जब डेनियल लार्सन मिडिल स्कूल में थे, तब उन्होंने क्रॉसवर्ड पज़ल्स डिजाइन करना शुरू किया। उन्हें अपने अन्य हितों के ऊपर शौक को रखना था: शतरंज, प्रोग्रामिंग, पियानो, वायलिन। उन्होंने अपनी क्षेत्रीय प्रतियोगिता जीतने के बाद दो बार वाशिंगटन, डीसी के पास स्क्रिप्स नेशनल स्पेलिंग बी के लिए क्वालीफाई किया। "वह किसी चीज़ पर ध्यान केंद्रित करता है, और जब तक वह सफल नहीं हो जाता, तब तक यह सिर्फ धमाका, धमाका, धमाका होता है," लार्सन की मां, आइलेट लिंडेनस्ट्रॉस ने कहा। उनकी पहली पहेली पहेली को प्रमुख समाचार पत्रों द्वारा खारिज कर दिया गया था, लेकिन वे उस पर कायम रहे और अंततः टूट गए। आज तक, वह रिकॉर्ड रखता है में एक वर्ग पहेली प्रकाशित करने वाले सबसे कम उम्र के व्यक्ति के लिए न्यूयॉर्क टाइम्स, 13 वर्ष की आयु में। लिंडनस्ट्रॉस ने कहा, "वह बहुत दृढ़ है।"
फिर भी, लार्सन का सबसे हालिया जुनून अलग महसूस हुआ, "उनकी अधिकांश अन्य परियोजनाओं की तुलना में लंबा और अधिक तीव्र," उसने कहा। डेढ़ साल से अधिक समय तक, लार्सन एक निश्चित गणित समस्या के बारे में सोचना बंद नहीं कर सका।
इसकी जड़ें एक व्यापक प्रश्न में थीं, एक गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को गणित में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है: एक समग्र संख्या से एक अभाज्य संख्या (एक संख्या जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है) को कैसे अलग किया जाए। सैकड़ों वर्षों से, गणितज्ञों ने ऐसा करने का एक कुशल तरीका खोजा है। समस्या आधुनिक क्रिप्टोग्राफी के संदर्भ में भी प्रासंगिक हो गई है, क्योंकि आज के कुछ सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले क्रिप्टो सिस्टम में भारी अभाज्य संख्याओं के साथ अंकगणित करना शामिल है।
एक सदी से भी पहले, एक तेज़, शक्तिशाली प्रारंभिक परीक्षण की उस खोज में, गणितज्ञों ने संकटमोचनों के एक समूह पर ठोकर खाई - संख्याएँ जो मूर्खता से यह सोचकर परीक्षण करती हैं कि वे प्रमुख हैं, भले ही वे नहीं हैं। कारमाइकल नंबरों के रूप में जाने जाने वाले इन स्यूडोप्राइम्स को समझना विशेष रूप से कठिन रहा है। उदाहरण के लिए, 1990 के दशक के मध्य में ही, गणितज्ञों ने साबित किया कि उनमें से असीमित संख्या में हैं। संख्या रेखा के साथ उन्हें कैसे वितरित किया जाता है, इसके बारे में कुछ और कहने में सक्षम होने के कारण और भी बड़ी चुनौती बन गई है।
फिर साथ आया लार्सन के साथ एक नया सबूत इसके बारे में, संख्या सिद्धांत के एक अलग क्षेत्र में हाल के युग के काम से प्रेरित एक। उस समय वह सिर्फ 17 साल के थे।
चिंगारी
ब्लूमिंगटन, इंडियाना में पले-बढ़े लार्सन हमेशा गणित के प्रति आकर्षित थे। उनके माता-पिता, दोनों गणितज्ञ, ने उन्हें और उनकी बड़ी बहन को इस विषय से परिचित कराया जब वे छोटे थे। (वह अब गणित में डॉक्टरेट की पढ़ाई कर रही है।) जब लार्सन 3 साल का था, लिंडेनस्ट्रॉस याद करते हैं, उन्होंने अनंत की प्रकृति के बारे में उनसे दार्शनिक प्रश्न पूछना शुरू कर दिया था। "मैंने सोचा, इस बच्चे के पास गणितीय दिमाग है," ने कहा लिंडनस्ट्रॉस, इंडियाना विश्वविद्यालय में प्रोफेसर।
