गणितज्ञ पासा घुमाते हैं और रॉक-पेपर-कैंची प्राप्त करते हैं

जैसा कि बिल गेट्स कहानी कहते हैं, वारेन बफेट ने एक बार उन्हें पासा के खेल के लिए चुनौती दी थी। प्रत्येक बफेट से संबंधित चार पासों में से एक का चयन करेगा, और फिर वे अधिक संख्या में जीत के साथ रोल करेंगे। ये मानक पासे नहीं थे - उनके पास सामान्य 1 से 6 की तुलना में संख्याओं का एक अलग वर्गीकरण था। बफेट ने गेट्स को पहले चुनने की पेशकश की, ताकि वह सबसे मजबूत पासा चुन सके। लेकिन गेट्स ने पासे की जांच करने के बाद, एक प्रतिप्रस्ताव लौटाया: बफेट को पहले चुनना चाहिए।

गेट्स ने माना था कि बफेट के पासे ने एक विचित्र गुण प्रदर्शित किया: उनमें से कोई भी सबसे मजबूत नहीं था। यदि गेट्स ने पहले चुना होता, तो वह जो भी पासा चुनते, बफेट एक और पासा खोजने में सक्षम होते जो इसे हरा सकता था (यानी, जीतने की 50% से अधिक संभावना के साथ)।

बफेट के चार पासे (उन्हें कॉल करें A, B, C और D) ने रॉक-पेपर-कैंची की याद दिलाने वाला एक पैटर्न बनाया, जिसमें A धड़कता है B, B धड़कता है C, C धड़कता है D और D धड़कता है A. गणितज्ञ कहते हैं कि पासा का ऐसा सेट "अकर्मक" है।

"यह सहज नहीं है कि [अकर्मक पासा] भी मौजूद होना चाहिए," कहा ब्रायन कॉनरीसैन जोस में अमेरिकन इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स (एआईएम) के निदेशक, जिन्होंने 2013 में इस विषय पर एक प्रभावशाली पत्र लिखा था।

गणितज्ञों के साथ आया था पहले उदाहरण 50 साल से अधिक पहले और अंत में अकर्मक पासा साबित जैसा कि आप अधिक से अधिक भुजाओं वाले पासों पर विचार करते हैं, किसी भी लम्बाई के अकर्मक चक्र बनाना संभव है। हाल ही में जब तक गणितज्ञ नहीं जानते थे कि अकर्मक पासा कितना आम है। क्या आपको ऐसे उदाहरणों को सावधानी से बनाना है, या क्या आप यादृच्छिक रूप से पासा उठा सकते हैं और एक अकर्मक सेट खोजने में अच्छा शॉट लगा सकते हैं?

तीन पासा देख रहे हैं, अगर आप जानते हैं कि A धड़कता है B और B धड़कता है C, यह सबूत की तरह लगता है A सबसे मजबूत है; ऐसी स्थितियाँ जहाँ C धड़कता है A दुर्लभ होना चाहिए। और वास्तव में, यदि पासे पर संख्याओं को अलग-अलग योगों तक जोड़ने की अनुमति दी जाती है, तो गणितज्ञों का मानना ​​है कि यह अंतर्ज्ञान सही है।

लेकिन ए पेपर ऑनलाइन पोस्ट किया गया पिछले साल के अंत में पता चलता है कि एक और प्राकृतिक सेटिंग में, यह अंतर्ज्ञान शानदार रूप से विफल हो जाता है। मान लीजिए कि आप चाहते हैं कि आपका पासा केवल उन संख्याओं का उपयोग करे जो एक नियमित पासे पर दिखाई दें और एक नियमित पासे के समान कुल हो। फिर, कागज दिखाया, अगर A धड़कता है B और B धड़कता है C, A और C अनिवार्य रूप से एक दूसरे के खिलाफ प्रबल होने की समान संभावनाएं हैं।

"जानते हुए भी A धड़कता है B और B धड़कता है C बस आपको इस बारे में कोई जानकारी नहीं देता है कि क्या A धड़कता है C," कहा हुआ टिमोथी गोवर्स कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के, एक फील्ड्स पदक विजेता और नए परिणाम के योगदानकर्ताओं में से एक, जिसे पोलीमैथ परियोजना के रूप में ज्ञात एक खुले ऑनलाइन सहयोग के माध्यम से साबित किया गया था।

