झुर्रियों का नया गणित

मिशिगन विश्वविद्यालय में 2018 की बातचीत में कुछ मिनट, इयान टोबैस्को कागज का एक बड़ा टुकड़ा उठाया और इसे अराजकता की एक अव्यवस्थित गेंद में उखड़ गया। उन्होंने इसे दर्शकों के देखने के लिए रखा, अच्छे माप के लिए इसे निचोड़ा, फिर इसे फिर से फैला दिया।

"मुझे सिलवटों का एक जंगली द्रव्यमान मिलता है जो उभरता है, और यही पहेली है," उन्होंने कहा। "इस पैटर्न को दूसरे, अधिक व्यवस्थित पैटर्न से क्या चुनता है?"

फिर उन्होंने कागज का एक दूसरा बड़ा टुकड़ा रखा - यह मिउरा-ओरी के नाम से जाने जाने वाले समांतर चतुर्भुज के एक प्रसिद्ध ओरिगेमी पैटर्न में पूर्व-मुड़ा हुआ था - और इसे फ्लैट दबाया। उन्होंने कहा कि कागज की प्रत्येक शीट पर उन्होंने जिस बल का इस्तेमाल किया, वह लगभग समान था, लेकिन परिणाम इससे अधिक भिन्न नहीं हो सकते थे। मिउरा-ओरी को बड़े करीने से ज्यामितीय क्षेत्रों में विभाजित किया गया था; उखड़ी हुई गेंद दांतेदार रेखाओं की गड़बड़ी थी।

"आप महसूस करते हैं कि यह," उन्होंने कहा, टूटी हुई चादर पर क्रीज की बिखरी हुई व्यवस्था की ओर इशारा करते हुए, "इसका सिर्फ एक यादृच्छिक अव्यवस्थित संस्करण है।" उन्होंने साफ, व्यवस्थित मिउरा-ओरी का संकेत दिया। "लेकिन हमने इस पर अपनी उंगली नहीं डाली है कि यह सच है या नहीं।"

उस संबंध को बनाने के लिए लोचदार पैटर्न के सार्वभौमिक गणितीय नियमों को स्थापित करने से कम कुछ नहीं चाहिए। टोबैस्को वर्षों से इस पर काम कर रहा है, ऐसे समीकरणों का अध्ययन कर रहा है जो पतली लोचदार सामग्री का वर्णन करते हैं - सामान जो अपने मूल आकार में वापस वसंत की कोशिश करके विरूपण का जवाब देता है। एक गुब्बारे को काफी जोर से दबाएं और रेडियल झुर्रियों का एक स्टारबर्स्ट पैटर्न बन जाएगा; अपनी उंगली हटा दें और वे फिर से चिकना हो जाएंगे। कागज की एक टूटी हुई गेंद को निचोड़ें और जब आप इसे छोड़ेंगे तो यह फैल जाएगी (हालाँकि यह पूरी तरह से उखड़ नहीं जाएगी)। इंजीनियरों और भौतिकविदों ने अध्ययन किया है कि कुछ परिस्थितियों में ये पैटर्न कैसे उभरते हैं, लेकिन गणितज्ञ के लिए वे व्यावहारिक परिणाम एक अधिक मौलिक प्रश्न का सुझाव देते हैं: क्या यह समझना संभव है कि सामान्य तौर पर, दूसरे के बजाय एक पैटर्न का चयन क्या होता है?

जनवरी 2021 में, टोबैस्को ने प्रकाशित किया एक पेपर जिसने उस प्रश्न का सकारात्मक उत्तर दिया - कम से कम एक चिकनी, घुमावदार, लोचदार शीट के मामले में समतलता में दबाया गया (एक ऐसी स्थिति जो प्रश्न का पता लगाने का एक स्पष्ट तरीका प्रदान करती है)। उनके समीकरण भविष्यवाणी करते हैं कि कैसे प्रतीत होता है कि यादृच्छिक झुर्रियों में "व्यवस्थित" डोमेन होते हैं, जिनमें दोहराव, पहचान योग्य पैटर्न होता है। और उन्होंने पिछले महीने प्रकाशित एक पेपर का सह-लेखन किया, जो कठोर गणित पर आधारित एक नया भौतिक सिद्धांत दिखाता है, जो यथार्थवादी परिदृश्यों में पैटर्न की भविष्यवाणी कर सकता है।

