पेचीदा मैचअप के पीछे आश्चर्यजनक रूप से सरल गणित | क्वांटा पत्रिका

यह इमेजिनरी मैथ लीग का चैंपियनशिप गेम है, जहां अटलांटा अलजेब्रा का सामना कैरोलिना क्रॉस प्रोडक्ट्स से होगा। इस सीज़न में दोनों टीमें एक-दूसरे से नहीं खेली हैं, लेकिन साल की शुरुआत में अटलांटा ने ब्रुकलिन बाइसेक्टर्स को 10 से 5 के स्कोर से हराया था, और ब्रुकलिन ने कैरोलिना को 7 से 3 के स्कोर से हराया था। क्या इससे हमें कोई जानकारी मिलती है कि कौन उपाधि लेंगे?

खैर, यहाँ विचार की एक पंक्ति है। यदि अटलांटा ने ब्रुकलिन को हराया, तो अटलांटा ब्रुकलिन से बेहतर है, और यदि ब्रुकलिन ने कैरोलिना को हराया, तो ब्रुकलिन कैरोलिना से बेहतर है। इसलिए, यदि अटलांटा ब्रुकलिन से बेहतर है और ब्रुकलिन कैरोलिना से बेहतर है, तो अटलांटा को कैरोलिना से बेहतर होना चाहिए और चैंपियनशिप जीतनी चाहिए।

यदि आप प्रतिस्पर्धी खेल या खेल खेलते हैं, तो आप जानते हैं कि मैच के नतीजे की भविष्यवाणी करना इतना आसान नहीं है। लेकिन विशुद्ध गणितीय दृष्टिकोण से, इस तर्क में कुछ अपील है। यह गणित में एक महत्वपूर्ण विचार का उपयोग करता है जिसे परिवर्तनशीलता के रूप में जाना जाता है, एक परिचित संपत्ति जो हमें रिश्तों में तुलनाओं की श्रृंखला बनाने की अनुमति देती है। ट्रांज़िटिविटी उन गणितीय गुणों में से एक है जो इतने बुनियादी हैं कि आप इसे नोटिस भी नहीं कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्याओं की समानता सकर्मक होती है। इसका मतलब यह है कि अगर हम यह जानते हैं a = b और b = c, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a = c. "इससे भी बड़ा" संबंध भी सकर्मक है: वास्तविक संख्याओं के लिए, यदि a > b और b > c, तो a > c. जब रिश्ते परिवर्तनशील होते हैं, तो हम वस्तुओं का क्रम बनाकर उनकी तुलना और संयोजन कर सकते हैं। यदि एना बेनजी से लंबी है और बेनजी कार्ल से लंबी है, तो हम तीनों को उनकी ऊंचाई के आधार पर क्रमित कर सकते हैं: A, B, C. हमारे भोले-भाले तर्क के पीछे भी परिवर्तनशीलता ही है कि यदि A से बेहतर है B और B से बेहतर है C, तो A से बेहतर है C.

परिवर्तनशीलता समानता, सर्वांगसमता, समानता, यहाँ तक कि समांतरता में भी मौजूद है। यह हमारे द्वारा किए जाने वाले सभी बुनियादी गणित का हिस्सा है, जो इसे विशेष रूप से गणितीय रूप से दिलचस्प बनाता है जब यह मौजूद नहीं होता है। जब विश्लेषक टीमों को रैंक करते हैं, अर्थशास्त्री उपभोक्ता प्राथमिकताओं का अध्ययन करते हैं, या नागरिक अपने पसंदीदा उम्मीदवारों पर वोट करते हैं, तो परिवर्तनशीलता की कमी से आश्चर्यजनक परिणाम हो सकते हैं। इस प्रकार की प्रणालियों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, गणितज्ञ 50 से अधिक वर्षों से "अकर्मक पासे" का अध्ययन कर रहे हैं, और एक हाल ही में कागज पॉलीमैथ प्रोजेक्ट के नाम से ज्ञात ऑनलाइन गणितीय सहयोगी ने उस समझ को उन्नत किया है। यह समझने के लिए कि अकर्मण्यता कैसी दिखती और महसूस होती है, आइए अपनी खुद की एक लीग बनाएं और खेलें।

हमारी नई गणित लीग में, खिलाड़ी कस्टम सिक्के उछालकर और परिणामों की तुलना करके प्रतिस्पर्धा करते हैं। मान लीजिए खिलाड़ी A एक सिक्का है जिसके एक तरफ 10 नंबर और दूसरी तरफ 6 नंबर है, और खिलाड़ी Bके सिक्के पर संख्याएँ 8 और 3 हैं। हम मान लेंगे कि सिक्के निष्पक्ष हैं - जिसका अर्थ है कि सिक्कों को उछालने पर प्रत्येक पक्ष समान रूप से दिखाई देने की संभावना है - और हम सिक्कों पर संख्याओं को इस तरह दर्शाएँगे।

एक खेल में, खिलाड़ी अपने सिक्के उछालते हैं, और जिसका सिक्का अधिक संख्या दिखाता है वह विजेता होता है। कौन कब जीतेगा A निभाता B?

