राथमिक विद्यालय के बच्चों से बात करता हूँ। और मैं उन्हें कुछ ऐसी चीज़ों के बारे में बता सकता हूँ जिनके बारे में मैं सोचता हूँ। इसलिए, मेरे लिए किसी ऐसी चीज़ पर काम करना मज़ेदार है जिसमें एक ओर तो प्रश्न इतने ठोस हो सकते हैं, लेकिन दूसरी ओर, इसे हल करने की कोशिश की पहेली इतनी कठिन हो सकती है। मेरा मतलब है, लोग वस्तुतः हजारों वर्षों से पूर्ण संख्याओं, अभाज्य संख्याओं के बारे में प्रश्नों का उत्तर देने का प्रयास कर रहे हैं।
(11:54) और गणित की बहुत सारी शाखाएँ हैं। आधुनिक संख्या सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा यह है कि इन जिद्दी पुराने सवालों पर प्रगति करने के लिए जिन पर लोग लंबे समय से काम कर रहे हैं, नए विचारों को लाने की जरूरत है, और गणित के अन्य हिस्सों के साथ संबंध बनाने की जरूरत है। इसलिए भले ही मैं खुद को संख्या सिद्धांतवादी कहूंगा, मैं सभी विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों से गणित का उपयोग करता हूं। आप जानते हैं, ज्यामिति और टोपोलॉजी और रिक्त स्थान के आकार का अध्ययन करने से लेकर संभाव्यता और यादृच्छिकता का अध्ययन करने तक। मैं सभी प्रकार के गणित का उपयोग करता हूं, लेकिन पूर्ण संख्याओं और अभाज्य संख्याओं और गुणनखंडन जैसी चीजों के बारे में कुछ कहने का प्रयास करता हूं।
स्ट्रोगेट्ज़ (12:36): हाँ, मुझे विचारों के विशाल परस्पर जुड़े जाल के रूप में गणित का वह दृष्टिकोण पसंद है, और आप इसके एक विशेष हिस्से में रहना चाह सकते हैं जो आपका पसंदीदा है। लेकिन आपने संख्या सिद्धांत में रुचि के एक विशेष क्षेत्र के रूप में अभाज्य संख्याओं का उल्लेख किया है, जो वास्तव में इसका सबसे बुनियादी हिस्सा है। उनमें क्या कठिन है? हमारी चर्चा में यह अभी तक स्पष्ट नहीं है कि वहां इतना रहस्यमय क्या है? जैसा कि हमने उन्हें परिभाषित किया है, मुझे लगता है कि हम शायद उन्हें सूचीबद्ध करना जारी रख सकते हैं। आप जिन समस्याओं का उल्लेख कर रहे हैं उनमें से कौन सी सैकड़ों वर्ष पुरानी हैं?
लकड़ी (13:05): ठीक है, सबसे बड़े और सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों में से एक, जो शायद लगभग 120 साल पुराना है, आपने कहा, "ओह, आप उन्हें सूचीबद्ध कर सकते हैं। यदि तुमने ऐसा किया, तो तुम्हें कितने मिलेंगे?” तो मान लीजिए कि आपने सौ, या हजार, या सौ हजार, या दस लाख, एक अरब तक के अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध किया है। जैसे-जैसे आप अभाज्य संख्याओं को बड़ी से बड़ी संख्याओं तक सूचीबद्ध करते हैं, तो आप जिन संख्याओं का अध्ययन करेंगे उनमें से कितनी संख्याएँ वास्तव में अभाज्य होंगी? तो उस मात्रा को समझना वास्तव में दिल की बात है रीमैन परिकल्पना, जो क्ले मैथ इंस्टीट्यूट में से एक है सहस्राब्दि पुरस्कार समस्याएँ, एक उत्तर के लिए एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार है। यह सबसे प्रसिद्ध प्रश्नों में से एक है और हमें नहीं पता कि इसे कैसे करना है, और यह वास्तव में केवल इस प्रश्न के बारे में है कि जब आप उन अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करेंगे, तो आप कितने पाएंगे?
