संभाव्यता और संख्या सिद्धांत टकराते हैं - एक क्षण में

उनकी महत्वाकांक्षाएं हमेशा ऊंची रहती थीं। जब विल सॉविन और मेलानी मैचेट वुड ने पहली बार 2020 की गर्मियों में एक साथ काम करना शुरू किया, तो उन्होंने संख्या सिद्धांत में कुछ सबसे आकर्षक अनुमानों के प्रमुख घटकों पर पुनर्विचार करना शुरू किया। उनके ध्यान के विषय, वर्ग समूह, बुनियादी प्रश्नों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं कि अंकगणित कैसे काम करता है जब संख्याओं को पूर्णांक से आगे बढ़ाया जाता है। सावीन, कोलंबिया विश्वविद्यालय में, और लकड़ी, हार्वर्ड में, उन संरचनाओं के बारे में भविष्यवाणियां करना चाहता था जो कक्षा समूह की तुलना में अधिक सामान्य और गणितीय रूप से भयभीत करने वाली हों।

इससे पहले कि वे अपनी भविष्यवाणियां पूरी करते, अक्टूबर में उन्होंने एक साबित कर दिया नया परिणाम जो गणितज्ञों को संभाव्यता सिद्धांत के सबसे उपयोगी उपकरणों में से एक को न केवल वर्ग समूहों के लिए, बल्कि संख्याओं, नेटवर्कों और कई अन्य गणितीय वस्तुओं के संग्रह पर भी लागू करने देता है।

"यह केवल मूलभूत पेपर बनने जा रहा है, जो हर कोई इन समस्याओं के बारे में सोचना शुरू कर देता है," कहा डेविड ज्यूरिक-ब्राउन, एमोरी विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ। "ऐसा नहीं लगता कि अब आपको खरोंच से चीजों का आविष्कार करना है।"

एक वर्ग अधिनियम

एक वर्ग समूह एक संरचित गणितीय सेट का एक उदाहरण है जिसे समूह कहा जाता है। समूह में कई परिचित सेट शामिल होते हैं, जैसे पूर्णांक। जो चीज पूर्णांकों को केवल संख्याओं के एक सेट के बजाय एक समूह बनाती है, वह यह है कि आप इसके तत्वों को एक साथ जोड़ सकते हैं और एक और पूर्णांक प्राप्त कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, एक सेट एक समूह होता है यदि यह कुछ ऑपरेशन के साथ आता है, जैसे कि जोड़, दो तत्वों को एक तीसरे तत्व में जोड़ता है जो कुछ बुनियादी आवश्यकताओं को पूरा करता है। उदाहरण के लिए, शून्य का एक संस्करण होना चाहिए, एक ऐसा तत्व जो किसी अन्य को नहीं बदलता है।

पूर्णांक, जिसे गणितज्ञ आमतौर पर $latex mathbb{Z}$ कहते हैं, अनंत हैं। लेकिन बहुत सारे समूहों में तत्वों की संख्या सीमित होती है। उदाहरण के लिए, एक समूह बनाने के लिए जिसमें चार तत्व हैं, सेट {0, 1, 2, 3} पर विचार करें। नियमित जोड़ करने के बजाय किन्हीं भी दो संख्याओं के योग को 4 से विभाजित करें और शेषफल निकालें। (इन नियमों के तहत, 2 + 2 = 0, और 2 + 3 = 1.) इस समूह को $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$ कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, यदि आप $latex n$ तत्वों के साथ एक समूह बनाना चाहते हैं, तो आप संख्याओं को शून्य से ले सकते हैं n - 1 और से विभाजित करते समय शेष पर विचार करें n. परिणामी समूह को $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ कहा जाता है, हालांकि यह हमेशा एकमात्र समूह नहीं होता है n तत्वों।

वर्ग समूह प्रकट होता है जब संख्या सिद्धांतकार पूर्णांकों से परे संख्याओं की संरचना की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, वे पूर्णांकों में नई संख्याएँ जोड़ते हैं, जैसे i (−1 का वर्गमूल), $latex sqrt{5}$, या $latex sqrt{–5}$ भी।

