परिचय
ज्यामिति की छात्रा गीना कल रात बहुत देर तक जागती रही और अपना होमवर्क करते हुए देखती रही ग्रेट ब्रिटिश बेक ऑफ, इसलिए जब वह आखिरकार बिस्तर पर गई तो उसका नींद भरा दिमाग अभी भी कपकेक और कम्पास से भरा हुआ था। इससे सबसे असामान्य सपना हुआ।
जीना ने खुद को इमेजिनरी यूनिवर्सिटी में ग्रेट ब्राउनी बेक ऑफ का जज पाया, एक ऐसा स्कूल जहां छात्र बहुत सारी ज्यामिति सीखते हैं लेकिन बहुत कम अंकगणित सीखते हैं। इमेजिनरी यू के छात्रों की टीमों को सबसे बड़ी ब्राउनी बनाने का काम सौंपा गया था, और विजेता का निर्धारण करना गीना पर निर्भर था।
टीम अल्फा सबसे पहले खत्म करने वाली थी, और उन्होंने गर्व से अपने आयताकार ब्राउनी को न्याय करने के लिए प्रस्तुत किया। गीना ने एक शासक निकाला और ब्राउनी को मापा: यह 16 इंच लंबा और 9 इंच चौड़ा था। टीम बीटा ने तुरंत अपने स्क्वायर ब्राउनी के साथ पीछा किया, जो प्रत्येक तरफ 12 इंच मापा गया। तभी परेशानी शुरू हुई।
टीम अल्फा के कप्तान ने कहा, "हमारा ब्राउनी आपके ब्राउनी से काफी लंबा है।" "हमारा स्पष्ट रूप से बड़ा है, इसलिए हम विजेता हैं!"
"लेकिन आपके आयत की छोटी भुजा हमारे वर्ग की भुजा से बहुत छोटी है," टीम बीटा के एक प्रतिनिधि ने कहा। "हमारा वर्ग स्पष्ट रूप से बड़ा है। हमनें जीत लिया है!"
जीना को इस बारे में बहस करना अजीब लगा। "आयताकार ब्राउनी का क्षेत्रफल 9 गुना 16 है, जो 144 वर्ग इंच है," उसने कहा। “स्क्वायर ब्राउनी का क्षेत्रफल 12 गुना 12 है, जो कि 144 वर्ग इंच भी है। ब्राउनी एक ही आकार की होती हैं: यह एक टाई है।
दोनों टीमें हैरान नजर आईं। एक छात्र ने कहा, "मुझे समझ में नहीं आता कि आप 'समय' से क्या मतलब रखते हैं," जिसे कभी गुणा नहीं सिखाया गया था। "मुझे न तो," दूसरे ने कहा। एक तीसरे ने कहा, "मैंने कॉम्प्लेक्स कॉलेज के छात्रों के बारे में एक बार संख्याओं का उपयोग करके क्षेत्रफल मापने के बारे में सुना था, लेकिन इसका क्या मतलब है?" काल्पनिक विश्वविद्यालय वास्तव में एक अजीब जगह थी, भले ही सपने चलते हों।
जीना क्या करने वाली थी? वह टीमों को कैसे समझा सकती थी कि उनकी ब्राउनी एक ही आकार की थीं यदि वे यह नहीं समझती थीं कि क्षेत्र को कैसे मापना है और संख्याओं को गुणा करना है? सौभाग्य से, जीना के पास एक प्रतिभाशाली विचार था। "मुझे एक चाकू दो," उसने कहा।
गीना ने आयताकार ब्राउनी की लंबी साइड को 12 इंच नीचे नापा और शॉर्ट साइड के समानांतर एक कट बनाया। इसने बड़े आयत को दो छोटे आयतों में बदल दिया: एक का माप 9-बटा-12 और दूसरा 9-बटा-4। तीन त्वरित कटौती के साथ उसने 9-बटा-4 के टुकड़े को तीन छोटे 3-बटा-4 टुकड़ों में बदल दिया। थोड़ा सा पुनर्व्यवस्थित करने से भीड़ से ऊह और आह सुनाई दी: जीना ने आयत को वर्ग की सटीक प्रतिकृति में बदल दिया था।
दोनों टीमों को अब इस बात पर सहमत होना पड़ा कि उनके ब्राउनी एक ही आकार के थे। एक को विच्छेदित करके और दूसरे को बनाने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करके, गीना ने दिखाया कि दो ब्राउनीज़ ने एक ही कुल क्षेत्रफल पर कब्जा कर लिया। ज्यामिति में इस तरह के विच्छेदन का उपयोग हजारों वर्षों से यह दिखाने के लिए किया जाता रहा है कि आंकड़े समान आकार के हैं, और विच्छेदन और तुल्यता के बारे में कई उल्लेखनीय परिणाम हैं। आज भी गणितज्ञ पूरी तरह से समझने के लिए विच्छेदन और पुनर्व्यवस्था का उपयोग करते हैं कि कब कुछ आकृतियाँ समतुल्य होती हैं, जिससे हाल ही में कुछ आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते हैं।
