तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, आर्किमिडीज उत्पन्न मवेशियों को चराने के बारे में एक पहेली, जिसे उन्होंने दावा किया, केवल एक बुद्धिमान व्यक्ति ही हल कर सकता है। उनकी समस्या अंततः एक ऐसे समीकरण में बदल गई जिसमें दो वर्ग शब्दों के बीच का अंतर शामिल है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: x2 - dy2 = 1. यहाँ, d एक पूर्णांक है — एक धनात्मक या ऋणात्मक गणना संख्या — और आर्किमिडीज़ उन समाधानों की तलाश में था जहाँ दोनों x और y पूर्णांक भी हैं।
समीकरणों के इस वर्ग, जिसे पेल समीकरण कहा जाता है, ने सदियों से गणितज्ञों को आकर्षित किया है।
आर्किमिडीज के कुछ सदियों बाद, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त और बाद में गणितज्ञ भास्कर II ने इन समीकरणों के पूर्णांक समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम प्रदान किए। 1600 के दशक के मध्य में, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट (जो उस काम से अनजान थे) ने फिर से खोजा कि कुछ मामलों में, तब भी जब d को अपेक्षाकृत छोटा मान दिया गया था, जिसके लिए सबसे छोटा संभव पूर्णांक समाधान था x और y बड़े पैमाने पर हो सकता है। जब उन्होंने प्रतिद्वंद्वी गणितज्ञों को चुनौती की समस्याओं की एक श्रृंखला भेजी, तो उन्होंने समीकरण को शामिल किया x2 - 61y2 = 1, जिसके सबसे छोटे हल में नौ या 10 अंक होते हैं। (आर्किमिडीज के लिए, उनकी पहेली ने अनिवार्य रूप से समीकरण के पूर्णांक समाधान के लिए कहा x2 - 4,729,494y2 = 1. "सबसे छोटे समाधान का प्रिंट आउट लेने के लिए, इसमें 50 पृष्ठ लगते हैं," कहा पीटर कोयमन्स, मिशिगन विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "कुछ अर्थों में, यह आर्किमिडीज़ द्वारा किया गया एक विशाल ट्रोल है।")
लेकिन पेल समीकरणों के समाधान बहुत कुछ कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप पूर्णांकों के अनुपात के रूप में $latex sqrt{2}$, एक अपरिमेय संख्या का अनुमान लगाना चाहते हैं। यह पता चला है कि पेल समीकरण को हल करना x2 - 2y2 = 1 ऐसा करने में आपकी सहायता कर सकता है: $latex sqrt{2}$ (या, अधिक सामान्यतः, $latex sqrt{d}$) को फॉर्म के अंश के रूप में समाधान को फिर से लिखकर अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है x/y.
शायद और भी पेचीदा, वे समाधान आपको विशेष संख्या प्रणालियों के बारे में कुछ बताते हैं, जिन्हें गणितज्ञ रिंग कहते हैं। ऐसी संख्या प्रणाली में, गणितज्ञ $latex sqrt{2}$ को पूर्णांकों से जोड़ सकते हैं। रिंगों में कुछ गुण होते हैं, और गणितज्ञ उन गुणों को समझना चाहते हैं। पेल समीकरण, यह पता चला है, ऐसा करने में उनकी मदद कर सकता है।
और इसलिए "बहुत सारे प्रसिद्ध गणितज्ञ - लगभग हर गणितज्ञ ने किसी समय में - वास्तव में इस समीकरण का अध्ययन किया क्योंकि यह कितना सरल है," ने कहा मार्क शस्टरमैन, हार्वर्ड विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। उन गणितज्ञों में फ़र्मेट, यूलर, लैग्रेंज और डिरिचलेट शामिल थे। (जॉन पेल, इतना नहीं; समीकरण को गलती से उनके नाम पर रखा गया था।)
अब कोयमन्स और कार्लो पैगानो, मॉन्ट्रियल में कॉनकॉर्डिया विश्वविद्यालय में गणितज्ञ, है दशकों पुराना अनुमान साबित हुआ पेल समीकरण से संबंधित है, जो यह निर्धारित करता है कि समीकरण के एक निश्चित रूप में कितनी बार पूर्णांक समाधान होते हैं। ऐसा करने के लिए, उन्होंने दूसरे क्षेत्र से विचारों को आयात किया - समूह सिद्धांत - साथ ही साथ उस क्षेत्र में अध्ययन की एक महत्वपूर्ण लेकिन रहस्यमय वस्तु की बेहतर समझ हासिल की। "उन्होंने वास्तव में गहरे और सुंदर विचारों का इस्तेमाल किया," ने कहा एंड्रयू ग्रानविल, मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "उन्होंने वास्तव में इसे खींचा।"
टूटा हुआ अंकगणित