विशेष रूप से, टोबैस्को के काम से पता चलता है कि झुर्रियों को, इसके कई रूपों में, एक ज्यामितीय समस्या के समाधान के रूप में देखा जा सकता है। "यह गणितीय विश्लेषण का एक सुंदर टुकड़ा है," ने कहा स्टीफन मुलर जर्मनी में बॉन के हॉसडॉर्फ सेंटर फॉर मैथमेटिक्स विश्वविद्यालय के।

यह पहली बार, इस सामान्य घटना के पीछे, गणितीय नियमों - और एक नई समझ - को सुरुचिपूर्ण ढंग से प्रस्तुत करता है। "यहां गणित की भूमिका एक अनुमान को साबित करने के लिए नहीं थी जिसे भौतिकविदों ने पहले ही बना लिया था," ने कहा रॉबर्ट कोहनो, न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के कूरेंट इंस्टीट्यूट में गणितज्ञ और टोबैस्को के स्नातक स्कूल सलाहकार, "बल्कि एक सिद्धांत प्रदान करने के लिए जहां पहले कोई व्यवस्थित समझ नहीं थी।"

पसर जाना

झुर्रियों और लोचदार पैटर्न के सिद्धांत को विकसित करने का लक्ष्य पुराना है। 1894 में, में एक समीक्षा में प्रकृति, गणितज्ञ जॉर्ज ग्रीनहिल ने सिद्धांतकारों ("हमें क्या सोचना है?") और उन उपयोगी अनुप्रयोगों के बीच अंतर बताया जो वे समझ सकते थे ("हमें क्या करना है?")।

19वीं और 20वीं शताब्दी में, वैज्ञानिकों ने बड़े पैमाने पर बाद में प्रगति की, विशिष्ट वस्तुओं में झुर्रियों से जुड़ी समस्याओं का अध्ययन किया जो विकृत हो रही हैं। शुरुआती उदाहरणों में समुद्री जहाजों के लिए चिकनी, घुमावदार धातु की प्लेटों को गढ़ने की समस्या और पहाड़ों के निर्माण को पृथ्वी की पपड़ी के ताप से जोड़ने की कोशिश करना शामिल है।

हाल ही में, गणितज्ञों और भौतिकविदों ने सिद्धांत और अवलोकन को झुर्रियों वाली स्थितियों, ज्यामिति और सामग्रियों की एक विस्तृत श्रृंखला से जोड़ने के प्रयास का विस्तार किया है। "यह पिछले 10 वर्षों से चल रहा है, जहां हम पहले प्रयोग कर रहे हैं और फिर उन्हें समझने के लिए सिद्धांत खोजने की कोशिश कर रहे हैं," गणितज्ञ ने कहा डोमिनिक वेल्ला ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के। "हाल ही में हमने एक उचित समझ शुरू की है।"

रोमांचक मील के पत्थर रहे हैं। 2015 में, मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में मैकेनिकल इंजीनियर पेड्रो रीस, वर्णित भौतिक नियम ज्यामितीय पैटर्न के लिए जो डिफ्लेटेड सिलिकॉन गेंदों पर बनते हैं। उनके काम ने उन झुर्रियों को लोचदार सामग्री की आंतरिक और बाहरी परतों की मोटाई से जोड़ा। रीस ने यह भी नोट किया कि झुर्रियाँ, दोष माने जाने के बजाय, उपन्यास यांत्रिक व्यवहारों को डिजाइन करने के अवसर प्रदान कर सकती हैं। फिर 2017 में वेल्ला विश्लेषण का नेतृत्व किया दबाव में एक पतली लोचदार फिल्म की झुर्रीदार अस्थिरता, यह दर्शाती है कि प्रारंभिक प्रहार की गहराई और अन्य विशिष्ट विवरणों के अनुसार झुर्रियों की संख्या कैसे बदल गई।