इस बीच, एक और हाल ही में कागज चार या अधिक पासा के सेट का विश्लेषण करता है। यह खोज यकीनन और भी अधिक विरोधाभासी है: यदि, उदाहरण के लिए, आप चार पासे यादृच्छिक रूप से चुनते हैं और आप पाते हैं कि A धड़कता है B, B धड़कता है C और C धड़कता है D, तो यह थोड़ा है अधिक के लिए संभावना है D हराने के लिए A उलटे की तुलना में।

न मजबूत न कमजोर

हाल ही में परिणामों की शुरुआत लगभग एक दशक पहले हुई, जब कॉनरी ने गणित के शिक्षकों के लिए एक सत्र में भाग लिया, जिसमें अकर्मक पासा शामिल था। "मुझे नहीं पता था कि ऐसी चीजें मौजूद हो सकती हैं," उन्होंने कहा। "मैं उन पर मोहित हो गया।"

उन्होंने फैसला किया (बाद में उनके सहयोगी ने ज्वाइन किया केंट मॉरिसन एआईएम में) तीन हाई स्कूल के छात्रों के साथ इस विषय का पता लगाने के लिए - जेम्स गबार्ड, केटी ग्रांट और एंड्रयू लियू। कितनी बार, समूह ने सोचा, बेतरतीब ढंग से चुना गया पासा एक अकर्मक चक्र होगा?

पासा के अकर्मक सेट को दुर्लभ माना जाता है यदि पासा के चेहरे की संख्या अलग-अलग योगों तक जोड़ती है, क्योंकि उच्चतम कुल के साथ मरने की संभावना दूसरों को हरा देती है। इसलिए टीम ने पासों पर ध्यान केंद्रित करने का फैसला किया जिसमें दो गुण हैं: सबसे पहले, पासा एक मानक मरने के समान संख्याओं का उपयोग करता है - 1 से लेकर n, एक के मामले में nपक्षीय मरो। और दूसरा, अंकित संख्याओं का योग मानक पासे के योग के बराबर होता है। लेकिन मानक पासों के विपरीत, प्रत्येक पासा कुछ संख्याओं को दोहरा सकता है और अन्य को छोड़ सकता है।

छह तरफा पासा के मामले में, केवल 32 अलग-अलग पासे हैं जिनमें ये दो गुण हैं। लिहाजा टीम कंप्यूटर की मदद से उन सभी त्रिगुणों की पहचान कर सकी जिनमें A धड़कता है B और B धड़कता है C. शोधकर्ताओं ने पाया, उनके विस्मय के लिए, कि A धड़कता है C 1,756 ट्रिपल में और C धड़कता है A 1,731 ट्रिपल में - लगभग समान संख्या। इस संगणना और छह से अधिक भुजाओं वाले पासा के अनुरूपण के आधार पर, टीम ने अनुमान लगाया जैसे-जैसे पासे पर भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, संभावना है कि A धड़कता है C 50% तक पहुँच जाता है।

पहुंच और बारीकियों के अपने मिश्रण के साथ अनुमान ने कॉनरे को पॉलीमैथ प्रोजेक्ट के लिए अच्छे चारा के रूप में प्रभावित किया, जिसमें कई गणितज्ञ विचारों को साझा करने के लिए ऑनलाइन एक साथ आते हैं। 2017 के मध्य में, उन्होंने पॉलीमैथ दृष्टिकोण के प्रवर्तक गोवर्स को विचार प्रस्तावित किया। गोवर्स ने कहा, "मुझे यह सवाल बहुत पसंद आया, क्योंकि इसके आश्चर्यजनक मूल्य हैं।" उन्होंने ए लिखा ब्लॉग पोस्ट उस अनुमान के बारे में जिसने टिप्पणियों की झड़ी लगा दी, और छह अतिरिक्त पदों के दौरान, टिप्पणीकार इसे साबित करने में सफल रहे।

अपने पत्र में, ऑनलाइन पोस्ट नवंबर 2022 के अंत में, सबूत के एक महत्वपूर्ण हिस्से में यह दिखाना शामिल है कि, अधिकांश भाग के लिए, इस बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है कि एक पासा मजबूत है या कमजोर। बफेट का पासा, इनमें से कोई भी पैक का सबसे मजबूत नहीं है, यह असामान्य नहीं है: यदि आप यादृच्छिक रूप से एक पासा चुनते हैं, तो पोलीमैथ प्रोजेक्ट ने दिखाया, यह दूसरे पासे के लगभग आधे को हरा सकता है और दूसरे आधे से हार सकता है। "लगभग हर मर काफी औसत है," गोवर्स ने कहा।