“संख्या के बारे में हम जिन बातों के अभ्यस्त हैं, वे अब इस संदर्भ में सत्य नहीं हैं। या कम से कम, वे जरूरी सच नहीं हैं," कहा जॉर्डन एलेनबर्गविस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय, मैडिसन में गणितज्ञ।

विशेष रूप से, पूर्णांकों के विस्तार में फैक्टरिंग अलग तरीके से काम करती है। यदि आप केवल पूर्णांकों से चिपके रहते हैं, तो संख्याओं को केवल एक ही तरीके से primes (संख्याएँ जो केवल स्वयं और 1 से विभाजित की जा सकती हैं) में विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 6 2 × 3 है, और इसे अन्य अभाज्य संख्याओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इस संपत्ति को अद्वितीय कारककरण कहा जाता है।

लेकिन अगर आप अपने नंबर सिस्टम में $latex sqrt{–5}$ जोड़ते हैं, तो अब आपके पास अद्वितीय गुणनखंड नहीं है। आप 6 को अभाज्य संख्याओं में दो अलग-अलग तरीकों से कारक बना सकते हैं। यह अभी भी 2 × 3 है, लेकिन यह $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$ भी है।

ऐसे विस्तार से पूर्णांकों तक वर्ग समूह बनाए जाते हैं। "वर्ग समूह अविश्वसनीय रूप से महत्वपूर्ण हैं," वुड ने कहा। "और इसलिए आश्चर्य होना स्वाभाविक है: वे आमतौर पर क्या पसंद करते हैं?"

पूर्णांकों के किसी भी विस्तार से जुड़े वर्ग समूह का आकार एक बैरोमीटर है कि कितना अनूठा गुणनखंड टूट जाता है। हालांकि गणितज्ञों ने साबित कर दिया है कि वर्ग समूह हमेशा परिमित होते हैं, उनकी संरचना और आकार का पता लगाना जटिल होता है। इसलिए 1984 में हेनरी कोहेन और हेंड्रिक लेनस्ट्रा कुछ अनुमान लगाया. उनके अनुमान, जिन्हें अब कोहेन-लेनस्ट्रा ह्यूरिस्टिक्स कहा जाता है, उन सभी वर्ग समूहों से संबंधित हैं जो पूर्णांकों में नए वर्गमूल जोड़ते हैं। यदि उन सभी वर्ग समूहों को एक साथ इकट्ठा किया गया था, तो कोहेन और लेनस्ट्रा ने प्रश्नों के उत्तर सुझाए जैसे: उनमें से किस अनुपात में $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ समूह शामिल है? या $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? या कुछ अन्य ज्ञात परिमित समूह?

कोहेन और लेनस्ट्रा ने संख्या सिद्धांतकारों को न केवल वर्ग समूहों के अलग-अलग उदाहरणों पर विचार करने के लिए प्रेरित किया, बल्कि उन आँकड़ों पर भी विचार किया जो वर्ग समूहों को समग्र रूप से रेखांकित करते हैं। उनकी भविष्यवाणियों ने हर स्तर पर पैटर्न के साथ एक ब्रह्मांड के रूप में गणित की दृष्टि का दोहन किया।

लगभग 40 साल बाद, कोहेन-लेनस्ट्रा के अनुमानों को व्यापक रूप से सच माना जाता है, हालांकि कोई भी उन्हें साबित करने के करीब नहीं आया है। विस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय, मैडिसन में एक प्रोफेसर एमेरिटस, निगेल बोस्टन ने कहा, गणित पर उनका प्रभाव स्पष्ट रहा है। "जो खोजा गया है वह यह अद्भुत वेब है," उन्होंने कहा। "जिस तरह से हम सोचते हैं कि दुनिया को एक साथ रखा गया है, उसका यह बहुत बड़ा बुनियादी ढांचा है।"

शहर में ही खेल

ह्यूरिस्टिक्स से सीधे निपटने में असमर्थ, गणितज्ञ अधिक सुगम समस्याओं के साथ आए, जिनकी उन्हें आशा थी कि वे स्थिति को रोशन करेंगे। उस कार्य से, मात्राओं का एक उपयोगी समूह उभरा जिसे गणितज्ञों ने संभाव्यता सिद्धांत में प्रयुक्त एक शब्द के बाद, क्षणों को बुलाना शुरू किया।