शुरुआती 1990 में, पीटर स्टीवनहेगननीदरलैंड में लीडेन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ, पेल समीकरणों और समूह सिद्धांत के बीच देखे गए कुछ कनेक्शनों से प्रेरित थे, ताकि अनुमान लगाया जा सके कि इन समीकरणों में पूर्णांक समाधान कितनी बार होते हैं। लेकिन "मुझे उम्मीद नहीं थी कि यह जल्द ही साबित हो जाएगा," उन्होंने कहा - या अपने जीवनकाल में भी। उपलब्ध तकनीकें समस्या पर हमला करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं लगती थीं।
उनका अनुमान अंगूठियों की एक विशेष विशेषता पर निर्भर करता है। संख्याओं की अंगूठी में, उदाहरण के लिए, $latex sqrt{-5}$ को पूर्णांकों में जोड़ा गया है (गणितज्ञ अक्सर "काल्पनिक" संख्याओं जैसे $latex sqrt{-5}$ के साथ काम करते हैं), इसके दो अलग-अलग तरीके हैं। किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, संख्या 6 को न केवल 2 × 3, बल्कि (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 - $latex sqrt{-5}$) के रूप में भी लिखा जा सकता है। नतीजतन, इस वलय में, अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड - अंकगणित का एक केंद्रीय सिद्धांत, जिसे व्यावहारिक रूप से सामान्य पूर्णांकों में माना जाता है - टूट जाता है। जिस हद तक यह होता है वह उस रिंग से जुड़ी किसी वस्तु में एन्कोडेड होता है, जिसे क्लास ग्रुप कहा जाता है।
एक तरीका है कि गणितज्ञ एक संख्या प्रणाली में गहरी अंतर्दृष्टि प्राप्त करने का प्रयास करते हैं जिसमें वे रुचि रखते हैं - कहते हैं, $latex sqrt{2}$ पूर्णांकों से जुड़ा हुआ है - इसके वर्ग समूह की गणना और अध्ययन करना है। फिर भी इन सभी विभिन्न संख्या प्रणालियों में वर्ग समूह कैसे व्यवहार करते हैं, इसके लिए सामान्य नियमों को निर्धारित करना लगभग निषेधात्मक रूप से कठिन है।
1980 के दशक में गणितज्ञों ने हेनरी कोहेन और हेंड्रिक लेनस्ट्रा उन नियमों को कैसा दिखना चाहिए, इसके बारे में अनुमानों का एक व्यापक सेट प्रस्तुत करें। ये "कोहेन-लेनस्ट्रा हेरिस्टिक्स" आपको वर्ग समूहों के बारे में बहुत कुछ बता सकते हैं, जो बदले में उनकी अंतर्निहित संख्या प्रणालियों के गुणों को प्रकट करना चाहिए।
सिर्फ एक ही समस्या थी। जबकि बहुत सारी संगणनाएँ कोहेन-लेंस्ट्रा ह्युरिस्टिक्स का समर्थन करती प्रतीत होती हैं, वे अभी भी अनुमान हैं, प्रमाण नहीं। "जहां तक प्रमेय जाते हैं, हाल ही में हम लगभग कुछ भी नहीं जानते थे," ने कहा एलेक्स बार्टेल, ग्लासगो विश्वविद्यालय में गणितज्ञ।
दिलचस्प बात यह है कि एक वर्ग समूह का विशिष्ट व्यवहार पेल समीकरणों के व्यवहार के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। एक समस्या को समझने से दूसरे को समझने में मदद मिलती है - इतना अधिक कि स्टीवनहेगन का अनुमान "कोहेन-लेनस्ट्रा हेरिस्टिक्स पर जो भी प्रगति हुई है, उसके लिए एक परीक्षण समस्या भी रही है," पैगानो ने कहा।
नए कार्य में नकारात्मक पेल समीकरण शामिल है, जहां x2 - dy2 1 के बजाय बराबर -1 पर सेट किया गया है। मूल पेल समीकरण के विपरीत, जिसमें हमेशा किसी के लिए अनंत संख्या में पूर्णांक समाधान होते हैं। d, के सभी मान नहीं d नकारात्मक पेल समीकरण में एक समीकरण उत्पन्न होता है जिसे हल किया जा सकता है। लेना x2 - 3y2 = -1: आप संख्या रेखा के साथ कितनी भी दूर तक देखें, आप कभी भी समाधान नहीं खोज पाएंगे, भले ही x2 - 3y2 = 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
वास्तव में, बहुत सारे मूल्य हैं d जिसके लिए ऋणात्मक पेल समीकरण हल नहीं किया जा सकता है: ज्ञात नियमों के आधार पर कि कुछ संख्याएं एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं, d 3, 7, 11, 15 आदि का गुणज नहीं हो सकता।
लेकिन तब भी जब आप के उन मूल्यों से बचते हैं d और केवल शेष नकारात्मक पेल समीकरणों पर विचार करें, समाधान खोजना हमेशा संभव नहीं होता है। संभावित मूल्यों के उस छोटे सेट में d, वास्तव में किस अनुपात में काम करता है?