स्ट्रोगेट्ज़ (13:58): ठीक है। यह मज़ेदार है, है ना? क्योंकि जैसे ही आप सूची बनाना शुरू करते हैं, भले ही किसी ने यूं ही 100 तक की अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करना शुरू कर दिया हो - आपको कुछ मज़ेदार चीज़ें नज़र आती हैं। जैसे, पहले 11 और 13 में, वे 2 अलग हैं। पंद्रह, ठीक है, यह काम नहीं करता है, क्योंकि यह 5 और 3 से विभाज्य है। फिर 17, तो अब 4 और 13 के बीच 17 का अंतर है। लेकिन फिर 19 फिर से करीब है। मैं नहीं जानता, मेरा मतलब है, इसलिए अभाज्य संख्याओं के बीच का अंतर थोड़ा अजीब हो सकता है। जैसे कि कभी-कभी वहां बहुत बड़ा अंतर होता है, और कभी-कभी वे एक-दूसरे के ठीक बगल में होते हैं, केवल 2 दूरी पर।
लकड़ी (14:31): हाँ, इसलिए उस रिक्ति और उन अंतरालों को समझना भी रुचि का एक बड़ा प्रश्न रहा है। अभाज्य संख्याओं के बीच अंतर को समझने में पिछले दशक में उल्लेखनीय प्रगति हुई है। लेकिन अभी भी एक बेहद पेचीदा, बुनियादी सवाल है जिसका जवाब हम नहीं जानते। तो आपने बताया कि ये अभाज्य संख्याएँ, 11 और 13, केवल 2 अलग हैं। अतः ऐसे अभाज्य अभाज्यों को जुड़वां अभाज्य कहा जाता है। हम यह उम्मीद नहीं कर सकते थे कि अभाज्य संख्याएँ 2 से अधिक निकट आएँ, क्योंकि 2 के बाद, वे सभी विषम होने चाहिए। यहां गणित में एक खुला प्रश्न है, जिसका अर्थ है कि हम इसका उत्तर नहीं जानते हैं, और वह है: क्या जुड़वां अभाज्य संख्याओं के अनंत जोड़े हैं?? और इसलिए यहाँ, एक अनुमान है, अनुमान होगा, हाँ। मेरा मतलब है, न केवल एक अनुमान है कि "हाँ, उन्हें हमेशा के लिए चलते रहना चाहिए, और हमेशा उनकी संख्या अधिक होनी चाहिए," बल्कि इस बारे में भी एक अनुमान है कि जैसे-जैसे आप आगे बढ़ेंगे आपको कितने मिलेंगे। लेकिन वह पूरी तरह से खुला है. जहां तक हम जानते हैं, ऐसा हो सकता है कि एक बार जब आप वास्तव में बड़ी संख्या में पहुंच जाते हैं, तो वे बस रुक जाते हैं और आपको जुड़वां अभाज्य संख्याओं के और जोड़े नहीं मिलते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (15:40): इसमें कुछ बहुत ही काव्यात्मक, मार्मिक है, वह विचार, जैसे, कि किसी बिंदु पर पंक्ति का अंत हो सकता है। मेरा मतलब है, हममें से कोई भी शायद उस पर विश्वास नहीं करता। लेकिन यह संभव है, मुझे लगता है, यह कल्पना की जा सकती है कि जुड़वां बच्चों की कोई आखिरी अकेली जोड़ी अंधेरे में, आप जानते हैं, संख्या रेखा पर दुबकी हुई है।
लकड़ी (15:57): हाँ, हो सकता है। और, आप जानते हैं, गणितज्ञ के रूप में, हम कहेंगे, आप जानते हैं, हम नहीं जानते। भले ही आप चलते-चलते एक ग्राफ बना सकें कि आपने कितने पाए, यदि आप उस ग्राफ को बनाते हैं, तो ऐसा लगता है कि यह वास्तव में निश्चित रूप से इतनी दर से ऊपर और ऊपर जा रहा है कि कभी नहीं - कभी भी पलटेगा नहीं। लेकिन मुझे लगता है कि यह गणित और विज्ञान के बीच अंतर का एक हिस्सा है, हम उस संदेह को बनाए रखते हैं और कहते हैं, ठीक है, हम नहीं जानते। मेरा मतलब है, शायद किसी बिंदु पर, ग्राफ बस घूम जाता है, और कुछ नहीं होता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (16:29): तो, मुझे वहां ग्राफ़ की आपकी छवि पसंद है, क्योंकि मुझे लगता है कि हर कोई चार्ट बनाने, किसी प्रकार का ग्राफ़ बनाने के इस विचार से संबंधित हो सकता है। आप जानते हैं, अभाज्य संख्याओं को डेटा की तरह ही समझा जाता है। और, और इसलिए मुझे लगता है कि यह शायद हमारे लिए संभाव्यता सिद्धांत के बारे में बात शुरू करने का एक अच्छा समय है। और अभाज्य संख्याओं के संबंध में संभाव्यता और