क्वांटम डायनेमिक्स का गेज चित्र

क्वांटम डायनेमिक्स का गेज चित्र

समय टिकट: 21 मार्च, 2024 6:43 पूर्वाह्न

केविन स्लैगल

इलेक्ट्रिकल और कंप्यूटर इंजीनियरिंग विभाग, राइस यूनिवर्सिटी, ह्यूस्टन, टेक्सास 77005 यूएसए
भौतिकी विभाग, कैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी, पासाडेना, कैलिफोर्निया 91125, यूएसए
इंस्टीट्यूट फॉर क्वांटम इंफॉर्मेशन एंड मैटर और वाल्टर बर्क इंस्टीट्यूट फॉर थियोरेटिकल फिजिक्स, कैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी, पासाडेना, कैलिफोर्निया 91125, यूएसए

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सार

यद्यपि स्थानीय हैमिल्टनवासी स्थानीय समय की गतिशीलता का प्रदर्शन करते हैं, यह इलाका श्रोडिंगर चित्र में इस अर्थ में स्पष्ट नहीं है कि तरंग फ़ंक्शन आयाम गति के स्थानीय समीकरण का पालन नहीं करते हैं। हम दिखाते हैं कि गति के समीकरणों में क्वांटम यांत्रिकी के वैश्विक एकात्मक अपरिवर्तनीयता को स्थानीय गेज अपरिवर्तनीयता में "गेज" करके ज्यामितीय स्थानीयता को स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है। यानी, वैश्विक एकात्मक परिवर्तन के तहत अपेक्षा मान $langel psi|A|psi rangel$ अपरिवर्तनीय हैं, जो वेवफंक्शन $|psirangel से U |psirangel$ और ऑपरेटरों $A से UAU^dagger$ पर कार्य करते हैं, और हम दिखाते हैं कि यह संभव है इस वैश्विक अपरिवर्तनीयता को स्थानीय गेज अपरिवर्तनीयता में मापने के लिए। ऐसा करने के लिए, हम वेवफंक्शन को स्थानीय वेवफंक्शन $|psi_Jrangle$ के संग्रह से प्रतिस्थापित करते हैं, जो स्पेस $J$ के प्रत्येक पैच के लिए एक है। स्थान को कवर करने के लिए स्थानिक पैच का संग्रह चुना जाता है; उदाहरण के लिए, हम पैच को एकल क्वैबिट या जाली पर निकटतम-पड़ोसी साइट के रूप में चुन सकते हैं। स्थानिक पैच $I$ और $J$ के पड़ोसी जोड़े से जुड़े स्थानीय तरंग फ़ंक्शन गतिशील एकात्मक परिवर्तनों $U_{IJ}$ द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं। स्थानीय तरंग कार्य इस अर्थ में स्थानीय हैं कि उनकी गतिशीलता स्थानीय है। अर्थात्, स्थानीय तरंग फ़ंक्शन $|psi_Jrangle$ और कनेक्शन $U_{IJ}$ के लिए गति के समीकरण स्पष्ट रूप से अंतरिक्ष में स्थानीय हैं और केवल निकटवर्ती हैमिल्टनियन शब्दों पर निर्भर करते हैं। (स्थानीय वेवफंक्शन कई-बॉडी वेवफंक्शन हैं और सामान्य वेवफंक्शन के समान हिल्बर्ट स्पेस आयाम हैं।) हम क्वांटम डायनेमिक्स की इस तस्वीर को गेज चित्र कहते हैं क्योंकि यह एक स्थानीय गेज इनवेरिएंस प्रदर्शित करता है। एकल स्थानिक पैच की स्थानीय गतिशीलता इंटरेक्शन चित्र से संबंधित है, जहां इंटरेक्शन हैमिल्टनियन में केवल निकटवर्ती हैमिल्टनियन शब्द शामिल हैं। हम स्थानीय प्रभार और ऊर्जा घनत्व में स्थानीयता को शामिल करने के लिए स्पष्ट स्थानीयता का सामान्यीकरण भी कर सकते हैं।

क्वांटम डायनेमिक्स प्लेटोब्लॉकचेन डेटा इंटेलिजेंस का गेज चित्र। लंबवत खोज. ऐ.