1993 में, स्टीवनहेगन ने एक सूत्र प्रस्तावित किया जिसने उस प्रश्न का सटीक उत्तर दिया। मूल्यों के लिए d वह काम कर सकता है (अर्थात, वे मान जो 3, 7 आदि के गुणज नहीं हैं), उन्होंने भविष्यवाणी की कि लगभग 58% पूर्णांक समाधानों के साथ नकारात्मक पेल समीकरणों को जन्म देंगे।
स्टीवनहेगन का अनुमान विशेष रूप से नकारात्मक पेल समीकरण और वर्ग समूहों पर कोहेन-लेनस्ट्रा हेरिस्टिक्स के बीच की कड़ी से प्रेरित था - एक लिंक जिसका कोयमन्स और पैगानो ने शोषण किया, जब 30 साल बाद, उन्होंने अंततः उसे सही साबित कर दिया।
एक बेहतर तोप
2010 में, कोयमन्स और पैगानो अभी भी स्नातक छात्र थे - स्टीवनहेगन के अनुमान से अभी तक परिचित नहीं थे - जब एक पेपर सामने आया जिसने वर्षों में समस्या पर पहली प्रगति की।
उस काम में, जो था में प्रकाशित गणित के इतिहास, गणितज्ञ एटियेन फाउवरी और जुर्गन क्लूनेर्स से पता चला है कि के मूल्यों का अनुपात d जो नकारात्मक पेल समीकरण के लिए काम करेगा एक निश्चित सीमा के भीतर गिर गया। ऐसा करने के लिए, उन्हें संबंधित वर्ग समूहों के कुछ तत्वों के व्यवहार पर नियंत्रण मिला। लेकिन स्टीवनहेगन के 58% के अधिक सटीक अनुमान पर उन्हें घर में कई और तत्वों की समझ की आवश्यकता होगी। दुर्भाग्य से, वे तत्व अचूक बने रहे: उनकी संरचना को समझने के लिए अभी भी उपन्यास विधियों की आवश्यकता थी। आगे की प्रगति असंभव लग रही थी।
फिर, 2017 में, जब कोयमन्स और पैगानो दोनों लीडेन विश्वविद्यालय में एक साथ स्नातक विद्यालय में थे, एक कागज दिखाई दिया जिसने सब कुछ बदल दिया। "जब मैंने इसे देखा, तो मैंने तुरंत पहचान लिया कि यह एक बहुत ही प्रभावशाली परिणाम था," कोयमन्स ने कहा। "यह ऐसा था, ठीक है, अब मेरे पास एक तोप है जिसे मैं इस समस्या पर गोली मार सकता हूं और आशा करता हूं कि मैं प्रगति कर सकता हूं।" (उस समय, स्टीवनहेगन और लेनस्ट्रा भी लीडेन में प्रोफेसर थे, जिसने समस्या में कोयमन्स और पैगानो की रुचि को जगाने में मदद की।)
पेपर हार्वर्ड में एक स्नातक छात्र द्वारा किया गया था, अलेक्जेंडर स्मिथ (जो अब स्टैनफोर्ड में क्ले फेलो हैं)। काम को एक सफलता के रूप में प्रस्तुत करने में कोयमन्स और पैगानो अकेले नहीं थे। "विचार अद्भुत थे," ग्रानविले ने कहा। "क्रांतिकारी।"
स्मिथ समीकरणों के हल के गुणों को समझने की कोशिश कर रहे थे जिन्हें अण्डाकार वक्र कहा जाता है। ऐसा करते हुए, उन्होंने कोहेन-लेनस्ट्रा हेरिस्टिक्स के एक विशिष्ट भाग पर काम किया। यह न केवल उन व्यापक अनुमानों को गणितीय तथ्य के रूप में मजबूत करने में पहला बड़ा कदम था, बल्कि इसमें वर्ग समूह का वह हिस्सा शामिल था जिसे कोयमन्स और पैगानो को स्टीवनहेगन के अनुमान पर अपने काम में समझने की जरूरत थी। (इस टुकड़े में उन तत्वों को शामिल किया गया था जिनका फाउरी और क्लूनर्स ने अपने आंशिक परिणाम में अध्ययन किया था, लेकिन यह उनसे बहुत आगे निकल गया।)