फिर कुछ साल पहले - उस समय के आसपास जब वह अपनी स्पेलिंग और क्रॉसवर्ड प्रोजेक्ट्स में डूबा हुआ था - वह एक वृत्तचित्र के बारे में यितांग झांग, एक अज्ञात गणितज्ञ जो 2013 के बाद अस्पष्टता से उठे एक ऐतिहासिक परिणाम साबित करना जो लगातार अभाज्य संख्याओं के बीच अंतराल पर एक ऊपरी सीमा रखता है। लार्सन में कुछ क्लिक किया। वह संख्या सिद्धांत के बारे में सोचना बंद नहीं कर सका, और संबंधित समस्या के बारे में जिसे झांग और अन्य गणितज्ञ अभी भी हल करने की उम्मीद कर रहे थे: जुड़वां प्राइम अनुमान, जिसमें कहा गया है कि अनंत रूप से कई जोड़े हैं जो केवल 2 से भिन्न होते हैं।
झांग के काम के बाद, जिसने दिखाया कि अनंत रूप से कई जोड़े हैं जो 70 मिलियन से कम के अंतर से भिन्न हैं, अन्य कूद गए इस सीमा को और भी कम करने के लिए। महीनों के भीतर, गणितज्ञ जेम्स मेनार्ड और टेरेंस ताओ स्वतंत्र रूप से primes के बीच अंतराल के बारे में एक और भी मजबूत बयान साबित हुआ। यह अंतर अब घटकर 246 रह गया है।
लार्सन मेनार्ड और ताओ के काम में अंतर्निहित कुछ गणित को समझना चाहते थे, "लेकिन यह मेरे लिए काफी असंभव था," उन्होंने कहा। उनके पेपर बहुत जटिल थे। लार्सन ने संबंधित कार्य को पढ़ने का प्रयास किया, केवल उसे अभेद्य भी पाया। वह इस पर कायम रहा, एक परिणाम से दूसरे परिणाम पर कूदता रहा, आखिरकार, फरवरी 2021 में, उसे एक ऐसा पेपर मिला, जो उसे सुंदर और बोधगम्य दोनों लगा। इसका विषय: कारमाइकल नंबर, वे अजीब मिश्रित संख्याएं जो कभी-कभी खुद को प्राइम के रूप में पारित कर सकती हैं।
प्राइम के अलावा सभी
17वीं शताब्दी के मध्य में, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट ने अपने मित्र और विश्वासपात्र फ़्रेनिकल डी बेस्सी को एक पत्र लिखा, जिसमें उन्होंने कहा कि बाद में उनके "छोटे प्रमेय" के रूप में जाना जाएगा। यदि N एक अभाज्य संख्या है, तो bN - b हमेशा का एक बहु है N, कोई बात नहीं क्या b है। उदाहरण के लिए, 7 एक अभाज्य संख्या है, और परिणामस्वरूप, 27 - 2 (जो 126 के बराबर है) 7 का गुणज है। इसी तरह, 37 - 3 7 का गुणज है, इत्यादि।
गणितज्ञों ने एक पूर्ण परीक्षण की संभावना देखी कि दी गई संख्या अभाज्य है या संयुक्त। वे जानते थे कि यदि N प्रमुख है, bN - b हमेशा का एक बहु है N. क्या हुआ अगर उल्टा भी सच था? यानी अगर bN - b का एक बहु है N के सभी मूल्यों के लिए b, जरूर N प्रमुख हो?
काश, यह पता चला कि बहुत ही दुर्लभ मामलों में, N इस शर्त को पूरा कर सकते हैं और अभी भी मिश्रित हो सकते हैं। ऐसी सबसे छोटी संख्या 561 है: किसी भी पूर्णांक के लिए b, b561 - b हमेशा 561 का गुणज होता है, भले ही 561 अभाज्य न हो। इस तरह के नंबरों का नाम गणितज्ञ रॉबर्ट कारमाइकल के नाम पर रखा गया था, जिन्हें अक्सर 1910 में पहला उदाहरण प्रकाशित करने का श्रेय दिया जाता है (हालांकि चेक गणितज्ञ वैक्लाव सिमरका ने स्वतंत्र रूप से 1885 में उदाहरणों की खोज की थी)।
गणितज्ञ इन संख्याओं को बेहतर ढंग से समझना चाहते थे जो कि संख्या सिद्धांत, अभाज्य संख्याओं में सबसे मौलिक वस्तुओं के समान हैं। यह पता चला कि 1899 में - कारमाइकल के परिणाम से एक दशक पहले - एक अन्य गणितज्ञ, एल्विन कोर्सेल्ट, एक समान परिभाषा के साथ आए थे। वह बस यह नहीं जानता था कि क्या कोई संख्या है जो बिल को फिट करती है।
