पुनरावर्ती अनुक्रमों का आश्चर्यजनक व्यवहार | क्वांटा पत्रिका

गणित में, सरल नियम जटिलता और सुंदरता के ब्रह्मांड को खोल सकते हैं। प्रसिद्ध फाइबोनैचि अनुक्रम लें, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यह 1 और 1 से शुरू होता है, और प्रत्येक बाद की संख्या पिछले दो का योग है। पहले कुछ नंबर हैं:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

सरल, हाँ, लेकिन यह सरल नुस्खा दूरगामी महत्व के एक पैटर्न को जन्म देता है, जो प्राकृतिक दुनिया के ताने-बाने में बुना हुआ प्रतीत होता है। यह नॉटिलस के गोले के चक्रों, हमारी उंगलियों की हड्डियों और पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की व्यवस्था में देखा जाता है। इसकी गणितीय पहुंच अन्य क्षेत्रों के अलावा ज्यामिति, बीजगणित और संभाव्यता तक फैली हुई है। अनुक्रम को पश्चिम में पेश किए जाने के आठ शताब्दियों बाद से - भारतीय गणितज्ञों ने फाइबोनैचि से बहुत पहले इसका अध्ययन किया था - संख्याएँ शोधकर्ताओं की रुचि को आकर्षित करती रही हैं, यह इस बात का प्रमाण है कि सबसे प्राथमिक संख्या अनुक्रम में भी गणितीय गहराई कितनी हो सकती है।

फाइबोनैचि अनुक्रम में, प्रत्येक शब्द उससे पहले आए शब्दों पर आधारित होता है। इस तरह के पुनरावर्ती अनुक्रम व्यवहार की एक विस्तृत श्रृंखला प्रदर्शित कर सकते हैं, कुछ आश्चर्यजनक रूप से प्रति-सहज ज्ञान युक्त। उदाहरण के लिए, 1980 के दशक में पहली बार अमेरिकी गणितज्ञ द्वारा वर्णित अनुक्रमों के एक जिज्ञासु परिवार को लें माइकल सोमोस.

फाइबोनैचि अनुक्रम की तरह, सोमोस अनुक्रम एक श्रृंखला से शुरू होता है। एक सोमोस-k क्रम शुरू होता है k उनमें से। सोमोस का प्रत्येक नया शब्द-k अनुक्रम को पिछले पदों को जोड़कर, प्रत्येक जोड़े को एक साथ गुणा करके, जोड़ियों को जोड़कर और फिर पद से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है k क्रम में पीछे स्थित है।

यदि सीक्वेंस बहुत दिलचस्प नहीं हैं k 1, 2 या 3 के बराबर - वे केवल दोहराई जाने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला हैं। लेकिन के लिए k = 4, 5, 6 या 7 अनुक्रमों में एक अजीब गुण है। यद्यपि इसमें बहुत अधिक विभाजन शामिल है, फिर भी भिन्न प्रकट नहीं होते हैं।

सोमोस ने कहा, "आम तौर पर हमारे पास इस तरह की घटना नहीं होती है।" “यह फाइबोनैचि के समान एक भ्रामक सरल पुनरावृत्ति है। लेकिन उस सादगी के पीछे बहुत कुछ है।”

अन्य गणितज्ञ सोमोस अनुक्रमों और गणित के असंबद्ध प्रतीत होने वाले क्षेत्रों के बीच चौंकाने वाले संबंधों को उजागर करना जारी रखते हैं। जुलाई में पोस्ट किया गया एक पेपर उनका उपयोग करता है समाधान का निर्माण करें विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग शिकारी-शिकार की बातचीत से लेकर उच्च-ऊर्जा प्लाज़्मा में यात्रा करने वाली तरंगों तक सब कुछ मॉडल करने के लिए किया जाता है। इनका उपयोग गणितीय वस्तुओं की संरचना का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है क्लस्टर बीजगणित और जुड़े हुए हैं अण्डाकार वक्र - जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को क्रैक करने की कुंजी थे।

जेनिस मलौफ़इलिनोइस विश्वविद्यालय के एक स्नातक छात्र ने सोमोस-4 और सोमोस-5 अनुक्रमों का पहला प्रमाण प्रकाशित किया अभिन्न हैं (अर्थात् उनके सभी पद पूर्णांक हैं) 1992 में। अन्य प्रमाण विभिन्न गणितज्ञों द्वारा एक ही परिणाम लगभग एक ही समय में सामने आए, साथ ही इस बात के प्रमाण भी कि सोमोस-6 और सोमोस-7 अनुक्रम अभिन्न हैं।