मूल आकृतियों के लिए क्षेत्र सूत्र विकसित करते समय आपने शायद गणित की कक्षा में ज्यामितीय विच्छेदन देखा होगा। उदाहरण के लिए, आपको याद हो सकता है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊँचाई की लंबाई के बराबर होता है: ऐसा इसलिए है क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज को विच्छेदित किया जा सकता है और एक आयत में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
इस विच्छेदन से पता चलता है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल समान आधार और ऊंचाई वाले एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर है, जैसा कि कोई भी व्यक्ति जो काल्पनिक विश्वविद्यालय में शामिल नहीं हुआ जानता है, उन दो संख्याओं का गुणनफल है।
इमेजिनरी यू की बात करें तो ग्रेट ब्राउनी बेक ऑफ बस गर्म हो रहा था। टीम गामा ने एक बड़े त्रिकोणीय ब्राउनी के साथ संपर्क किया। "यहाँ विजेता है," उन्होंने साहसपूर्वक घोषणा की। "हमारे दोनों पक्ष दूसरों की तुलना में बहुत लंबे हैं।"
जीना ने पक्षों को मापा। "यह भी एक ही क्षेत्र है!" उसने कहा। "यह एक समकोण त्रिभुज है, और पैरों की माप 18 और 16 है, और इसलिए क्षेत्र है ..." जीना एक पल के लिए रुकी, हर किसी के चेहरों पर चकित नज़र आ रही थी। "ओह कोई बात नहीं। बस मुझे चाकू दे दो।
गीना ने चतुराई से कर्ण के मध्य बिंदु से लंबी टांग के मध्य बिंदु तक काट दिया, फिर नवगठित त्रिकोण को घुमाया ताकि बड़े टुकड़े में घोंसला बनाने पर यह एक पूर्ण आयत बन जाए।
"यह बिल्कुल हमारी ब्राउनी है!" रोया टीम अल्फा। निश्चित रूप से, परिणामी आयत 9 बटा 16 थी: बिल्कुल उनके आकार के समान।
टीम बीटा को अपनी शंका थी। "लेकिन यह त्रिभुज हमारे वर्ग की तुलना में कैसा है?" उनके टीम लीडर ने पूछा।
जिन्ना इसके लिए तैयार थी। "हम पहले से ही जानते हैं कि आयत और वर्ग एक ही आकार के होते हैं, इसलिए ट्रांज़िटिविटी के अनुसार, त्रिकोण और वर्ग एक ही आकार के होते हैं।" सकर्मकता समानता के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है: यह कहता है कि यदि a = b और b = c, तो a = c. गीना ने आगे कहा, "यदि पहले ब्राउनी का क्षेत्रफल दूसरे के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरे ब्राउनी का क्षेत्रफल तीसरे के क्षेत्रफल के बराबर है, तो पहले और तीसरे ब्राउनी का भी बराबर क्षेत्रफल होना चाहिए।"
लेकिन जीना को डिसेक्शन में बहुत मज़ा आ रहा था और वह वहीं रुक गई। "या हम कुछ और कटौती कर सकते हैं।"
पहले गीना ने उस आयत को घुमाया जो पहले एक त्रिभुज था। फिर उसने इसे ठीक उसी पैटर्न का उपयोग करके काटा, जिसका उपयोग उसने टीम अल्फा के आयत पर किया था।
फिर उसने दिखाया कि कैसे टीम गामा के त्रिकोण के इस नए विच्छेदन को टीम बीटा के वर्ग में बदला जा सकता है, ठीक उसी तरह जैसे उसने टीम अल्फा के आयत के साथ किया था।
इस स्थिति में हम कहते हैं कि त्रिभुज और वर्ग "कैंची सर्वांगसम" हैं: आप कल्पना कर सकते हैं कि कैंची का उपयोग करके एक आकृति को सूक्ष्म रूप से कई टुकड़ों में काटा जा सकता है जिसे बाद में दूसरी बनाने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। त्रिभुज और वर्ग के मामले में, ब्राउनी बिल्कुल दिखाती है कि कैसे यह कैंची सर्वांगसमता काम करती है।
ध्यान दें कि पैटर्न किसी भी दिशा में काम करता है: इसका उपयोग त्रिभुज को वर्ग में या वर्ग को त्रिभुज में बदलने के लिए किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, कैंची की सर्वांगसमता सममित है: यदि आकृति A आकार B के अनुरूप कैंची है, तो आकृति B भी आकृति A के अनुरूप कैंची है।