विशेष छवि: श्रोडिंगर की तस्वीर में, एक प्रारंभिक तरंग फ़ंक्शन $|psi_0rangel$ एक समय $t$ के बाद $U(t) |psi_0rangel$ में विकसित होता है, जहां $U(t) = e^{-iHt}$ एकात्मक समय विकास है ऑपरेटर। इसके बजाय गेज चित्र स्थानीय वेवफंक्शन $|psi_I(t)rangel$ पर विचार करता है जो अंतरिक्ष में एक सबसेट (या पैच) $I$ से जुड़े होते हैं। समय-विकसित स्थानीय वेवफंक्शन $|psi_I(t)rangle = tilde{U}_I^dagger(t) |psi(t)rangel$ श्रोडिंगर के वेवफंक्शन से प्राप्त होता है $|psi(t)rangel = U(t) |psi_0rangel $ एकात्मक ऑपरेटर $tilde{U}_I^dagger(t)$ के माध्यम से, जो क्षेत्र $I$ के बाहर समय के विकास को उलट देता है। परिणामस्वरूप, स्थानीय तरंग फ़ंक्शन गतिशीलता $partial_I |psi_I(t)rangel$ केवल निकटवर्ती हैमिल्टनियन शब्दों पर निर्भर करती है जो क्षेत्र $I$ के साथ ओवरलैप होते हैं। यह आंकड़ा इन एकात्मक ऑपरेटरों को क्वांटम सर्किट के रूप में दर्शाता है, और दर्शाता है कि $U(t)$ से अधिकांश समय का विकास $tilde{U}_I^dagger(t)$ के साथ रद्द हो जाता है, जिससे केवल एक घंटे के आकार का समय विकास ऑपरेटर बचता है। प्रारंभिक तरंग फ़ंक्शन पर कार्य करना (आकृति के दाईं ओर)। घंटे के चश्मे के आकार का यह ऑपरेटर हाइजेनबर्ग के चित्र में प्रकाश-शंकु के आकार के ऑपरेटर विकास के अनुरूप है।

लोकप्रिय सारांश

क्वांटम गतिकी की दो सबसे प्रसिद्ध तस्वीरें श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग की तस्वीरें हैं। श्रोडिंगर की तस्वीर में, वेवफ़ंक्शन समय के साथ विकसित होता है, जबकि हाइजेनबर्ग की तस्वीर में वेवफ़ंक्शन स्थिर है लेकिन ऑपरेटर समय के साथ विकसित होते हैं। इस कार्य में, हम क्वांटम गतिकी की एक नई तस्वीर, गेज चित्र प्रस्तुत करते हैं, जो सूचना की स्थानीयता और गेज सिद्धांत से गहरा संबंध बनाता है।

स्थानीयता के संबंध में: हाइजेनबर्ग की तस्वीर का एक अच्छा लाभ यह है कि गति के समीकरणों में स्थानीयता स्पष्ट है। अर्थात्, किसी स्थानीय ऑपरेटर का समय विकास केवल आस-पास के स्थानीय ऑपरेटरों की स्थिति पर निर्भर करता है। इसके विपरीत, श्रोडिंगर की तस्वीर में स्थानीयता इस तरह से स्पष्ट नहीं है, जिसके लिए एक एकल तरंग फ़ंक्शन है जिसकी समय गतिशीलता अंतरिक्ष में हर जगह ऑपरेटरों पर निर्भर करती है। हमारी नई गेज तस्वीर श्रोडिंगर की तस्वीर को इस तरह संशोधित करती है कि हम "स्थानीय तरंग फ़ंक्शन" की गणना कर सकते हैं जो श्रोडिंगर की तरंग फ़ंक्शन के समान जानकारी रखती है, उम्मीद है कि गेज तस्वीर में स्थानीय तरंग फ़ंक्शन की समय गतिशीलता केवल नजदीकी हैमिल्टनियन शब्दों पर निर्भर करती है, जो स्थानीयता को स्पष्ट करती है गति के समीकरण. इस स्पष्ट स्थानीयता को प्राप्त करने के लिए, गेज चित्र गति के समीकरणों में गेज फ़ील्ड जोड़ता है।

गेज सिद्धांत एक हैमिल्टनियन (या लैग्रेंजियन) के साथ एक वैश्विक समरूपता और एक अन्य हैमिल्टनियन के बीच एक गहरा संबंध स्थापित करता है जहां वैश्विक समरूपता को अतिरिक्त गतिशील गेज क्षेत्रों के माध्यम से स्थानीय गेज समरूपता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। दिलचस्प बात यह है कि श्रोडिंगर का समीकरण $ihbarpartial_t |psirangel = H |psirangel$ परिवर्तन $|psirangel से U |psirangel$ और $H से UHU^dagger$ द्वारा दिए गए एक वैश्विक एकात्मक अपरिवर्तनीयता को स्वीकार करता है। हमारे काम से पता चलता है कि गतिशील गेज फ़ील्ड और स्थानीय गेज इनवेरिएंस के साथ गति का एक नया समीकरण, यानी गेज चित्र, प्राप्त करने के लिए श्रोडिंगर के समीकरण में इस वैश्विक अपरिवर्तनीयता के लिए गेज सिद्धांत को लागू करना भी संभव है।

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द्वारा उद्धृत

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