निःसंदेह, यह निर्भर करता है। कभी-कभी A जीतेंगे, कभी-कभी B जीतेंगे। लेकिन यह देखना कठिन नहीं है A के खिलाफ जीत का पक्षधर है B. खेल चार तरीकों से सामने आ सकता है, और A उनमें से तीन में जीत।

तो के खेल में A बनाम B, A जीतने की 75% संभावना है।

अभी C साथ आता है और चुनौतियाँ B एक खेल के लिए. Cसिक्के के एक तरफ 5 और दूसरी तरफ 4 है। फिर से चार संभावनाएँ हैं।

यहाँ B और C प्रत्येक चार में से दो मैच जीतता है, इसलिए वे प्रत्येक 50% गेम जीतेंगे। B और C समान रूप से मेल खाते हैं.

अब आप कब क्या होने की उम्मीद करेंगे A और C खेल? कुंआ, A आमतौर पर धड़कता है B, तथा B के साथ समान रूप से मेल खाता है C, इसलिए ऐसी अपेक्षा करना उचित प्रतीत होता है A संभवतः इसके विरुद्ध पक्षपात किया जाएगा C.

परंतु A पसंदीदा से भी अधिक है. A हावी C, 100% समय जीतना।

यह आश्चर्यजनक लग सकता है, लेकिन गणितीय रूप से यह देखना कठिन नहीं है कि ऐसा क्यों होता है। Cके नंबर बीच में हैं Bहै, तो C किसी भी समय जीतता है B उनकी निचली संख्या को फ़्लिप करता है। लेकिन Cदोनों के नंबर नीचे हैं Aहै, तो C वह मुकाबला कभी नहीं जीतेगा. यह उदाहरण परिवर्तनशीलता के विचार का उल्लंघन नहीं करता है, लेकिन यह दर्शाता है कि चीजें सामान्य से अधिक जटिल हो सकती हैं A > B > C. हमारे गेम में थोड़ा सा बदलाव दिखाता है कि यह कितना अधिक जटिल हो सकता है।

हमारे प्रतिस्पर्धी दो-तरफा सिक्के उछालने के खेल से जल्दी ही थक जाते हैं, क्योंकि इसे गणितीय रूप से पूरी तरह से समझना आसान है (अधिक विवरण के लिए कॉलम के अंत में अभ्यास देखें), इसलिए लीग ने तीन-तरफा सिक्कों को अपग्रेड करने का निर्णय लिया है। (काल्पनिक गणित लीग में खेलने का एक लाभ यह है कि कुछ भी संभव है।)

यहाँ हैं A और Bके सिक्के:

खेल में किसका पक्ष लिया जाता है? A और B? खैर, इसके तीन परिणाम हैं Aका सिक्का उछाला और तीन के लिए B, जिससे नौ संभावित गेम परिणाम प्राप्त होंगे जिन्हें हम आसानी से चार्ट कर सकते हैं।

फिर से यह मानते हुए कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, A धड़कता है B नौ में से पांच नतीजों में. इसका मतलब यह है A $latex frac{5}{9} लगभग $55% बार जीतना चाहिए, इसलिए A के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है B.

अपनी संभावनाओं के बारे में थोड़ा निराश महसूस कर रहे हैं, B चुनौतियों C एक खेल के लिए. Cके नंबर नीचे दिखाए गए हैं. क्या आप पसंद करते हैं Bकी संभावना?

पुनः, एक खेल में नौ संभावित परिणाम होते हैं B बनाम C, इसलिए हम बस उन्हें सूचीबद्ध कर सकते हैं।

हम देख सकते हैं कि B के विरुद्ध काफी अच्छा दिख रहा है C. नौ संभावित परिणामों में से पांच में, B जीतता है. इसलिए B के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है C.