वास्तव में, त्रिभुज, आयत और वर्ग से संबंधित उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि कैंची की सर्वांगसमता भी सकर्मक है। चूँकि त्रिभुज आयत के अनुरूप कैंची है और आयत वर्ग के अनुरूप कैंची है, त्रिभुज वर्ग के अनुरूप कैंची है। सबूत पैटर्न में है: बस उन्हें मध्यवर्ती आकार पर ओवरले करें, जैसा कि ऊपर के आयत के साथ किया गया था।
यदि आप त्रिभुज को ऐसे टुकड़ों में काटते हैं जो आयत बनाते हैं, तो आयत को ऐसे टुकड़ों में काटें जिनसे वर्ग बनता है, परिणामी टुकड़ों का उपयोग तीनों में से किसी भी आकार को बनाने के लिए किया जा सकता है।
यह तथ्य कि कैंची सर्वांगसम सकर्मक है, एक अद्भुत परिणाम के केंद्र में है: यदि दो बहुभुजों का क्षेत्रफल समान है, तो वे कैंची सर्वांगसम हैं। इसका मतलब यह है कि, समान क्षेत्रफल वाले किन्हीं भी दो बहुभुजों को देखते हुए, आप हमेशा एक को परिमित संख्या में टुकड़ों में काट सकते हैं और दूसरे को बनाने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
इस उल्लेखनीय प्रमेय का प्रमाण भी उल्लेखनीय रूप से सीधा है। सबसे पहले, प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में काटें।
दूसरा, प्रत्येक त्रिकोण को एक आयत में बदल दें, जैसे जीना ने त्रिकोणीय ब्राउनी को पुनर्व्यवस्थित किया था।
अब मुश्किल तकनीकी भाग आता है: प्रत्येक आयत को एक नए आयत में बदल दें जो एक इकाई चौड़ा हो।
ऐसा करने के लिए, आयत से उन टुकड़ों को काटना शुरू करें जो एक इकाई चौड़े हैं।
यदि आप आयत को चौड़ाई 1 के टुकड़ों की एक अभिन्न संख्या में काट सकते हैं, तो आपका काम हो गया: बस उन्हें एक दूसरे के ऊपर ढेर कर दें। अन्यथा, जब आखिरी टुकड़ा 1 और 2 इकाइयों के बीच चौड़ा हो, तो काटना बंद कर दें और बाकी को एक दूसरे के ऊपर ढेर कर दें।
चिंता न करें यदि आयत स्वयं 1 इकाई से कम चौड़ा है: बस इसे आधे में काटें और दो टुकड़ों का उपयोग करके एक नया आयत बनाएं जो दोगुना लंबा और आधा मोटा हो। जब तक आपको 1 और 2 इकाइयों के बीच चौड़ा आयत न मिल जाए, तब तक आवश्यकतानुसार दोहराएं।
अब कल्पना कीजिए कि इस अंतिम आयत की ऊँचाई है h और चौड़ाई w, 1 के साथ w < 2. हम उस आयत को काटने जा रहे हैं और उसे चौड़ाई 1 और ऊँचाई वाले आयत में पुनर्व्यवस्थित करेंगे h × w. ऐसा करने के लिए, ओवरले करें h × w वांछित के साथ आयत hw × 1 आयत इस तरह।
फिर बिंदीदार रेखा के साथ कोने से कोने तक काटें, और दाएं किनारे के नीचे दाईं ओर छोटे त्रिकोण को काटें hw × 1 आयत।
यह कटौती करता है h × w आयत को तीन टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है जिसे एक में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है hw × 1 आयत। (इस अंतिम विच्छेदन को सही ठहराने के लिए समान त्रिभुजों से जुड़े कुछ चतुर तर्कों की आवश्यकता होती है। विवरण के लिए नीचे दिए गए अभ्यास देखें।)
अंत में, इस अंतिम आयत को स्टैक के शीर्ष पर रखें, और आपने इस बहुभुज को सफलतापूर्वक बदल दिया है - वास्तव में, कोई भी बहुभुज - चौड़ाई 1 के आयत में।
अब यदि मूल बहुभुज का क्षेत्रफल था A, तो इस आयत की ऊँचाई होनी चाहिए A, तो क्षेत्रफल के साथ हर बहुभुज A कैंची चौड़ाई 1 और ऊँचाई वाले आयत के सर्वांगसम है A. इसका अर्थ है कि यदि दो बहुभुजों का क्षेत्रफल है A, तो वे दोनों कैंची एक ही आयत के सर्वांगसम हैं, इसलिए पारगमनशीलता से वे एक दूसरे के सर्वांगसम कैंची हैं। इससे पता चलता है कि क्षेत्रफल के साथ हर बहुभुज A कैंची क्षेत्रफल के साथ हर दूसरे बहुभुज के सर्वांगसम है A.