लेकिन इन घटनाक्रमों ने अभी भी केवल समस्या के टुकड़े हल किए हैं। झुर्रियाँ कैसे बनती हैं, इसकी अधिक सामान्य गणितीय समझ के लिए, एक अलग दृष्टिकोण आवश्यक था। इसे आगे बढ़ाने वाला टोबैस्को होगा।

निम्नलिखित जिज्ञासा

जब वह छोटा था, तो टोबैस्को ने सोचा कि वह एयरोस्पेस इंजीनियरिंग में जाएगा। उन्होंने 2011 में मिशिगन विश्वविद्यालय से क्षेत्र में स्नातक की डिग्री के साथ स्नातक की उपाधि प्राप्त की, लेकिन उस समय तक वे पहले से ही गणितीय तर्क और भौतिक प्रणालियों के बारे में गहराई से सोचने के लिए तैयार हो गए थे। उन्होंने गणित में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की, लेकिन उन्होंने सिरैक्यूज़ विश्वविद्यालय में एक भौतिक विज्ञानी जॉय पॉलसेन को झुर्रियों के विशिष्ट पथ पर स्थापित करने के लिए दोषी ठहराया।

इससे पहले पॉलसेन के करियर में, जब वे असामान्य सामग्रियों के गुणों का अध्ययन कर रहे थे, उन्होंने स्पिन कोटिंग नामक तकनीक का उपयोग करके अल्ट्रा-थिन पॉलीमर फिल्मों को बनाना और उनका विश्लेषण करना सीखा। सबसे पहले वह एक विशेष तरल पदार्थ तैयार करेगा जिसमें भंग बहुलक की ट्रेस मात्रा होगी; फिर वह सामग्री को कताई प्लेट पर रखेगा। अधिकांश तरल वाष्पित हो जाएगा, जबकि बहुलक जमने से पहले एक समान मोटाई तक फैल जाएगा। एक बार जब सिरैक्यूज़ में उनकी अपनी प्रयोगशाला थी, तो पॉलसेन ने सीखा कि घुमावदार फिल्मों को बनाने के लिए स्पिन कोटिंग को कैसे अनुकूलित किया जाए - जैसे अल्ट्रा-पतली कछुए के गोले।

एक दिन, उसने इनमें से कुछ घुमावदार फिल्मों को शांत पानी के ऊपर रखा और फोटो खिंचवाया कि वे सतह पर कैसे बस गए। "यह विशुद्ध रूप से जिज्ञासा से प्रेरित था," उन्होंने कहा। 2017 में पॉलसेन के साथ एक अनौपचारिक बैठक में तस्वीरों ने टोबैस्को की नज़र को पकड़ा।

"उन्होंने दिखाया कि आप इन यादृच्छिक अव्यवस्थित शिकन पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं - जब आपने दो बार प्रयोग किया, तो आपको दो अलग-अलग पैटर्न मिले," टोबैस्को ने कहा, जो अब इलिनोइस विश्वविद्यालय, शिकागो में सहायक प्रोफेसर हैं। "मैं देखना चाहता था कि क्या मैं लोच से [उन पैटर्नों की भविष्यवाणी करने के लिए] कुछ व्युत्पन्न तरीके से आ सकता हूं, जिसमें खोल के आकार को शामिल किया गया है। और यह कि मॉडल शेल से शेल में नहीं बदलेगा।"

झुर्रीदार पैटर्न कम से कम संभव ऊर्जा के साथ विन्यास हैं। अर्थात्, जैसे ही पतली फिल्म एक सपाट सतह पर बैठती है, यह तब तक रूपांतरित होती है जब तक कि यह झुर्रियों की व्यवस्था नहीं पाती, अव्यवस्थित या नहीं, जिसे बनाए रखने के लिए कम से कम ऊर्जा की आवश्यकता होती है। टोबैस्को ने कहा, "आप [पैटर्न] प्रकट होने पर संग्रहीत ऊर्जा की मात्रा से पैटर्न व्यवस्थित कर सकते हैं।"

