छिपा हुआ कनेक्शन जिसने संख्या सिद्धांत को बदल दिया | क्वांटा पत्रिका

अभाज्य संख्याएँ तीन प्रकार की होती हैं। पहला एक एकान्त बाह्य है: 2, एकमात्र सम अभाज्य। उसके बाद, आधे अभाज्य संख्याओं को 1 से विभाजित करने पर 4 शेष बचता है। अन्य आधे अभाज्य संख्याओं को 3 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है। (13 और 7 पहले खेमे में आते हैं, 11 और 1 दूसरे में आते हैं।) शेषफल का कोई स्पष्ट कारण नहीं है -3 अभाज्य और शेष-XNUMX अभाज्य को मौलिक रूप से अलग-अलग तरीकों से व्यवहार करना चाहिए। लेकिन वे करते हैं.

एक मुख्य अंतर द्विघात पारस्परिकता नामक संपत्ति से उत्पन्न होता है, जिसे सबसे पहले कार्ल गॉस ने साबित किया था, जो यकीनन 19वीं सदी के सबसे प्रभावशाली गणितज्ञ थे। "यह एक काफी सरल कथन है जिसका अनुप्रयोग केवल संख्या सिद्धांत ही नहीं, बल्कि हर जगह, सभी प्रकार के गणित में होता है।" जेम्स रिकार्ड्स, कोलोराडो विश्वविद्यालय, बोल्डर में गणितज्ञ। "लेकिन यह वास्तव में दिलचस्प होने के लिए पर्याप्त गैर-स्पष्ट भी है।"

संख्या सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो पूर्ण संख्याओं (जैसे, आकृतियों या निरंतर मात्राओं के विपरीत) से संबंधित है। अभाज्य संख्याएँ - जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं - इसके मूल में हैं, जैसे कि डीएनए जीव विज्ञान का मूल है। द्विघात पारस्परिकता ने गणितज्ञों की इस धारणा को बदल दिया है कि उनके बारे में कितना साबित करना संभव है। यदि आप अभाज्य संख्याओं को एक पर्वत श्रृंखला के रूप में सोचते हैं, तो पारस्परिकता एक संकीर्ण पथ की तरह है जो गणितज्ञों को पहले से दुर्गम चोटियों पर चढ़ने देती है और, उन चोटियों से, उन सत्यों को देखती है जो छिपे हुए थे।

हालाँकि यह एक पुराना प्रमेय है, फिर भी इसमें नए अनुप्रयोग होते रहते हैं। इस गर्मी में, रिकार्ड्स और उनके सहयोगी कैथरीन स्टैंज, दो छात्रों के साथ, एक व्यापक रूप से स्वीकृत अनुमान का खंडन किया इस बारे में कि छोटे वृत्तों को बड़े वृत्तों में कैसे पैक किया जा सकता है। परिणाम ने गणितज्ञों को चौंका दिया। पीटर सरनकइंस्टिट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी और प्रिंसटन यूनिवर्सिटी में एक संख्या सिद्धांतकार, ने अपनी टीम के तुरंत बाद एक सम्मेलन में स्टैंज से बात की तैनात उनका पेपर. सरनाक ने याद करते हुए कहा, "उसने मुझे बताया कि उसके पास एक प्रति-उदाहरण है।" "मैंने तुरंत उससे पूछा, 'क्या आप कहीं पारस्परिकता का उपयोग कर रहे हैं?' और वह वास्तव में यही उपयोग कर रही थी।'"

अभाज्य संख्याओं के युग्मों में पैटर्न

पारस्परिकता को समझने के लिए, आपको सबसे पहले मॉड्यूलर अंकगणित को समझना होगा। जब आप मापांक नामक संख्या से विभाजित करते हैं तो मॉड्यूलर ऑपरेशन शेषफल की गणना पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, 9 मॉड्यूल 7 2 है, क्योंकि यदि आप 9 को 7 से विभाजित करते हैं, तो आपके पास 2 शेष बचता है। मॉड्यूल 7 संख्या प्रणाली में, 7 संख्याएं हैं: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. आप इन संख्याओं को जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकते हैं।

पूर्णांकों की तरह, इन संख्या प्रणालियों में पूर्ण वर्ग हो सकते हैं - वे संख्याएँ जो किसी अन्य संख्या के गुणनफल का गुणनफल होती हैं। उदाहरण के लिए, 0, 1, 2 और 4 पूर्ण वर्ग मॉड्यूल 7 हैं (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, और 3 × 3 = 2 मॉड 7)। प्रत्येक साधारण वर्ग या तो 0, 1, 2 या 4 मॉडुलो 7 के बराबर होगा। (उदाहरण के लिए, 6 × 6 = 36 = 1 मॉड 7.) क्योंकि मॉड्यूलर संख्या प्रणाली परिमित हैं, पूर्ण वर्ग अधिक सामान्य हैं।