सोमोस अनुक्रमों की इस विचित्र संपत्ति ने गणितज्ञों को आश्चर्यचकित कर दिया। "जैसे ही मैंने उनके बारे में जाना, सोमोस अनुक्रमों ने मुझे आकर्षित किया," कहा जेम्स प्रॉप, मैसाचुसेट्स विश्वविद्यालय, लोवेल में गणित के प्रोफेसर। “तथ्य यह है कि सोमोस-4 से लेकर सोमोस-7 हमेशा पूर्णांक देते हैं, चाहे आप कितनी भी दूर क्यों न जाएं, जब आप चीजों को एक भोले दृष्टिकोण से देखते थे तो यह एक चमत्कार जैसा लगता था। इसलिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता थी।”

प्रॉप को 2000 के दशक की शुरुआत में एक नया दृष्टिकोण मिला, जब उन्होंने और उनके सहयोगियों ने पाया कि सोमोस-4 अनुक्रम में संख्याएँ वास्तव में कुछ गिन रही हैं। अनुक्रम में शब्द कुछ ग्राफ़ में पाई गई संरचनाओं के अनुरूप हैं। कुछ ग्राफ़ के लिए, शीर्षों (बिंदुओं) को किनारों (रेखाओं) के साथ जोड़ना संभव है ताकि प्रत्येक शीर्ष बिल्कुल एक दूसरे शीर्ष से जुड़ा हो - कोई भी अयुग्मित शीर्ष न हो, और कोई भी शीर्ष एक से अधिक किनारों से जुड़ा न हो। सोमोस-4 अनुक्रम में शब्द ग्राफ़ के एक विशेष अनुक्रम के लिए विभिन्न पूर्ण मिलानों की संख्या की गणना करते हैं।

इस खोज ने न केवल सोमोस अनुक्रमों पर एक नया दृष्टिकोण पेश किया, बल्कि ग्राफ़ परिवर्तनों के बारे में सोचने और उनका विश्लेषण करने के नए तरीके भी पेश किए। प्रॉप और उनके छात्रों ने परिणाम देखकर जश्न मनाया टीशर्ट.

प्रॉप ने कहा, "मेरे लिए गणित के आकर्षण का एक बड़ा हिस्सा यह है कि जब आप अलग-अलग रास्तों से एक ही गंतव्य पर पहुंचते हैं और ऐसा लगता है कि कुछ चमत्कारी या गहरा हो रहा है।" “इन अनुक्रमों के बारे में अच्छी बात यह है कि इसमें विभिन्न दृष्टिकोण हैं जो बताते हैं कि आपको पूर्णांक क्यों मिलते हैं। वहाँ छिपी हुई गहराइयाँ हैं।

उच्च संख्या वाले सोमोस अनुक्रमों के लिए कहानी बदल जाती है। सोमोस-18 के पहले 8 पद पूर्णांक हैं, लेकिन 19वां पद एक भिन्न है। उसके बाद के प्रत्येक सोमोस अनुक्रम में भिन्नात्मक मान भी शामिल होते हैं।

1970 के दशक में जर्मन गणितज्ञ फ्रिट्ज़ गोबेल द्वारा विकसित एक अन्य प्रकार का अनुक्रम, सोमोस अनुक्रमों का एक दिलचस्प प्रतिरूप है। nगोबेल अनुक्रम के वें पद को पिछले सभी पदों के वर्गों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, प्लस 1, से विभाजित n. सोमोस अनुक्रमों की तरह, गोबेल अनुक्रम में विभाजन शामिल है, इसलिए हम उम्मीद कर सकते हैं कि पद पूर्णांक नहीं रहेंगे। लेकिन कुछ समय के लिए - जैसे-जैसे क्रम बड़ा होता जाता है - वे प्रतीत होते हैं।

गोबेल अनुक्रम में 10वां पद लगभग 1.5 मिलियन, 11वां 267-कुछ बिलियन है। 43वाँ पद गणना के लिए बहुत बड़ा है - इसमें लगभग 178 बिलियन अंक हैं। लेकिन 1975 में डच गणितज्ञ हेंड्रिक लेनस्ट्रा दिखाया कि पहले 42 पदों के विपरीत, यह 43वाँ पद एक पूर्णांक नहीं है।