उस मार्गदर्शक सिद्धांत के नेतृत्व में, उन्होंने फिल्म की कुछ विशेषताओं को अलग-थलग कर दिया, जो इसके पैटर्न का चयन करने वाली साबित हुईं, जिसमें इसके आकार का एक माप शामिल है, जिसे इसकी गॉसियन वक्रता कहा जाता है। सकारात्मक गाऊसी वक्रता वाली सतह अपने आप से दूर झुक जाती है, जैसे गेंद के बाहर। नकारात्मक रूप से घुमावदार सतहें, इसके विपरीत, काठी के आकार की होती हैं, जैसे प्रिंगल्स चिप: यदि आप एक दिशा में जाते हैं तो आप ऊपर की ओर जाते हैं, लेकिन यदि आप एक अलग दिशा में जाते हैं तो आप नीचे जाते हैं।

टोबैस्को ने पाया कि सकारात्मक गाऊसी वक्रता वाले क्षेत्र एक प्रकार के क्रमबद्ध और अव्यवस्थित डोमेन की व्यवस्था करते हैं, और नकारात्मक वक्रता वाले क्षेत्र अन्य प्रकार का उत्पादन करते हैं। "विस्तृत ज्यामिति इतना महत्वपूर्ण नहीं है," वेला ने कहा। "यह वास्तव में सिर्फ गाऊसी वक्रता के संकेत पर निर्भर करता है।"

उन्हें संदेह था कि गाऊसी वक्रता झुर्रियों के लिए महत्वपूर्ण थी, लेकिन वेला ने कहा कि यह आश्चर्य की बात थी कि डोमेन साइन पर बहुत अधिक निर्भर थे। इसके अलावा, टोबैस्को का सिद्धांत लोचदार सामग्री के व्यापक स्पेक्ट्रम पर भी लागू होता है, न कि केवल पॉलसेन के रूपों पर। "यह एक अच्छा ज्यामितीय निर्माण है जो दिखाता है कि झुर्रियाँ कहाँ दिखाई देंगी," वेला ने कहा। "लेकिन यह समझना कि यह कहाँ से आता है वास्तव में गहरा है और आश्चर्य की बात है।"

पॉलसेन सहमत हुए। "इयान का सिद्धांत जो बहुत खूबसूरती से करता है वह आपको एक ही बार में पूरा पैटर्न देना है।"

वास्तविक जीवन झुर्रियाँ              

2018 की शुरुआत में, टोबैस्को ने अपना सिद्धांत ज्यादातर तय कर लिया था - लेकिन भले ही यह कागज पर काम करता हो, लेकिन उसे यकीन नहीं हो रहा था कि यह वास्तविक दुनिया में सटीक होगा। टोबैस्को ने पॉलसेन से संपर्क किया और पूछा कि क्या वह सहयोग करने में दिलचस्पी लेंगे। पॉलसेन ने कहा, "अभी कुछ ही तरह से काम किया गया है।" "इयान की कुछ भविष्यवाणियों के साथ, प्रायोगिक चित्रों के शीर्ष पर रखी गई, हम तुरंत देख सकते थे कि वे पंक्तिबद्ध हैं।"

उस वर्ष के सोसाइटी फॉर इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड मैथमैटिक्स कॉन्फ्रेंस ऑन मैथमैटिकल एस्पेक्ट्स ऑफ मैटेरियल्स साइंस, टोबैस्को को पेश किया गया था एलेनी कैटिफ़ोरी, पेन्सिलवेनिया विश्वविद्यालय के एक भौतिक विज्ञानी जो सीमित गोले में शिकन पैटर्न की समस्या की खोज कर रहे थे और परिणामों का एक डेटाबेस बना रहे थे। यह नसीब का क्षण था। "हम डोमेन [सिमुलेशन में] देख सकते थे कि इयान के काम ने समझाया," उसने कहा। मैच अलौकिक था। उनकी पहली चर्चा के दौरान भी, यह स्पष्ट था कि टोबैस्को का सिद्धांत, पॉलसेन की प्रयोगात्मक छवियां और कैटिफ़ोरी के सिमुलेशन सभी ने एक ही घटना का वर्णन किया। "शुरुआती दौर में भी, जब हमारे पास कुछ भी ठोस नहीं था, हम कनेक्शन देख सकते थे।"

