वह सिद्धांतकार जो गणित को कला, संगीत और लेखन में देखता है | क्वांटा पत्रिका

सारा हार्ट की नज़र हमेशा उन गुप्त तरीकों पर रही है जिनसे गणित अन्य क्षेत्रों में प्रवेश करता है। एक बच्ची के रूप में, वह अपनी परियों की कहानियों में नंबर 3 की सर्वव्यापकता से प्रभावित हुई थी। हार्ट की मां, जो एक गणित शिक्षिका थीं, ने उसे समय गुजारने के लिए गणित की पहेलियाँ देकर पैटर्न खोजने के लिए प्रोत्साहित किया।

हार्ट ने 2000 में समूह सिद्धांत में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की और बाद में लंदन विश्वविद्यालय के बिर्कबेक में प्रोफेसर बन गए। हार्ट के शोध ने कॉक्सेटर समूहों की संरचना की जांच की, संरचनाओं के अधिक सामान्य संस्करण जो बहुभुज और प्रिज्म की समरूपता को सूचीबद्ध करते हैं। 2023 में, उसने प्रकाशित किया वंस अपॉन ए प्राइम, कल्पना और कविता में गणित के प्रकट होने के तरीकों के बारे में एक किताब। हार्ट ने लिखा, "चूंकि हम इंसान ब्रह्मांड का हिस्सा हैं, इसलिए यह स्वाभाविक है कि हमारी रचनात्मक अभिव्यक्ति के रूप, उनमें से साहित्य भी पैटर्न और संरचना के प्रति झुकाव प्रकट करेगा।" "तो फिर, गणित साहित्य पर एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण की कुंजी है।"

2020 से, हार्ट लंदन के ग्रेशम कॉलेज में ज्यामिति के प्रोफेसर हैं। ग्रेशम के पास कोई पारंपरिक पाठ्यक्रम नहीं है; इसके बजाय, इसके प्रत्येक प्रोफेसर प्रति वर्ष कई सार्वजनिक व्याख्यान देते हैं। हार्ट 428 वर्ष पुराने पद पर आसीन होने वाली पहली महिला हैं, जिस पर 17वीं शताब्दी में इसहाक बैरो ने कब्जा किया था, जो एक अन्य इसहाक (न्यूटन) को पढ़ाने के लिए प्रसिद्ध थे। अभी हाल ही में, यह गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ के पास था, जिन्होंने भौतिकी में 2020 का नोबेल पुरस्कार जीता था। हार्ट से बात की क्वांटा इस बारे में कि गणित और कला एक दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं। स्पष्टता के लिए साक्षात्कार को संक्षिप्त और संपादित किया गया है।

आपने गणित और साहित्य के बीच संबंधों के बारे में अपनी पुस्तक लिखना क्यों चुना?

ये संबंध गणित और कहें तो संगीत के बीच के संबंधों की तुलना में कम खोजे गए और कम ज्ञात हैं। गणित और संगीत के बीच संबंध कम से कम पाइथागोरस के समय से ही मनाया जाता रहा है। हालाँकि, हालांकि विशिष्ट पुस्तकों, लेखकों या शैलियों के बारे में लेखन और अकादमिक शोध हुआ है, लेकिन मैंने गणित और साहित्य के बीच व्यापक संबंधों के बारे में आम दर्शकों के लिए कोई किताब नहीं देखी है।

कला से जुड़े लोगों को गणित के बारे में कैसे सोचना चाहिए?

गणित और, मैं कहूंगा, अन्य कलाओं के बीच बहुत सी समानताएं हैं। साहित्य, साथ ही संगीत और कला में, आप कभी भी कुछ भी नहीं से शुरुआत नहीं करते हैं। यदि आप एक कवि हैं, तो आप चुन रहे हैं: क्या मेरे पास बहुत सटीक संख्यात्मक बाधाओं वाला हाइकु होगा, या क्या मैं एक सॉनेट लिखूंगा जिसमें पंक्तियों की एक निश्चित संख्या, एक निश्चित छंद योजना, एक निश्चित मीटर हो? यहां तक ​​कि जिस चीज़ में तुकबंदी योजना नहीं है, उसमें पंक्ति विराम, एक लय होगी। ऐसी बाधाएँ होंगी जो रचनात्मकता को प्रेरित करती हैं, जो आपको ध्यान केंद्रित करने में मदद करती हैं।