कोर्सेल्ट की कसौटी के अनुसार, एक संख्या N एक कारमाइकल संख्या है यदि और केवल अगर यह तीन गुणों को संतुष्ट करती है। सबसे पहले, इसमें एक से अधिक अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए। दूसरा, कोई अभाज्य गुणनखंड दोहरा नहीं सकता। और तीसरा, हर प्राइम के लिए p जो बांटता है N, p - 1 भी विभाजित करता है N - 1. संख्या 561 पर फिर से विचार करें। यह 3 × 11 × 17 के बराबर है, इसलिए यह कोर्सेल्ट की सूची में पहले दो गुणों को स्पष्ट रूप से संतुष्ट करता है। अंतिम संपत्ति दिखाने के लिए, 1, 2 और 10 प्राप्त करने के लिए प्रत्येक प्रमुख कारक से 16 घटाएं। इसके अलावा, 1 से 561 घटाएं। सभी तीन छोटी संख्याएं 560 के विभाजक हैं। इसलिए संख्या 561 एक कारमाइकल संख्या है।
हालांकि गणितज्ञों को संदेह था कि असीम रूप से कई कारमाइकल संख्याएँ हैं, अभाज्य संख्याओं की तुलना में अपेक्षाकृत कम हैं, जिससे उन्हें पिन करना मुश्किल हो गया। फिर 1994 में, रेड अल्फोर्ड, एंड्रयू ग्रानविल और कार्ल पोमरेन्स एक सफलता प्रकाशित की काग़ज़ जिसमें उन्होंने अंततः साबित कर दिया कि वास्तव में इनमें से कई छद्म प्राइम हैं।
दुर्भाग्य से, उनके द्वारा विकसित की गई तकनीकों ने उन्हें कारमाइकल नंबरों की तरह दिखने के बारे में कुछ भी कहने की अनुमति नहीं दी। क्या वे संख्या रेखा के साथ समूहों में दिखाई देते हैं, जिनके बीच में बड़े अंतराल हैं? या क्या आप हमेशा थोड़े अंतराल में कारमाइकल नंबर ढूंढ सकते हैं? "आपको लगता है कि अगर आप साबित कर सकते हैं कि उनमें से कई असीम रूप से हैं," ग्रानविले ने कहा, "निश्चित रूप से आपको यह साबित करने में सक्षम होना चाहिए कि उनके बीच कोई बड़ा अंतराल नहीं है, कि उन्हें अपेक्षाकृत अच्छी तरह से फैलाया जाना चाहिए।"
विशेष रूप से, उन्होंने और उनके सह-लेखकों ने एक ऐसे बयान को साबित करने की आशा की जो इस विचार को प्रतिबिंबित करता है - जिसने पर्याप्त संख्या में दिया X, के बीच हमेशा एक कारमाइकल नंबर होगा X और 2X. "यह व्यक्त करने का एक और तरीका है कि वे कितने सर्वव्यापी हैं," इंस्टीट्यूट फॉर डिफेंस एनालिसिस के गणितज्ञ जॉन ग्रांथम ने कहा, जिन्होंने संबंधित कार्य किया है।
लेकिन दशकों तक कोई भी इसे साबित नहीं कर सका। अल्फोर्ड, ग्रानविले और पोमेरेन्स द्वारा विकसित तकनीकों ने "हमें यह दिखाने की अनुमति दी कि कई कारमाइकल नंबर होने जा रहे थे," पोमेरेन्स ने कहा, "लेकिन वास्तव में हमें इस बारे में बहुत अधिक नियंत्रण रखने की अनुमति नहीं थी कि वे कहाँ होंगे। । "
फिर, नवंबर 2021 में, ग्रानविले ने लार्सन से एक ईमेल खोला, जो तब 17 साल का था और हाई स्कूल के अपने वरिष्ठ वर्ष में था। ए काग़ज़ संलग्न था - और ग्रानविले के आश्चर्य के लिए, यह सही लग रहा था। "यह अब तक का सबसे आसान पढ़ा नहीं था," उन्होंने कहा। "लेकिन जब मैंने इसे पढ़ा, तो यह बिल्कुल स्पष्ट था कि वह गड़बड़ नहीं कर रहा था। उनके पास शानदार विचार थे।"
काम के बाद के संस्करण को पढ़ने वाले पोमेरेन्स ने सहमति व्यक्त की। "उनका सबूत वास्तव में काफी उन्नत है," उन्होंने कहा। "यह एक ऐसा पेपर होगा जिसे लिखने पर किसी भी गणितज्ञ को वास्तव में गर्व होगा। और यहाँ एक हाई स्कूल का बच्चा इसे लिख रहा है। ”
लार्सन के सबूत की कुंजी वह काम था जिसने उन्हें कारमाइकल नंबरों के लिए पहली जगह में आकर्षित किया था: मेनार्ड और ताओ द्वारा प्रमुख अंतराल पर परिणाम।
असंभव - असंभव नहीं
जब लार्सन ने पहली बार यह दिखाने के लिए सेट किया कि आप हमेशा थोड़े अंतराल में एक कारमाइकल नंबर पा सकते हैं, "ऐसा लग रहा था कि यह इतना स्पष्ट रूप से सच था, यह साबित करना कितना कठिन हो सकता है?" उन्होंने कहा। उन्होंने जल्दी ही महसूस किया कि यह वास्तव में बहुत कठिन हो सकता है। "यह एक समस्या है जो हमारे समय की तकनीक का परीक्षण करती है," उन्होंने कहा।