संभाव्यता में, क्षण यादृच्छिक संख्याओं के पीछे के वितरण को पूरा करने में आपकी सहायता कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, न्यूयॉर्क शहर में 1 जनवरी को दैनिक उच्च तापमान के वितरण पर विचार करें - संभावना है कि अगले वर्ष 1 जनवरी को यह 10 डिग्री फ़ारेनहाइट, या 40 डिग्री, या 70 या 120 होगा। आपको बस काम करना है पिछले डेटा के साथ: दर्ज इतिहास की शुरुआत के बाद से हर साल 1 जनवरी को दैनिक उच्च का इतिहास।

यदि आप इन तापमानों के औसत की गणना करते हैं, तो आप थोड़ा सीखेंगे, लेकिन सब कुछ नहीं। 40 डिग्री का औसत उच्च तापमान आपको इस संभावना के बारे में नहीं बताता है कि तापमान 50 डिग्री से ऊपर या 20 डिग्री से नीचे होगा।

लेकिन अगर आपको अधिक जानकारी दी जाती है तो यह बदल जाता है। विशेष रूप से, आप तापमान के वर्ग का औसत सीख सकते हैं, एक मात्रा जिसे वितरण के दूसरे क्षण के रूप में जाना जाता है। (औसत पहला क्षण है।) या आप क्यूब्स का औसत सीख सकते हैं, जिसे तीसरे क्षण के रूप में जाना जाता है, या चौथी शक्तियों का औसत - चौथा क्षण।

1920 के दशक तक, गणितज्ञों ने यह पता लगा लिया था कि यदि इस श्रृंखला में क्षण पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे बढ़ते हैं, तो सभी क्षणों को जानने से आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि केवल एक संभावित वितरण में वे क्षण हैं। (हालांकि यह जरूरी नहीं है कि आप सीधे उस वितरण की गणना करें।)

"यह वास्तव में सहज नहीं है," वुड ने कहा। "यदि आप निरंतर वितरण के बारे में सोचते हैं, तो इसका कुछ आकार होता है। ऐसा महसूस होता है कि संख्याओं के अनुक्रम में इसे पकड़ने से कहीं अधिक है।

कोहेन-लेनस्ट्रा ह्यूरिस्टिक्स में रुचि रखने वाले गणितज्ञों ने पता लगाया कि, जिस तरह संभाव्यता सिद्धांत में क्षणों को संभाव्यता वितरण प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, वैसे ही वर्ग समूहों के लिए एक विशेष तरीके से परिभाषित क्षण एक लेंस हो सकते हैं जिसके माध्यम से हम उनके आकार और संरचना को देख सकते हैं। . टोरंटो विश्वविद्यालय के गणितज्ञ जैकब त्सिमरमैन ने कहा कि वह कल्पना नहीं कर सकते कि वर्ग समूह के आकार के वितरण की सीधे गणना कैसे की जा सकती है। क्षणों का उपयोग करते हुए, उन्होंने कहा, "अधिक से अधिक आसान है। यह शहर का एकमात्र खेल है।

यह जादू पल

जबकि संभाव्यता में प्रत्येक क्षण एक पूर्णांक के साथ जुड़ा हुआ है - तीसरी शक्ति, चौथी शक्ति, और इसी तरह - संख्या सिद्धांतकारों द्वारा शुरू की गई नई मात्रा प्रत्येक एक समूह के अनुरूप होती है। ये नए क्षण इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि आप विभिन्न तत्वों को एक साथ समेट कर अक्सर एक समूह को एक छोटे समूह में कम कर सकते हैं।

एक समूह से जुड़े पल की गणना करने के लिए G, सभी संभावित वर्ग समूहों को लें - प्रत्येक नए वर्गमूल के लिए एक जिसे आप पूर्णांकों में जोड़ते हैं। प्रत्येक वर्ग समूह के लिए, उन विभिन्न तरीकों की संख्या गिनें जिनमें आप इसे संक्षिप्त कर सकते हैं G. फिर, उन संख्याओं का औसत निकालिए। यह प्रक्रिया जटिल लग सकती है, लेकिन कोहेन और लेनस्ट्रा की भविष्यवाणियों के वास्तविक वितरण की तुलना में इसके साथ काम करना कहीं अधिक आसान है। हालांकि कोहेन-लेनस्ट्रा अनुमान स्वयं राज्य के लिए जटिल हैं, वितरण के क्षण वे भविष्यवाणी करते हैं सभी 1 हैं।