गणित में, हमारे पास एक ही चीज़ है। हमारे पास कुछ बुनियादी नियम हैं. उसके भीतर, हम अन्वेषण कर सकते हैं, हम खेल सकते हैं, और हम प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं। कला के लिए गणित नई संरचनाओं को खोजने में मदद कर सकता है, यह दिखा सकता है कि संभावनाएं क्या हैं। संगीत का वह टुकड़ा कैसा दिखेगा जिसमें कोई मुख्य हस्ताक्षर न हो? हम 12 स्वरों के बारे में सोच सकते हैं और उन्हें अलग-अलग तरीके से व्यवस्थित कर सकते हैं, और यहां वे सभी तरीके दिए गए हैं जिनसे आप ऐसा कर सकते हैं। यहां विभिन्न रंग योजनाएं हैं जिन्हें आप तैयार कर सकते हैं, यहां काव्य मीटर के विभिन्न रूप हैं।

गणित साहित्य से किस प्रकार प्रभावित हुआ है इसका एक उदाहरण क्या है?

हजारों साल पहले भारत में कवि संभावित मीटरों के बारे में सोचने की कोशिश कर रहे थे। संस्कृत काव्य में, आपके पास लंबे और छोटे शब्दांश हैं। लम्बा, छोटे से दोगुना लम्बा है। यदि आप यह पता लगाना चाहते हैं कि कितने ऐसे हैं जिनमें तीन का समय लगता है, तो आप छोटा, छोटा, छोटा, या लंबा, छोटा, या छोटा, लंबा हो सकते हैं। तीन बनाने के तीन तरीके हैं। लंबाई-चार वाक्यांश बनाने के पाँच तरीके हैं। और लंबाई-पांच वाक्यांश बनाने के आठ तरीके हैं। आपको जो अनुक्रम मिल रहा है वह ऐसा है जहां प्रत्येक पद पिछले दो का योग है। आप बिल्कुल वही पुनरुत्पादित करते हैं जिसे हम आजकल फाइबोनैचि अनुक्रम कहते हैं। लेकिन यह फाइबोनैचि से सदियों पहले की बात है।

साहित्य पर गणित के प्रभाव के बारे में क्या ख्याल है?

एलेनोर कैटन की पुस्तक एक बहुत ही सरल अनुक्रम है, लेकिन यह बहुत, बहुत शक्तिशाली ढंग से काम करती है द ल्यूमिनरीज़, जो 2013 में सामने आया। उसने 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16 क्रम का उपयोग किया। उस पुस्तक का प्रत्येक अध्याय पिछले अध्याय की लंबाई का आधा है। यह वास्तव में आकर्षक प्रभाव पैदा करता है, क्योंकि गति बढ़ रही है, और पात्रों की पसंद अधिक सीमित हो रही है। हर चीज़ अपने निष्कर्ष की ओर तेजी से बढ़ती है। अंत में, अध्याय अत्यंत छोटे हैं।

थोड़ी अधिक जटिल गणितीय संरचना का एक और उदाहरण जिसे ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग कहा जाता है। एक लैटिन वर्ग सुडोकू ग्रिड की तरह होता है। इस मामले में, यह 10-बाय-10 ग्रिड होगा। प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम में प्रत्येक संख्या ठीक एक बार दिखाई देती है। ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग दो लैटिन वर्गों को मिलाकर बनाए जाते हैं, इसलिए प्रत्येक स्थान में संख्याओं का एक जोड़ा होता है। प्रत्येक जोड़ी में पहली संख्या से बनी ग्रिड एक लैटिन वर्ग है, और इसी तरह प्रत्येक जोड़ी में दूसरी संख्या से बनी ग्रिड भी है। इसके अलावा, जोड़ियों की ग्रिड में कोई भी जोड़ा एक से अधिक बार दिखाई नहीं देता है।