हालाँकि, कोयमन्स और पैगानो स्मिथ के तरीकों का तुरंत उपयोग नहीं कर सके। (यदि यह संभव होता, तो स्मिथ स्वयं शायद ऐसा करते।) स्मिथ का प्रमाण सही संख्या के छल्ले से जुड़े वर्ग समूहों के बारे में था (जिनमें $latex sqrt{d}$ पूर्णांकों से जुड़ा होता है) - लेकिन उन्होंने सभी पर विचार किया के पूर्णांक मान d. दूसरी ओर, कोयमन्स और पैगानो, उन मूल्यों के केवल एक छोटे उपसमुच्चय के बारे में सोच रहे थे d. नतीजतन, उन्हें वर्ग समूहों के बहुत छोटे अंश के बीच औसत व्यवहार का आकलन करने की आवश्यकता थी।
वे वर्ग समूह अनिवार्य रूप से स्मिथ के वर्ग समूहों के 0% का गठन करते हैं - जिसका अर्थ है कि स्मिथ उन्हें तब फेंक सकते थे जब वह अपना प्रमाण लिख रहे थे। उन्होंने उस औसत व्यवहार में योगदान नहीं दिया जिसका वह अध्ययन कर रहा था।
और जब कोयमन्स और पैगानो ने अपनी तकनीकों को केवल उन वर्ग समूहों पर लागू करने की कोशिश की, जिनकी उन्हें परवाह थी, तो तरीके तुरंत टूट गए। जोड़ी को काम पर लाने के लिए महत्वपूर्ण बदलाव करने की आवश्यकता होगी। इसके अलावा, वे केवल एक वर्ग समूह की विशेषता नहीं बता रहे थे, बल्कि विसंगति जो दो अलग-अलग वर्ग समूहों के बीच मौजूद हो सकती है (ऐसा करना स्टीवनहेगन के अनुमान के उनके प्रमाण का एक प्रमुख हिस्सा होगा) - जिसके लिए कुछ अलग उपकरणों की भी आवश्यकता होगी।
इसलिए कोयमन्स और पैगानो ने स्मिथ के पेपर के माध्यम से और अधिक सावधानी से तलाशी लेना शुरू कर दिया, ताकि यह पता चल सके कि चीजें रेल से कहां जाने लगीं। यह कठिन, श्रमसाध्य कार्य था, केवल इसलिए नहीं कि सामग्री इतनी जटिल थी, बल्कि इसलिए कि स्मिथ उस समय अपने पूर्व-मुद्रण को परिष्कृत कर रहा था, आवश्यक सुधार और स्पष्टीकरण कर रहा था। (उन्होंने पोस्ट किया उनके पेपर का नया संस्करण पिछले महीने ऑनलाइन।)
एक पूरे साल के लिए, कोयमन्स और पैगानो ने एक साथ लाइन दर लाइन सबूत सीखा। वे हर दिन मिलते थे, एक ब्लैकबोर्ड पर कुछ घंटे बिताने से पहले दोपहर के भोजन पर दिए गए अनुभाग पर चर्चा करते थे, प्रासंगिक विचारों के माध्यम से एक दूसरे को काम करने में मदद करते थे। यदि उनमें से एक ने अपने आप प्रगति की, तो उसने दूसरे को उसे अपडेट करने के लिए संदेश भेजा। शस्टरमैन कभी-कभी उन्हें रात में लंबे समय तक काम करते हुए देखकर याद करते हैं। कोयमन्स ने कहा, इसके बावजूद (या शायद इसके कारण) चुनौतियों का सामना करना पड़ा, "यह एक साथ करने में बहुत मजेदार था।"
उन्होंने अंततः पहचान की कि उन्हें एक नए दृष्टिकोण की कोशिश करने की आवश्यकता कहाँ होगी। सबसे पहले, वे केवल मामूली सुधार करने में सक्षम थे। गणितज्ञों के साथ स्टेफ़नी चान और जोर्डजो मिलोविच, उन्हें पता चला कि कक्षा समूह में कुछ अतिरिक्त तत्वों पर नियंत्रण कैसे प्राप्त किया जाए, जिससे उन्हें फाउवरी और क्लूनर्स की तुलना में बेहतर सीमा प्राप्त करने की अनुमति मिली। लेकिन वर्ग समूह की संरचना के महत्वपूर्ण अंश अभी भी उनसे दूर हैं।