एलेनबर्ग ने कहा, "इससे आपको लगता है, वाह, शायद क्षण इसे प्राप्त करने का स्वाभाविक तरीका है।" "यह साबित करने में सक्षम होना अधिक विश्वसनीय लगता है कि कुछ 1 के बराबर है, यह साबित करने के लिए कि यह किसी पागल अनंत उत्पाद के बराबर है।"

जब गणितज्ञ समूहों, (वर्ग समूहों या अन्य) पर वितरण का अध्ययन करते हैं, तो वे प्रत्येक समूह के लिए एक समीकरण के साथ समाप्त होते हैं G, अब $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ की तरह दिखने वाले वर्ग समूहों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करने वाली संभावनाओं के साथ। असीम रूप से कई समीकरणों और असीम रूप से कई संभावित वर्ग समूहों के साथ, संभावनाओं को हल करना मुश्किल है। यह स्पष्ट नहीं है कि ऐसा करना भी समझ में आता है।

वुड ने कहा, "जब आपके पास अनंत रकम होती है, तो चीजें गलत हो सकती हैं।"

फिर भी गणितज्ञ, अभी भी वितरणों का अध्ययन करने के लिए अन्य रास्तों को खोजने में असमर्थ रहे, पल-पल की समस्या पर लौटते रहे। में प्रकाशित कार्य में गणित के इतिहास 2016 में, एलेनबर्ग, अक्षय वेंकटेश और क्रेग वेस्टरलैंड के साथ, क्षणों का उपयोग किया वर्ग समूहों के आँकड़ों का अध्ययन करने के लिए कोहेन और लेनस्ट्रा की तुलना में थोड़ी अलग सेटिंग में। यह विचार था पुन: उपयोग कई बार. लेकिन हर बार शोधकर्ताओं ने क्षणों का उपयोग किया, वे यह साबित करने के लिए कि समीकरणों के अनंत सेट का समाधान था, अपनी विशेष समस्या के quirks पर झुकेंगे। इसका मतलब था कि उनकी तकनीकें हस्तांतरणीय नहीं थीं। अगला गणितज्ञ जिसे क्षणों का उपयोग करने की आवश्यकता थी, उसे क्षण की समस्या को फिर से हल करना होगा।

उनके सहयोग की शुरुआत में, सविन और वुड ने भी इस मार्ग पर जाने की योजना बनाई थी। वे क्षणों का उपयोग भविष्यवाणी करने के लिए करेंगे कि वर्ग समूहों के अधिक जटिल संस्करण कैसे वितरित किए गए थे। लेकिन अपनी परियोजना के लगभग एक साल बाद, उन्होंने अपना ध्यान पल की समस्या पर केंद्रित कर दिया।

साइडट्रैक हो रहा है

सहकर्मी सविन और वुड को उनके काम के प्रति असामान्य रूप से भावुक बताते हैं। "वे दोनों बहुत चालाक हैं। लेकिन बहुत सारे स्मार्ट लोग हैं," ज़्यूरिक-ब्राउन ने कहा। "गणित करने के प्रति उनका बस यही सकारात्मक दृष्टिकोण है।"

प्रारंभ में, सविन और वुड कोहेन-लेनस्ट्रा की भविष्यवाणियों को नई सेटिंग्स तक विस्तारित करने के लिए क्षणों का उपयोग करना चाहते थे। लेकिन वे जल्द ही अपनी दूसरी समस्या के तर्क से असंतुष्ट हो गए। "हमें बार-बार इसी तरह के तर्क लिखने की ज़रूरत थी," साविन ने याद किया। इसके अलावा, उन्होंने कहा, जिस गणितीय भाषा का वे उपयोग कर रहे थे, वह "तर्क क्या कर रहा था, इसके दिल में नहीं लग रहा था ... विचार वहां थे, लेकिन हमें उन्हें व्यक्त करने का सही तरीका नहीं मिला।"