लेकिन यह शक्तिशाली परिणाम भी इमेजिनरी यूनिवर्सिटी के ब्राउनी बेक ऑफ के निर्णय को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए पर्याप्त नहीं था। अभी भी एक प्रविष्टि बाकी थी, और टीम पाई ने जो दिखाया उससे किसी को आश्चर्य नहीं हुआ।
जिस क्षण गीना ने उस घेरे को आते देखा वह ठंडे पसीने में अपने सपने से जागी। वह जानती थी कि एक वृत्त को सूक्ष्म रूप से कई टुकड़ों में काटना और उन्हें एक वर्ग, या एक आयत, या कोई बहुभुज बनाने के लिए पुनर्व्यवस्थित करना असंभव था। 1964 में गणितज्ञ लेस्टर डबिन्स, मॉरिस हिर्श और जैक करुश ने साबित किया कि एक वृत्त किसी भी बहुभुज के अनुरूप कैंची नहीं है। जीना का सपना एक ज्यामितीय दुःस्वप्न में बदल गया था।
लेकिन जैसा कि वे हमेशा करते दिखते हैं, गणितज्ञों ने इस बाधा को नए गणित में बदल दिया। 1990 में मिक्लोस लैक्ज़कोविच ने साबित किया कि एक सर्कल को टुकड़ा करना और इसे एक वर्ग में पुनर्व्यवस्थित करना संभव है, जब तक आप असीम रूप से छोटे, असीम रूप से डिस्कनेक्ट किए गए, असीम रूप से दांतेदार टुकड़ों का उपयोग कर सकते हैं जो संभवत: कैंची की एक जोड़ी के साथ नहीं बनाया जा सकता।
लैजकोविच का परिणाम जितना आश्चर्यजनक और रोमांचक था, इसने केवल यह साबित किया कि इस तरह का अपघटन सैद्धांतिक रूप से संभव है। यह नहीं बताया कि टुकड़ों का निर्माण कैसे किया जाए, केवल वे मौजूद हो सकते हैं। यहीं पर आंद्रस माथे, ओलेग पिखुरको और जोनाथन नोएल आए: 2022 की शुरुआत में वे एक पेपर पोस्ट किया जिसमें उन्होंने लैक्ज़कोविच की उपलब्धि का मिलान किया, लेकिन टुकड़ों के साथ जिसकी कल्पना करना संभव है।
दुर्भाग्य से, आप किसी भी ब्राउनी बेक ऑफ को व्यवस्थित करने के लिए उनके परिणाम का उपयोग नहीं कर पाएंगे। कैंची अकेले 10 का उत्पादन नहीं कर सकती200 उनके अपघटन में आवश्यक टुकड़े। लेकिन सवालों की एक लंबी कतार का जवाब देने में यह एक और कदम है जो तब शुरू हुआ जब आर्किमिडीज़ ने पहली बार $latex pi का आविष्कार किया, या खोजा। और यह हमें नए गणित का आविष्कार करने, या खोजने की ओर ले जाता है जिसका पिछली पीढ़ियां सपने में भी नहीं सोच सकती थीं।
अभ्यास
1. व्याख्या करें कि हम कैसे जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र की व्युत्पत्ति में, जिस त्रिभुज को हमने काटा है वह समांतर चतुर्भुज के दूसरी ओर के स्थान में पूरी तरह फिट बैठता है।
2. समझाइए कि किसी त्रिभुज को काटकर एक आयत क्यों बनाया जा सकता है।
अभ्यास 3 और 4 के लिए, यह दर्शाने के लिए उपयोग किए गए आरेख पर विचार करें कि a h × w आयत एक के अनुरूप कैंची है hw × 1 आयत, लेबल वाले बिंदुओं के साथ।
3. $latex त्रिकोण$ क्यों समझाएं एक्सवाईक्यू $latextriangle$ के समान है ABX. इससे लंबाई क्या होती है QY?