परियोजना एआईएम टीम के मूल मॉडल से एक मामले में अलग हो गई: कुछ तकनीकीताओं को सरल बनाने के लिए, परियोजना ने घोषित किया कि मरने पर संख्याओं का क्रम मायने रखता है - इसलिए, उदाहरण के लिए, 122556 और 152562 को दो अलग-अलग पासा माना जाएगा। लेकिन पॉलीमैथ परिणाम, एआईएम टीम के प्रायोगिक साक्ष्य के साथ मिलकर, एक मजबूत धारणा बनाता है कि अनुमान मूल मॉडल में भी सच है, गोवर्स ने कहा।

"मैं पूरी तरह से खुश था कि वे इस सबूत के साथ आए," कोनरे ने कहा।

जब चार या अधिक पासों के संग्रह की बात आई, तो AIM टीम ने तीन पासों के समान व्यवहार की भविष्यवाणी की थी: उदाहरण के लिए, यदि A धड़कता है B, B धड़कता है C और C धड़कता है D तो इसकी लगभग 50-50 संभावना होनी चाहिए D धड़कता है A, ठीक 50-50 के करीब पहुंच रहा है क्योंकि पासे पर भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुंच रही है।

अनुमान का परीक्षण करने के लिए, शोधकर्ताओं ने 50, 100, 150 और 200 पक्षों के साथ चार पासा के सेट के लिए सिर से सिर के टूर्नामेंट का अनुकरण किया। सिमुलेशन ने तीन पासा के मामले में उनकी भविष्यवाणियों का पालन नहीं किया, लेकिन अनुमान में उनके विश्वास को मजबूत करने के लिए अभी भी काफी करीब थे। लेकिन हालांकि शोधकर्ताओं को इसका एहसास नहीं हुआ, इन छोटी विसंगतियों ने एक अलग संदेश दिया: चार या अधिक पासा के सेट के लिए, उनका अनुमान गलत है।

"हम वास्तव में [अनुमान] सच होना चाहते थे, क्योंकि यह अच्छा होगा," कॉनरे ने कहा।

चार पासों के मामले में, एलिसाबेटा कॉर्नचिया स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी लॉज़ेन और जान हज़ला किगाली, रवांडा में अफ्रीकी गणितीय विज्ञान संस्थान के एक में दिखाया गया है काग़ज़ 2020 के अंत में ऑनलाइन पोस्ट किया गया कि यदि A धड़कता है B, B धड़कता है C और C धड़कता है D, तो D पिटाई की 50% से थोड़ी बेहतर संभावना है A - शायद कहीं 52% के आसपास, हज़ला ने कहा। (पॉलीमैथ पेपर की तरह, कॉर्नचिया और हज़ला ने एआईएम पेपर की तुलना में थोड़ा अलग मॉडल का इस्तेमाल किया।)

कोर्नाचिया और हाज़ला की खोज इस तथ्य से उभरती है कि हालांकि, एक नियम के रूप में, एक एकल पासा न तो मजबूत होगा और न ही कमजोर, पासा की एक जोड़ी में कभी-कभी ताकत के सामान्य क्षेत्र हो सकते हैं। यदि आप बेतरतीब ढंग से दो पासा चुनते हैं, तो कॉर्नचिया और हाज़ला ने दिखाया, एक अच्छी संभावना है कि पासा सहसंबद्ध होगा: वे एक ही पासे को हरा देंगे या हार जाएंगे। "अगर मैं आपको दो पासे बनाने के लिए कहता हूं जो एक दूसरे के करीब हैं, तो यह पता चला है कि यह संभव है," हज़ला ने कहा। जैसे ही तस्वीर में कम से कम चार पासे होते हैं, सहसंबंध कुहनी के ये छोटे पॉकेट समरूपता से दूर हो जाते हैं।

हाल के कागजात कहानी का अंत नहीं हैं। कोर्नाचिया और हाज़ला का पेपर केवल ठीक से उजागर करना शुरू करता है कि कैसे पासा के बीच के संबंध टूर्नामेंट की समरूपता को असंतुलित करते हैं। इस बीच, हालांकि, अब हम जानते हैं कि वहाँ अकर्मक पासा के बहुत सारे सेट हैं - शायद एक भी जो बिल गेट्स को पहले चुनने के लिए पर्याप्त सूक्ष्म है।