उस प्रारंभिक उत्साह ने शीघ्र ही संदेह को जन्म दिया। यह सच होना लगभग बहुत अच्छा लग रहा था। "वह एक गणितज्ञ है और इन सभी चीजों को गैर-आयामी बना रहा है," पॉलसेन ने कहा, वक्रता के बारे में टोबैस्को के विचारों को द्वि-आयामी फ्लैट सामग्री से बहुत आगे बढ़ाया जा सकता है। "क्या हम वास्तव में उसी प्रणाली को देख रहे हैं? यह सहमत है, लेकिन क्या इसे सहमत होना चाहिए था?”

अगले दो वर्षों के लिए, तीन शोधकर्ताओं ने विवरणों को हैश कर दिया, यह दिखाते हुए कि टोबैस्को के सिद्धांत ने वास्तव में भविष्यवाणी की थी - ठीक - झुर्रियों की व्यवस्था जो पॉलसेन ने अपने प्रयोगों में देखी और कैटीफोरी ने अपने कंप्यूटर मॉडल में पाया। 25 अगस्त को, उन्होंने . में एक पेपर प्रकाशित किया प्रकृति भौतिकी दिखा कैसे तीनों दृष्टिकोण झुर्रियों की एक ही, सीधी ज्यामितीय व्यवस्था पर अभिसरण करते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने पाया कि पैटर्न समद्विबाहु त्रिभुजों के स्वच्छ परिवारों में आते हैं जो क्रम और अव्यवस्था के डोमेन का सीमांकन करते हैं। इसके अलावा, परिणाम असंभव रूप से पतली सामग्री के गणितीय सार तक ही सीमित नहीं हैं बल्कि मोटाई के परिमाण के कई आदेशों को संबोधित करते हैं।

उनका काम सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों के विस्तार के अवसर भी सुझाता है। कैटिफ़ोरी ने कहा कि एक भौतिक विज्ञानी के रूप में, वह नई सामग्रियों को डिजाइन करने के लिए भविष्यवाणियों का उपयोग करने में रुचि रखती है। "मैं यह समझना चाहता हूं कि आप सतहों को कैसे डिजाइन कर सकते हैं ताकि वे वास्तव में झुर्रियों के पैटर्न को किसी ऐसी चीज में व्यवस्थित कर सकें जो आप चाहते हैं।"

एक और खुला प्रश्न यह है कि आम तौर पर सिद्धांत को विभिन्न प्रकार की घुमावदार सतहों पर कैसे लागू किया जा सकता है। "यह उन स्थितियों पर बहुत केंद्रित है जहां [गॉसियन वक्रता] या तो सकारात्मक या नकारात्मक है, लेकिन कुछ क्षेत्रों के साथ बहुत सी स्थितियां हैं जो सकारात्मक और कुछ नकारात्मक हैं," वेला ने कहा।

पॉलसेन सहमत थे कि यह एक रोमांचक संभावना है, और टोबैस्को ने कहा कि वह इस क्षेत्र में सक्रिय रूप से काम कर रहे हैं और गोले के अन्य आकारों पर विचार कर रहे हैं - जैसे कि छेद वाले।

लेकिन पॉलसेन ने कहा कि सिद्धांत, जैसा कि वर्तमान में भी है, सुंदर और आश्चर्यजनक है। "अगर मैं आपको एक खोल और एक सीमा आकार देता हूं और नियमों का यह सरल सेट इयान के सिद्धांत की भविष्यवाणी करता है, तो आप एक कंपास और शासक ले सकते हैं और मूल रूप से झुर्रियां खींच सकते हैं," उन्होंने कहा। "ऐसा नहीं होना चाहिए था। यह पूरी तरह से भयावह हो सकता था।"