द्विघात पारस्परिकता अपेक्षाकृत सीधे प्रश्न से उत्पन्न होती है। दो अभाज्य संख्याएँ दी गई हैं p और q, यदि आप यह जानते हैं p एक पूर्ण वर्ग मॉड्यूलो है q, क्या आप कह सकते हैं कि नहीं q एक पूर्ण वर्ग मॉड्यूलो है p?

यह पता चला है कि जब तक या तो p or q 1 से विभाजित करने पर 4 शेष बचता है, यदि p एक पूर्ण वर्ग मॉड्यूलो है q, तो q यह एक पूर्ण वर्ग मापांक भी है p. कहा जाता है कि दोनों अभाज्य परस्पर क्रिया करते हैं।

दूसरी ओर, यदि वे दोनों 3 का शेषफल छोड़ते हैं (जैसे, मान लीजिए, 7 और 11) तो वे प्रत्युत्तर नहीं देते हैं: यदि p एक वर्ग मॉड्यूलो है q, इसका मतलब है कि q एक वर्ग मॉड्यूलो नहीं होगा p. इस उदाहरण में, 11 एक वर्ग मॉड्यूल 7 है, क्योंकि 11 = 4 मॉड 7 और हम पहले से ही जानते हैं कि 4 पूर्ण वर्ग मॉड्यूल 7 में से एक है। इसका मतलब यह है कि 7 एक वर्ग मॉड्यूल 11 नहीं है। यदि आप साधारण की सूची लेते हैं वर्ग (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,…) और उनके शेषफल मॉड्यूल 11 को देखें, तो 7 कभी नहीं आएगा।

किसी तकनीकी शब्द का प्रयोग करें तो यह सचमुच अजीब है!

सामान्यीकरण की शक्ति

कई गणितीय विचारों की तरह, पारस्परिकता प्रभावशाली रही है क्योंकि इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है।

1801 में गॉस द्वारा द्विघात पारस्परिकता का पहला प्रमाण प्रकाशित करने के तुरंत बाद, गणितज्ञों ने इस विचार को वर्गों से आगे बढ़ाने की कोशिश की। “तीसरी शक्तियाँ या चौथी शक्तियाँ क्यों नहीं? उन्होंने कल्पना की कि शायद एक घन पारस्परिकता कानून या चतुर्थक पारस्परिकता कानून है, ”ने कहा कीथ कॉनराड, कनेक्टिकट विश्वविद्यालय में एक संख्या सिद्धांतकार।

लेकिन वे फंस गए, कॉनराड ने कहा, "क्योंकि कोई आसान पैटर्न नहीं है।" गॉस द्वारा जटिल संख्याओं के दायरे में पारस्परिकता लाने के बाद यह बदल गया, जो शून्य से 1 के वर्गमूल को जोड़ता है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है i, साधारण संख्याओं के लिए। उन्होंने यह विचार पेश किया कि संख्या सिद्धांतकार न केवल सामान्य पूर्णांकों का बल्कि अन्य पूर्णांक जैसी गणितीय प्रणालियों का भी विश्लेषण कर सकते हैं, जैसे तथाकथित गाऊसी पूर्णांक, जो जटिल संख्याएं हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक हैं।

गॉसियन पूर्णांकों के साथ, अभाज्य के रूप में क्या गिना जाता है इसकी पूरी धारणा बदल गई। उदाहरण के लिए, 5 अब अभाज्य नहीं है, क्योंकि 5 = (2+ i) × (2 − i). कॉनराड ने कहा, "आपको फिर से वैसे ही शुरू करना होगा जैसे आप प्राथमिक विद्यालय में थे।" 1832 में, गॉस ने अपने नाम वाले जटिल पूर्णांकों के लिए एक चतुर्थक पारस्परिकता कानून साबित किया।

अचानक, गणितज्ञों ने इन नई संख्या प्रणालियों में मॉड्यूलर अंकगणित और गुणनखंडन जैसे उपकरण लागू करना सीख लिया। कॉनराड के अनुसार, द्विघात पारस्परिकता प्रेरणा थी।