ये हर तरह से बहुत उपयोगी हैं। आप उनसे त्रुटि-सुधार कोड बना सकते हैं, जो विभिन्न प्रकार के शोर वाले चैनलों पर संदेश भेजने के लिए उपयोगी होते हैं। लेकिन इन विशेष आकार 10 के बारे में एक बड़ी बात यह है कि सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, लियोनहार्ड यूलर ने सोचा था कि उनका अस्तित्व नहीं हो सकता। यह उन बहुत कम मौकों में से एक था जब उसने कोई गलती की थी; इसीलिए यह इतना रोमांचक था। उनके इस अनुमान के काफ़ी समय बाद कि ये चीज़ें विशेष आकारों के लिए अस्तित्व में नहीं हो सकतीं, इसका खंडन किया गया, और 1959 में इस आकार के वर्ग पाए गए। आवरण of अमेरिकी वैज्ञानिक उस साल।

उसके वर्षों बाद, एक फ्रांसीसी लेखक, जॉर्जेस पेरेक, अपनी पुस्तक के लिए उपयोग करने के लिए एक संरचना की तलाश कर रहे थे जीवन: एक उपयोगकर्ता मैनुअल. उन्होंने इन ऑर्थोगोनल लैटिन वर्गों में से एक को चुना। उन्होंने अपनी किताब पेरिस के एक अपार्टमेंट ब्लॉक में रखी, जिसमें 100 कमरे, 10-बाई-10 वर्ग थे। प्रत्येक अध्याय एक अलग कमरे में था, और प्रत्येक अध्याय का अपना अनूठा स्वाद था। उसके पास 10 चीज़ों की सूची थी - विभिन्न कपड़े, रंग, उस तरह की चीज़ें। प्रत्येक अध्याय एक अद्वितीय संयोजन का उपयोग करेगा। यह पुस्तक की संरचना करने का वास्तव में एक आकर्षक तरीका है।

आप स्पष्ट रूप से अच्छे लेखन को महत्व देते हैं। गणित शोध पत्रों में लेखन की गुणवत्ता के बारे में आप क्या सोचते हैं?

यह बहुत परिवर्तनशील है! मैं जानता हूं कि हम संक्षिप्तता को महत्व देते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि कभी-कभी इसे बहुत दूर ले जाया जाता है। ऐसे बहुत से पेपर हैं जिनमें कोई उपयोगी उदाहरण नहीं हैं।

हम वास्तव में जिस चीज को महत्व देते हैं वह एक सरल तर्क है, क्योंकि यह सभी मामलों को एक साथ इतनी चतुराई से कवर करता है, यह संक्षिप्त और सुरुचिपूर्ण भी है। यह आपके लंबे तर्क को आवश्यकता से अधिक छोटी जगह में समेटने जैसा नहीं है, जिसके लिए आपने पृष्ठ को रहस्यमय संकेतों से ढक दिया है, जिसे आपने नोटेशन को संक्षिप्त बनाने के लिए बनाया है, लेकिन जिसे न केवल पाठक, बल्कि संभवतः आपको स्वयं भी बड़ी मेहनत से खोलना होगा। क्या हो रहा है इसका कोई मतलब निकालने के लिए फिर से।

हम उपयोगी संकेतन पर पर्याप्त विचार नहीं करते हैं जो पाठक को याद दिलाता है कि इसका क्या मतलब है। सही अंकन गणित के एक टुकड़े को पूरी तरह से बदल सकता है, और सामान्यीकरण के लिए भी जगह बना सकता है। ऐतिहासिक रूप से, एक अज्ञात, उसके वर्ग और उसके घन को तीन अलग-अलग अक्षरों के साथ लिखने से लेकर परिवर्तन के बारे में सोचें, और यह कितना अधिक संभव है, और यहां तक ​​कि संभव भी है कि आपने कब लिखना शुरू किया है, और इसके बजाय इस बारे में सोचना शुरू करें।

क्या आप गणित और कला के बीच संबंधों में विकास देखते हैं?

हर समय नई चीजें होती हैं। 1990 के दशक में फ्रैक्टल हर जगह थे। प्रत्येक छात्र छात्रावास के कमरे की दीवार पर मैंडेलब्रॉट सेट या उसके जैसा कुछ चित्र था। हर कोई ऐसा कह रहा था, "ओह, यह रोमांचक है, फ्रैक्टल्स।" उदाहरण के लिए, आपको संगीतकार, संगीतकार मिलेंगे, जो अपनी रचनाओं में फ्रैक्टल अनुक्रमों का उपयोग कर रहे हैं।