आंकड़ों के बारे में बात करना थोड़ा अजीब लगता है क्योंकि यहां कोई संभावना शामिल नहीं है। अभाज्य संख्याएँ हमारे द्वारा दी गई परिभाषा से निर्धारित होती हैं, कि वे विभाज्य नहीं हैं। लेकिन फिर भी आप जैसे गणितज्ञों और संख्या सिद्धांतकारों ने अभाज्य संख्याओं के बारे में सोचने में सांख्यिकीय या संभाव्य तर्कों का उपयोग किया है। मुझे आश्चर्य है कि क्या आप सिक्का उछालकर मेरे लिए ऐसा कुछ रेखाचित्र बना सकते हैं, और वापस उसी पर आ सकते हैं - जिसके बारे में हम शुरुआत में बात कर रहे थे, विषम संख्याएँ और सम संख्याएँ।
लकड़ी (17:14): ठीक है। इसलिए अभाज्य संख्याओं के विपरीत, हम वास्तव में विषम और सम संख्याओं के पैटर्न को बहुत अच्छी तरह से समझते हैं। वे निश्चित रूप से विषम, सम, विषम, सम होते हैं। लेकिन मान लीजिए कि हम उस पैटर्न को समझ नहीं पाए। और हम इसका उपयोग यह समझने के लिए कर रहे हैं कि यदि आप दस लाख तक की सभी संख्याओं को देखें तो आपको कितनी विषम संख्याएँ मिल सकती हैं। आप कल्पना कर सकते हैं, चूँकि दो संभावनाएँ हैं, एक संख्या विषम हो सकती है या एक संख्या सम हो सकती है, हो सकता है कि कोई गया हो और प्रत्येक संख्या के लिए एक सिक्का उछाला हो, और यदि सिक्का शीर्ष पर आता है, तो संख्या विषम होगी। और यदि सिक्का पीछे की ओर आता था, तो संख्या सम होती थी। और इसलिए आप अपने सिक्के उछालने वाले व्यक्ति को संख्या रेखा के साथ चलने, प्रत्येक संख्या पर एक सिक्का उछालने के लिए कह सकते हैं, और मान लीजिए, उस संख्या को विषम या सम घोषित करने की नौबत आ जाती है।
(18:03) अब, एक ओर, यह बकवास है। दूसरी ओर, सिक्का उछालने वाले मॉडल से कुछ चीजें सही हो जाएंगी। उदाहरण के लिए, यदि आप कहें, तो आप मोटे तौर पर जानते हैं कि दस लाख तक की कितनी संख्याएँ सम हैं? हम जानते हैं कि मोटे तौर पर सिक्के उछालने की संख्या, मान लीजिए, पीछे की ओर आएगी, यदि आप बड़ी संख्या में सिक्का उछालते हैं, जैसे कि दस लाख, तो यह उनकी लगभग आधी है। और इसलिए, वह मॉडल, चाहे जितना मूर्खतापूर्ण हो, फिर भी कुछ भविष्यवाणियाँ सही ढंग से कर सकता है। और मुझे कहना चाहिए, यह मूर्खतापूर्ण लग सकता है, क्योंकि हम पहले से ही उस प्रश्न का उत्तर जानते हैं। विचार यह है कि हम अधिक जटिल पैटर्न के लिए मॉडल बनाते हैं, जैसे कि जहां संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याएं दिखाई देती हैं, न कि केवल जहां बाधाएं दिखाई देती हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (18:55): हाँ। मेरा मतलब है, मुझे लगता है कि हमें इस बात पर ज़ोर देने की ज़रूरत है - अभाज्य संख्याएँ कितनी गहराई से रहस्यमय हैं। अभाज्य संख्याओं के लिए कोई सूत्र नहीं है, जिस प्रकार विषम संख्याओं के लिए कोई सूत्र है। जैसे यदि आप सोचते हैं, ओह, चलो, यह है - हम वास्तव में यहां बेतुकी चीजों के बारे में बात कर रहे हैं, इन सांख्यिकीय मॉडलों का होना वास्तव में बहुत मूल्यवान है जो उन गुणों की भविष्यवाणी कर सकते हैं जो औसत गुण हैं। एनालॉग की तरह, एक बड़ी संख्या से छोटी आधी संख्याएँ विषम होंगी। यह कुछ ऐसा है, जो अभाज्य संख्याओं के मामले में, एक बहुत ही गंभीर, दिलचस्प सवाल है। किसी बड़ी संख्या से छोटी संख्याओं का कौन सा अंश अभाज्य होता है? और, जैसा कि आप कहते हैं, आप एक सांख्यिकीय मॉडल बना सकते हैं जो सही हो। और फिर क्या, उसी मॉडल का उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है कि कितने जुड़वां अभाज्य संख्याएँ एक बड़ी संख्या से कम होंगी? क्या उस मामले में वही मॉडल अच्छा काम करता है?