एक बड़ी समस्या जिसका उन्हें सामना करना पड़ा था - कुछ ऐसा जिसके लिए स्मिथ की पद्धति अब इस नए संदर्भ में काम नहीं कर रही थी - यह सुनिश्चित कर रही थी कि वे वर्ग समूहों के लिए "औसत" व्यवहार का वास्तव में मूल्यों के रूप में विश्लेषण कर रहे थे d बड़ा और बड़ा होता गया। यादृच्छिकता की उचित डिग्री स्थापित करने के लिए, कोयमन्स और पैगानो ने नियमों का एक जटिल सेट साबित किया, जिसे पारस्परिकता कानून कहा जाता है। अंत में, इसने उन्हें दो वर्ग समूहों के बीच के अंतर पर आवश्यक नियंत्रण हासिल करने की अनुमति दी।
उस अग्रिम ने, दूसरों के साथ मिलकर, उन्हें इस साल की शुरुआत में स्टीवनहेगन के अनुमान के प्रमाण को पूरा करने की अनुमति दी। "यह आश्चर्यजनक है कि वे इसे पूरी तरह से हल करने में सक्षम थे," चान ने कहा। "पहले, हमारे पास ये सभी मुद्दे थे।"
उन्होंने जो किया "मुझे आश्चर्य हुआ," स्मिथ ने कहा। "कोयमन्स और पैगानो ने मेरी पुरानी भाषा को बनाए रखा है और बस इसे आगे और आगे एक दिशा में आगे बढ़ाने के लिए इस्तेमाल किया है जिसे मैं अब और मुश्किल से समझता हूं।"
सबसे तेज उपकरण
जब से उन्होंने पांच साल पहले इसे पेश किया, तब से स्मिथ के कोहेन-लेनस्ट्रा हेरिस्टिक्स के एक हिस्से के प्रमाण को कई अन्य समस्याओं के लिए दरवाजे खोलने के तरीके के रूप में देखा गया, जिसमें अंडाकार वक्र और ब्याज की अन्य संरचनाओं के बारे में प्रश्न शामिल थे। (अपने पेपर में, कोयमन्स और पैगानो ने लगभग एक दर्जन अनुमानों की सूची दी है, जिन पर वे अपने तरीकों का उपयोग करने की उम्मीद करते हैं। कई का नकारात्मक पेल समीकरण या यहां तक कि वर्ग समूहों से कोई लेना-देना नहीं है।)
"बहुत सी वस्तुओं में संरचनाएं होती हैं जो इस प्रकार के बीजीय समूहों से भिन्न नहीं होती हैं," ग्रानविले ने कहा। लेकिन कोयमन्स और पैगानो को जिन बाधाओं का सामना करना पड़ा, उनमें से कई इन अन्य संदर्भों में भी मौजूद हैं। नकारात्मक पेल समीकरण पर नए काम ने इन बाधाओं को दूर करने में मदद की है। बार्टेल ने कहा, "अलेक्जेंडर स्मिथ ने हमें बताया है कि इन आरी और हथौड़ों का निर्माण कैसे किया जाता है, लेकिन अब हमें उन्हें जितना संभव हो उतना तेज और जितना संभव हो उतना कठिन और विभिन्न परिस्थितियों के अनुकूल बनाना होगा।" "इस पेपर में जिन चीजों में से एक है, वह उस दिशा में बहुत आगे जाती है।"
इस बीच, इस सारे काम ने गणितज्ञों की कक्षा समूहों के सिर्फ एक पहलू की समझ को परिष्कृत किया है। कोहेन-लेनस्ट्रा के बाकी अनुमान कम से कम फिलहाल के लिए पहुंच से बाहर हैं। लेकिन कोयमन्स और पैगानो का पेपर "एक संकेत है कि कोहेन-लेनस्ट्रा में समस्याओं पर हमला करने के लिए हमारे पास जो तकनीकें हैं, वे बड़े हो रहे हैं," स्मिथ ने कहा।
लेनस्ट्रा खुद भी इसी तरह आशावादी थे। यह "बिल्कुल शानदार" है, उन्होंने एक ईमेल में लिखा है। "यह वास्तव में संख्या सिद्धांत की एक शाखा में एक नया अध्याय खोलता है जो संख्या सिद्धांत जितना ही पुराना है।"