दरिद्र C अब खेलना है A. साथ A के विरुद्ध पक्षपात किया B और B के विरुद्ध पक्षपात किया C, क्या मौका मिलता है C जीतना है? जैसा कि यह निकला, एक बहुत अच्छा।

यहां नौ संभावित परिणामों में से पांच में, C धड़कता है A। इस का मतलब है कि C के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है A, भले ही Aके विरुद्ध पक्षपात किया जाता है B और B के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है C.

यह एक अकर्मक प्रणाली का उदाहरण है. अधिक तकनीकी शब्दों में, हमारे खेल में "पक्षधर होने" का संबंध सकर्मक नहीं है: A के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है B, तथा B के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है C, परंतु A जरूरी नहीं कि इसका विरोध किया जाए C.

हम अक्सर इसे गणित में नहीं देखते हैं, लेकिन इस तरह का व्यवहार खेल प्रशंसकों को आश्चर्यचकित नहीं करेगा। यदि दिग्गज ईगल्स को हराते हैं और ईगल्स काउबॉय को हराते हैं, तो काउबॉय अभी भी दिग्गजों को अच्छी तरह से हरा सकते हैं। ऐसे कई कारक हैं जो किसी व्यक्तिगत खेल के परिणाम में योगदान करते हैं। टीमें अभ्यास से बेहतर हो सकती हैं या यदि वे कुछ नया नहीं करते हैं तो स्थिर हो सकती हैं। खिलाड़ी टीमें बदल सकते हैं. खेल का स्थान - घर पर या बाहर - या टीमों ने हाल ही में कैसे खेला है जैसे विवरण प्रभावित कर सकते हैं कि कौन जीतता है और कौन हारता है।

लेकिन यह सरल उदाहरण दिखाता है कि इस प्रकार की अकर्मण्यता के पीछे विशुद्ध गणितीय कारण भी हैं। और इस विशुद्ध गणितीय विचार में प्रतिस्पर्धा की वास्तविक दुनिया की बाधाओं के साथ कुछ समानता है: मैचअप।

इसके लिए नंबर यहां दिए गए हैं A, B और C.

जब हम उन्हें एक साथ देखते हैं, तो यह देखना आसान हो जाता है कि इस स्थिति में अकर्मण्यता क्यों होती है। हालांकि B के खिलाफ जीत का पक्षधर है C, Cकी दो मध्यम-उच्च संख्याएँ - 7 और 6 - उन्हें बढ़त देती हैं A कि B नहीं है. चाहे A के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है B और B के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है C, C के विरुद्ध मेल खाता है A की तुलना में बेहतर B करता है। यह उसी तरह है जैसे एक अंडरडॉग खेल टीम एक बेहतर प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ अच्छी तरह से मुकाबला कर सकती है क्योंकि उनकी खेल शैली को उस टीम के लिए संभालना मुश्किल है, या क्योंकि एक खिलाड़ी या कोच उन्हें उस विशेष प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ बढ़त देता है।

यह तथ्य कि खेल अकर्मक हैं, उन्हें मनोरंजक और सम्मोहक बनाता है। आख़िरकार, यदि A धड़कता है B और B धड़कता है C, C जब उनका आमना-सामना होता है तो परिवर्तनशीलता के कारण वे हार नहीं मानेंगे A. प्रतिस्पर्धा में कुछ भी हो सकता है. जैसा कि कई टिप्पणीकारों ने परेशान होने के बाद कहा है, "इसीलिए वे खेल खेलते हैं।"

और इसीलिए हम गणित के साथ खेलते हैं। यह जानने के लिए कि क्या मज़ेदार, सम्मोहक और आश्चर्यजनक है। कुछ भी हो सकता है।

अभ्यास

1. मान लीजिए कि दो खिलाड़ी दो-तरफा सिक्के का खेल खेलते हैं, और दोनों सिक्कों के चार नंबर अलग-अलग हैं। कौन जीतता है और कितनी बार जीतता है, इसके लिए अनिवार्य रूप से केवल छह संभावित परिदृश्य हैं। क्या रहे हैं?

2. ऊपर वर्णित तीन-तरफा खेल परिदृश्य में, एक अलग तीन-तरफा सिक्का ढूंढें C ताकि B अभी भी इसके ख़िलाफ़ पक्षपात किया जाता है C और C अभी भी इसके ख़िलाफ़ पक्षपात किया जाता है A.

3. साबित करें कि दो-तरफा सिक्के वाले खेल में तीन खिलाड़ियों का होना असंभव है A, B, C ऐसा है कि A के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है B, B के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है C, तथा C के विरुद्ध पक्षपात किया जाता है A.