लकड़ी (19:41): तो अभाज्य संख्याओं के मामले में, यदि हम एक मॉडल बना रहे थे - आप जानते हैं, और गणितज्ञ एक मॉडल का उपयोग करते हैं जिसे कहा जाता है प्राइम्स का क्रैमर मॉडल - यदि हम अभाज्य संख्याओं का एक सिक्का उछालने वाला मॉडल बना रहे होते, जहां हम कल्पना करते कि कोई व्यक्ति संख्या रेखा के साथ चल रहा है, और प्रत्येक संख्या पर, जैसा कि आप जानते हैं, सिक्का उछालकर यह तय करने के लिए कि वह संख्या अभाज्य है या नहीं, तो हम ऐसा करेंगे उस मॉडल में अभाज्य संख्याओं के बारे में जितना हम जानते हैं उतना शामिल करें। तो सबसे पहले, हम जानते हैं कि छोटी संख्याओं की तुलना में बड़ी संख्याओं के अभाज्य होने की संभावना कम होती है। इसलिए उन सिक्कों का वजन करना होगा। और हमें - हमें ठीक वही वेटेज डालने का प्रयास करना होगा जिसकी हम अपेक्षा करते हैं। और हम ऐसी बातें जानते हैं, कि आपके पास दो अभाज्य अभाज्य एक दूसरे के बगल में नहीं हो सकते, क्योंकि उनमें से एक विषम होगा और एक सम होगा। तो हमने उसे मॉडल में डाल दिया। और फिर अभाज्य संख्याओं के बारे में हम और भी बहुत सी बातें जानते हैं।
(20:37) तो मॉडल कुछ ऐसा है जो इस सिक्का उछालने वाले मॉडल से शुरू होता है, लेकिन फिर इसे इन सभी अन्य नियमों और अन्य सभी चीजों द्वारा संशोधित किया जाता है जो हम अभाज्य संख्याओं के बारे में जानते हैं। और एक बार जब आप उन सभी चीज़ों को मॉडल में डाल देते हैं जिन्हें हम जानते हैं, तो आप इस सिक्का-उछाल से पूछते हैं, आप जानते हैं, मॉडल, अच्छा, क्या आप देखते हैं, अनंत बार, सिक्के केवल 2 के अंतर पर आते हैं? और मॉडल आपको बताती है, ओह, हाँ, हम वह देखते हैं। वास्तव में, हम इसे इस विशेष दर पर देखते हैं जिसके लिए हम आपको एक सूत्र दे सकते हैं। और फिर, यदि आप मॉडल की भविष्यवाणी के विपरीत, वास्तविक संख्याओं में, जहां कोई सिक्के नहीं उछाले गए हैं, वास्तविक जुड़वां अभाज्य संख्याओं की संख्या का रेखांकन करते हैं, तो आप देखते हैं कि मॉडल आपको जुड़वां अभाज्य संख्याओं के जोड़े की संख्या के लिए एक बहुत ही सटीक भविष्यवाणी देता है। जैसे-जैसे तुम आगे बढ़ोगे, तुम पाओगे। और इसलिए फिर आप सोचते हैं, आप जानते हैं, शायद यह मॉडल जानता है कि वह किस बारे में बात कर रही है।
स्ट्रोगेट्ज़ (21:31): यह बहुत अच्छा है। मेरा मतलब है, यह काफी महत्वपूर्ण है, हम अभी वहां तक पहुंचे हैं, आपने अभी तक कंप्यूटर शब्द का उपयोग नहीं किया है। लेकिन मैं मानता हूं कि आप यह काम हाथ से नहीं कर रहे हैं। जो लोग जुड़वां अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध कर रहे हैं, मुझे नहीं पता, हम किस बारे में बात कर रहे हैं? ट्रिलियन ट्रिलियन ट्रिलियन? मेरा मतलब है, ये बड़ी संख्याएँ हैं जिनके बारे में हम बात कर रहे हैं, है ना?