अपने 1994 के पेपर में, अल्फोर्ड, ग्रानविले और पोमेरेन्स ने दिखाया था कि असीम रूप से कई कारमाइकल नंबर कैसे बनाए जाते हैं। लेकिन वे उन प्राइम्स के आकार को नियंत्रित करने में सक्षम नहीं थे जिनका वे निर्माण करते थे। कारमाइकल नंबर बनाने के लिए लार्सन को यही करना होगा जो आकार में अपेक्षाकृत करीब थे। समस्या की कठिनाई ने उनके पिता माइकल लार्सन को चिंतित कर दिया। "मैंने नहीं सोचा था कि यह असंभव था, लेकिन मुझे लगा कि यह संभावना नहीं है कि वह सफल होगा," उन्होंने कहा। "मैंने देखा कि वह इस पर कितना समय व्यतीत कर रहा था ... और मुझे लगा कि उसके लिए खुद को इतना देना और न पाना उसके लिए विनाशकारी होगा।"
फिर भी, वह अपने बेटे को मना करने की कोशिश करने से बेहतर जानता था। "जब डैनियल कुछ ऐसा करता है जो वास्तव में उसे रूचि देता है, तो वह मोटे और पतले के साथ रहता है," उन्होंने कहा।
इसलिए लार्सन मेनार्ड के कागजात पर लौट आया - विशेष रूप से, यह दिखाने के लिए कि यदि आप पर्याप्त संख्याओं के कुछ अनुक्रम लेते हैं, तो उन संख्याओं का कुछ सबसेट अभाज्य होना चाहिए। लार्सन ने मेनार्ड की तकनीकों को अल्फोर्ड, ग्रानविले और पोमेरेन्स द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों के साथ संयोजित करने के लिए संशोधित किया। इसने उन्हें यह सुनिश्चित करने की अनुमति दी कि उनके द्वारा समाप्त किए गए प्राइम आकार में भिन्न होंगे - कारमाइकल संख्या उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त जो उनके इच्छित अंतराल के भीतर गिरेंगे।
ग्रानविले ने कहा, "हमारे पास पहले की तुलना में चीजों पर उनका अधिक नियंत्रण है।" और उन्होंने इसे मेनार्ड के काम के विशेष रूप से चतुर उपयोग के माध्यम से हासिल किया। "यह आसान नहीं है ... इस प्रगति का उपयोग primes के बीच छोटे अंतराल पर करना है," ने कहा कैसा माटोमाकि, फिनलैंड में टूर्कू विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "यह बहुत अच्छा है कि वह इसे कारमाइकल नंबरों के बारे में इस प्रश्न के साथ जोड़ सके।"
वास्तव में, लार्सन के तर्क ने उन्हें केवल यह दिखाने की अनुमति नहीं दी कि एक कारमाइकल संख्या हमेशा बीच में दिखाई देनी चाहिए X और 2X. उनका प्रमाण बहुत छोटे अंतराल के लिए भी काम करता है। गणितज्ञ अब आशा करते हैं कि यह इन अजीब संख्याओं के व्यवहार के अन्य पहलुओं को प्रकट करने में भी मदद करेगा। "यह एक अलग विचार है," कहा थॉमस राइट, दक्षिण कैरोलिना के वोफ़र्ड कॉलेज में गणितज्ञ हैं जो स्यूडोप्राइम पर काम करते हैं। "यह कारमाइकल नंबरों के बारे में चीजों को साबित करने के तरीके के बारे में बहुत सी चीजें बदल देता है।"
ग्रंथम सहमत हुए। "अब आप वे काम कर सकते हैं जिनके बारे में आपने कभी सोचा भी नहीं था," उन्होंने कहा।
इस बीच, लार्सन ने मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में अपना नया साल शुरू किया। वह सुनिश्चित नहीं है कि वह आगे किस समस्या पर काम कर सकता है, लेकिन वह यह जानने के लिए उत्सुक है कि वहां क्या है। "मैं सिर्फ पाठ्यक्रम ले रहा हूं ... और खुले विचारों वाला होने की कोशिश कर रहा हूं," उन्होंने कहा।
"उन्होंने यह सब एक स्नातक शिक्षा के बिना किया," ग्रांथम ने कहा। "मैं केवल कल्पना कर सकता हूं कि वह स्नातक विद्यालय में क्या करने जा रहा है।"