जो पैटर्न जटिल संख्याओं के बिना अस्पष्ट थे, वे अब उभरने लगे हैं। 1840 के दशक के मध्य तक गोटथोल्ड ईसेनस्टीन और कार्ल जैकोबी ने पहला घन पारस्परिकता कानून साबित कर दिया था।

फिर, 1920 के दशक में, आधुनिक बीजगणित के संस्थापकों में से एक, एमिल आर्टिन ने वह खोज की जिसे कॉनराड "अंतिम पारस्परिकता कानून" कहते हैं। अन्य सभी पारस्परिकता कानूनों को आर्टिन के पारस्परिकता कानून के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है।

एक सदी बाद, गणितज्ञ अभी भी गॉस के पहले द्विघात पारस्परिकता कानून के नए प्रमाण तैयार कर रहे हैं और इसे नए गणितीय संदर्भों में सामान्यीकृत कर रहे हैं। कई विशिष्ट प्रमाणों का होना उपयोगी हो सकता है। कॉनराड ने कहा, "यदि आप परिणाम को एक नई सेटिंग में विस्तारित करना चाहते हैं, तो शायद एक तर्क आसानी से आगे बढ़ जाएगा, जबकि अन्य नहीं।"

पारस्परिकता इतनी उपयोगी क्यों है?

द्विघात पारस्परिकता का उपयोग ग्राफ सिद्धांत, बीजगणितीय टोपोलॉजी और क्रिप्टोग्राफी जैसे विविध अनुसंधान के क्षेत्रों में किया जाता है। बाद में, 1982 में एक प्रभावशाली सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम विकसित किया गया शफी स्वर्णकार और सिल्वियो मिकलि यह दो बड़े अभाज्य संख्याओं को गुणा करने पर निर्भर करता है p और q एक साथ और परिणाम आउटपुट, N, एक संख्या के साथ, x, जो एक वर्ग मॉड्यूलो नहीं है N. एल्गोरिथम का उपयोग करता है N और x डिजिटल संदेशों को बड़ी संख्याओं की स्ट्रिंग में एन्क्रिप्ट करने के लिए। इस स्ट्रिंग को डिक्रिप्ट करने का एकमात्र तरीका यह तय करना है कि एन्क्रिप्टेड स्ट्रिंग में प्रत्येक संख्या एक वर्ग मॉड्यूलो है या नहीं N - अभाज्य संख्याओं के मूल्यों को जाने बिना वस्तुतः असंभव p और q.

और निःसंदेह, संख्या सिद्धांत में द्विघात पारस्परिकता बार-बार सामने आती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि 1 मॉड्यूल 4 के बराबर किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 13 1 मॉड्यूल 4 के बराबर है, और 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). इसके विपरीत, 3 मॉड्यूलो 4 के बराबर अभाज्य संख्याओं को कभी भी दो वर्गों के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

सरनाक ने कहा कि पारस्परिकता का उपयोग खुले प्रश्नों को हल करने के लिए किया जा सकता है, जैसे यह पता लगाना कि कौन सी संख्याएँ तीन घनों के योग के रूप में लिखी जा सकती हैं। यह ज्ञात है कि जो संख्याएँ 4 या 5 मॉड्यूलो 9 के बराबर हैं वे तीन घनों के योग के बराबर नहीं हैं, लेकिन अन्य एक रहस्य बनी हुई हैं। (2019 में, एंड्रयू बुकर सुर्खियाँ उत्पन्न कीं जब उन्हें पता चला कि (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

स्टैंज ने कहा, इसके सभी अनुप्रयोगों और कई अलग-अलग प्रमाणों के बावजूद, पारस्परिकता के बारे में कुछ ऐसा है जो एक रहस्य बना हुआ है।

“गणितीय प्रमाण के साथ अक्सर क्या होता है कि आप हर चरण का अनुसरण कर सकते हैं; आप विश्वास कर सकते हैं कि यह सच है,'' उसने कहा। "और आप अभी भी दूसरे छोर से यह महसूस करते हुए बाहर आ सकते हैं, 'लेकिन क्यों?'"

आंतरिक स्तर पर यह समझना कि 7 और 11 को 5 और 13 से क्या अलग बनाता है, हमेशा के लिए पहुंच से परे हो सकता है। "हम केवल अमूर्तता के इतने सारे स्तरों को ही जोड़ सकते हैं," उसने कहा। "यह संख्या सिद्धांत में हर जगह दिखाई देता है... और फिर भी यह उस चीज़ से एक कदम आगे है जो ऐसा लगता है जैसे आप वास्तव में जान सकते हैं।"

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