लकड़ी (21:49): ठीक है, जुड़वां अभाज्य संख्याओं की सूची, यानी - बिल्कुल कंप्यूटर द्वारा की जाएगी। लेकिन इस मॉडल को बनाने और उस फॉर्मूले के साथ आने के लिए जो मॉडल देता है। आप जानते हैं, यह हाथ से किया जाता है, अनिवार्य रूप से, गणितज्ञों द्वारा मॉडल के बारे में सोचकर और उसका पता लगाकर।
स्ट्रोगेट्ज़ (22:07): यह बहुत बढ़िया है। तो यहीं पर मॉडल अपना सामान दिखा रहा है, कि मॉडल वास्तव में भविष्यवाणी कर सकता है कि कंप्यूटर क्या देखता है। और यह भविष्यवाणी करने के लिए किसी कंप्यूटर की आवश्यकता नहीं है। यह हाथ से, लोगों द्वारा किया जा सकता है, और वास्तव में इससे सबूत मिल सकते हैं। सिवाय इसके कि यह मॉडल के गुणों का प्रमाण है, जरूरी नहीं कि यह उस चीज़ का प्रमाण हो जिसमें आप रुचि रखते हैं।
लकड़ी (22:28): सही है। और किसी बिंदु पर, कंप्यूटर बंद हो जाता है. आप जानते हैं, कंप्यूटिंग शक्ति केवल इतनी ही है। लेकिन वह सूत्र जो आपको मिलेगा, जो मॉडल आपको देगा, जिसे आप साबित कर सकते हैं कि वह सच है, फिर से, इस मॉडल सिक्का उछालने की स्थिति के बारे में, वह सूत्र चलता रहेगा। आप उस फ़ॉर्मूले में बड़ी और बड़ी संख्याएँ डाल सकते हैं, जो आपके कंप्यूटर की गणना से कहीं अधिक बड़ी होंगी।
स्ट्रोगेट्ज़ (22:53): तो आप हमें इस बारे में थोड़ा बता रहे हैं कि कैसे यादृच्छिकता संख्या सिद्धांत में दिलचस्प घटनाओं के मॉडल देने में मदद कर सकती है, और मुझे यकीन है कि यह गणित के अन्य हिस्सों में भी सच है। क्या ऐसे कुछ मामले हैं जहां आप केवल मॉडल ही नहीं, बल्कि वास्तविक प्रमाण प्रदान करने के लिए यादृच्छिकता का उपयोग कर सकते हैं?
लकड़ी (23:10): बिल्कुल। गणित की एक अन्य शाखा को संभाव्यता सिद्धांत कहा जाता है। और संभाव्यता सिद्धांत में, वे यादृच्छिक प्रणालियों और उनके व्यवहार के बारे में प्रमेयों को सिद्ध करते हैं। और आप सोच सकते हैं कि, ठीक है, यदि आप किसी यादृच्छिक चीज़ से शुरुआत करते हैं, और आप उसके साथ कुछ करते हैं, तो आपके पास हमेशा कुछ यादृच्छिक होगा। लेकिन संभाव्यता सिद्धांत में एक उल्लेखनीय सुंदर चीज़ जो पाई जाती है वह यह है कि कभी-कभी आप किसी यादृच्छिक चीज़ से कुछ नियतिवादी प्राप्त कर सकते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (23:45): अच्छा, यह कैसे काम करता है? कैसा?