साविन और वुड ने अपने सबूत में गहराई से खोदा, यह पता लगाने की कोशिश की कि वास्तव में इसके नीचे क्या था। वे एक ऐसे प्रमाण के साथ समाप्त हुए, जिसने न केवल उनके विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए, बल्कि समूहों के किसी भी वितरण के लिए - और सभी प्रकार की अन्य गणितीय संरचनाओं के लिए पल-पल की समस्या को हल किया।

वे समस्या को छोटे, प्रबंधनीय चरणों में विभाजित करते हैं। संपूर्ण संभाव्यता वितरण को एक बार में हल करने की कोशिश करने के बजाय, उन्होंने क्षणों के केवल एक छोटे से टुकड़े पर ध्यान केंद्रित किया।

उदाहरण के लिए, समूहों पर संभाव्यता वितरण के लिए क्षण समस्या को हल करने के लिए, प्रत्येक क्षण एक समूह के साथ जुड़ा होगा G. सबसे पहले, सविन और वुड समीकरणों की एक प्रणाली को देखेंगे जिसमें समूहों की प्रतिबंधित सूची के लिए केवल क्षण शामिल थे. वे तब धीरे-धीरे सूची में समूह जोड़ते थे, हर बार अधिक से अधिक क्षणों को देखते हुए। धीरे-धीरे समस्या को और जटिल बनाकर, उन्होंने प्रत्येक चरण को हल करने योग्य समस्या बना दिया। थोड़ा-थोड़ा करके, उन्होंने पल-पल की समस्या का पूर्ण समाधान तैयार किया।

वुड ने समझाया, "वह निश्चित सूची आपके द्वारा लगाए गए चश्मे की तरह है, और आप जितने अधिक समूहों पर विचार करने को तैयार हैं, आपके चश्मे उतने ही बेहतर हैं।"

जब उन्होंने अंतिम रूप से अंतिम बाहरी विवरणों को झाड़ दिया, तो उन्होंने अपने आप को एक ऐसे तर्क के साथ पाया जिसकी प्रवृत्ति गणित तक पहुंच गई थी। उनका परिणाम वर्ग समूहों के लिए काम करता है, ज्यामितीय आकृतियों से जुड़े समूहों के लिए, डॉट्स और रेखाओं के नेटवर्क के लिए, साथ ही अधिक गणितीय जटिलता वाले अन्य सेटों के लिए। इन सभी स्थितियों में, साविन और वुड ने एक सूत्र पाया जो क्षणों के एक सेट को ग्रहण करता है और उस वितरण को समाप्त कर देता है जिसमें वे क्षण होते हैं (जब तक अन्य आवश्यकताओं के बीच क्षण बहुत तेज़ी से नहीं बढ़ते हैं)।

"यह मेलानी की शैली में बहुत अधिक है," एलेनबर्ग ने कहा। "ऐसा होने के लिए, 'चलो एक बहुत ही सामान्य प्रमेय साबित करते हैं जो बहुत सारे अलग-अलग मामलों को समान रूप से और सुरुचिपूर्ण ढंग से संभालता है।'"

साविन और वुड अब अपने मूल लक्ष्य की ओर लौट रहे हैं। जनवरी की शुरुआत में, उन्होंने साझा किया एक नया कागज जो ठीक करता है गलत कोहेन-लेनस्ट्रा भविष्यवाणी 1980 के दशक के अंत में कोहेन और उनके सहयोगी जैक्स मार्टिनेट द्वारा बनाया गया। इसके अलावा, उनकी कतार में और भी अधिक परिणाम हैं, और भी अधिक नई स्थितियों के लिए ह्यूरिस्टिक्स का विस्तार करने की योजना है। सविन ने कहा, "मुझे नहीं पता कि यह परियोजना कभी खत्म होगी या नहीं।"

त्सिमरमैन ने कहा कि साविन और वुड ने जिस पल समस्या का समाधान किया है, वह "बहुत सारे अलग-अलग सवालों के लिए आपके सिर के पीछे एक तरह का कांटा है।" "मुझे लगता है कि बहुत सारे गणितज्ञ राहत की सांस लेने जा रहे हैं।"