जब मैं लगभग 16 साल का था, तब ग्राफ़िक्स कैलकुलेटर नाम की नई चीज़ें सामने आई थीं। बहुत ही रोमांचक। और मेरी माँ की एक दोस्त ने मुझे यह प्रोग्राम दिया जो इन छोटे ग्राफिक्स कैलकुलेटरों में से एक पर मैंडलब्रॉट सेट बना सकता था। मुझे नहीं पता, इसमें लगभग 200 पिक्सेल थे। आप इस चीज़ को प्रोग्राम करते हैं, और फिर मुझे इसे 12 घंटों के लिए छोड़ना पड़ता है। यह इसके अंत में इन 200 बिंदुओं को प्लॉट करेगा। इसलिए 80 के दशक के आखिर और 90 के दशक की शुरुआत में साधारण स्कूली बच्चे भी इससे जुड़ सकते थे और अपने लिए ये तस्वीरें बना सकते थे।

ऐसा लगता है कि जब आप स्कूल में थे, तब भी आपको हार्डकोर गणित में बहुत रुचि थी।

 मुझे लगता है कि मेरी रुचि तब से रही है जब मुझे यह भी पता था कि मैं गणितीय हूं। जैसे, जब मैं छोटा, दुधमुंहा बच्चा था तब से मैं हमेशा पैटर्न बनाता रहता था।

जब मैं बहुत छोटा था, तो मेरा पसंदीदा खिलौना कुछ बहुत ही साधारण लकड़ी से पेंट की गई टाइलें हुआ करता था। वे सभी अलग-अलग रंगों में आए। मैं उन्हें पैटर्न में बनाऊंगा, और फिर मैं इसे एक या दो दिन के लिए गर्व से देखूंगा, और फिर मैं एक और पैटर्न बनाऊंगा।

जब मैं थोड़ा बड़ा हो गया, तो मैं संख्याओं के साथ खेलता और पैटर्न देखता। माँ ही वह होती जिसके पास मैं जाता और कहता, "मैं ऊब गया हूँ।" और फिर वह कहती, "अच्छा, क्या आप पता लगा सकते हैं कि एक त्रिभुज बनाने के लिए आपको कितने बिंदुओं की आवश्यकता होगी, इसका पैटर्न क्या है?" या जो कुछ भी था. वह मुझे त्रिकोणीय संख्याओं या कुछ और को फिर से खोजने के लिए कहती, और मैं बहुत उत्साहित होता।

मेरी बेचारी माँ, मैं कितने अद्भुत आविष्कारों को लेकर अपनी माँ के पास जाऊँगा। "मैंने कुछ करने का एक बिल्कुल नया तरीका विकसित किया है!" और वह कहती, “ठीक है, यह बहुत अच्छा है। लेकिन, आप जानते हैं, डेसकार्टेस ने इसके बारे में सदियों पहले सोचा था। और फिर मैं चला जाऊंगा; कुछ दिनों बाद मैं एक और अद्भुत विचार लेकर आया। “यह बहुत सुन्दर है प्रिये। लेकिन प्राचीन यूनानियों के पास वह था।"

क्या आपको अपने गणित अनुसंधान कैरियर से कोई विशेष रूप से संतोषजनक क्षण याद है?

वे क्षण जब आप अंततः समझ जाते हैं कि आप जो पैटर्न देख रहे हैं वह हमेशा संतोषजनक होता है, साथ ही जब आप यह पता लगाते हैं कि जिस प्रमाण के साथ आप संघर्ष कर रहे हैं उसे कैसे पूरा करें। खुशी की उन भावनाओं की मेरी सबसे मजबूत यादें, शायद इसलिए कि वे पहली बार थीं जब मैंने उन्हें महसूस किया था, मेरे शोध करियर की शुरुआत से हैं। लेकिन उस "अहा" को महसूस करना अभी भी एक प्यारा एहसास है, जब आप अंततः समझ जाते हैं कि क्या हो रहा है।

बहुत पहले ही मैं अनंत कॉक्सेटर समूहों के बारे में कुछ साबित करने की कोशिश कर रहा था। मैंने कुछ मामलों को हल कर लिया है, और बाकी को देखते हुए मैं एक ऐसी तकनीक लेकर आया हूं जो एक विशिष्ट मानदंड पूरा होने पर काम करेगी। आप इन रिश्तों को एक ग्राफ़ में लिख सकते हैं, इसलिए मैंने ग्राफ़ का एक संग्रह इकट्ठा करना शुरू कर दिया, जिसके लिए मेरी तकनीक लागू की जा सकती है। यह एक वर्ष क्रिसमस के ऊपर था।