लकड़ी (23:48): हाँ। तो आपने घंटी वक्र, या सामान्य वितरण देखा है, गणितज्ञ इसे कहेंगे। यह प्रकृति में हर जगह दिखाई देता है। जैसा कि ऐसा प्रतीत होता है यदि आप लोगों के रक्तचाप, या जन्म के समय बच्चे के वजन, या कुछ और को देखते हैं। और आप सोच सकते हैं, ओह, यह घंटी वक्र, यह प्रकृति का एक तथ्य है। लेकिन वास्तव में, एक प्रमेय है, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में केंद्रीय सीमा प्रमेय कहा जाता है, जो आपको बताता है कि वास्तव में, यह घंटी वक्र कुछ अर्थों में प्रकृति का तथ्य नहीं है, बल्कि गणित का एक तथ्य है। केंद्रीय सीमा प्रमेय आपको बताता है कि यदि आप छोटे यादृच्छिक प्रभावों के एक पूरे समूह को स्वतंत्र रूप से जोड़ते हैं, तो उसका आउटपुट हमेशा एक निश्चित वितरण से मेल खाएगा। यह आकृति, यह घंटी वक्र। गणित, और संभाव्यता का सिद्धांत, यह साबित कर सकता है कि यदि आपके पास - यदि आप बहुत सी छोटी स्वतंत्र यादृच्छिक चीजों को जोड़ते हैं, तो उस सभी संयोजन का परिणाम आपको एक वितरण देगा जो इस घंटी वक्र जैसा दिखता है। और इसलिए - भले ही आप नहीं जानते कि इनपुट किस प्रकार के थे। और यह वास्तव में एक शक्तिशाली प्रमेय और गणित में एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है।
स्ट्रोगेट्ज़ (25:05): हाँ, यह निश्चित रूप से है। और मुझे आपका इस बात पर ज़ोर देना पसंद आया कि आपको यह जानने की ज़रूरत नहीं है कि छोटे प्रभावों के साथ क्या हो रहा है। वह, किसी भी तरह, धुल जाता है। उस जानकारी की आवश्यकता नहीं है. घंटी वक्र पूर्वानुमानित है, भले ही आप नहीं जानते कि छोटे प्रभावों की प्रकृति क्या है। जब तक उनमें से बहुत सारे हैं और वे कम हैं। और वे एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते हैं, ठीक है, वे कुछ अर्थों में स्वतंत्र हैं।
लकड़ी (25:27): हाँ, बिल्कुल। और इसलिए यह एक विचार है, आप जानते हैं, कभी-कभी इसे संभाव्यता सिद्धांत में सार्वभौमिकता कहा जाता है, कि कुछ प्रकार की मशीनें हैं जिनमें यदि आप बहुत सारे यादृच्छिक इनपुट डालते हैं, तो आप आउटपुट की भविष्यवाणी कर सकते हैं। जैसे, उदाहरण के लिए, कि आपको यह घंटी वक्र, या यह सामान्य वितरण मिलेगा, भले ही आपको पता न हो कि आपने मशीन में क्या डाला है। और यह अविश्वसनीय रूप से शक्तिशाली है जब ऐसी चीजें होती हैं जिन्हें हम बहुत अच्छी तरह से नहीं समझते हैं, क्योंकि -
स्ट्रोगेट्ज़ (25:56): लेकिन क्या आप मुझे बता रहे हैं - ओह, मुझे आपकी बात काटने के लिए खेद है - लेकिन क्या आप मुझे बता रहे हैं कि यह अब संख्या सिद्धांत में भी हो रहा है? क्या हम किसी तरह सार्वभौमिकता के विचार को संख्या सिद्धांत में प्रदर्शित कर रहे हैं? या मैं सपना देख रहा हूँ?
लकड़ी (26:09): खैर, कुछ हद तक, मैं कहूंगा कि यह मेरा एक सपना है जो शुरू हो रहा है। आप जानते हैं, हम इसे साकार होते देखने के लिए पहला कदम उठा रहे हैं। तो यह सिर्फ आपका सपना नहीं है, यह मेरा भी सपना है। कुछ काम जो मैं आज करता हूं और जिस पर मैं और मेरे सहयोगी काम करते हैं, उस तरह के सपने को वास्तविकता बनाने की कोशिश कर रहे हैं ताकि, संख्याओं के बारे में इनमें से कुछ पेचीदा सवाल जिनका जवाब हम नहीं जानते हैं, शायद हम ऐसा कर सकें समझें कि ऐसे पैटर्न हैं जो एक घंटी वक्र की तरह, एक सामान्य वितरण की तरह निकलते हैं, जिन्हें हम मशीन से बाहर साबित कर सकते हैं, भले ही हमें नहीं पता हो कि कौन से रहस्य डाले गए थे।
स्ट्रोगेट्ज़ (26:55): खैर, यह वास्तव में एक बहुत ही प्रेरणादायक, रोमांचकारी दृष्टि है, और मुझे आशा है कि यह सब पूरा होगा। आज हमसे बात करने के लिए आपका बहुत-बहुत धन्यवाद, मेलानी।
लकड़ी (27:03): धन्यवाद। इसमें बड़ा मज़ा आया।
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