गोबेल अनुक्रमों को योग में वर्गों को क्यूब्स, चौथी शक्तियों या यहां तक ​​​​कि उच्च घातांक के साथ प्रतिस्थापित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। (इस सम्मेलन के तहत, उनके मूल अनुक्रम को 2-गोबेल अनुक्रम कहा जाता है।) ये अनुक्रम पूर्णांक शब्दों के विस्तारित विस्तार के साथ शुरू होने की एक आश्चर्यजनक प्रवृत्ति भी प्रदर्शित करते हैं। 1988 में, हेनरी इब्स्टेड पता चला कि 89-गोबेल अनुक्रम (जो वर्गों के बजाय घनों का उपयोग करता है) के पहले 3 पद पूर्णांक हैं, लेकिन 90वां नहीं है। अन्य गोबेल अनुक्रमों पर बाद के शोध में और भी लंबा विस्तार पाया गया। उदाहरण के लिए, 31-गोबेल अनुक्रम 1,077 पूर्णांक शब्दों के साथ शुरू होता है।

जुलाई में, क्यूशू विश्वविद्यालय के गणितज्ञ रिनोसुके मात्सुहिरा, तोशिकी मात्सुसाका और कोकी त्सुचिदा एक पेपर साझा किया एक के लिए दिखा रहा है कि k-गोबेल अनुक्रम, कोई फर्क नहीं पड़ता की पसंद k, अनुक्रम के पहले 19 पद सदैव पूर्णांक होते हैं। वे इस प्रश्न पर गौर करने के लिए एक जापानी मंगा से प्रेरित हुए Seisu-तन, जिसका अनुवाद "द टेल ऑफ़ इंटेगर्स" है। ए कॉमिक बुक में फ्रेम पाठकों से न्यूनतम संभव मूल्य का पता लगाने के लिए कहा N_k, वह बिंदु जिस पर ए k-गोबेल अनुक्रम पूर्णांक पद उत्पन्न करना बंद कर देता है। तीन गणितज्ञ प्रश्न का उत्तर देने के लिए निकल पड़े। मात्सुसाका ने कहा, "इतनी लंबी अवधि के लिए पूर्णांकों की अप्रत्याशित दृढ़ता हमारे अंतर्ज्ञान का खंडन करती है।" "जब घटनाएं अंतर्ज्ञान के विपरीत होती हैं, तो मेरा मानना ​​​​है कि हमेशा सुंदरता मौजूद होती है।"

उन्हें व्यवहार को दोहराने का एक पैटर्न मिला k बढ़ती है। दोहराए जाने वाले मामलों की एक सीमित संख्या पर ध्यान केंद्रित करके, उन्होंने गणना को सुव्यवस्थित बना दिया और वे प्रमाण पूरा करने में सक्षम हो गए।

अनुक्रम पर करीब से नज़र डालें N_k एक और आश्चर्य प्रकट करता है: N_k यदि यह पूरी तरह से यादृच्छिक होता तो यह आपकी अपेक्षा से कहीं अधिक बार प्राइम होता है। "साथ k-गोबेल अनुक्रम यह सिर्फ उल्लेखनीय नहीं है कि वे पूर्णांक हैं," कहा रिचर्ड ग्रीन, कोलोराडो विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। “उल्लेखनीय बात यह है कि अभाज्य संख्याएँ इतनी बार दिखाई देती हैं। इससे ऐसा लगता है कि कुछ गहरा हो रहा है।''

हालाँकि नया पेपर इसका प्रमाण प्रस्तुत करता है N_k हमेशा कम से कम 19 होता है, यह ज्ञात नहीं है कि क्या यह हमेशा सीमित है, या यदि कोई मौजूद है k जिसके लिए अनुक्रम में अनिश्चित काल तक पूर्णांक शामिल हैं। “N_k रहस्यमय ढंग से व्यवहार करता है. ...इसके अंतर्निहित पैटर्न को समझने की मौलिक इच्छा है,'' मात्सुसाका ने कहा। “यह उस खुशी के समान हो सकता है जो मुझे एक बच्चे के रूप में शिक्षकों द्वारा दी गई पहेलियाँ हल करते समय महसूस हुई थी। अब भी, उस समय की वे भावनाएँ मेरे भीतर विद्यमान हैं।”

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