थोड़ी देर के बाद, मेरे चित्रों का सेट ग्राफ़ के एक विशेष सेट जैसा दिखने लगा, जो मेरे कार्यालय में मौजूद कॉक्सेटर समूहों के बारे में एक पुस्तक में सूचीबद्ध था, और मुझे आशा होने लगी कि यह ग्राफ़ का सटीक सेट था। यदि ऐसा होता, तो इससे मेरे प्रमाण का छेद भर जाता, और मेरा प्रमेय समाप्त हो जाता। लेकिन मैं क्रिसमस के बाद विश्वविद्यालय में वापस आने तक निश्चित रूप से जाँच नहीं कर सका - इससे पहले कि आप सब कुछ Google पर देख सकें। मुझे लगता है कि अपने अनुमान की पुष्टि के लिए इंतजार करने की प्रत्याशा ने इसे और भी बेहतर बना दिया जब मैं किताब के पास गया और अपने हस्तलिखित रेखाचित्रों के सेट की तुलना पुस्तक में मौजूद रेखाचित्रों से की, और वे वास्तव में एक मेल थे।

आप इस प्रश्न के बारे में क्या सोचते हैं कि गणित बनाया गया है या खोजा गया है? लगभग कोई भी यह तर्क नहीं देगा कि जिन उपन्यासकारों के बारे में आप अपनी पुस्तक में लिखते हैं उनमें से किसी ने अपने उपन्यासों की "खोज" की है। क्या यह गणित और साहित्य में बुनियादी अंतर है या नहीं?

यह संभवतः है, हालाँकि अभी भी कुछ प्रतिध्वनियाँ हैं।

गणित करना खोज जैसा लगता है। यदि हम गणित का आविष्कार कर रहे होते, तो निश्चित रूप से चीजों को साबित करना इतना कठिन नहीं होता! कभी-कभी हम चाहते हैं कि कोई चीज़ सच हो, लेकिन ऐसा नहीं होता। मेरा मानना ​​है कि हम तर्क के परिणामों से बच नहीं सकते।

जब आप यह कर रहे होते हैं तो यह सब एक खोज जैसा लगता है। कुछ विकल्प वास्तविक दुनिया में हम जो अनुभव करते हैं उसे प्रतिबिंबित करते हैं, जैसे कि ज्यामिति के स्वयंसिद्ध सिद्धांत जिनके साथ हम काम करते हैं, जिन्हें इसलिए चुना जाता है क्योंकि ऐसा लगता है कि वास्तविकता लगभग वैसी ही है - हालाँकि वहां भी, "बिंदु" या "जैसी कोई चीज़ नहीं है" रेखा" (क्योंकि हम कोई ऐसी चीज़ नहीं बना सकते जो कोई जगह न घेरती हो, और ज्यामिति में एक रेखा की कोई चौड़ाई नहीं होती और वह अनंत तक फैली होती है)।

कुछ हद तक, साहित्य में इस सातत्य की समानताएँ हैं। एक बार जब आप सॉनेट के नियमों को परिभाषित कर लेते हैं, तो आपको वह सॉनेट लिखने में कठिनाई होगी जिसकी पहली पंक्ति "नारंगी" या "चिमनी" के साथ समाप्त होती है।

लेकिन मैं कुछ साझा करने से खुद को नहीं रोक सकता जे.आर.आर. टॉल्किन ने लेखन के बारे में कहा Hobbit: “यह सब तब शुरू हुआ जब मैं कुछ अतिरिक्त पैसे कमाने के लिए परीक्षा के पेपर पढ़ रहा था। ...खैर, एक दिन मेरे पास परीक्षा की किताब का एक खाली पन्ना आया और मैंने उस पर कुछ लिख दिया। 'जमीन के एक बिल में एक हॉबिट रहता था।' मैं प्राणियों के बारे में इससे अधिक कुछ नहीं जानता था, और उसकी कहानी बढ़ने में कई साल लग गए। मुझे नहीं पता कि यह शब्द कहां से आया।

हॉबिट्स - क्या उसने उन्हें बनाया या उनकी खोज की?