4. $latex त्रिकोण$ क्यों समझाएं PCX $लेटेक्स त्रिभुज$ के सर्वांगसम है एज़क्यू.
उत्तर 1 के लिए क्लिक करें:
यह दर्शाने के कई तरीके हैं कि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं। एक तरीका यह ध्यान रखना है कि समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी स्थिर है, इसलिए दो समकोण त्रिभुजों में सर्वांगसम पैरों की एक जोड़ी होती है।
और समांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं, जो कर्ण-पाद त्रिभुज सर्वांगसमता प्रमेय द्वारा दो त्रिभुजों को सर्वांगसम बनाता है। आप कोण-भुजा-कोण त्रिभुज सर्वांगसमता प्रमेय का उपयोग करके तर्क भी दे सकते हैं।
उत्तर 2 के लिए क्लिक करें:
त्रिभुज ज्यामिति में महान प्राथमिक परिणामों में से एक त्रिभुज मध्यखंड प्रमेय है: यदि आप त्रिभुज के दो पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं, तो परिणामी रेखा खंड तीसरी भुजा के समानांतर और आधी लंबाई का होता है।
क्योंकि खंड तीसरी भुजा के समानांतर है, कोण 1 और 3 सर्वांगसम संगत कोण हैं। और कोण 1 और 2 समान-पार्श्व आंतरिक कोण हैं, इसलिए वे पूरक हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180 डिग्री है। चूँकि $latexangle$ 1 $latexangle$ 3 के सर्वांगसम है, इसका मतलब है कि कोण 3 और 2 भी पूरक हैं।
इस प्रकार, जब आप शीर्ष त्रिकोण को चारों ओर और दाईं ओर फ़्लिप करते हैं, तो सर्वांगसम भुजाएँ पूरी तरह से मिल जाएँगी, और कोण 2 और 3 एक सीधी रेखा बन जाएंगे।
यह त्रिभुज को समांतर चतुर्भुज में बदल देता है, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, एक आयत में बदला जा सकता है।
उत्तर 3 के लिए क्लिक करें:
जबसे बीएक्सवाईजेड एक आयत है, दोनों $latexangle$ जेडबीसी और $latexangle$ ZYX समकोण हैं। और चूँकि एक आयत की विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, यह $latexangle$ बनाता है YQX $latexangle$ के अनुरूप एएक्सबी, क्योंकि वे वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं। इस प्रकार $latextriangle$ एक्सवाईक्यू $latextriangle$ के समान है ABX कोण-कोण समानता से। समरूप त्रिभुजों में भुजाएँ समानुपात में होती हैं, इसलिए $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. इस प्रकार, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, और इसी तरह QY = 1. ध्यान दें, चूंकि $latexangle$ एडीसी एक समकोण और $लेटेक्स कोण है डीएपी और $ लेटेक्स कोण $ YQX सर्वांगसम संगत कोण हैं, इससे $latex त्रिभुज बनता है डीएपी $latextriangle$ के अनुरूप YQX. यह साबित करता है कि आप $latextriangle$ को स्लाइड कर सकते हैं YQX उस स्थान पर जहां वर्तमान में $latex Triangle$ का कब्जा है डीएपी, जैसा कि कैंची सर्वांगसमता तर्क में आवश्यक है।
उत्तर 4 के लिए क्लिक करें:
ध्यान दें कि $latex angle$ एज़क्यू और $latexangle$ PCX दोनों समकोण हैं, और इस प्रकार सर्वांगसम हैं। अभ्यास 3 में समानांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग करके, हम यह भी देख सकते हैं कि लेटेक्स कोण एक्यूजेड और $ लेटेक्स कोण $ PXC सर्वांगसम संगत कोण हैं। अभ्यास 3 में भी, हमने वह दिखाया QY = 1. यह बनाता है QZ = w - 1, जो वास्तव में है CX के बराबर है। इस प्रकार, $ लेटेक्स त्रिकोण $ PCX $लेटेक्स त्रिभुज$ के सर्वांगसम है एज़क्यू कोण-भुजा-कोण त्रिभुज सर्वांगसमता द्वारा। यह तर्क के दूसरे भाग को सही ठहराता है कि a h × w आयत एक के अनुरूप कैंची है hw × 1 आयत।
